文档内容
第 04 讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】............................................................................................1
【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】....................................................................................................7
【考点三 巧妙割补求面积】............................................................................................................................9
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】..............................................................................................12
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】...................................................18
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】...................................................22
【考点七 实际问题中的方程思想】..............................................................................................................25
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．
【答案】 ##7.2##
【解析】
【分析】
设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： ，
设点C到斜边AB的距离是h，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式训练】
1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．
【详解】
解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：
c2=62+82 ，
则 c=10 ，
直角三角形面积 S= ×6×8= ×c×h ，
可得 h=4.8 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的
关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中） 在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则
边上的高是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形先求出 的面积，然后过点B作AC边的垂线BD，根据三角形的面积公式得出 边上的高
即可．
【详解】
如图，过点B作AC边的垂线，垂足为D，∵ ，
∴ ，
∵由勾股定理知： ，
∴ ，
∴ ．
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查网格图中图形的面积的计算，勾股定理和三角形面积公式，正确算出图形的面积与底边的长
度是解答本题的关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，
若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
】解：由勾股定理得：AC= ，
∵S ABC=3×4- ×1×2- ×3×2- ×2×4=4，
△
∴ AC•BD=4，∴ ×2 BD=4，
∴BD= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，在 中， ， ， 是 的边 上的高，且 ， ， ，
求 的边 上的高．
【答案】 ．
【分析】先根据勾股定理求出AE和BE，求出AB，再根据勾股定理的逆定理推出△ABC是直角三角形，
并求出△ABC面积，进一步得到△ABC的边AB上的高即可．
【详解】解：∵DE是 的AB边上的高
∴
∵在Rt△ADE中， ，
∴由勾股定理得：
同理：在Rt△BDE中，由勾股定理得：
∴
∴在△ABC中，由AB=10，AC=6，BC=8得：
∴△ABC是直角三角形
设△ABC的AB边上的高为h
∵
∴
∴
∴ 的边 上的高为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形是解题关键．求三边已知的三角形一边上的高的方法通常有勾股定理或者等面积法．
5．如图，在 中， ， ，在 中， 是 边上的高， ， ．
(1)求 的长．
(2)求斜边 边上的高．
【答案】(1)
(2)斜边AB边上的高是4.8
【分析】（1）根据在 中， 是 边上的高， ， ，可以计算出 的长，然后
根据勾股定理即可得到 的长；
（2）根据等面积法，可以求得斜边 边上的高．
【详解】（1）解：（1）∵在 中， 是 边上的高， ， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∵在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：作 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，即斜边AB边上的高是4.8．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形
为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知
如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求
线段AD的长度．
（2）深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD
与AB的数量关系，并给予证明．
【答案】（1） ；（2）CD＝AB，证明见解析
【分析】（1）根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即
可解决问题；
（2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2．
【详解】解：（1）如图1，根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1，
∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，
∴AB2﹣CA2＝AD2，
∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8，
∴AD＝2 ；
（2）CD＝AB，
如图2，∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，且AC＞AB，
∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2，
∵AC2﹣AD2＝CD2，
∴CD2＝AB2，
即CD＝AB．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在 中， 所对的边分别为a，b，c，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知， 的面积为 ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可
【详解】
解： 中， 所对的边分别为a，b，c，
∵
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．
【变式训练】
1．在 中，AD是BC边上的高， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．18或30
【答案】D
【解析】
【分析】
由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD= =12，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得：CD= = ，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，则△ABC的面积= BC×AD= ×15×4=30；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，
则△ABC的面积= BC×AD= ×9×4=18；
综上所述，△ABC的面积为30或18，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
3．直角 三边长分别是x， 和5，则 的面积为__________．
【答案】6或30
【解析】
【分析】
根据 是直角三角形，则在 中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解： 是直角三角形，则在 中即可运用勾股定理，不确定 与 哪一个大，所以讨论：
（1）若 ，则存在 ，
解得 ，
；
