文档内容
2.1 两条直线的位置关系
余角、补角、对顶角的概念和性质
知识点一
（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
（4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条
相交线可组成4对邻补角）
（5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两
条相交线组成2对对顶角）
（6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）
垂线的概念和性质
知识点二
（1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。
（实际上，四个角都为直角）
（2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：
AB⊥CD，读作：AB垂直于CD
（3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直
注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ：①必须强调在同一平面内；②点可在直线外，也可在直线上。
（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。
（4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）
（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度题型一 对顶角与邻补角的性质
【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中 与 是对顶角的是
A． B．
C． D．
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的
两个角，互为对顶角．由此即可判断．
【解答】解： 、 与 没有公共顶点， 与 不是对顶角，故 不符合题意；
、 与 是对顶角，故 符合题意；
、 与 两边不互为反向延长线， 与 不是对顶角，故 不符合题意；
、 与 两边不互为反向延长线， 与 不是对顶角，故 不符合题意．
故选 ．解题技巧提炼
解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义
【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中， 和 是对顶角的是
A． B． C． D．
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，
逐项进行观察判断即可．
【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶
角，观察选项，只有 选项符合，
故选： ．
【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中， 和 是对顶角的是
A． B．
C． D．
【分析】利用对顶角的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解： 、 与 两边不互为反向延长线， 与 不是对顶角，故 不符合题意；
、 与 没有公共顶点， 与 不是对顶角，故 不符合题意；
、 与 两边不互为反向延长线， 与 不是对顶角，故 不符合题意；
、 与 是对顶角，故 符合题意．
故选： ．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角A．3对 B．6对 C．12对 D．16对
【分析】利用对顶角定义可得答案．
【解答】解：两条直线相交于一点，共有对顶角的对数为2对，
三条直线两两相交，有三个交点，共有对顶角的对数为6对．
故选： ．
【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线 ， 交于点 ，则图中互为补角的角对数有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据补角的定义进行判断即可．
【解答】解： 与 ， 与 ， 与 ， 与 互为补角，
故选： ．
【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若 与 互余， 与 互补， 与 是对顶角，则 与
的数量关系是
A． B． C． D．
【分析】根据 与 互余， 与 互补， 与 是对顶角求出 ，解答即可．
【解答】解： 与 互余， 与 互补， 与 是对顶角，
， ， ，
，
，
故选： ．题型二 垂线的唯一性及画法
【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线 ， 相交于点 ， 于点 ， 平分
， ，则下列结论中不正确的是
A． B．
C． 与 互为补角 D． 的余角等于
【分析】由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．
【解答】解： ，
，
平分 ，
，
和 是对顶角，
，
与 是邻补角，
与 互为补角，
的余角等于 ，
的余角等于 ，
故选： ．解题技巧提炼
熟练掌握各种角的定义是解题的关键
【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线 外任取一点 ，过点 画直线 的垂线，可画
出的垂线有
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．
【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选： ．
【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点 向线段 所在的直线画垂线，正确的画法是
A． B．
C． D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【解答】解： 选项，没有过点 ，过该选项不符合题意；
选项，过点 作 的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
选项， 为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；选项， 没有垂直于 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式2-3】如图所示，过点 画直线 的垂线和斜线，下列说法中正确的是
A．垂线和斜线都只能画一条
B．垂线只能画一条，斜线可画无数条
C．垂线能画两条，斜线可画无数条
D．垂线和斜线均可画无数条
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可解答本题．
【解答】解：过点 画直线 的垂线和斜线，垂线只能画一条，斜线可画无数条，
故选： ．
【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点 作线段 所在直线的垂线段时，
有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是
A． B．
C． D．
【分析】满足两个条件：①经过点 ；②垂直 ，由此即可判断．
