文档内容
2.1 不等式及其性质 导学案
第2课时 不等式的基本性质
1.理解并掌握不等式的三个基本性质，能清晰区分性质与等式性质的异同。
2.灵活运用不等式的性质解决含参或稍复杂的变形问题，准确区分其与等式性质的差异。
学习重点：掌握不等式的三条基本性质，正确进行变形。
学习难点：在乘或除以负数时，不等号方向要改变；并合理区分不等式与等式操作的差别。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
情景引入
经过上节课的学习，你还记得什么是不等式吗？不等式的解和解集又是如何区分的呢？
（1）不等式的定义：
即用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）连接的式子
（2）不等式的解与解集：
①解：能使不等式成立的单个具体数值，是 “满足条件的个体”
②解集：能使不等式成立的所有数值的全体，是 “所有解的集合”，通常用 “不等式表示” 或 “数轴
表示”
下面，我们将类比等式的性质研究不等式所具有的性质.
新知自研：自研课本第58--60页的内容．
【学法指导】
自研课本P2-3页例题上面的内容，思考：
●探究一：不等式的性质
◆1.想一想
根据不等式的特点，我们不难理解以下结论.
①不等式的对称性
文字表述：如果一个数大于另一个数，那么另一个数必然小于这个数符号语言：
如果 a>b，那么 b< a
②不等式的传递性
文字表述：如果第一个数小于（或大于）第二个数，且第二个数小于（或大于）第三个数，那么第一个数
小于（或大于）第三个数
符号语言：
如果 ab，那么 a±c>b±c（c 为任意数或代数式）
②如果 a ，使其符合“x>a”的形式.
2 4
【分析】利用不等式两边都加（或减）同一个数（或代数式），不等号的方向不变求解
1
【解答】解：不等式两边同时加 ，得
2
1 1 3 1
x− + > +
2 2 4 2
5
化简得： x>
4●探究点三：不等式的基本性质2、3
◆1.想一想
（1）等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式.这一性质在不等式上是否成立？
变形后的不等号不变
由此可以发现：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
(2)刚刚所乘或除的数全都是正数，现在将它们全都变成负数，以上结论还成立吗？
变形后的不等号全都和原来的相反
由此可得：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变
◆2.知识归纳
不等式的基本性质：
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
a b
符号语言：如果 a>b 且 c>0，那么 ac>bc， ＞ .
c c
3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
a b
符号表示： 如果 a>b 且 c<0，那么 ac16 .
解：依据性质3变形
不等式两边同时除以 −4（负数）
不等号方向由“>”变为“<”：
-4x 16
<
-4 -4化简得：x<−4
x
②求解不等式 ≤2
3
解：依据性质2变形：
不等式两边同时乘 3，得：
x
×3≤2×3
3
化简得： x≤6
◆4.典例分析
例1 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上.
（1）x−5>−1
解：根据不等式的基本性质1
两边都加5，得
x>−1+5
即 x>4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
（2）−2x≥3
解：根据不等式的基本性质3
两边都除以−2（注意不等号方向改变）
得x≤−3/2
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
◆5.思考交流
等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式.这一性质在不等式上是否成立？
联系：①加减运算上，两者行为一致，（不等式方向不变）
②传递性逻辑相似，但不等式传递时有方向③在正数范围内，乘除正数的性质与等式类似（不等号方向不变）
区别：①乘或除以负数时不等号反向
②不等式没有“两边同时消去”的简单保号性
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.不等式的三个基本性质以及如何用字母表示；
B.交流典例的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．若 a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a−2−3b
a b
C. 2a>b+2 D. >
2 2
解：D．
2.已知 mn+2 B. m−3>n−3
m n
C. −5m>−5n D. >
4 4
解：C．
3.若 x>y，则下列变形错误的是（ ）
A.x+5>y+5 B. x−(−3)>y−(−3)
x y
C. −2x<−2y D. >
-1 -1
解：D
4.若x(a−1)y，则a的取值范围是________.
解：a＜1
1
5. 若关于x的不等式(a+2)x>1的解集是x< ，则a的取值范围是________．
a+2
解：a<−2
6.设a>b，则2a−5 ______2b−5
解：＞7.已知❑√a(a−❑√3)＜0，若b=2−a 则b的取值范围___________.
