文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1. 5.2三角形的角平分线教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 三角形的角平分线 课时 1
1、借助角平分线的性质定理和判定定理，推导出三角形角平分线的性质，并能灵活运用解决实
课标 际问题．
要求 2、能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
《角平分线》北师版八年级下册第一章三角形的证明第五节的内容，本节共2课时，该教学
设计为本节的第2课时，主要学习如何运用角平分线的性质定理及判定定理推导出三角形角平
分线有关知识。角平分线性质定理及判定定理在初中几何中主要用于证明两条线段相等与如何
教材 证明一个点在角的平分线上，通过本节课的学习让学生能够熟练地对角平分线的性质定理及判
分析 定定理灵活的理解与应用。同时本节课的学习为学生在九年级对三角形内心的学习做好铺垫作
用。在培养学生学科素养方面，通过本节课的学习主要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建
模等数学学科核心素养。
本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规
范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积
学情 累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识
分析 强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问
题.所以本节课学生对角平分线的性质定理和判定定理能够准确把握，但在添辅助线时会遇到
困难.
1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的
性质.
核心
素养 2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
目标 3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实
际问题．
教学 三角形角平分线的性质的证明.
重点
教学 添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两 1、学生独立 1、温故知新，通过
边距离相等. 回答角平分线 复习回顾，关注学
符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一 的性质定理和 生符号语言表达的
点PD⊥OA,PE⊥OB, 判断定理。 准确性。
∴PD=PE.
2、完成课本
2、课前设计课本
38 页 例 题 2
2、角平分线判断定理：在一个角的内部,且到角的两边 38 页例题 2 的学
的学习
距离相等的点,在这个角的平分线上. 习，目的是巩固角
符 号 语 言 ;∵ P 在 ∠ AOB 的 内 平分线的性质定理
部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, 和判断定理，为本
∴OP平分∠AOB. 节课的新授三角形
的角平分线铺垫。
13、如图,在△ABC 中,已知 AC=BC,∠C=900,AD 是
△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例
题2）
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解：(1)∵AD是△ABC的角平
分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
∴ BE=DE=4（等角对等边）
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
(2) 证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
∴在Rt△ACD和Rt△AED中
DE=CD AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE( 全等三角形对应边相等）
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
二、引新 创设情境，引入课题 学生独立思 激发学生的求知
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭 考，并上台展 欲，顺利导入新课
供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭 示自己的思
的位置应选在什么地方？ 路。
A
B
C
三、探究 探究一;三角形的角平分线 1、作三角形 1、通过动手操作
1、分别作出△ABC的三条角平分线 的角平分线。 发现三角形三条角
2、猜测三角 平分线交于一点，
2A A 形三条角的平 培养学生动手操作
A
分线相交于一 能力。使学生经历
点。 “动手操作—猜想
B C B C B C
3、证明猜测 —画图—改写—证
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么
4、课堂小结 明”这一系列的探
三角形？
三角形角平分 究过程，培养学生
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
线的性质。 分析问题能力、表
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
5、合作探究 达能力，规范学生
2、作品展示
三角形的垂直 的几何书写能力。
平分线和角平 2、设计小组探究
分线的不同的 三角形三边的垂直
（注意不同类 平分线的交点与三
型的三角形） 条角平分线的交点
6、完成导入 有什么不同。使学
3、发现：三角形的三条角平分线相交于一点.并 且 这
新课的问题 生准确的说出三角
点到三边的距离相等
形三边垂直平分线
4、证明发现
与角平分线交点性
已知：如图，设△ABC的
质的区别。便于以
角平分线．BM、CN相交
后运用知识解决问
于点P，
题不产生混淆概
证明：P点在∠BAC 的
念。
角 平 分 线 上 ． 且
PD=PE=PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F
是垂足．
∵BM是△ABC平分线，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相
等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角
的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF
5、课堂小结：
三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一
点,并且这一点到三边的距离相等.
3几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH 分别是△ABC 的三条角平分线,且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
探究二：三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分
线的交点有什么不同?
