文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.2.3等边三角形教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 等边三角形 课时 1
1、理解等边三角形的有关概念，探索并证明等边三角形的性质；
课标 2、探索并掌握等边三角形的判断;
要求 3、理解并运用在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半.
教材选自北师大版数学八年级下册第一章第二节第3课时内容;等边三角形不仅是对前面所
学知识的综合应用，也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据.因此本节内容在
教材中，处于非常重要的地位和承前启后的作用.本节课从等边三角形的定义入手，引发学生通
教材 过多种途径对等边三角形的判定进行探究与证明，从角的角度出发，也考虑从边的角度出发，通
分析 过一个个问题的解决，激发学生探索问题的欲望，在分析问题和解决问题的过程中获得更多的
体验和经验.通过合作、探讨、拼图等实际操作，探索和发现等边三角形的判定以及含30°角的
直角三角形的性质定理，在小组学习中通过相互交流的方式学会探索问题和解决问题的基本方
法与策略.
学生在之前已经学习了等腰三角形、等边三角形的相关概念和性质，并具备了证明两个三
角形全等的能力，能够运用它们证明等边三角形的判定.刚进入初二下学期的学生观察、操作、
猜想能力较强，动手拼出等边三角形后，学生对它们有一定的感性理解．但演绎推理、归纳、运用
数学意识的思想比较薄弱, 所以教师需引导学生思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性.
学情 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操
分析 作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，能积极参与讨论；但自主探究和合作学
习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导.
学生的求知欲比较强，表现欲强，对探究几何图形的好奇心也比较强，在本节课的教学中，
可让学生从已有的知识出发，参与新知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交
流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法.
1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利
用这两个定理解决一些简单的问题.
核心 2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；
素养 经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初
目标 步的演绎推理的能力.
3、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服
困难的意志，建立自信心.
教学 ①等边三角形判定定理的发现与证明；
重点
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教学 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
难点
教学 课件、学案
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 复习旧知，思 复习旧知，为新
考2个问题。 授奠基。思考提出
问题，激发学生参
与课堂教学的热
情，使学生进入情
1境，引入新课．
1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
三、探究 合作探究，活动领悟 1、证明等边 探究一：通过对两
探究1：等边三角形的判定定理 三角形的判定 个命题的逻辑证
例题1、求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理1（三个 明，让学生明白数
已知：如图：△ABC中， A 角都相等的三 学上任何猜想都是
角形是等边三 需要经过证明才能
∠A=∠B=∠C.
角形）. 说明其正确性，并
求证：△ABC是等边三角形
C 2、证明等边 让学生学会用数学
证明： ∵∠A=∠B ∴BC=AC（等 B
三角形的判定 符号语言有条理地
角对等边）
定理2（有一 表达思维过程，发
∵∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
个角等于 60° 展推理能力，培养
∴AB=BC=AC (等量代换）
的等腰三角形 学生自主探究的学
∴△ABC是等边三角形。
是等边三角 习方法。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
形）. 探究二：通过小组
例题2 求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边
3、小结等边 活 动 拼 图 --- 猜
三角形。
三角形的判断 测--验证（多种方
已 知 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， A
4、小 组 活 法）来完成定理
AB=AC,
动，用两个含 《在直角三角形
∠A=60°（∠B=60°或∠C=60°）
30°角的全等 中，如果一个锐角
求证：△ABC是等边三角形。
B
C
的三角尺拼成 等于30°，那么它
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C （等边对等角）
一个等边三角 所对的直角边等于
∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60° 形。 斜边的一半》的探
∴∠A=∠B=∠C 5、猜想在直 究过程。
∴△ABC是等边三角形。 角三角形中，
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 如果一个锐角
小结：等边三角形的判定定理 等于 30°，那
由定义来判断：三条边都相等的三角形是等边三角形。 么它所对的直
由角来判断：三个角都相等的三角形是等边三角形。 角边等于斜边
由三角形来判断：①等腰三角形；②有一个角是60° 的一半．
探究2：含有30°的直角三角形 6、利用三种
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的 方法证明在直
三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什 角三角形中，
2么结论？说说你的理由. 如果一个锐角
结论： 等于 30°，那
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 么它所对的直
对的直角边等于斜边的一半． 角边等于斜边
例题3：如图 ， △ABC是直角三角形， 的一半．
∠C ＝90°， ∠A＝ 30°.
求证： BC＝ AB.
证法一
证明: 延长 BC 至 D,使 CD=BC,连
接AD
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°
∴∠ACD=90° ,∠B=60°
在△ABC与△ADC中
∵ BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,
∴△ABD是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形)
∴BC=CD= AB(等式性质).