（2）若 ，则 ，
解得
．
的面积为6或30．
故答案为：6或30．
【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论 与 的大小是解题的关键．
【考点三 巧妙割补求面积】
例题：如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
【答案】216平方米
【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据面积公式计
算即可．
【详解】
连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，
∴AC= =15，
∵AB＝39，BC＝36，AC=15
∴ ，
∴∠ACB=90°，
∴这块空地的面积为： = =216（平方米），
故这块草坪的面积216平方米．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．【答案】144
【解析】
【分析】
连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出 BCD是直角三角形，分别求出 ABD和
BCD的面积，即可得出答案．
△ △
【详解】
△
解：连接BD，
在 ABD中，
∵∠A=90°，AB=6，AD=8，
△
∴BD= =10，
S ABD= AB•AD= ×6×8=24，
在△ BCD中，
∵CD=26，BC=24，BD=10，
△
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S BCD= BC•BD= ×10×24=120．
∴四△边形ABCD的面积=S ABD+S BCD=24+120=144．
【点睛】
△ △
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出 ABD和 BCD的面积，注意：
如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
△ △
2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1
（1）线段BC＝ ，线段CD＝ ；
（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）
【答案】（1） ， ；（2）14.5【解析】
【分析】
（1）在网格中利用勾股定理进行求解即可；
（2）如图所示， 由此求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）如图所示，
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，以及四边形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；
（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；
（3）根据三角形的面积公式计算．【详解】
解：（1） ，
，
；
（2）△ABC的面积 ；
（3）点C到AB边的距离为h，
则 ，即 ，
解得， ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，
斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
【答案】B
【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形
的面积即可．
【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：=
=
=26
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广西柳州·校考一模）如图， ，正方形 和正方形 的面积分别是289和
225，则以 为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出 ，再求半圆的面积即可．
【详解】解：∵正方形 和正方形 的面积分别是289和225，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴以 为直径的半圆的面积为： ；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中）如图，三个正方形中的两个的面积 ， ，则另一
个的正方形的面积 为_____________
【答案】119【分析】根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现： 从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为25和144，
根据勾股定理，另一条直角边的平方为 ，
∴ ．
故答案为：119．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形面积，掌握直角三角形中斜边平方=两直角边的平方和是解题
关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且
，则 ___________；以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则
三者之间的关系为___________．
【答案】 12； s+s=s
1 2 3
【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到
Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S 的值；第二空同理根据正三
3
角形面积公式与勾股定理，得到S，S，S 三者之间的关系，完成解答．
1 2 3
【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，
∴S=AC2，S=BC2，S=AB2，
1 2 3
又∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S=4+8=12，
3
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S，S，S，
1 2 3
∴S= = ×AC2，
1
同理可得：S= ×BC2，S= ×AB2，
2 3
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，∴S+S =S ．
1 2 3
故答案是：12，S+S=S．
1 2 3
【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．
4．（2023春·八年级课时练习）已知：在 中， ， 、 、 所对的边分别记作
a、b、c．如图1，分别以 的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作 、 、
，则有 ，
(1)如图2，分别以 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分 、 、 ，请问
与 有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据
（2）中的探索，直接回答 与 有怎样的数量关系；
(3)若 中， ， ，求出图4中阴影部分的面积．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知 ， ， ，在Rt△ABC中，由勾股
定理得AC2＋BC2＝AB2，即S＋S＝S；
1 2 3
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：① ，
根据勾股定理可知： ，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理： ，从而可得 ；
（3）解：由（2）知 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．5．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ， 的
数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 __________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，用 ， ， 分别表示正方形、圆、等边三角形的面
积，根据 ，求解 之间的关系，进而可得结果；②根据 ，
， ，可得 ；（2）由题意知， ， ， ， ， ，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为 ， ，斜边为 ，
则图2中， ，
∵ ，
∴ ，故图2符合题意；
图3中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，故图3符合题意；
图4中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知 ， ， ，
∴ ；
（2）解：由题意知， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图
中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据 求出x得到CD的长，利用面积求出答
案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴ ，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵ ，
∴ ，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C
