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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.1 不等关系
基础篇
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元
一次不等式．
【详解】解：A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；
B未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式；
C是二元一次不等式，所以不是一元一次不等式；
Ｄ是一元一次不等式，所以D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，熟记一元一次不等式的定义是解本题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解： 、 、 是不等式， 和 不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）判断下列各式中不等式有（ ）个
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系
的式子是不等式来判断．
【详解】解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 中
（1） ；（3） ；（4） ；（6） 是不等式，共4个，
故选C．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键
是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
a+b
4．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）以下数学表达式：① ；② ；③ ；④
．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．
a+b
【详解】解： 和 是不等式， 和 不是不等式，
即不等式有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超
过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.5℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.5℃ B．T＜37.5℃ C．T≤37.5℃ D．T≥37.5℃
【答案】A
【分析】超过 即大于 ，用不等式表示出来即可．
【详解】解：A、表示超过 ，选项符合题意；
B、表示低于 ，选项不符合题意；C、表示不高于 ，选项不符合题意；
D、表示不低于 ，选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
6．（2022秋·八年级单元测试）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到
如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重 的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：0＜x≤10．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）“ 的3倍与 的差是负数”用不等式表示
为_______．
【答案】
【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解．
【详解】解： 的3倍表示为 ，
∴根据题意得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查用字母表示数或数量关系，理解题意，掌握用字母表示数或数量关系的书写规则是
解题的关键．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）根据数量关系“a是正数”，可列出不等式：______________．
【答案】【分析】根据a为正数用“ ”表示．
【详解】∵a是正数，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序
和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
9．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中是不等式的有________个．
【答案】3
【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．
【详解】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意；
②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意；
③是等式，不是不等式，不符合题意；
④没有不等号，不是不等式，不符合题意；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意；
∴不等式有①②⑤共3个，
故答案为：3．
【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．
10．（2022春·福建三明·八年级统考期中）在新冠肺炎疫情防控期间，体温T超过37.3℃的必须如实报告，
并主动到发热门诊就诊．体温“T超过37.3℃”用不等式表示为________．
【答案】T＞37.3℃
【分析】根据题意列出不等式即可
【详解】体温“T超过37.3℃”用不等式表示为：T＞37.3℃，
故答案为：T＞37.3℃．
【点睛】本题考查了根据题意列不等式，熟练掌握列不等式是本题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于 ．
(2)x减去y不大于 ．(3)a的 倍与 的和是非负数．
(4)a的 与b的平方的和为正数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意列出不等式即可；
（2）根据题意列出不等式即可；
（3）根据题意列出不等式即可；
（4）根据题意列出不等式即可．
【详解】（1）解：0大于 表示为： ；
（2）x减去y不大于 表示为： ；
（3）a的 倍与 的和是非负数表示为： ；
（4）a的 与b的平方的和为正数： ．
【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键．
12．（2022秋·八年级课时练习）用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)某市身高不超过 的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为 ．
(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据等量关系直接列出等式即可．
【详解】（1）解：由题意得： ；（2）解：由题意得： ．
【点睛】本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．若
是等腰直角三角形，且 ，当 时，点 的横坐标 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】过点C作 轴于D，由“ ”可证 ，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 轴于D，
∵点 ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
点C的的横坐标为： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，不等式的性质，等腰直角三角形的性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）若关于x的方程 无实根，则m的取值范围是___．
【答案】m＜2
【分析】将 配方可得 ，于是 ，则当m＜2时方程无实数解；
【详解】解：∵
∴
∴当m＜2时，方程 无实根，
故答案为：m＜2；
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式，不等式的性质，掌握平方的非负性是解题关键．
3．（2022春·江苏·七年级专题练习）若 ， ，且 ，则 值为______．
【答案】1或5
【分析】由已知可以得到x=2或-2，y=3或-3，然后对x、y的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的取值组合，
即可求得x-y的值．
【详解】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或-2，y=3或-3，（1）当x=2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=2-(-3)=2+3=5；
（2）当x=-2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=-2-(-3)=-2+3=1；
故答案为1或5．
【点睛】本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、有理数加减法
及分类讨论的思想是解题关键 ．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）“x的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是___________.
【答案】3x-2≤-1
【分析】不大于就是小于等于的意思，根据x的3倍与2的差不大于-1，可列出不等式．
【详解】根据题意得：3x-2≤-1．
故答案为3x-2≤-1．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等
关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
5．（2023春·八年级课时练习）下列四个判断：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，则a|c|>b|c|；③若
a>b，则 <1；④若a>0，则b-a0，
∴两边同时除以c2得到a＞b，故①正确；
若a＞b，如果c=0则a|c|=b|c|，故②错误；
若a＞b，a，b异号时 ＜1不成立，故③错误；
若a＞0，则b-a＜b．一定成立，故④正确；
故答案为①④
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或
式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
二、解答题
6．（2021春·八年级课时练习）用适当的符号表示下列关系：（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；
（3）x与17的和比它的5倍小；
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据“非负数”即“≥0”可得；
（2）根据“长”即大于，据此可得；
（3）x与17的和可表示为x+17，它的5倍即5x，小即“＜”，据此可得；
（4）两数的平方和可表示为“a2+b2”，这两数积的2倍即“2ab”，由不小于即“≥”可得答案．
【详解】解：（1）a是非负数可表示为“a≥0”；
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长可表示为“c＞a且c＞b”；
（3）x与17的和比它的5倍小可表示为“x+17＜5x”；
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍可表示为“a2+b2≥2ab”．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关
键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不
等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
7．（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是△ABC的三边长， ， ，设 的周长是x．
(1)求c与x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数，试判断 的形状．
【答案】(1) ，
(2) 是等腰三角形
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【详解】（1）解：（1）因为 ， ，
所以 ．
故周长x的范围为 ．
（2）（2）因为周长为小于18的偶数，
所以 或 ．
当x为16时， ；当x为14时， ．
当 时， ， 为等腰三角形；
当 时， ， 为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
8．（2021春·上海·六年级校考期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级
的捐款情况如下表：
捐款总额 人均捐款额
班 级 人数
（元） （元）
（1）班
（2）班
合计 80 900 11.25
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】（1）设六（1）班的捐款额为 元，从而可得六（2）班的捐款额为 元，再根据合计总捐
款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
（1）
解：设六（1）班的捐款额为 元，则六（2）班的捐款额为 元，
由题意得： ，解得 ，
则 ，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
（2）
解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过 （人），
所以六（2）班学生数至少是 （人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
