文档内容
第一章 三角形的证明
1.2.3等边三角形导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这
两个定理解决一些简单的问题.
2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经
历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演
绎推理的能力.
3、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困
难的意志，建立自信心.
学习重点：
①等边三角形判定定理的发现与证明；
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
学习难点：
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
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预习自测
一、知识链接
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教学过程
一、创设情境、导入新课
11.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
二、合作交流、新知探究
探究1：等边三角形的判定定理
例题1、求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：如图：△ABC中， A
∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形
证明： ∵∠A=∠B ∴BC=AC（ ） C
B
∵∠B=∠C ∴AB=AC（ ）
∴AB=BC=AC ( ）
∴△ABC是等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
例题2 求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
∠A=60°（∠B=60°或∠C=60°）
C
求证：△ABC是等边三角形。 B
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C （ ）
∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形。
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【强调】：等边三角形的判定定理
由定义来判断：三条边都相等的三角形是等边三角形。
由角来判断：三个角都相等的三角形是等边三角形。
由三角形来判断：①等腰三角形；②有一个角是60°
探究2：含有30°的直角三角形
活动;
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能
发现什么结论？说说你的理由.
结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例题3：如图 ， △ABC是直角三 角形，
∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
2求证： BC＝ AB.
证法一
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°
∴∠ACD=90° ,∠B=60°
在△ABC与△ADC中
∵ BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴△ABC≌△ADC（ ）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,
∴△ABD是等边三角形 ( )
∴BC=CD= AB( ).
证法二
证明: 在AB上截取BD=BC,连接CD
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60°∵BD=BC
∴△BCD是等边三角形（ ）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD= AD
∴ BD=AD= AB ∴ BC= AB
证法三
证明: 作∠BCD=60 °,交AB于D
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60° ∴∠BDC=60°
∴△BCD是等边三角形（ ）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD=AD
3∴ BD=AD= AB
∴ BC= AB
课堂小结：定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
数学语言：在△ABC 中，
∵∠C =90 °，∠A =30 °
∴ BC = AB
三、典例精析
例： 求证: 如果等腰三角形的底角为15°, 那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图1-18，ABC中，AB=AC，∠B= 15°, CD是腰AB上的高
求证: CD= AC
证明: 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15° ( ),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30° ( ).
∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°
∴CD= AC ( ).
四、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则△ABC的周长为（ ）.
A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm
2.已知△ABC的三边长 a、b、c 满足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0，则该三角形是 三角形.
3.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，
∠AON = 60°，当OP = 时， △AOP为等
边三角形.
4第3题 第4题
4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．
能力提升：
7. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC
的度数为 ．
拓展迁移：
8. 如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
五、总结反思、拓展升华
（1）等边三角形的判定方法：
定义： 。
定理1： 。
定理2： 。
（2）含30°角的直角三角形的性质：
5在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 。
六、【作业布置】
基础达标：
1.如图1，△ABC是等边三角形，AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为 .
2.如图2，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC,垂直为D,若CD=1,则AB= .
3.如图3，在R t △ ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°,CD是△ABC的高，且BD=1,则AD= .
A D A B
D
B C B D C C A
(1) (2) (3)
4．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD
的长为（ ）
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3
5．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°．则△ABC的面积为（ ）
A．16 B．4 C．6 D．8
第4题 第5题
6．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
能力提升：
7. 如图，已知等边△ABC和等边△ADE，其中点A、D、B在同一条直线上，连接BE交AC于点M，连
接DC交AE于点N，BE和DC交于点P，则下列结论中：（1）MN∥BD；（2）∠BPC=60°；（3）
DN=DE；（4）△BAM≌△CAN．（5）△AMN是正三角形，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6拓展迁移：
8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点，点E、F分别在AB、AC边上运动，
且始终保持BE=AF，连接DE、DF、EF.
(1)求证：△ADE≌△CDF
(2)判断△CEF的形状，并说明理由；
(3)求四边形AEDF的面积；
(4)若BE=2，求EF的长．
课堂练习参考答案
1、C
2、等边
3、A
4、C
5、A
6、解：∵在△ABC中，AB＝AC，
7∴∠B＝∠C，
∵AD∥CB，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
7、解答提示：提示：分三种情况求解，①OC=CE，②OC=OE③CE=OE，答案是30°或75°或120°
8、解：延长AD、BC交于E，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°
∴∠ECD=60°
∴△EDC是等边三角形，
设CD=x
AE=4+x
BE=1+x
则2（1+x）=4+x
解得x=2
∴CD=2
课外作业参考答案
1、12cm
2、2
3、3
4、D
5、B
6、（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED+∠C＝70°，
8∴∠BDE＝∠A+∠AED＝105°．
7、D
8、解：(1)证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点
∴∠B=∠C=45°，∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°AD=BD=DC
∵AB=AC,BE=AF
∴AE=FC
在△ADE和△CDF中
∠DAB=∠C，AD=DC,AE=FC
∴△ADE≌△CDF
(2)△CEF是等腰直角三角形
∵△ADE≌△CDF
∴DE=DF,∠FDC=∠ADE
∵∠FDC+∠ADF=90°
∴∠EDF=∠ADF+∠ADE=90°
∴△CEF是等腰直角三角形
（3）∵△ADE≌△CDF
（4）∵AB=AC=3，BE=AF=2
∴AE=3-2=1
在Rt△AEF中
9
