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1.5-1.6 平方差公式、完全平方公式
1、平方差公式
两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。
(a+b)(a−b)=a2 −b2
2、完全平方公式
两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
(a+b) 2 =a2 +b2 +2ab (a−b) 2 =a2 +b2 −2ab
(a+b) 2 =a2 +b2 (a−b) 2 =a2 −b2
常见错误：
题型一：运用平方差公式进行运算
1．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（ ）
A．1 B． C．3 D．不能确定
2．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a＋b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a＋2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a＋3b） D．（ ）（﹣ ）
3．（2021·黑龙江大庆·七年级期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A． B．32 C． D．
题型二：平方差公式与几何图形
4．（2022·上海金山·七年级期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）A． B．
C． D． ．
5．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的
小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方
差公式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021·广东深圳·七年级期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得
图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面
积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
题型三：运用完全平方公式进行运算
7．（2021·江苏淮安·七年级期末）计算： （ ）A． B． C． D．
8．（2021·浙江湖州·七年级期末）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
9．（2022·江苏·七年级专题练习）式子 加上哪一项后得 （ ）
A． B． C． D．0
题型四：完全平方公式的变形求值
10．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知 ， ，那么 的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
12．（2021·辽宁·辽阳石油化纤公司教师学校七年级期中）若 ， ，则 的值是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
题型五：完全平方公式在几何图形的应用
13．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）如图，已知点C是线段AB上的一动点，分别以AC，
BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB＝8，且两正方形的面积和为S＋S＝36．则图中阴影部分
1 2
的面积为（ ）
A．7 B．7.5 C．14 D．15
14．（2021·山东威海·七年级期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正
方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，
②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
15．（2022·江苏·七年级专题练习）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个
正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长
方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
题型六：完全平方式
16．（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）若 是完全平方式，则 的值为（ ）
A．16b2 B．4b2 C．±8b2 D．±16b2
17．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．±3
18．（2021·四川达州·七年级期末）若代数式x2﹣16x+k2是完全平方式，则k等于（ ）
A．6 B．64 C．±64 D．±8
一、单选题
19．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．20．（2022·河北石家庄·八年级期末）计算 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·山东威海·期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣b2 B．a2+b2 C．ab D．2ab
23．（2022·重庆·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a3）2＝a5
C．a5÷a3＝a2 D．a3+a2＝a5
24．（2022·福建漳州·期末）下列计算正确的是（ ）
A．（m3）2＝m5 B．3m2n•mn＝3m3n2
C．（m﹣2）（m+1）＝m2﹣m+2 D．（m﹣1）（1﹣m）＝m2﹣1
25．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a-
b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．C． D．
26．（2022·吉林·长春市第八十七中学一模）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝ ，b
＝﹣6．
27．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）用乘法公式计算：
(1)1002－200×99＋992；
(2)(x－2y＋3z)(x－2y－3z)．
一：选择题
28．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知a，b为实数，满足ab>0，且 ，当a－b为整数时，ab的值为
（ ）
A． 或 B．1或 C． 或1 D． 或
29．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级开学考试）如果 是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．9 B．±9 C．18 D．±18
30．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(m＋1)(m－1)＝m2－1
C．(2x－1)2＝2x2＋4x－1 D．(a＋1)2＝a2＋1
31．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）下列式子中一定成立的是（ ）
A．（x＋2y）2＝x2＋4y2 B．（x＋5）（x－2）＝x2－10
C．（－x＋y）2＝（x－y）2 D．（x＋2y）（x－2y）＝x2－2y2
32．（2022·广东广州·八年级期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示
的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）A． B．
C． D．
33．（2022·广东中山·八年级期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若 ， ，则阴影部分的面
积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
34．（2022·山东临沂·八年级期末）已知 ，则 的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．-2 D．
35．（2022·天津和平·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
36．（2022·黑龙江·云山农场中心学校七年级期末）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的
黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚
人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，
第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步： 设两因数分别为a和b，写出蕴含其中
道理的整式运算（ ）
A．B．
C．
D．
二、填空题
37．（2022·福建漳州·八年级期末）若a2﹣b2＝6，a+b＝2，则a﹣b＝_____．
