文档内容
第一章 三角形的证明
1.2.2等腰三角形的判断导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。
2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆
命题的关系。
3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。
4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
学习重点：
理解“等角对等边”的判定定理，区分性质定理和判定定理.
学习难点：
反证法的推理过程.
►
预习自测
一、知识链接
一、等腰三角形有哪些特征：
1、等腰三角形的两腰 ；
2、等腰三角形的两个底角 ,（简称“ ”）；
3、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相 。（简称“ ”）
4、等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线所在的 .
二、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式。
1、如果 ,那么 。（性质定理）
2、如果 ，那么 。（判断定理）
命题1、2的关系式 的。
►
教学过程
探究1：等腰三角形的判断定理的证明
A
1、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰三角形
证明：作∠BAC的平分线AD
1 2
则∠1=∠2
C
在△BAD和△CAD中 B
D
1∠1=∠2
∠B=∠C
AD=AD ( )
∴ △BAD ≌ △CAD ( )
∴ AB= AC ( )
∴ ΔABC是等腰三角形 ( )
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为： ）
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
2、知识运用
如图1-14，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE是等腰三角形
证明：在△ABD和△DCA中
AB=CD BD=AC AD=AD
∴△ABD≌△DCA（ )
∴∠CAD=∠BDA（ ）
∴AE=DE（ ）
所以△ADE是等腰三角形
探究2：数学思想之：正难则反—反证法
1、一个三角形中不可能有两个直角。
证明：假设直角三角形有两个直角
即：∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°（ ）
∴∠C=0°（ ）
∴假设不成立
所以一个三角形不可能有两个直角。
2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a +b ≠ c 成立吗？请说明理
由。
证明：假设a +b ＝c ，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是（ ），且∠C=90°，
这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，
2从而说明原结论a +b ≠ c 成立。
1、已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。
证明：假设∠B=∠C
则AB=AC( ）
与已知条件AB≠AC相矛盾
所以假设不成立
所以∠B ≠ ∠ C。
4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。
证明：
假设AB=AC
则∠B=∠C( ）
与已知条件∠B≠∠C相矛盾
所以假设不成立
所以AB ≠ A C。
反证法的定义：
假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、
法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做
反证法。
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
典例精析
例1：已知：在△ABC中,若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角
找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°
这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾
当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；
结论：综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
3已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例3: 若a 、a 、a 、a 、a 都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1，试说明这五个数中至少有一个
大于或等于
证明：假设5个数都小于 则
a +a +a +a +a = + + + + < 1
这与a +a +a +a +a ＝1相矛盾
因此假设不成立
所以这五个数中至少有一个大于或等于
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、说出下列命题的反面：
（1）a是实数。 （2）a不大于2。
（3）至少有2个。 (4) 最多有一个。
2、用反证法证明“若a ≠ b ,则a ≠ b”的第一步是 。
3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .
4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 .
5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 (添加一个条件即可）
第3题 第5题
6、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC.
47 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.
.
能力提升：
8.华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽
子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们
睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
试分析为什么异口同声地说出自己戴的是白帽子
拓展迁移：
9.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE
的度数；
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE
＝ 110 ° ；
(3)图3、4，在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝
BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示）
5四、总结反思、拓展升华
1、等腰三角形的判断
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为等角对等边）
反证法基本步骤
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
五、【作业布置】
基础达标：
1、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步
是: 。
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D ．至少有两个解
3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB.
(1)∠1= ，∠2= ，
图中的等腰三角形有 , E
(2) 如果AD=4cm，则BC= .
(3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 个等腰三角形
4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50°
5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B
＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(
)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
则该等腰三角形的底边长为( )
6A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
能力提升：
7.有两个三角形，它们的三个角分别为
（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.
怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.
20°
20°
120°
100° 40°
60°
拓展迁移：
8.．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分
线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
课堂练习参考答案
1、（1）a不是实数；（2）a大于或等于2；（3）至多有1个；（4）最少有2个。
2、a =b
3、 6
4、40°或140°
5、∠B＝∠C或AE＝AD
6、证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70° （已知），
∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质），
=180°－40°－70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换），
7∴AB=AC
7、证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）
8、假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。 A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B
和C都会看到一个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任何一个都应该能迅速推断出自
己戴的是白帽子（因为如果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这与已知的只有两顶
黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，说明他
们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是两个白帽子。
因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽子不是黑帽子，而是白帽子。
同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的结论。
9、解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝
135°－90°＝45°；
（3）图3.∠DCE＝ n°；图4，∠DCE＝ n°.
课外作业参考答案
1、设这个三角形是等腰三角形.
2、C
3、(1) 36°，72°;△ABC、△DBA、△BCD (2) 4cm; (3) 5
4、C
5、C
6、A
7、
或
88、解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：
AE平分∠BAC,∠1=∠2
AF平分∠CAD，∠3=∠4
4
∠1+∠2+∠3+∠4=180° 1 2 3
∠2+∠3=90°
∴∠EAF=90°
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=∠B+90°，
∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）
即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90
得到2(∠B+∠1）=90°
∠B+∠1=45°
∴∠AEF=45°
∴△AEF是等腰直角三角形
9
