1.5-1.6乘法公式-题型·技巧培优系列2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送

1.5-1.6 乘法公式 平方差公式 知识点一 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意 “-”的处理。 完全平方公式 知识点二 完全平方和（差）公式：(ab)2 a2 2abb2 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公 式的形式 拓展：利用(ab)2 a2 2abb2 可推导除一些变式 1 ①a2 b2 (ab)2 2ab(ab)2 2ab (ab)2 (ab)2   2 1 ②2ab(ab)2   a2 b2   a2 b2 (ab)2  (ab)2 (ab)2   2 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有 (ab)2、(ab)2、a2b2、ab等模块，都可以通过 (ab)2与(ab)2相结合推导出来。题型一 乘法公式的基本运算 【例题1】下列运算正确的是（ ） A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意； B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意； C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意； D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 解题技巧提炼 套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接 套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的 变形 2a3b2a3b 【变式1-1】计算 的正确结果是（ ）4a2 9b2 4a2 9b2 4a2 12ab9b2 4a2 12ab9b2 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式计算即可判断． 2a3b2a3b 4a2 9b2 【解析】 ．故选：B． 【变式1-2】下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） (a2b)(a2b) (a5)(a5) (2x1)(12x) (2x y)(2x y) A． B． C． D． (ab)(ab)a2 b2 【分析】运用平方差公式 时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方 减去相反项的平方． 【解析】解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；A、B、D中均存在相同和相反的项， 故选：C． 【变式1-3】下列关系式中，正确的是（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【解答】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误； B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误； C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误； D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确； 故选：D． 【变式1-4】下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x） 【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可． 【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣ 3y）2， 故选：D． 【变式1-5】下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）1 1 C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（ a+1）（− a−1） 3 3 【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； 【解答】解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本选项符合题意； C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合 题意； 1 1 D．原式＝﹣（ a+1）（ a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题 3 3 意； 故选：B． 题型二 完全平方公式（求系数的值） 【例题2】若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ） A．6 B．12 C．±12 D．±6 【分析】根据完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣ 12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，从而得到m的值． 【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式， ∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2， 即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9， ∴m＝12或m＝﹣12， 故选：C． 解题技巧提炼 根据完全平方公式推断出多项式里各项的系数. xa2  x2 10xb 【变式2-1】如果 ，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D． 【变式2-2】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．4 B．16 C．±4 D．±16 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式， ∴m2＝16， 解得：m＝±4． 故选：C． 25x2 20n1x8n 【变式2-3】已知 是一个关于x的完全平方式，则常数n=_______． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值． 【解析】解：∵25x2＋20（n−1）x＋8n是一个关于x的完全平方式， 2n 2n 25x2＋20（n−1）x＋8n＝（5x）2＋2×5x×2（n−1）＋（2 ）2，∴2（n−1）=±2 ， 3 3 解得：n＝2± ，故答案为：2± ． 【变式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ± 4 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数）， ∴m＝±2， ∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2， ∴k＝±4． 故答案为：±4． 【变式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ 3 或﹣ 1 ． 【分析】根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可． 【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式， ∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2， 解得：m＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 题型三 完全平方公式的几何背景【例题3】有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的 正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ） A．13 B．19 C．11 D．21 【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab ＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果． 【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b， 则图甲得（a﹣b）2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝3， 由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2） ＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2） ＝2ab ＝16， ∴正方形A，B的面积之和为， a2+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）+2ab ＝（a﹣b）2+2ab ＝3+16 ＝19， 故选：B．解题技巧提炼 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作 合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基 本技巧。 【变式3-1】用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积， 可得到一个关于a，b的等式为（ ） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果． 【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2， 中间空白正方形的面积为（a﹣b）2， ∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2， 又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故选：D． 【变式3-2】现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一 个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ） A．3 B．6 C．12 D．18【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就 得最后结果． 【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b， 则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16， 解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴每个小长方形的面积为， ab＝3b•b＝3×2²＝12， 故选：C． 