证法二
证明: 在 AB 上截取 BD=BC,连接
CD
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60°∵BD=BC
∴△BCD是等边三角形
（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD= AD
∴ BD=AD= AB ∴ BC= AB
证法三
证明: 作∠BCD=60 °,交AB于D
∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°
∴∠B=60° ∴∠BDC=60°
∴△BCD是等边三角形
（三个角是60度的三角形是等边三
3角形）
∴ BD=CD, ∠BDC=60°
∴∠BAC= ∠DCA= 30°
∴ CD=AD
∴ BD=AD= AB
∴ BC= AB
课堂小结：定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于
30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
数学语言：在△ABC 中，
∵∠C =90 °，∠A =30 °
∴ BC = AB
四、变式 例： 求证: 如果等腰三角形的底角为15°, 那么腰上 完成例题的学 设计例题目的是运
的高是腰长的一半. 习 用知识解决问题
已知：如图1-18，ABC中，AB=AC，∠B= 15°, CD是腰
AB上的高
求证: CD= AC
证明: 在△ABC 中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15° (等边对等角),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+ 15°= 30°
(三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和).
∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°
∴CD= AC (在直角三角形中, 如果有一个锐角等
于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
五、尝试 基础达标： 完成课堂作业 引导学生能够在课
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则 堂练习的完成过程
△ABC的周长为（ C ）. 中对要点知识加深
A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 巩固，有效应用。
2.已知△ABC的三边长 a、b、c 满足∣a -b∣+( b
-c) 2 = 0，则该三角形是 等边 三角形.
3.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，
∠AON = 60°，当OP = a
时， △AOP为等
边三角形.
4第3题 第4题
4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一
点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ C ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则
△ABC的形状是（ A ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．不确定
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分
∠CAE．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥CB，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
能力提升：
7. 如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上
的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为
30° 或 75° 或 120° ．
【解答提示：提示：分三种
情况求解，①OC=CE，
②OC=OE
③CE=OE】
拓展迁移：
8. 如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，
∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
解：延长AD、BC交于E，
∵∠A=30°，∠B=90°，
5∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°
∴∠ECD=60°
∴△EDC是等边三角形，
设CD=x
AE=4+x
BE=1+x
则2（1+x）=4+x
解得x=2
∴CD=2
六、提升 （1）等边三角形的判定方法： 引导学生进行 引导学生从知识内
定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 课堂小结 容、研究方法以及
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 运用过程三个方面
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边 总结自己的收获，
三角形． 让学生全面把握本
（2）含30°角的直角三角形的性质： 节课的重点和难
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 点，并启发学生用
对的直角边等于斜边的一半． 类比或迁移的方法
学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、
A 符号、图表等呈现
等边三角形
本节课的新知，可
AB=AC=BC（定义）
∠A=∠B=∠C=60°（性质） 以帮助学生理解掌
如AB=AC,∠A或∠B或∠C是60°
B C 握知识，形成完整
△ABC是等边三角形
的知识体系。
△ABC,∠B=90°∠A=30°
则BC= AC
作业设计 基础达标：
（课外练 1.如图1，△ABC是等边三角形，AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为 12cm .
习） 2.如图2，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC,垂直为D,若CD=1,则AB= 2 .
3.如图3，在R t △ ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°,CD是△ABC的高，且BD=1,则AD= 3 .
A D A B
D
(1) B C ( B 2) D (3) C C A
4．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则
BD的长为（ D ）
6A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3
5．如图，在中，AB=AC=4，∠B=∠C=15°．则△ABC的面积为（ B ）
A．16 B．4 C．6 D．8
第4题 第5题
6．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED+∠C＝70°，
∴∠BDE＝∠A+∠AED＝105°．
能力提升：
7. 如图，已知等边△ABC和等边△ADE，其中点A、D、B在同一条直线上，连接BE交AC于点M，
连接DC交AE于点N，BE和DC交于点P，则下列结论中：（1）MN∥BD；（2）∠BPC=60°；（3）
DN=DE；（4）△BAM≌△CAN．（5）△AMN是正三角形，正确的个数有（D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
拓展迁移：
8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点，点E、F分别在AB、AC边上运
动，且始终保持BE=AF，连接DE、DF、EF.
(1)求证：△ADE≌△CDF
(2)判断△CEF的形状，并说明理由；
(3)求四边形AEDF的面积；
(4)若BE=2，求EF的长．
解：(1)证明：
7∵∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点
∴∠B=∠C=45°，∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°AD=BD=DC
∵AB=AC,BE=AF
∴AE=FC
在△ADE和△CDF中
∠DAB=∠C，AD=DC,AE=FC
∴△ADE≌△CDF
(2)△CEF是等腰直角三角形
∵△ADE≌△CDF
∴DE=DF,∠FDC=∠ADE
∵∠FDC+∠ADF=90°
∴∠EDF=∠ADF+∠ADE=90°
∴△CEF是等腰直角三角形
（3）∵△ADE≌△CDF
（4）∵AB=AC=3，BE=AF=2
∴AE=3-2=1
在Rt△AEF中
教学反思
8