解: 2−❑√3＜b＜2
8.解不等式 2x−5<3 ，并在数轴上表示解集.
解：两边加5（性质1），得：
2x−5+5<3+5
化简得：2x<8
两边除以2（性质2），得：
x<4
数轴表示：
9.解不等式 −3x+1≥−8，并在数轴上表示.
解：两边减1（性质1），得：
−3x+1−1≥−8−1
化简得：−3x≥−9
两边除以−3（性质3），得：
-3x -9
≤ （不等号方向改变）
-3 -3
化简得：x≤3
数轴表示：
题型一：判断不等式的变形是否正确
1．若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
a b
A．﹣a＜﹣b B． ＞ C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
c c
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不符合要求；
a b
a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得 ＞ ，故B正确，符合要求；
c ca＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；
a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
2．如果x＜y，那么下列不等式变形正确的是（ ）
x y
A． ＜ B．﹣3x＜﹣3y C．x﹣3＞y﹣3 D．x+1＞y+1
3 3
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
x y
【解答】解：如果x＜y，两边同时除以3得 ＜ ，则A符合题意；
3 3
如果x＜y，两边同时乘以﹣3得﹣3x＞﹣3y，则B不符合题意；
如果x＜y，两边同时减去3得x﹣3＜y﹣3，则C不符合题意；
如果x＜y，两边同时加上1得x+1＜y+1，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
a b
A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．1﹣5a＜1﹣5b D． ＞
c c
【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+5＞b+5，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣5b，
∴1﹣5a＜1﹣5b，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
a b a b a b
∴c＞0时， ＞ ；c＝0时， 、 均无意义；c＜0时， ＜ ，
c c c c c c
∴选项D符合题意．故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一
个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．若m＞n，则下列式子中一定成立的是（ ）．
m n
A．m﹣3＜n﹣3 B． ＜
3 3
C．2﹣3m＜2﹣3n D．（a﹣3）m＜（a﹣3）n
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵m＞n，
∴m﹣3＞n﹣3，
故不符合题意；
B、∵m＞n，
m n
∴ ＞ ，
3 3
故不符合题意；
C、∵m＞n，
∴﹣3m＜﹣3n，
∴2﹣3m＜2﹣3n，
故符合题意；
D、∵m＞n，
∵（a﹣3）的符号不确定，
∴（a﹣3）m＜（a﹣3）n不一定成立，
故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
题型二 利用不等式的性质比较大小
1 1
5．若a＜b＜0，则﹣a ﹣b，|a| |b|， ．
a b
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得﹣a＞﹣b；根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得|a|＞|b|．
1 1
根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得 ＞ ．
a b
故答案为：＞，＞，＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：①不等
式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两
边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
6．已知a＜b，且c+1＜0，则ac bc．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【分析】根据不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵c+1＜0，
∴c＜﹣1．
∵a＜b，
∴ac＞bc．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
7．阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较❑√3与2❑√2−❑√3的大小．
解：∵❑√3−（2❑√2−❑√3）
=❑√3−2❑√2+❑√3
＝2❑√3−2❑√2＞0，
∴❑√3 2❑√2−❑√3．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
【分析】（1）根据“A﹣B＞0，则A＞B”作答；
（2）利用作差法进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：若A﹣B＞0，则A＞B，
∵❑√3−（2❑√2−❑√3）＝2❑√3−2❑√2＞0，
∴❑√3＞2❑√2−❑√3．
故答案为：＞；
（2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7，
∵a2+1＞0，
∴7a2+7＞0．
∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0，
∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．
【点评】本题考查不等式的性质和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解决本题的关键．
8．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b＝0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，
不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，等式的
两边同时加上b即可；
（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式
的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【解答】解：（1）因为a﹣b＞0，
所以a﹣b+b＞0+b，
