1.5-1.6乘法公式-题型·技巧培优系列2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)（原卷版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送

1.5-1.6 乘法公式 平方差公式 知识点一 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意 “-”的处理。 完全平方公式 知识点二 (ab)2 a2 2abb2 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公 式的形式 (ab)2 a2 2abb2 拓展：利用 可推导除一些变式 1 ①a2 b2 (ab)2 2ab(ab)2 2ab (ab)2 (ab)2   2 1 ②2ab(ab)2   a2 b2   a2 b2 (ab)2  (ab)2 (ab)2   2 (ab)2 (ab)2 a2b2 ab 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有 、 、 、 等模块，都可以通过 (ab)2 (ab)2 与 相结合推导出来。题型一 乘法公式的基本运算 【例题1】下列运算正确的是（ ） A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 解题技巧提炼 套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接 套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的 变形 2a3b2a3b 【变式1-1】计算 的正确结果是（ ） 4a2 9b2 4a2 9b2 4a2 12ab9b2 4a2 12ab9b2 A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） (a2b)(a2b) (a5)(a5) (2x1)(12x) (2x y)(2x y) A． B． C． D． 【变式1-3】下列关系式中，正确的是（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 【变式1-4】下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x） 【变式1-5】下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） 1 1 C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（ a+1）（− a−1） 3 3 题型二 完全平方公式（求系数的值） 【例题2】若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ） A．6 B．12 C．±12 D．±6 解题技巧提炼 根据完全平方公式推断出多项式里各项的系数. xa2  x2 10xb 【变式2-1】如果 ，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 【变式2-2】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．4 B．16 C．±4 D．±16 25x2 20n1x8n 【变式2-3】已知 是一个关于x的完全平方式，则常数n=_______． 【变式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ． 【变式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ． 题型三 完全平方公式的几何背景 【例题3】有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的 正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）A．13 B．19 C．11 D．21 解题技巧提炼 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作 合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基 本技巧。 【变式3-1】用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积， 可得到一个关于a，b的等式为（ ） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 【变式3-2】现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一 个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ） A．3 B．6 C．12 D．18 【变式3-3】有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放， 则阴影部分的面积为（ ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式3-4】图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它 分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） A．ab B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【变式3-5】如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 题型四 平方差公式的几何背景 【例题4】如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个 梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 解题技巧提炼 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作 合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基 本技巧。 【变式4-1】如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2所示图 形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个 等式（ ） A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【变式4-2】如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为 b的小正方形后，将剩余的 部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ） A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有 助于探索解决问题的思路． （1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为 a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ 的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ； （2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式． 【变式4-4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长 方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： 1 1 1 1 ①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣22 ）（1﹣32 ）（1﹣42 ）…（1﹣192 ） 1 （1﹣202 ）． 【变式4-5】如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后 按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．题型五 乘法公式（求代数式的值） 【例题5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3． （1）求（x﹣2）（y+2）的值； （2）求x2﹣xy+y2的值． 解题技巧提炼 利用乘法公式进行变形，将各自的值代入计算即可求出值 x y2 25 xy 14 x2  y2 【变式5-1】已知 ， ，则 的值为______． 【变式5-2】已知 ，则 __________． 【变式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ． 【变式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ． 【变式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值： （1）ab； （2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3． 题型六 乘法公式的综合运算 【例题6】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 解题技巧提炼 综合分析后进行求解 70xx5030 70x2 x502 【变式6-1】（阅读理解）“若x满足 ，求 的值”． 70xx50ab30 ab70xx5020 70xa x50b 解：设 ， ，则 ， ， (70x)2 (x50)2 a2 b2 (ab)2 2ab202 230340 ．40xx3020 40x2 x302 （解决问题）（1）若x满足 ，则 的值为________； 9 x3x1 x32 x12 （2）若x满足 4 ，则 的值为___________； ABCD x AE 14 CG 30 EFGD （3）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积是200，四边形 NGDH MEDQ PQDH 和 都是正方形，四边形 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体 的数值）． 【变式6-2】学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等 式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式： ； （2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同 的方法表示这个大正方体的体积，可得等式： ； ②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值． 【变式6-3】【阅读理解】 我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝ 4ab， (a+b) 2 (a−b) 2 a+b a−b 所以ab= − =( ) 2−( ) 2． 4 4 2 2 利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算． 51+49 51−49 例：51×49=( ) 2−( ) 2=502−12=2500﹣1＝2499． 2 2 【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：102×98＝ 2﹣ 2； （2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8． (a+b) 2−(a2+b2 ) 【变式6-4】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= 2 等．根据以上变形解决下列问题： （1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ． （2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值． （3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝ 10，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式6-5】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种 纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积： 方法1： ；方法2： ； （2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值； ②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．