文档内容
第一章 《三角形的证明》单元教学设计
学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上
册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严
格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几
个核心知识点展开，课标要求如下：
知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性
质与判定定理，并能进行严格证明。
能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思
维习惯。
素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容
打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质
和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定
理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继
续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线
的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证
明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、
直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段
之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了 8个基
本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习
奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定
的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三
角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。
2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等
边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。
3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角
形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方
和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。
5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如
“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。
6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分
线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上）。
17、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判
定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际
问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。
（二）教学重点、难点
重点
1、三角形的内角和、外角定理及推论
2、等腰三角形的性质和判断；
3、直角三角形的性质和判断；
4、线段的垂直平分线的性质和判断；
5、角平分线的性质定理及其逆定理；
难点
1、等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；
2、用反证法证明
3、利用尺规作等腰三角形和直角三角形。
4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识 （一）单元知识结构框架
结构框架
及课时安
排
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角 活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
和
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
任务二：三角形外角 活动三：探究新知
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角 活动六：课外作业
形
的 活动一：知识回顾
证
活动二：探究新知
明
任务三：等腰三角形 活动三：课堂作业
性质
活动四：课堂总结
2活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务四：等腰三角形
判断 活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务五：等边三角形
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形
的证明 活动四：课堂作业
三 活动五：课堂总结
角
活动六：课外作业
形
的 活动一：知识回顾
证
明 活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务七：直角三角形
全等的判断 活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务八：线段的垂直 活动三：典例精析
平分线的性质定理于
活动四：课堂作业
判断定理
活动五：课堂总结
3活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动六：课外作业
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
任务九：三角形的垂
直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的
性质定理和判断定理 活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
活动六：课外作业
角
形
活动一：温故知新
的
证 活动二：课前检测
明
活动三：问题导入
任务十一：三角形角平
分线 活动四：探究三角形角平分线性质
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决
的策略， 活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思
考 活动四：课堂总结
活动五：课外作业
（二）课时安排
4课时编号 单元主要内容 课时数
01 三角形内角和 1
02 三角形的外角 1
0.3 等腰三角形性质 1
04 等腰三角形判断 1
05 等边三角形 1
06 直角三角形的证明 1
07 直角三角形全等的判断 1
08 线段的垂直平分线性质定 1
理与判断定理
09 尺规作图与三角形的垂直 1
平分线
10 角平分线的性质定理和判 1
断定理
11 三角形的角平分线 1
12 问题解决的策略--反思 1
13 回顾与思考 1
达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务
三角形内角和 1、回顾初中数学8 环节一：知识回顾
1、通过测量、折叠、拼
个基本事实。 环节二；探究三角
接、作平行线等方法，
2、回顾三角形内角 形内角和
探索和发现三角形内
和的验证方法。 环节三；知识运用
角和等于180°.
3、利用添加辅助线 环节四：探究三角
2、会证明三角形内角
形 全 等 的 判 断
的方法来推理验证
和定理和运用定理解
（AAS）
三角形的内角和 环节五：课堂练习
题。会用辅助线解决几
180°体会转化的数 环节六；课堂总结
何问题.
学思想。 环节七；课外作业
3、通过三角形内角和
4、利用三角形内角
定理的多种证明方法，
和是 180°和三角
形成独立思考，合作交
形全等的(ASA)通过
流的学习模式，培养学
推理得到三角形全
生理性说理的能力.
等 (ASA) 的 推 理
4、培养学生的创造性，
（AAS）
体验解决问题的成就
5、完成课堂练习。
感，使学生感悟逻辑推
6、进行课堂总结
理的数学价值.
1、完成课前检测。 环节一：课前检测
1、理解并掌握三角形
三角形的外角
2、问题思考，引入 环节二；问题导入
的外角的概念．能够在
5新课。 环节三；探究三角
能够复杂图形中找出
形外角的定义
3、活动感悟三角形
外角. 环节四：探究内角
外角的概念，理解
2、掌握三角形的一个 和推论1
外角的顶点和边的
外角等于与它不相邻 环节五；探究内角
特征。
的两个内角和.一个外 和推论2
4、利用三角形的内
环节六：课堂练习
角大于任何一个不相
角和与邻补角探究
环节七；课堂总结
邻的内角。
内角和推论1。
3、会利用三角形的外 环节八；课外作业
5、结合不等式知识
角性质解决问题.