【变式3-3】有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得 图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放， 则阴影部分的面积为（ ） A．28 B．29 C．30 D．31 【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b² ＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a ﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝ a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果． 【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b）， 得图甲中阴影部分的面积为 （a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1， 解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去）， 图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12， 可得（a+b）² ＝a²+2ab+b² ＝a²﹣2ab+b²+4ab ＝（a﹣b）²+4ab ＝1+2×12＝25， 解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去）， ∴图丙中阴影部分的面积为 （2a+b）²﹣（3a²+2b²） ＝a²+4ab﹣b² ＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab ＝5×1+2×12 ＝5+24 ＝29， 故选：B． 【变式3-4】图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它 分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） A．ab B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可 得出答案． 【解析】图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形， ∴正方形的边长为：a+b，∴正方形的面积为（a+b）2， ∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=a2﹣2ab+b2．故选：D． 【变式3-5】如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案. 【解析】解：（a+b + · `1）2=a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2题型四 平方差公式的几何背景 【例题4】如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个 梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论． 1 【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为： （2b+2a）（a﹣b）， 2 1 ∴a2﹣b2= （2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 2 故选：D． 解题技巧提炼 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作 合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基 本技巧。 【变式4-1】如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2所示图 形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个 等式（ ）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【分析】用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可． 【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1）， 图2中白色部分的面积为：x2﹣1， ∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1， 故选：B． 【变式4-2】如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为 b的小正方形后，将剩余的 部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ） A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【分析】利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面 积公式可得图（2）的面积，据此可得结果． 【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2； 图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2， ∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2． 故选：C． 【变式4-3】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． （1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为 a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ 的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ； （2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式． 【分析】（1）根据各部分的面积以及两种方式的面积相等的关系即可解答； （2）将（x+a）（x+b）展开即可；画一个长为x+b，宽x+a的长方形即可． (ab)(ab)a2 b2 a2 b2 【解析】解：（1） ，故答案为 ； (xa)(xb) x2 axbxab x2 axbxab （2） ，故答案为： ，画图如下： x b x x2 bx a ax ab 【变式4-4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长 方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： 1 1 1 1 ①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣22 ）（1﹣32 ）（1﹣42 ）…（1﹣192 ） 1 （1﹣202 ）．【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论 写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求 解． 【解析】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ②原式=（1﹣ 2 ）（1+ 2 ）（1﹣3）（1+3）（1﹣4 ）（1+4 ）…（1﹣19）（1+19）（1﹣20 ） 1 （1+20 ） 1 3 2 4 3 5 18 20 19 21 1 21 21           2 2 3 3 4 4 19 19 20 20= 2 ×20 =40 ． 【变式4-5】如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后 按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ． 【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可． 【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 题型五 乘法公式（求代数式的值）【例题5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3． （1）求（x﹣2）（y+2）的值； （2）求x2﹣xy+y2的值． 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3， ∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1； （2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3， ∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8． 解题技巧提炼 利用乘法公式进行变形，将各自的值代入计算即可求出值 x y2 25 xy 14 x2  y2 【变式5-1】已知 ， ，则 的值为______． 【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形，进而计算即可得出答案． 【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案为：53． 【变式5-2】已知 ，则 __________． 【分析】利用完全平方公式化简，然后将 代入计算即可得出结果。 【解析】解： 当 时，原式 ．故答案为：2． 【变式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ 5 ． 【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18， ∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy， ∴58﹣18＝8xy， ∴xy＝5． 故答案是：5． 【变式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 5 3 ． 【分析】运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题． 【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81． ∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53． 故答案为53． 【变式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值： （1）ab； （2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3． 