文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.2.2等腰三角形的判断学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 等腰三角形的判断 课时 1
探索等腰三角形的判断定理，掌握证明的基本方法，了解反证法的基本步骤，体会推理的严
课标 谨性，运用等腰三角形的判定定理进行计算和证明。
要求
教材有等腰三角形的“等边对等角”的逆命题“等角对等边”的三角形是等腰三角形引入，理
教材 解等腰三角形的性质和等腰三角形的判定定理是互逆的命题。教材还安排了数学思想--反证
分析 法，掌握反证法的基本步骤和运用反证法证明命题的正确与否，体会正难则反---反证法的神奇
作用。
学生对等腰三角形的性质、原命题和逆命题有一定的了解，对学习本节课提供了知识基础。对于
学情 反证法学生有一定的困难。所以，从简单实例出发，引导学生从实例中理解反证法的基本步骤：
分析 反设--找矛盾--得出结论。
1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。
核心 2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆
素养 命题的关系。
目标 3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。
4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
教学 理解“等角对等边”的判定定理，区分性质定理和判定定理.
重点
教学 反证法的推理过程.
难点
教学 课件、导学案
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 一、等腰三角形有哪些特征： 1、回顾等腰 回顾等腰三角形
1、等腰三角形的两腰相等； 三角形性质， 的性质定理，并改
2、等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等 大家发言相互 写成逆命题，得到
角”）； 补充。 等腰三角形的判断
3、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上 2、把命题改 定理。
的高互相重合。（简称“三线合一”） 写成如果----
4、等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线 就----，的形
所在的直线. 式。并转换成
二、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如 逆命题。
果------那么-----”的形式。
1、如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两
个底角相等。（性质定理）
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是
等腰三角形。（判断定理）
命题1、2的关系式互逆的。
1二、探究 探究1：等腰三角形的判断定理的证明 1、证明等腰 通过证明三角形全
1、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰 三角形的判断 等，等到对应边相
三角形 定理。 等，根据等腰三角
证明：作∠BAC的平分线AD 2、认识反证 形的定义作出判断
A
则∠1=∠2 法，了解反证 三角形为全等三角
在△BAD和△CAD中 法证明命题的 形。认知反证法，
1 2
∠1=∠2 基本步骤。 运用反证法证明命
B C
D
∠B=∠C 题，首先通过简单
AD=AD (公共边) 的实例引入反证法
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS) 的方法和步骤。这
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等) 样设计符合学生的
∴ ΔABC是等腰三角形 (等腰三角形定义) 认知规律，降低了
等腰三角形的判定定理： 难点，便于学生接
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 受。
也相等(简述为：等角对等边）
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
2、知识运用
如图1-14，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE
是等腰三角形
证明：在△ABD和△DCA中
AB=CD BD=AC AD=AD
∴△ABD≌△DCA（SSS)
∴∠CAD=∠BDA
∴AE=DE
所以△ADE是等腰三角形
探究2：数学思想之：正难则反—反证法
1、一个三角形中不可能有两个直角。
证明：假设直角三角形有两个直角
即：∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠C=0°（与三角形定义相矛盾）
∴假设不成立
所以一个三角形不可能有两个直角。
2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问
结论a +b ≠ c 成立吗？请说明理由。
假设a +b ＝c ，由勾股定理逆定理可知三角形ABC
是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛
盾。假设不成立，从而说明原结论a +b ≠ c 成
2立。
3、已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。
证明：
假设∠B=∠C
则AB=AC(等角对等边）
与已知条件AB≠AC相矛盾
所以假设不成立
所以∠B ≠ ∠ C。
4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。
证明：
假设AB=AC
则∠B=∠C(等边对等角）
与已知条件∠B≠∠C相矛盾
所以假设不成立
所以AB ≠ A C。
反证法的定义：
假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理
得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式
等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原
命题的结论成立的证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反
面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛
盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的
结论正确。
四、变式 例1：已知：在△ABC中,若∠C是直角， 利用反证法证 通过三个例题，达
求证：∠B一定是锐角. 明例题1、2、3 到掌握反证法证明
证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角 命题的步骤，会用
反证法证明命题。
找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°
这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾
当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；
结论：综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或
等于60°
已知：△ABC
3求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例 3: 若 a 、 a 、 a 、 a 、 a 都 是 实 数 ， 且
a1+a2+a3+a4+a5＝1，试说明这五个数中至少有一个大
于或等于
证明：假设5个数都小于 则
a +a +a +a +a = + + + + < 1
这与a +a +a +a +a ＝1相矛盾
因此假设不成立
所以这五个数中至少有一个大于或等于
五、尝试 基础达标： 进行课堂练习 引导学生能够在课
1、说出下列命题的反面： 堂练习的完成过程
（1a是实数。【a不是实数】 中对要点知识加深
（2）a不大于2。【a大于或等于2】 巩固，有效应用。
（3）至少有2个。【至多有1个】
(4) 最多有一个。【最少有2个】
2、用反证法证明“若a ≠ b ,则a ≠ b”的第一步是
a =b 。
3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝
DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 .