探究内角和推论2
6、学习例题
7、完成课堂练习
8、进行课堂总结
等腰三角形性质 1、知识回顾。 环节一：知识回顾
1、理解等腰三角形的
2、用3种方法证明 环节二；利用三种
基本定义：两腰相等的
等腰三角形的性质 方法求证等腰三角
三角形称为等腰三角
“等边对等角” 形的等边对等角
形。
3、活动感悟等腰三 环节三：探究等腰
2、掌握并证明等腰三
角形顶角平分线、 三角形三线合一
角形的性质：等边对等
高线、底边中线三 环节四；探究等边
角；等腰三角形顶角的
线合一 三角形的每个内角
角平分线、底边的中
4、利用三角形的内 度数
线、底边上的高重合
角和等腰三角形等 环节五：课堂练习
（三线合一）。
边对等角探究等边 环节六；课堂总结
3、理解和掌握等边三
三角形的每个内角 环节七；课外作业
角形是特殊的等腰三 均为60°
角形，等边三角形三条 5、完成课堂练习
边相等且每个内角均 6、进行课堂总结
为60°
4、能够利用等腰三角
形的性质解决简单的
几何问题，如计算角度
大小、证明线段相等等
等腰三角形的判 1、知识回顾。 环节一：知识回顾
1、理解并掌握等腰三
断 2、证明等腰三角形 环节二；探究等腰
角形的判断定理，能用
的判定定理“等角 三角形的判定定理
文字语言、数学符号描
对等边” 环节三：探究反证
述判定定理。
3、活动感悟反证法 法
2、能够区分等腰三角
4、利用反证法对命
6题进行证明 环节四；典例精析
形的性质定理（等边对
5、完成课堂练习 环节五：课堂练习
等角）和判定定理（等
6、进行课堂总结 环节六；课堂总结
角对等边），明确它们
环节七；课外作业
是互为逆命题的关系。
3、了解反证法，掌握反
证法证题的过程。学会
数学说理，发展初步的
演绎推理能力。
4、运用性质定理和判
定定理进行简单的计
算，解决相关的几何问
题
等边三角形 1、理解等边三角形的 1、复习旧知，思考 环节一：知识回顾
判别条件及其证明，理 2个问题。 环节二；问题导入
解含有 30º 角的直角 2、证明等边三角形 环节三：探究等边
三角形性质及其证明， 的判定定理1（三个 三角形的判断定理
并能利用这两个定理 角都相等的三角形 环节四：探究在直
解决一些简单的问题. 是等边三角形）. 角三角形中，如果
2、经历运用几何符号 3、证明等边三角形 一个锐角等于30°，
和图形描述命题的条 的判定定理2（有一 那么它所对的直角
件和结论的过程，建立 个角等于 60°的等 边等于斜边的一
初步的符号感，发展抽 腰三角形是等边三 半．
象思维；经历实际操 角形）. 环节五；典例精析
作，探索含有30º角的 4、小结等边三角形 环节六：课堂练习
直角三角形性质及其 的判断 环节七；课堂总结
推理证明过程，发展合 5、小组活动，用两 环节八；课外作业
情推理能力和初步的
个含 30°角的全等
演绎推理的能力.
的三角尺拼成一个
等边三角形。
6、猜想在直角三角
形中，如果一个锐
角等于30°，那么它
所对的直角边等于
斜边的一半．
7、利用三种方法证
明在直角三角形
中，如果一个锐角
等于30°，那么它所
7对的直角边等于斜
边的一半．
8、完成例题的学习
9、完成课堂练习
10、进行课堂总结
直角三角形的判 1、掌握直角三角形的 1、回顾旧知 环节一：知识回顾
断 性质定理和判定定理， 2、用反证法证明反 环节二：探究直角
了解勾股定理的证明， 证法证明，直角三 三角形的性质定理
理解勾股逆定理的证 角形只有一个直 环节三：探究直角
明方法，并能应用定理 角，钝角三角形只 三角形的判断定理
解决与直角三角形有 有一个钝角。 环节四：探究定理
关的问题。 与逆定理。
3、证明直角三角形
2、结合具体例子了解 环节五；典例精析
的性质定理1和2.
