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2.1 不等式及其性质
题型一 判断是否是不等式
1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）下列式子中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ 中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
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学科网（北京）股份有限公司6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二 用不等式表示数量关系
1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）用适当的式子表示 与 的和是负数： ．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示：
(1)x的4倍与3的差是正数：________________．
(2)a与b的积小于7：________________．
(3)a，b两数的平方和大于10：_____________________．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示：
(1)a是负数．
(2)x比 大．
(3)m与n的差不大于2．
(4)x与 的差是正数．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系：
(1)x的2倍与3的和小于15．
(2)y的一半与1的差是负数．
(3) 与1的和不小于6．
题型三 不等式的解集
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有 这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知 是某不等式的一个解，这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若 是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中， 时，不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是 ，下列表述不正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．0是这个不等式的解． B． 不是这个不等式的解．
C．大于 的数都是这个不等式的解． D．小于 的数都不是这个不等式的解．
7．（24-25七年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为 的不等式： ．
题型一 不等式的性质
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果 ，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知 ，则下列事件中随机事件的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知 ， 是两个有理数， ， ，对于下列三个
结论：（1） 且 ；（2） ；（3） 且 ．正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知 ，请用“>”或“<”填空：
(1) ________ ；
(2) ________ ；
(3) ________ ；
(4) ________ ．
题型二 作差法比较大小
1．（18-19八年级下·山东聊城·期中）已知： ； ，则 的大小关系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D． 的大小关系不能确定
2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的
符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动：
(1)完成表格：
比较 与0的 比较a与b的
a b
大小 大小
5 3
5 ①
②
(2)发现规律： 若 ， 则a b； 若 ， 则a b； 若 ，则 ．
(3)利用数式通性，借助上面的规律比较 与 的大小关系．
题型三 不等式的应用
1．（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所
示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位： ），右侧数字代表该车道车型的
最低通行车速（单位： ）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车
速v的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·广西玉林·期中）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已
连接好三段篱笆 ， ， ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 ， 可分别绕轴 和 转
动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量
为 ，请用不等式表示x的取值范围．
用法用量：口服，每次 ，一日 次
规格：□□□□
贮藏：□□□□
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)长为a、宽为 的长方形的面积小于边长为 的正方形的面积．
(2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍
有空余座位．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样
一个代数命题：“有两个数 和 ．若 ．则一定有 ”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若 ，则一定有
．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
6．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下：
一次性购物的金额 促销方式
不超过200元 全部九折
超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折
某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品．
(1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式．
(2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式．
7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由 得， ；如果两个正数 ， ，即
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学科网（北京）股份有限公司， ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1) 的最小值为_____；
(2)当 时，式子 的最小值为_____；
(3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形 花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20
米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的 、 各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是
多少米？
题型一 不等式及其性质综合
1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（ ）
①已知 ，则 ；
②已知 ， ， 是非零的有理数，且 时，则 的值为 或 ；
③已知 ， ， 是有理数，且 ， 时，则 的值为 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司④已知 时，那么 的最大值为 ，最小值为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）对于任意实数a，b，都有 ，特别地，当a，b都为
正数时，有 ，当且仅当 时等号成立．已知 ， ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）（多选）
A．xy的最大值为 B． 的最大值为
C． D． 的最小值为
3．（25-26八年级上·天津南开·月考）（1）若 ，求 的值；
（2）已知 中三个角 所对的三边分别为 ．求证： ．
4．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规定无理数 的
“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，所以 的“青一区间”为 ，
的“青一区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“青一区间”是_____； 的“青一区间”是_____；
(2)若无理数 （ 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ，求 的
值；
(3)实数 ， ， 满足关系式： ，求 的算术
平方根的“青一区间”．
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