【分析】（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值； （2）先分解因式，再整体代入求出即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20， ∴（a﹣b）2＝36， ∴a2﹣2ab+b2＝36， ∴﹣2ab＝36﹣20＝16， ∴ab＝﹣8； （2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8， ∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3 ＝﹣ab（a2+2ab+b2） ＝﹣（﹣8）×（20﹣16） ＝32． 题型六 乘法公式的综合运算 【例题6】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）．（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A； （2）①∵4a2﹣b2＝24， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝24， 又∵2a+b＝6， ∴6（2a﹣b）＝24， 即2a﹣b＝4， 故答案为：4； ②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99， 982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97， … 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050． 解题技巧提炼 综合分析后进行求解 70xx5030 70x2 x502 【变式6-1】（阅读理解）“若x满足 ，求 的值”． 70xx50ab30 ab70xx5020 70xa x50b 解：设 ， ，则 ， ， (70x)2 (x50)2 a2 b2 (ab)2 2ab202 230340 ． 40xx3020 40x2 x302 （解决问题）（1）若x满足 ，则 的值为________； 9 x3x1 x32 x12 （2）若x满足 4 ，则 的值为___________； ABCD x AE 14 CG 30 EFGD （3）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积是200，四边形 NGDH MEDQ PQDH 和 都是正方形，四边形 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体 的数值）． 【分析】（1）根据题目所给的方法进行计算即可；（2）运用题目所给的方法进行计算即可； （3）根据题意易得DG、ED的长，然后结合图形及运用题目所给的方法求解即可． 40xx30ab20 40xa x30b 【解析】（1）解：设 ， ，则 ，ab40xx3010 ， 40x2 x302 a2 b2 ab2 2ab 102 220140 ，故答案为：140； 9 x3x1ab abx3 x12 （2）解：设x3a，x1b，则 4， ， 9 17 x32 x12 a2 b2 ab2  2ab 4 2  2 ． x14x30200 EFGD x14a x30b （3）解：矩形 的面积 ，设 ， ， x14x30ab200 abx14x3016 则 ； ∴阴影部分的面积 ab2 ab2  4ab 162 4200 1056．答：阴影部分的面积为1056． 【变式6-2】学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等 式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式： ； （2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同 的方法表示这个大正方体的体积，可得等式： ； ②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值． 【分析】（1）用两种不同的方法表示大长方形的面积，可以得到一个等式， （2）①用两种不同的方法表示大正方体的体积，可以得到一个等式，②利用等式变形，可求出答案． 【解析】解：（1）如图1，整体上长方形的面积为（a＋b）（2a＋b），组成大长方形的六部分的面积和 为a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2， 因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案为：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①整体上大正方体的体积为（a＋b）3，组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为 a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． ②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得， a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91． 【变式6-3】【阅读理解】 我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝ 4ab， (a+b) 2 (a−b) 2 a+b a−b 所以ab= − =( ) 2−( ) 2． 4 4 2 2 利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算． 51+49 51−49 例：51×49=( ) 2−( ) 2=502−12=2500﹣1＝2499． 2 2 【发现运用】根据阅读解答问题 102+98 102−98 （1）填空：102×98＝ （ ） 2﹣ （ ） 2； 2 2 （2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8． 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）根据规律计算19.2×20.8即可． 102+98 102−98 【解答】解：（1）102×98=( ) 2−( ) 2； 2 2 102+98 102−98 故答案为：（ ），（ ）； 2 2 19.2+20.8 19.2−20.8 （2）19.2×20.8=( ) 2−( ) 2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36． 2 2 (a+b) 2−(a2+b2 ) 【变式6-4】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= 2 等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 2 0 ． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝ 10，则图中阴影部分的面积为 1 0 ．【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果； （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可； 1 1 1 1 （3）设 AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为 （a+b）（a+b）− a²− b²= 2 2 2 2 1 [（a+b）²﹣（a²+b²）]= ×2ab＝ab＝10． 2 【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48， (a+b) 2−(a2+b2 ) 48−8 ∴ab= = =20， 2 2 （2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b， 由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（25﹣x）2+（x﹣10）2 ＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10） ＝15²﹣2×（﹣15） ＝225+30 ＝255， （3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b， 1 1 则图中阴影部分的面积为 （a+b）（a+b）− （a²+b²） 2 2 1 = [（a+b）²﹣（a²+b²）] 2 1 = ×2ab 2 ＝ab ＝10 【变式6-5】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积： 方法1： ；方法2： ； （2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值； ②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值． 【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形， 2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解； ②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求（2021﹣ a）（a﹣2020）＝﹣2即可． 【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b）， ∴S＝（a+b）2； 方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成， ∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab； 故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab； 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①， （a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②， 由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12， 解得：ab＝3； ②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，∴x+y＝1， ∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5， ∴x2+y2＝5， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1， ∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4， 解得：xy＝﹣2， ∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2