文档内容
2.1 不等式及其性质 导学案
第1课时 不等式及不等式的解集
1.掌握不等式的定义，能准确识别“>”“<”“≥”“≤”“≠”等不等号；
2.会用不等式表示实际情境中的不等关系；
3.理解不等式的解与解集的区别与联系，能借助数轴直观表示不等式的解集。
学习重点：不等式及解集的概念、数轴上表示法。
学习难点：将语言信息或图形信息正确转化为不等式表达，并准确区分“≥”与“>”等符号所代表的实际
含义。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
对于跷跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物方案的选择等生活场景，你也许并不陌生，但是
你是否想过它们与某种“不等关系”有关？其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍.
本章将结合具体问题了解不等式的意义：
①探索不等式的基本性质
②研究一元一次不等式（组）的解法
③运用一元一次不等式解决一些简单的实际问题
2.情景引入
如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
l l 2
解：正方形边长为 cm，面积为( ) cm2
4 4
l 2
“不大于”即“≤”，故关系式为：( ) ≤25
4
（2）如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
l l 2 l2
解：圆半径为 cm，面积为π( ) = cm2
2π 2π 4π
l2
“不小于”即“≥”，故关系式为： ≥100
4π
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？改变l的值再试一试，由此你能得到什么猜想？
8 2 82 16
解：①当l=8时： 正方形面积=( ) =4 cm2， 圆面积= = ≈5.09 cm2， 圆的面积更大
4 4π π
12 2 122 36
②当l=12时： 正方形面积=( ) =9cm2， 圆面积= = ≈11.46 cm2， 圆的面积仍更大
4 4π π
新知自研：自研课本第55--57页的内容．
【学法指导】
自研课本P55-57页例题上面的内容，思考：
●探究一：根据题意列出不等式
◆1.议一议：
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过 160
cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关
系式.
关键信息：铁路规定行李长、宽、高之和“不得超过”160 cm变量设定：设行李长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；
关系式： a +b+c≤160
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5 m的地方为
测量部位。某树栽种时的树围为6 cm，在一定生长期内每年增加约1 cm，设经过x年后这棵树的树围超
过10 cm，请你列出x满足的关系式。
关键信息：栽种时树围6 cm，每年增加1 cm，x年后树围为“当前树围+年增加量×年数”
变量设定：设经过x年，树围为（ 6+ x ）cm
“超过”的含义：大于（>），故关系式为： 6+ x >10
◆2.知识归纳
关键符号与概念总结：
①“不大于”（≤）：表示等于或小于（如x≤10，读作“x小于或等于10”）
②“不小于”（≥）：表示等于或大于（如x≥10，读作“x大于或等于10”）
③“超过”（>）：表示严格大于（如x>10，读作“x大于10”）
◆3.练一练
①某校组织安全知识竞赛，规定答题时间不超过 90 分钟，设答题时间为t分钟，用不等式表示为______。
解:t≤90
②某款运动鞋每双售价不低于180元，设其售价为x元，用不等式表示为_________。
解:x≥180
③一个三角形两边长为3cm、5cm，第三边长acm满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，
用不等式表示第三边的范围为__________。
解:2( ) ，a+b+c≤160，6+x>10.
2π 4
观察这几个关系式，它们有什么共同特点？与同伴进行交流.
【解答】解:①形式上：均为不等式（用“>”“≤”等不等号连接）；
②结构上：均由两个代数式通过不等号连接而成；
③意义上：均表示现实问题中的不等关系（是现实场景的数学抽象）
◆2.知识归纳不等式的定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）连接的式子叫作不等式.
如：x≤500、p≥200、h>1.4
−110。你能找到满足这个不等式的x的一些值吗？
（1）x=3，4，5，5.5能使不等式6+x>10成立吗？
【解答】解：①当x=3时，6+3=9<10，不成立;
②当x=4时，6+4=10=10，不成立；
③当x=5时，6+5=11>10，成立;
④当x=5.5时，6+5.5=11.5>10，成立。
故x=5,5.5能使不等式6+x>10成立
（2）你能找出多少个使不等式成立的x值？你是怎样找的？
【解答】解：能找出无数个使不等式成立的x值。
通过解不等式6+x>10，移项得x>4，所有大于4的实数都是该不等式的解
如4.1,4.5,6,100等
由此可以发现，不等式的解一般是一个范围.
◆2.练一练
下列数值中，不是不等式2x−3>5的解的是（ ）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
【分析】要判断哪个数值不是解，需先解不等式求出解集，再验证选项是否在解集内
解不等式2x−3>5
移项得：2x>5+3（移项变号）
合并同类项得：2x>8
系数化为1得：x>4
解集为x>4，不是解的是x=4，选C
◆3.知识归纳
①不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
③求不等式解集的过程叫作解不等式●探究四：在数轴上表示不等式的解集
◆1.思考交流
你能在数轴上表示不等式6+x>10的解集吗？不等式x−1≤2的解集又该如何表示呢？与同伴进行交流.