38．（2022·广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）计算：12－22＋32－42＋52－62＋…＋1992－2002＝
________．
39．（2022·山东淄博·八年级期末）已知，实数 满足 ，则 _______．
40．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）若 是关于x的完全平方式，则 ________．
41．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知x，y满足 ．
（1） 的值为___________；
（2）若 ，则 的值为___________．
42．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x，y的多项式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，则k＝_____．
43．（2022·重庆永川·八年级期末）已知x、y均为实数，且 ， ，则 ______．
44．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和
BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S+S＝60，则图中阴影部分的面积为 _____．
1 2
三、解答题
45．（2022·吉林长春·八年级期末）先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a= ．
46．（2022·福建省诏安县第一实验中学七年级阶段练习）用简便方法计算下列各题：(1) ；
(2) ．
47．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：
(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
(2)若a＋ ＝3，那么a2＋ ＝_____；若a－ ＝3，那么a4＋ ＝_____．
48．（2022·江西·南昌市外国语学校八年级期末）已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
49．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a
的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，
C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为 ；
(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
50．（2022·福建泉州·八年级期末）乘法公式 给出了 、 与 的数量关系，灵活的
应用这个关系，可以解决一些数学问题．(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值；
(3)如图，点 、 分别在正方形 的边 、 上，且 ，以 为一边作正方形 ，以
的长为边长过点 作正方形 ，若长方形 的面积是 ，求阴影部分的面1．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式即可求出答案．
【详解】
解： ， ，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
2．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式为 逐项判断即可．
【详解】
A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式 ，符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．原式 ，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式 只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式为 是解答本题的关键．
3．C【解析】
【分析】
先在前面添加因式(2−1)，再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值．
【详解】
解:
=
=
=
= ，
∵ ,
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式(2−1)然后就能依次利用平方差公式计算了．
4．C
【解析】
【分析】
根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案．
【详解】
解：如图，由于S B=S C，
长方形 长方形
因此有S A+S B=S A+S C，
长方形 长方形 长方形 长方形
而S A+S B=（a+b）（a-b），
长方形 长方形
S A+S C=S A+S C+S D-S D，
长方形 长方形 长方形 长方形 长方形 长方形
=a2-b2，
∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，
故选：C．【点睛】
本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为 、宽为 ）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积
等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为 、宽为 ）的
面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得．
【详解】
解：图①：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分面积为 ，
则有 ；
图②：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分是一边长为 ，这条边上的高为 的平行四边形，
其面积为 ，
则有 ；
图③：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分面积为 ，
则有 ；
图④：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分是一边长为 ，这条边上的高为 的平行四边形，
其面积为 ，
则有 ；
综上，能够验证平方差公式的有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
设正方形 的边长分别为 ，由图甲和图乙，建立关系式，再根据图丙的阴影部分面积结合关系式即可求得．
【详解】
设正方形 的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形，求一个数的平方根，平方差公式，完全平方式与几何面积，解题的关键是掌握
完全平方公式．
7．A
【解析】
【分析】
根据完全平方公式展开即可得．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查整式乘法中的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式得到 ①， ②，然后把两个等式相加即可得出结论．
【详解】
解：∵ ，
∴ ①，
∵ ，
∴ ②，
①＋②得， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟知 是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式 ，即可求出答案．
【详解】
解：由于 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式 ，本题属于基础题型．
10．A【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】
解： ， ，
，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握： ．
11．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式求出 ，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
所以
故选：D
【点睛】
考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
把 两边平方，利用完全平方公式化简，将 代入计算即可求出 ，由此即可求得答案．【详解】
解：∵
∴两边平方得： ，
即： ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
13．A
【解析】
【分析】
设大正方形边长a，小正方形边长b，利用完全平方公式的展开求ab的值，再求阴影面积；
【详解】
解：设AC=a，BC=b，则a＋b=8，
∴ =64，
∵两正方形的面积和为S＋S＝36，
1 2
∴ =36，
∴2ab=64-36=28，即ab=14，
∴阴影部分面积= =7
故选：A
【点睛】
此题考查完全平方公式 的几何运用，熟记公式是解题关键．
14．D
【解析】
【分析】
由大的正方形的边长为 结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，
再利用 结合 可判断③，再由 可判断④，从而可得答案.【详解】
解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则 （负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的
变形求值是解本题的关键.
