文档内容
第一章 三角形的证明
1.5.1角平分线导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是
互逆定理。
2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.
3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
学习重点：
正确证明角平分线性质定理及判定定理.
学习难点：
正确证明角平分线判定定理.
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预习自测
知识链接
1、拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
2、画∠AOB的平分线
①、以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N
②、分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交
于C
③、连接OC，OC就是∠AOB的平分线
3、你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理
性质定理： .
判定定理： .
►
教学过程
1探究一：证明性质定理
已知：如图 1-30，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 °
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（ ）
∴ PD=PE（ ）.
【强调】
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距 离
相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
∴ PD=PE
探究二：证明判断定理
角平分线性质的逆定理是： .
已知：如图1-31 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EO（HL）.
∴ ∠1 =∠2（ ）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
【强调】：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（ ）.
2又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（ ）.
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，
F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数
证明（1）：连接AD.
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点
E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
证明：
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∴ ∠EBD= ∠ A= 30°
∵∠C＝90°,∠A=30°
∴∠ABC＝60°
∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°
∴∠CBE=∠EBD
∴BE平分∠ABC
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
3C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A= .
3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为
点E，若BD＝3，则DE的长为( )
A．3 B．4 C．2 D．6
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6
cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
第3题 第4题 第5题
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M
和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，
则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠ABC的平分线； ②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④
A.1 B.2 C.3 D.4
能力提升：
7.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与
∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( )
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
4第6题 第7题 第8题
拓展迁移
9．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
10.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交
BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．
四、总结反思、拓展升华
1、角平行的尺规作图
2、角平分线的性质定理；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3、角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
4、角平行的性质定理和判断定理是互逆定理。
五、【作业布置】
基础达标：
1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数
（ ）
A．20° B．30° C．60° D．120°
52．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第1题 第2题 第3题
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点
M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点
D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
4.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝
4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24 B．30 C．36 D．42
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是
.
第4题 第5题 第6题
6.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P,求证PA是∠CAB的平分线
能力提升：
7.如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公
路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
6拓展迁移：
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
9.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
(2)如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请
说明理由．
课堂作业参考答案
1、D
2、20°或100°
3、A
4、A
5、A
6、D
7、A
8、B
9、(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
7∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
(2)在△BCE和△NCE中
BE=EM，EC=EC
∴△BCE≌△NCE
∴BC=CM
同理AD=DM
AD+BC=DM+CM=CD
∴AD+BC=CD
10、证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD
∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠CAD=∠BAD
∴∠EPD=∠FPD
∴PD∠EPF的角平分线
∴点D到PE和PF的距离相等．
课外作业参考答案
1、B
2、B
3、B
4、B
5、4
6、证明：过P分别向AB、BC、AC,作垂线，
交AB于F,交BC于H,交AC于M,如图，
∵BD是∠CBF的平分线
∴PH=PF
∵CE是∠BCM的平分线
∴PM=PH
∴PF=PM
PA是∠CAB的平分线
7、D
解答提示：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，选择三角形的两个外角角平分线的交点即可
达到度假村到三条公路距离相等，A、B、C区都能找到一个点。选择三角形内角平分线的交点，能
8找到一个点。故有4个地址可以选择。
8、（1）证明
∵∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线
DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC
（2）∵△ABC的面积等于6
∴
∵DE=DC
∴4×DE+5×DE=12
DE=
9、（1）AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC
证明过程如下
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∵∠CDA=∠CBA=90°
∴∠ACD=∠ACB=30°
AC=2AD, AC=2AB
∴AD+AB=AC
（2）AD+AB=AC仍然成立，证明过程如下
过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN ∴CF=CE
∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°
∴∠CDE=∠ABC,∠CEA=∠CFB
∴△BCF≌△DCE
∴ED=BF
AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC
∴AD+AB=AC
9
