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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第一章 三角形的证明及其应用·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B D D B B C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．两个锐角互余的三角形是直角三角形
12．
13． /37度
14．
15．
16． 或 或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；...........3分
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 12∴ ．...........6分
18．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ；...........2分
（2）解：过点E作 于点F，如图所示：
由作图可得 是 的角平分线，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．...........6分
19．
【详解】（1）证明： ∵ ， ，
∴ ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 12∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；...........3分
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．...........6分
20．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；...........3分
（2）解：在 和 中，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．...........6分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 1221．
【详解】（1）证明：依题意得： ，
是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
；...........4分
（2）解：设点P，Q运动的时间为t秒，
，
为等边三角形，且边长为 ，
， ，
，
当 是直角三角形时，有以下两种情况，
①当 时，如图1所示：
在 中， ，
，
，
解得： ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 12即当点P，Q运动 秒时， ，此时 是直角三角形；
②当 时，如图2所示：
在 中， ，
，
，
解得： ，
即当点P，Q运动 秒时， ，此时 是直角三角形，
综上所述：当点P，Q运动 秒或 秒时， 是直角三角形．
故答案为： 或 ...........8分
22．
【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形．
设等腰直角三角形的直角边长为 ，
则斜边长为 ，
，
等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；...........2分
②∵ 为勾股高三角形，点 为勾股顶点， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 12...........4分
（2）如图，过点 作 ，垂足为点 ．
∵等腰三角形 为勾股高三角形，
且 ，
∴只能是 ，由（1）②知 ．
又
， ，
而 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 ．
又 ，
...........8分
23．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 12【详解】（1）解：若 ，
∵ 分别是 和 的平分线， ， ，
∴ ，
∴ ．
若 ，
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；...........2分
（2）解： ；理由如下：
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴
；...........5分
（3）解： ．
如图，延长 ，交于点E，由（2）知， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 12∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ．...........8分
24．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 12，
，即 ，
．
答： ， ．...........4分
（2）证明：设 ，则 ．
，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，即 ，
，
．...........8分
（3）解：设 ，则 ， ．
,
可分类讨论：
①当 时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 12，
解得 ，
；
②当 时，
，
解得 ，
③当 时，
，
解得 ，
;
④当 时，
，
解得 ，
综上可知 或 或 或 ．
答： 的度数为 或 或 或 ．...........12分
23．
【详解】解：问题情境： 平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10 / 12故答案为： ；...........2分
类比解答：如图，延长 交 于点 ，
由问题情境可知， ，
，
，
，
故答案为： ；...........5分
拓展延伸： ，证明如下：
如图，延长 、 交于点 ，
则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
由问题情境可知， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11 / 12；...........9分
实际应用：如图，延长 交 于 ，
由问题情境可知， ， ，
，
，
∴
，
∴ ，
答： 的面积是10．...........12分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12 / 12