4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，
则该三角形的顶角为 40° 或 140° .
5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是
∠ B ＝∠ C 或 A E ＝ A D (添加一个条件即可）
第3题
第5题
6、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，
∠B=70°. 求证：AB=AC.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角
4形内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70° （已知），
∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质），
=180°－40°－70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换） ，
∴AB=AC
7 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求
证：AB=AC.
证明：∵ AB∥CD（已知） ，
∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位
角相等）.
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）.
能力提升：
8.华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如
下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们
看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩
下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，
说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地
说出自己戴的是白帽子
分析：
假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。
A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B和C都会看到一
个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任
何一个都应该能迅速推断出自己戴的是白帽子（因为如
果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这
与已知的只有两顶黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有
立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，
说明他们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是
两个白帽子。
因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽
子不是黑帽子，而是白帽子。
同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的
结论。
拓展迁移：
9.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，
求∠DCE的度数；
5(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线
AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝ 1
10° ；
(3)图3、4，△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D、E
在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数
(直接写出答案，用含n的式子表示）
解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝
135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－
90°＝45°；
（3）图3.∠DCE＝ n°；④图4，∠DCE＝ n°.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生进行 引导学生从知识内
1、等腰三角形的判断 课堂总结 容、研究方法以及
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 运用过程三个方面
也相等(简述为等角对等边） 总结自己的收获，
反证法基本步骤 让学生全面把握本
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反 节课的重点和难
面成立。 点，并启发学生用
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛 类比或迁移的方法
盾。 学习后续课程。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的
结论正确。
6板书设计 利用简洁的文字、
等腰三角形性质定理：如果一个三角形是等腰 符号、图表等呈现
三角形,那么这个三角形的两个底角相等。 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
互逆 命题
握知识，形成完整
等腰三角形判断定理：如果一个三角形有两个角
的知识体系。
相等，那么这个三角形是等腰三角形。
反证法的基本步骤：
① 反 设： ② 找矛盾：③ 结 论：
作业设计 基础达标：
（课外练 1、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的
习） 第一步是:设这个三角形是等腰三角形
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( C )
A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D ．至少有两个解
3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB.
(1)∠1= 36° ，∠2= 72° ，
图中的等腰三角形有 △ AB C 、△ DB A 、△ BC D
E
(2) 如果AD=4cm，则BC= 4c m .
(3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 5 个等腰三角形
4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( C )
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50°
5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条
件共有( C )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
则该等腰三角形的底边长为( A )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
能力提升：
7.有两个三角形，它们的三个角分别为
（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.
怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.
拓展迁移：
8.．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的
平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
4
71 2 3
解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：
AE平分∠BAC,∠1=∠2
AF平分∠CAD，∠3=∠4
∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∠2+∠3=90°
∴∠EAF=90°
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=∠B+90°，
∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）
即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90
得到2(∠B+∠1）=90°
∠B+∠1=45°
∴∠AEF=45°
∴△AEF是等腰直角三角形
教学反思
8