15．B
【解析】
【分析】
设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
【详解】
解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，
即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，即长方形的面积为8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方
法．
16．A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 的值．
【详解】
解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构进行求解即可． 为首位两数乘积的2倍．
【详解】
∵x2+kx+9＝x2+kx+32，x2+kx+9是完全平方式，
∴kx＝ ，
解得k＝±6．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要
熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
18．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式解答即可．
【详解】
解：∵x2﹣16x+k2是一个完全平方式，
∴x2﹣16x+k2=x2﹣16x+64，
∴k=±8．故选：D．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题
的关键是利用平方项来确定这两个数．
19．D
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能
进行运算，即可求解．
【详解】
解：A、 ，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、 ，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、 ，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、 ，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式 是解此题的关键．
20．A
【解析】
【分析】
根据平方差公式直接计算即可．
【详解】
解：原式＝（0.1x）2﹣（0.3y）2
＝0.01x2﹣0.09y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
21．A
【解析】
【分析】
按照从左到右的顺序依次利用平方差公式进行计算．【详解】
解：（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1），
=（a2-1）（a2+1）（a4+1），
=（a4-1）（a4+1），
=a8-1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，难点在于连续利用公式进行运算．
22．D
【解析】
【分析】
根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】
解：阴影部分的面积为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解
答的关键．
23．C
【解析】
【分析】
根据整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即本选项错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，即本选项错误，不符合题意；
C、a5÷a3＝a2，即本选项正确，符合题意；
D、a3，a2不是同类项，不能合并，即本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、幂
的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．
24．B
【解析】【分析】
根据幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式即可求出答案．
【详解】
解：A、原式=m6，故A不符合题意．
B、原式=3m3n2，故符合题意．
C、原式=m2-m-2，故C不符合题意．
D、原式=-（m-1）（m-1）=-m2+2m-1，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查幂的乘方、整式的乘法、多项式乘多项式、完全平方公式，本题属于基础题型．
25．D
【解析】
【分析】
从整体直接列式和从部分和差计算列式表示出所剪去的正方形的面积，可得到此题的结果．
【详解】
解：∵所剪去正方形的面积可表示为（a-b）2和a2+b2-2ab，
即（a-b）2=a2-2ab+b2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整式表示其面积．
26． ， ．
【解析】
【分析】
先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将 的值代入计算即可得．
【详解】
解：原式
，
将 代入得：原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．
27．(1)1
(2)x2－4xy＋4y2－9z2
【解析】【分析】
（1）逆用完全平方公式计算即可；
（2）先用平方差公式，再用完全平方公式计算．
(1)
解：原式=1002－2×100×99＋992=(100-99)2=1；
(2)
解：原式=(x－2y＋3z)(x－2y－3z)
=(x-2y)2-(3z)2
= x2－4xy＋4y2－9z2．
【点睛】
此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是
(a+b)(a-b)=a2-b2．
28．C
【解析】
【分析】
根据 ，可得 ，变形得出 ．设 ，可得到 ，
根据a−b为整数，ab>0，即可确定t为0或1，问题得解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ，即 ．
∵a−b为整数，ab>0，
∴t为0或1，
当t=0时，ab=1；
当t=1时，ab= ；
故选：C
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母的取值范围是解题关键．29．D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式形式，这里首末两项是 和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 和9乘积的2倍．
【详解】
解： 是一个完全平方式，
首末两项是 和9这两个数的平方，
，
解得 ．
故选：D．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要
熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
30．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可．
【详解】
解：A、（a＋b）（b－a）＝b2－a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（m＋1）（m－1）＝m2－1，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（2x－1）2＝4x2－4x＋1，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a＋1）2＝a2＋2a＋1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是
(a+b)(a-b)=a2-b2．
31．C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式逐项排查即可解答．
【详解】
解：A、（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2，故本选项错误；
B、（x＋5）（x－2）＝x2＋3x－10，故本选项错误；
C、（－x＋y）2＝（x－y）2，故本选项正确；
D、（x＋2y）（x－2y）＝x2－4y2，故本选项错误．故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的
关键．
32．C
【解析】
【分析】
整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用1个小正方形的面积加上4个矩形的面积表示，然后让这
两个面积相等即可．
【详解】
∵大正方形边长为： ，面积为： ；
1个小正方形的面积加上4个矩形的面积和为： ；
∴ ．
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．
33．C
【解析】
【分析】
根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】
解：阴影部分面积等于
∵ ， ，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
【点睛】
本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
34．C【解析】
【分析】
先将原式变形为 ，再根据完全平方公式，可得 ，从而得到
，进而得到 ，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
35．D
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案．
【详解】
解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意；
B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意；
C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意；
D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键．
36．D【解析】
【分析】
先观察题干实例的运算步骤，发现 对应的数即为 从而可得出结论.