逆命题的概念，会识别 环节六：课堂练习
4、 证明直角三角
两个互逆命题，知道原 环节七；课堂总结
形的判断定理 1 和
命题成立，其逆命题不 环节八；课外作业
2.
一定成立．从而理解和
5、 归纳比较性质
掌握直角三角形性质
定理和判断定理。
定理和直角三角形的
6、探究命题和逆命
判断定理的互逆关系
题。
3、经历用几何符号和
7、探究定理和逆定
图形描述命题的条件
理。
和结论的过程，建立初
步的符号感，发展抽象
8、完成例题的学习
思维．掌握推理证明的 9、完成课堂练习
方法，发展演绎推理的 10、进行课堂总结
能力．
直角三角形全等 1、能够证明直角三角 1 回顾已经学过的 环节一：知识回顾
的判断 形全等的“HL”的判 三角形全等的判断 环节二：探究直角
定定理，进一步理解证 定理。 三角形的判断定理
明的必要性。 2、完成课前检测 （HL）
2、进一步掌握推理证 题，导入新课。 环节三；典例精析
明的方法，发展演绎推 3、学生按要求画直 环节四：课堂练习
理能力。 经历探索直 角三角形。 环节五；课堂总结
角三角形全等条件的 环节六；课外作业
4、猜想、验证直角
过程，进一步掌握证明
三角形斜边、直角
几何问题和解决简单
定理（HL）。
8实际问题 的方法。 5、学习例题，先用
3、让学生理解事物的 直角三角形的判定
特殊与一般的关系，培 定理“HL”证明两
养学生的思维品质及 个直角三角形全
能力。通过“HL”定理 等，然后根据全等
的推导渗透变换的思 三角形的性质解决
想，培养学生一题多解 直角三角形的边角
的思维能力，体验数学 关系。
推理证明的乐趣，获得 6、完成例题的学习
成功的喜悦。 7、完成课堂练习
8、进行课堂总结
线段的垂直平分 1、回归知识， 环节一：知识回顾
1、 经历“探索——发
线性质定理与判 2、证明线段的垂直 环节二：探究线段
现——猜想——证
断定理 平分线性质定理。 的垂直平分线的性
明”的过程，进一步体
3、用多种方法证明 质定理和判定定理
会证明的必要性，增强
线段的垂直平分线 环节三；典例精析
证明意识和能力。
的判定定理， 环节四：课堂练习
2、证明线段垂直平分
4、学习例题 环节五；课堂总结
线的性质定理，探索并
5、完成例题的学习 环节六；课外作业
证明线段垂直平分线
6、完成课堂练习
的判定定理，进一步发
7、进行课堂总结
展推理能力。
3、能运用线段垂直平
分线的性质定理和判
定定理解决问题。
尺规作图与三角 1.通过动手操作、尺规 1、回顾线段的垂直 环节一：知识回顾
形的垂直平分线 作图和理论证明，能探 平分线的性质定理 环节二：探究尺规
究出“三角形三边垂 和判断定理，用数 作图
直平分线的性质”， 学语言描述垂直平 环节三；探究三角
进一步发展学生的推 分线定理。 形的垂直平分线
理证明意识和能力,并 2、回顾线段的垂线 环节四：课堂练习
会熟练应用来解决实 平分线的作法。 环节五；课堂总结
际问题. 3、尺规准确作出符 环节六；课外作业
2.借助线段垂直平分 合条件的几何图
线的尺规作图，通过个 形：已知直线（或线
人探究和小组交流，能 段）的垂线，口述作
准确作出符合条件的 法。
几何图形；体会转化的
4、证明“三角形三
思想.