解：①不等式6+x>10的解集为x>4，表示数轴上，4右边的点
如图，x>4这一解集的图像为：
在表示4的点位置画空心圆圈，并在空心圈的右边画一条射线
（空心圈表示4不在解集内）
②不等式x−1≤2
移项得x≤2+1
即x≤3
故不等式x−1≤2的解集为x≤3，表示数轴上，3及其左边的点
如图，x≤3这一解集的图像为：
在表示3的点位置画实心圆圈，并在空心圈的左边画一条射线
（实心圈表示3在解集内）
◆2.练一练
已知不等式−2x+5<3的解集为x>1 ，在数轴上表示解集.
解：数轴表示如下：
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨什么不等式以及不等式的解和如何在数轴上表示不等式的解集；
B.交流在数轴上表示不等式解集的易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．某研学团共32名学生，酒店每间客房最多住4人，设需预订的客房数为m，满足住宿需求的不等式为
__________.
解：v≤60
2.在△ABC中，∠A的度数不小于∠B度数的2倍，设∠A为α°，∠B为β°，则∠A与∠B的数量关系用不
等式表示为__________。
解：α≥2β
3.《中国居民膳食指南》建议成年人每日摄入膳食纤维不低于25克，设每日摄入量为g克，对应的不等式
式为 .
解：g≥25
4. 下列说法正确的是（ ）
A.x=1是不等式x+2>4的解 B. 不等式x−3<0的解集是x<3
C. 不等式2x<8的所有解是x=3 D. x>5是不等式x+1>5的解集
解：B.
5..不等式3x+1≤10的解集是（ ）
A. x≤3 B. x<3
C. x≥3 D. x>3
解：A
6.已知x=2是不等式ax+1>3的一个解，则a的值不可能是（ ）
A.2 B. 1.5
C. 1 D. 2.5
解：C
7.在数轴上表示解集.
（1） 3x+2>8的解集为x>2，再数轴上表示该解集
解：如图，数轴表示如下：
5
（2） 2(x−1)≤5x+3的解集为x≥− ，在数轴上表示该解集
3
解：如图，数轴表示如下：8.小红带了20元零花钱去文具店买笔记本，每本笔记本的售价是3元（单价固定，无优惠）
小红想知道：她最多能买多少本这样的笔记本？
解：设小红买的笔记本数量为x本
由题可列不等式： 3x≤20
解不等式3x≤20
20
得x≤
3
因为x必须是正整数，所以x的最大可能值是6
故小红最多能买6本
题型一： 不等式的识别
1．下列各式中，不是不等式的是（ ）
A．x>3 B．x<−5 C．x=−1 D．x≠−3
【答案】C
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式概念
逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、x>3是不等式，不符合题意；
B、x<−5是不等式，不符合题意；
C、x=−1是等式，不是不等式，符合题意；
D、x≠−3是不等式，不符合题意；
故选：C．
2．下列式子属于不等式的是（ ）
1
A．x+1 B．x=1 C．x≠1 D．
x
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键．
根据不等式的定义解答即可．【详解】解：A、x+1不是不等式，故A选项不符合题意；
B、x=1不是不等式，故B选项不符合题意；
C、x≠1是不等式，故C选项符合题意；
1
D、 不是不等式，故D选项不符合题意；
x
故选：C．
3．下列数学表达式中：①−2<0，②2x+3 y>0，③x=2，④x2+2xy+ y2，⑤x≠3，⑥x+1>2中，不
等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．根
据不等式的定义，不等号有<，>，≤，≥，≠，选出即可．
【详解】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如<，>，≤，≥，≠，
则不等式有：①②⑤⑥共4个．
故选：C．
4．下列式子：①−4＜0；②x=1;③ y≠−2;④x2−x;⑤2x−5>0;⑥m≤−3．其中是不等式的有
（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．不等式的概念：用“>”或“<”号表示大
小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式，据此进行判断即可．
【详解】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个，
故选：B．
题型二： 用不等式表示不等关系
5．如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过40km/h，若某汽车的时速为
akm/h，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）A．a<40 B．a≤40 C．a>40 D．a≥40
【答案】B
【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键．
根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答．
【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过40km/h，某汽车的时速为akm/h，且该汽车没有超速，
∴a≤40，
故选：B．
6．据郑州市气象台报道，明天最低气温是6°C，最高气温是17°C，那么明天气温t(°C)的范围是（ ）
A．t<6 B．66
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是6°C，最高气温是
17°C得到取值范围即可．
【详解】解：明天最低气温是6°C，最高气温是17°C，那么明天气温t(°C)的范围是6≤t≤17．
故选C．
7.．生物兴趣小组在恒温培养箱里培育A，B两种菌种，A种菌种的生长温度x的取值范围是
35°C≤x≤38°C，B种菌种的生长温度y的取值范围是34°C≤ y≤36°C，恒温培养箱里的温度t的取值范
围应该是 （用不等式表示）．
【答案】35°C≤t≤36°C
【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据两个不等式的公共部分解答即可．
【详解】解：A种菌种的生长温度x的取值范围是35℃≤x≤38℃，B种菌种的生长温度y的取值范围是
34℃≤ y≤36℃，
所以恒温培养箱里的温度t的取值范围是35℃≤t≤36℃．
故答案为：35℃≤t≤36℃．
8．根据下列关系列出不等式．(1)x2是非负数；
(2)x的相反数与1的差小于2；
(3)x与7的和比x的2倍小；
(4)x的2倍与5的和是正数；
(5)a，b两数的平方差不小于1．