即a＞b；
（2）因为a﹣b＝0，
所以a﹣b+b＝0+b，
即a＝b；
（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，
即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为：＞、＝、＜．
【点评】（1）此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等
式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．
题型三 利用不等式的性质确定字母的取值范围
9．若x＜y，且（a﹣2）x＞（a﹣2）y，则a的取值范围是 ．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：∵x＜y，且（a﹣2）x＞（a﹣2）y，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2．
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不
变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同
一个负数，不等号的方向改变．
10．若不等式（m﹣5）x＞（m﹣5），两边同除以（m﹣5），得x＜1，则m的取值范围为 ．
【分析】运用不等式的性质解题即可．
【解答】解：由题可知：m﹣5＜0，
解得：m＜5．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，
是解本题的关键．3
11．若关于x的不等式（2﹣a）x＞3可化为x＜ ，则a的取值范围是 ．
2−a
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
3
【解答】解：若关于x的不等式（2﹣a）x＞3可化为x＜ ，则2﹣a＜0，
2−a
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个负数，不等号的方向改变．
6
12．已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜ ，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
m−1
【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得 m﹣1＜0，
所以m＜1；然后判断出2﹣m的正负，求出|m﹣1|﹣|2﹣m|的值是多少即可．
6
【解答】解：因为（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜ ，
m−1
所以m﹣1＜0，m＜1，
所以2﹣m＞0，
所以|m﹣1|﹣|2﹣m|
＝（1﹣m）﹣（2﹣m）
＝1﹣m﹣2+m
＝﹣1
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式
的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是
判断出m﹣1＜0．
题型四 利用不等式的性质解简单不等式
13．（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1；
（2）﹣x﹣2＜7．
【分析】（1）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式
子，不等号的方向不变，求解即可；（2）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等
号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
【解答】解：（1）两边同时减去4x，
得5x﹣4x＞4x﹣1﹣4x，
即x＞﹣1；
（2）两边同时加上2，
得﹣x＜9，
两边同时乘﹣1，
得x＞﹣9．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
14．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
1
（1）− x＞﹣1；
2
1
（2）x＞ x﹣6．
2
【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边都乘﹣2，进行计算即可解答；
1
（2）根据不等式的性质：不等式两边都减去 x，然后不等式两边都乘2，进行计算即可解答．
2
1
【解答】解：（1）∵− x＞﹣1，
2
∴x＜2；
1
（2）x＞ x﹣6，
2
1
x− x＞﹣6，
2
1
x＞﹣6，
2
x＞﹣12．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
15．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：
（1）x﹣2＜3；（2）4x＞3x﹣5；1 7
（3） x＜ ；（4）﹣8x＜10．
10 10
【分析】（1）按照不等式的性质1，不等式两边同时加上2，计算即可；
（2）按照不等式的性质1，不等式两边同时减去3x，计算即可；
1
（3）按照不等式的性质，2，不等式两边同时除以 ，计算即可；
10
（4）按照不等式的性质3，不等式两边同时除以﹣8，计算即可．
【解答】解：根据不等式的基本性质，变形
（1）由x﹣2＜3得：
x＜2+3，
∴x＜5；
（2）由4x＞3x﹣5得：
4x﹣3x＞﹣5，
∴x＞﹣5；
1 7
（3）由 x＜ 得：
10 10
7 1
x＜ ÷ ，
10 10
∴x＜7；
（4）由﹣8x＜10得：
x＞10÷（﹣8），
5
∴x＞− ．
4
【点评】本题考查了不等式的性质在解不等式中的应用，掌握不等式的性质并熟练运用是解题的关键．
16．利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x+5＞﹣2；
（2）4x＞36；
1
（3）− x＞3；
4
1
（4）x+ ＜0．
2
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：（1）∵x+5＞﹣2，
∴x＞﹣2﹣5，∴x＞﹣7；
（2）∵4x＞36，
∴x＞9；
1
（3）∵− x＞3，
4
∴x＜﹣12；
1
（4）∵x+ ＜0，
2
1
∴x＜− ．
2
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，
不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的
两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
▲1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变
符号表示：
①如果 a>b，那么 a±c>b±c（c 为任意数或代数式）
②如果 ab 且 c>0，那么 ac>bc， ＞ .
c c
▲3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
a b
符号表示： 如果 a>b 且 c<0，那么 ac