【详解】
解：由题意得：
故选D
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“ ”是解本题的关键.
37．3
【解析】
【分析】
根据平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2即可得出答案．
【详解】
解：∵a2-b2=6，
∴（a+b）（a-b）=6，
∵a+b=2，
∴a-b=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键．
38．－20100
【解析】
【详解】
原式＝
－20100，
=故答案为：－20100
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，运用平方差公式进而转化为若干个连接自然数的和是解题的关键．这里还用到了若干个连续自然数的和的计算方法： (首项+末项) 项数．
×
39．2022
【解析】
【分析】
由 得 ，对 化简，将 用 多次等量替换，计算求解即可．
【详解】
解：∵
∴
故答案为：2022．
【点睛】
本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于 的等量替换．
40．
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值．
【详解】
解： 是关于 的完全平方式，
，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
41． 1；【解析】
【分析】
（1）把x−y看成一个整体，利用完全平方公式求解；
（2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论．
【详解】
（1） ，
，
，
；
（2） ，
，
．
故答案为：（1）1；（2） ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式等知识点．掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键．
42．4或-4
【解析】
【分析】
根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得：k＝±4．
故答案为：4和−4．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．
43．7
【解析】
【分析】根据 可得出 ，再展开，将 代入，即可求出 的值．
【详解】
解：∵
∴ ，
∴ ，
将 代入上式，得：
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键．
44．10
【解析】
【分析】
设AC=m，BC=n，可得m+n=10，m2+n2=60，然后根据完全平方公式求出 mn即可．
【详解】
解：设AC＝m，BC＝n，
∵AB＝10，
∴m+n＝10，
又∵S+S＝60，
1 2
∴m2+n2＝60，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴102＝60+2mn，
∴mn＝20，
∴S ＝ mn＝10，
阴影部分
即：阴影部分的面积为10．
故答案是：10．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．
45．3a-2，- ．【解析】
【分析】
先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．
【详解】
解：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3）
=2（a2-1）-2a2+3a
=2a2-2-2a2+3a
=3a-2，
当a= 时，
原式=3× -2
= -2
=- ．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构是解题关键．
46．(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平方差公式进行求解即可；
（2）利用完全平方差公式进行求解即可．
(1)
解： ，
，
，
；
(2)
解： ，
，
，
．【点睛】
本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形．
47．(1)a＋b＝±2；a－b＝0
(2)7，119
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可；
（2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可
(1)
解：∵a2＋b2＝2，ab＝1，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；
（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．
(2)
解：∵a＋ ＝3，
∴
若 a－ ＝3，
∴
故答案为：7,119
【点睛】
本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键．48．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键．
49．(1) ，
(2) =
(3)a+b，a+2b
(4)①11；②16
【解析】
【分析】
（1）方法1 由图知，大正方形的边长为a+b，则可求得正方形的面积；
方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的两个小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；
（2）由（1）知，可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）由于 ，从而可得长方形相邻两边的长；
（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab的值；
②考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1，利用（2）中的等量
关系即可求得结果．
(1)
方法1 由图知，大正方形的边长为a+b，则大正方形的面积为 ；
方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，所以大正方
形的面积为 ；
故答案为：方法1 ；方法2
(2)
由（1）知： 、 均表示同一正方形的面积，所以 =
故答案为： =
(3)
由于
所以面积为a2+3ab+2b2的长方形相邻两边长为a+b，a+2b
故答案为：a+b，a+2b
(4)
①∵ =
即
∴ab=11
②∵x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1
∴
即
∴∴
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用等知
识，注意数形结合．
50．(1)19
(2)195
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式进行解答即可得；
（2）将 进行变形 ，进行解答即可得；
（3）根据正方形的性质得 ， ，则 ，根据边的关系得 ，根据长方形
的面积是 得 ，根据完全平方公式得 ，则 ，
，又因为 ，所以 ，即可得阴影部分的面积．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ．
(2)
解：∵ ，
∴ ，
即 .
∴ ．
(3)
解：∵四边形 和 都是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ .
∴ ，
∵长方形 的面积是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