【答案】(1)x2≥0
(2)−x−1<2
(3)x+7<2x
(4)2x+5>0
(5)a2−b2≥1
【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键．
（1）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（2）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（3）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（4）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（5）根据不等量关系直接列出不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：x2≥0
（2）解：由题意得：−x−1<2
（3）解：由题意得：x+7<2x
（4）解：由题意得：2x+5>0
（5）解：由题意得：a2−b2≥1
题型三： 不等式的解与不等式的解集
9．下列各数中，是不等式x＞2解的是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．﹣1
【答案】A．
【分析】判断各个选项是否满足不等式的解即可．
【详解】解：四个选项中的数满足不等式x＞2的值只有3，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式解的概念，关键是明白解集的概念．
10．x＝3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x﹣1＜0 B．x+1＜4 C．2x﹣3＞4 D．2x+3＜10【答案】D．
【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的答案．
【详解】解：A．x﹣1＜0，则x＜1，故此选项不合题意；
B．x+1＜4，则x＜3，故此选项不合题意；
7
C．2x﹣3＞4，则x＞ ，故此选项不合题意；
2
7
D．2x+3＜10，则x＜ ，故此选项符合题意；
2
故选：D．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．x＝3是2x＞3的一个解 B．x＝3是2x＞3的解集
C．x＝3是2x＞3的唯一解 D．x＝3不是2x＞3的解
【答案】A．
【分析】求出不等式2x＞3的解集，进行判断．
【详解】解：2x＞3，x＞1.5，
即x＞1.5是2x＞3的解集，
A、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项A正确；
B、x＝3不是2x＞3的解集，所以选项B不正确；
C、因为x＞1.5是2x＞3的解集，即满足x＞1.5的所有实数都是2x＞3的解，所以x＝3不是2x＞3的唯
一解，不等式2x＞3有无数个解，所以选项C不正确；
D、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，做好本题要明确不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一
些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都
在它的解集的范围内．
12．下列说法中，正确的有（ ）
①4是不等式x+3＞6的解
②x+3＜6的解集是x＜2
③3是不等式x+3≤6的解
④x＞4是不等式x+3≥6解集的一部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C．
【分析】根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】解：①不等式x+3＞6的解集为：x＞3，所以4是不等式x+3＞6的解正确；
②x+3＜6的解集是x＜3，故x+3＜6的解集是x＜2错误；
③3是不等式x+3≤6的解正确；
④不等式x+3≥6解集为：x≥3，故x＞4是不等式x+3≥6解集的一部分正确．
此题正确的说法有3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．
题型三： 在数轴上表示不等式的解集
13．若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x−2<0 B．x−2>0 C．x+2<0 D．x+2>0
【答案】A
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【详解】解：A、x<2，故A符合题意；
B、x>2，故B不符合题意；
C、x<−2，故C不符合题意；
D、x>−2，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用
空心圆点表示．
14．不等式﹣2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】首先求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式得x≤-2，
x≤-2表示-2左边的数（包括-2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的
个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
15．解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）
A．x<2 B．x≤2 C．x>2 D．x≥2
【答案】C
【分析】根据数轴可以得到不等式的解集．
【详解】解：根据不等式的解集在数轴上的表示，向右画表示>或 ，空心圆圈表示>，故该不等式的解集
为x>2； ⩾
故选C
【点睛】本题要考查的是在数轴上表示不等式的解集，运用数形结合的思想是本题的解题关键
16．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x+2>0 B．x−2<0 C．2x≥4 D．2−x<0
【答案】B
【分析】逐项解不等式，选择符合题意的一项．
【详解】图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得x≥2 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次
不等式，主要是要细心．
▲1、不等式的定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）连接的式子叫作不等式.
▲2.知识归纳
①不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
③求不等式解集的过程叫作解不等式