三条垂直平分线 三条角平分线
锐角三角形 交于三角形内部 交于三角形内
直角三角形 交于斜边中点 部一点
钝角三角形 交于三角形外部
交点性质 到三角形三个顶点 到三角形三边
的距离相等（外接 的距离相等（内
圆圆心） 接园圆心）
问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上
建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在什么位置？
由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所
以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如
图所所示.
A
P
B
四、尝试 基础达标： C 学生完成课堂 引导学生能够在课
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40， 练习 堂练习的完成过程
其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO： 中对要点知识加深
S△BCO：S△CAO等于（ C ） 巩固，有效应用。
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论
一定正确的是（ D ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB
D．点F到三角形三边的距离都相
4等
第 1题
第2题
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP
的面积为（ C ）
A．16 B．20 C．40 D．80
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=
2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= 16. 8 .
第3题 第4题
5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列
结论一定正确的是（ D ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，
适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别
以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点
P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD
的面积是（ B ）
A．15 B．30 C．45 D．60
第5题
第6题
能力提升：
7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，
CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ
的最小值为（ C ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过
P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以
PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积
是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的
最小值是4.
拓展迁移
8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，
PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD
于点N．
求证：PM=PN
解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，
AB=BC,BD=BD
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点
引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E
点、分别交AD、A于点G，H．
(1)求证：
(2)若AH=AG；
①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；
②说明．BH=2OE
(1)证明：∵BE⊥OF于E点，
6∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°=∠BEO
∵∠ABH+∠BHA=90° ， ∠ AOF+∠OHE=90° ，
∠BHA=∠OHE，
∴∠ABH=∠AOF
在△ABH和△AOF中
∠ABH=∠AOH
∠BAH=∠OAF=90°
AB=AO
(2)解：①BE是△OBF是角平分线．
理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD
∵AD⊥BO于D点，
∴∠GBD+∠BGD=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠ABH+∠AHB=90°，
∴∠GBD=∠ABH，
∴BE是△OBF是角平分线．
②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，
∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF
在△BOE和△BFE中
∠EBO=∠EBF
∠BEO=∠BEF=90°
BE=BE
∴△BOE≌△BFE(AAS)
∴EF=OE=
∴BH=2OE．
五、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生进行 引导学生从知识内
1、三角形角平分线定理 课堂总结 容、研究方法以及
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边 运用过程三个方面
的距离相等. 总结自己的收获，
让学生全面把握本
几何语言
节课的重点和难
如图,在△ABC中,
点，并启发学生用
∵BM,CN,AH 分别是△ ABC
类比或迁移的方法
的 三 条 角 平 分 线 , 且
学习后续课程。
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点
7垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆
心）
角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
板书设计 三角形角平分线定理: 利用简洁的文字、
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 符号、图表等呈现
几何语言 本节课的新知，可
如图,在△ABC中, 以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角
的知识体系。
平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴ BM,CN,AH
相交于一点P,且PD=PE=PF
作业设计 基础达标：
（课外练 1．下列命题是真命题的是（ D ）
习） A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（
C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题 第3题 第4题
3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ C ）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于 的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= 1 .
5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,
且直线DE交OB于F,若DE=2,则DF= 4 .
6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,
点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD= 3 或 5 .
第5题 第6题 第7
8题
能力提升：
7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：
①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是 ①②④ ．
【解答提示】：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对
应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、
N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平
分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成
立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。
所以正确的答案是：①②④
8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC
于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+1//2∠A;③点O
到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ A ）。
A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④
第8题 第9题
拓展迁移：
9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分
∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：
（1）证明：DE=DF；
（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长
(1)证明：连接AD，
∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴AD分别平分∠CAB
在△ADE和△ADF中
AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD
∴△ADE≌△ADF
∴DE=DF
(2),∠A=60°,AE=AF
∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60°
在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF
△CDN≌△CDF(SAS)
∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120°
∠DNM=60°
同理DE=DM，∠DMB=60°
∴△DMN是等边三角形，
9设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x,
AE=AF=EF=2x
BM=BE=AB-AE=8-2x
CN=FC=AC-AF=5-2x
BC=BM+MN+CN
即7=8-2X+X+5-2X
求出X=2
EF=2X=4
教学反思
10