落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________ cm2．
【答案】6
【解析】【分析】
先根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据折叠的性质得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，则AC′＝4cm，在
Rt ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
△
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝10cm，
∵将 BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
∴△B
△
CD≌△BC′D，
∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，
∴AC′＝AB﹣BC′＝4cm，
设DC＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，
在Rt ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2，
即（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，
△
∵∠AC′D＝90°，
∴△ADC′的面积＝ ×AC′×C′D＝ ×4×3＝6（cm2）．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂
直平分．也考查了勾股定理．
2．如图，三角形纸片 中， ， ， ． 是 边上一点，连接 ，把 沿
翻折，点 恰好落在 延长线上的点 处，则 的长为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利
用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC= =4，由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，
∴B′C=AB′-AC=1，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
在△B′CD中， ，
即 ，
解得：x= ，
即CD= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．
3．在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 ，再利用勾股定理，即可求解；
（2）过点 作 于点M，延长 交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，
，AD=BC=10，再设 ，则 ， ，
在 和 中，根据勾股定理可得 ， ，从而得到
， ，进而得到 ，再由勾股定理，即可求解．
(1)解：根据题意得： ，
∴ ；
(2)
解：如图，过点 作 于点M，延长 交BC于点N，
根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC， ，AD=BC=10，
∴DP=4，
∵ ，
∴MN⊥BC，
∴MN=AB=8，AM=BN，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得
，即 ，
在 中，由勾股定理得
，即 ，
由①②联立得： ，
把 代入②得： 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．【答案】8
【解析】
【分析】
作 交 的延长于点 ，在 中， ，在 中, ，根
据 列出方程即可求解．
【详解】
如图，作 交 的延长于点 ，
则 即为BC边上的高，
在 中， ，
在 中, ，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得 ，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．已知：如图，在 中， 是 的角平分线， ，则 ____．【答案】6
【分析】作 ，如图，根据角平分线的性质可得 ，勾股定理求出 ，证明
，推出 ，设 ，根据勾股定理列出方程即可求出 ．
【详解】解：作 于点E，如图，
∵在 中， 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
即 ；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟
练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
2．如图，在 和 中， ， ， ，延长 ， 交于点 ．(1)求证：点A在 的平分线上；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接 ，证明 ，可得 ，根据角平分线的判定即可解决问题；
（2）证明 ，设 ，所以 ，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
，
，
， ，
平分 ，
点 在 的平分线上；
（2）解： ，
，
，
，
设 ，
，
在 中， ，
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到
．
【考点七 实际问题中的方程思想】
例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：
如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．
将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝
CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
【答案】
【解析】
【分析】
设OB=OA=x（尺），在Rt OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
△
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
△
∴x= ，
∴OA或OB的长度为 （尺）．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距
离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不
知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的 倍．问门高、门宽各为多少？
【答案】门高为7尺，门宽为1尺．
【解析】
【分析】
设竿的长度为x尺，则门高为（x+2）尺，门宽为（x-4）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，解之
即可得出x的值即可得出结论．
【详解】
解：设竿的长度为x尺，则门高为（x+2）尺，门宽为（x-4）尺，
依题意得：
化简得：4x=20，
解得： ．
答：门高为7尺，门宽为1尺．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千
米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析；
(2)原来的路线AC的长为1.25千米．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可．
(1)
解：是， 理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)
设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意
图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，
△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段 ．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝
8cm，
（1）此时CD为_________ cm；
（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2 ．
【答案】 16
【解析】
【分析】
（1）根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理计算出DC的长即可；
（2）根据题意作出示意图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，由勾股定理求得AC'，设D'M=x，通过勾
股定理列出方程，求得x，进而求结果．【详解】
解：（1）∵AB=4cm，BC=8cm，
设DC=y，则C″D″=y，
由图形可得：BC″=BC=8cm，则AC″=8-4=4，AD=AD″=4+y，
又AC2+DC2=AD2，即（12）2+y2=（4+y）2，
解得：y=16，
∴CD=16cm，
故答案为：16；
（2）根据题意作出示意图如下，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，
∵∠ABC'=90°，
∴AC= ，
由（1）知，AD'=AD=20，C'D'=CD=16，
设C'M=x，则
202−（16+x）2＝AM2＝( )2−x2，
解得，x=2，
∴AM= ，
∴
=
=
故答案为． ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程．