9条边的垂直平分线
相交于一点, 并且这
一点到三个顶点的
距离相等.”
5、线段的垂直平分
线和角平分线的综
合运用。
6、完成课堂练习
7、进行课堂总结
角平分线的性质 1.通过自主学习能够 1、准确回忆角平分 环节一：知识回顾
定理和判断定理 用数学语言描述角平 线的定义且领悟角 环节二：探究角平
分线的性质定理和判 平分线位于角的内 分线的性质定理和
定定理.并理解性质定 部，为准确表述角 判定定理
理和判断定理是互逆 平分线性质定理的 环节三；典例精析
定理。 判定定理作准备. 环节四：课堂练习
2.经历小组合作探究 2、用尺规画角平分 环节五；课堂总结
会证明角平分线的性 线 环节六；课外作业
质定理和判定定理. 3、学生在探究和交
3.能够灵活运用角平 流的过程中准确完
分线的性质定理和判 整写出证明过程.
定定理解决有关问题， 4、学生对角平分线
体会转化的思想. 的性质定理、判定
定理的几何语言的
书写是否简洁明了.
5、关注学生能否积
极参与练习.学生对
基础知识的掌握情
况.
6、完成课堂练习
7、进行课堂总结
三角形的角平分 1.通过对角的平分线 1、学生独立回答角 环节一：知识回顾
线 性质定理和判定定理 平分线的性质定理 环节二：课前检测
的理解，能运用定理熟 和判断定理。 环节三；问题导入
练推导出三角形中角 2、完成课本 38 页 环节四；探究新知
平分线的性质. 例题2的学习， 环节五：课堂练习
2. 能准确地说出三角 环节六；课堂总结
3、学生独立思考问
形三边垂直平分线与 环节七；课外作业
题导入，并上台展
角平分线交点性质的
10区别. 示自己的思路。
3.通过小组成员的合 4、作三角形的角平
作交流学习，学生能够 分线。
运用角平分线的性质 5、猜测三角形三条
定理及判定定理，灵活 角的平分线相交于
解决实际问题． 一点。
6、证明猜测
7、课堂小结三角形
角平分线的性质。
8、合作探究三角形
的垂直平分线和角
平分线的不同的
（注意不同类型的
三角形）
9、完成导入新课的
问题。
10、完成课堂练习
11、进行课堂总结
问题解决的策 1、通过对典型问题的 1、思考问题如何解 环节一：问题导入
略---反思 回顾，掌握反思的具体 决。 环节二：探究新知
方法（如检查结果、寻 2、小组探究一个梯 环节三：课堂练习
求多解、推广变式等）。 子靠在墙上，梯子 环节四；课堂总结
2、经历“解题—回顾 顶端下滑1米，梯子 环节五；课外作业
—评估—拓展”的过 底端滑动多少米？
程，培养思维的批判 3、自学第 42 页内
性、灵活性和深刻性。 容。
3、养成严谨细致的数 4、小组合作完成三
学学习习惯，体验从不 角形两边中线相等
同角度审视问题的乐 的三角形是等腰三
趣，提升数学元认知能 角形的证明。
力。 5、完成课堂练习
6、进行课堂总结
回顾与思考 1．在回顾与思考中建 1、展示课前布置的 环节一：知识架构
立本章的知识框架图， 知识结构流程图 环节二：知识梳理
复习有关定理的探索 （挑选具有代表意 环节三：考点讲练
与证明，证明的思路和 义的作品）. 环节四；课堂总结
方法，尺规作图等. 2、梳理知识点。 环节五；课外作业
2．进一步体会证明的 3、完成相应练习
11必要性，发展学生的初 4、学习例题
步的演绎推理能力；进 5、完成相应的课堂
一步掌握综合法的证 练习，
明方法，提高学生用规 6、方法归纳.
范的数学语言表达论 7、进行课堂总结.
证过程的能力.
3．通过积极参与数学
学习活动，对数学的证
明产生好奇心和求知
欲，培养学生合作交流
的能力，以及独立思考
的良好学习习惯.
12