【解答】解：根据垂线段的定义可知， 选项中线段 ，是点 作线段 所在直线的垂线段，
故选： ．
【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点 的直线 ， ， ， 中，有一条直线与直线 垂直，请借助三角板判断，与直线 垂直的直线是
A． B． C． D．
【分析】利用三角板，一条直角边与 对齐，另一条直角边经过的直线即为所求．
【解答】解：把三角板的一条直角边与 重合，慢慢移动，在此过程中，
直线 经过三角板的另一条直角边，所以说与直线 垂直的直线是 ，
故选： ．
题型三 垂线段最短
【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄 去村外的河边饮马，有三条路 、 、
可走，将军沿着 路线到的河边，他这样做的道理是
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：将军要从村庄 去村外的河边饮马，有三条路可走 、 、 ，将军沿着 路线到的
河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选： ．解题技巧提炼
解题关键是熟悉垂线段最短的知识点
【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中 与 垂直，嘉嘉和淇淇分别从
， 处同时出发，沿 ， 匀速骑车到 城．若两人同时到达，则下列判断正确的是
A．嘉嘉的骑车速度更快
B．淇淇的骑车速度更快
C．两人的骑车速度一样快
D．无法判断两人骑车速度的快慢
【分析】根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知 ，
然后根据速度公式即可判断．
【解答】解： 与 垂直，
，
若他们同时到达，根据速度公式可得，
淇淇骑车的速度快，嘉嘉骑车的速度慢．
故选： ．
【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点 到直线公路 共有四条路，若要从点 到公路，
用相同速度行走，最快到达的路径是A． B． C． D．
【分析】从点 到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点 到公路 的距离最短，根据垂线段最
短得出答案．
【解答】解： 从点 到公路，用相同速度行走，最快到达，
需要点 到公路 的距离最短，
垂线段最短，
是最快到达的路径．
故选： ．
【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池 中，他们先过 点作 ，
垂足为 ， 为河岸，然后沿 开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，
故选： ．
【变式3-4】（2022春•上林县期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄 处，为节
省材料，他们过点 向河岸 作垂线，垂足为点 ，于是确定沿 铺设水管，这样做的数学道理是A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
【分析】根据垂线段最短进行判断．
【解答】解：因为 于点 ，根据垂线段最短，所以 为 点到河岸 的最短路径．
故选： ．
【变式3-5】（2022秋•唐河县期末）如图，现要从幸福小区 修建一条连接街道 的最短小路，过点
作 于点 ，沿 修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 垂线段最短 ．
【分析】由垂线的性质，即可判断．
【解答】解：过点 作 于点 ，沿 修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是：垂线段
最短．
故答案为：垂线段最短．
题型四 点到直线的距离
【例题4】（2022春•邛崃市期中）如图，点 是直线 外的一点，点 、 、 在直线 上，且 ，垂足是 ， ，则下列不正确的语句是
A．线段 的长是点 到直线 的距离
B． 、 、 三条线段中， 最短
C．线段 的长是点 到直线 的距离
D．线段 的长是点 到直线 的距离
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解： 、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
、根据垂线段最短可知此选项正确；
、线段 的长是点 到直线 的距离，故选项错误；
、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选： ．
解题技巧提炼
按照点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质解题．
【变式4-1】（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线 外一点 与直线上各点的连线中， ，
， ， ，则点 到直线 的距离为
A．3 B．4 C．4.3 D．5
【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．【解答】解： 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
点 到直线 的距离为垂线段 的长度，
故选： ．
【变式 4-2】（2022春•海沧区校级期末）如图，点 在直线 上，点 ， 在直线 上， ，
， ， ，则下列说法正确的是
A．点 到直线 的距离等于4 B．点 到直线 的距离等于4
C．点 到 的距离等于4 D．点 到 的距离等于3
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：在 中， ，
根据点到直线的距离的概念可知，
点 到直线 的距离等于4，
点 到直线 的距离等于5，
点 到 的距离等于3，
点 到 的距离等于 ．
故选： ．
【变式4-3】（2022春•平桂区 期末）如图，直线外一点 ，点 、 、 、 都在直线 上，则点
到直线 的距离是A．线段 的长度 B．线段 的长度 C．线段 的长度 D．线段 的长度
【变式4-4】（2022秋•香坊区校级期中）如图， ，点 到线段 的距离指的是下列哪条线
段的长度
A． B． C． D．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解： ，
，
点 到线段 的距离指的是线段 的长度．
故选： ．
【变式4-5】（2022春•双峰县期末）如图，点 在点 北偏东 的方向，点 在点 北偏西 的方
向，且 ，则点 到直线 的距离是
A． B． C． D．
【分析】根据已知证明 ，再根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答．
【解答】解：如图，由题意得， ， ， ，
，
，
，
，
，
点 到直线 的距离 ．
故选： ．
题型五 余角与补角的定义
【例题5】（2022秋•思明区校级月考）已知 ，则它的补角为
A． B． C． D．
【分析】由补角的概念，即可计算．
【解答】解： ．
故选： ．
解题技巧提炼
熟练掌握余角和补角的定义进行解题。
【变式5-1】（2022春•碑林区期末）已知 ，则 的补角等于
A． B． C． D．【分析】利用互补两角和为 求解即可．
【解答】解： 互补两角和为 ，
的补角为 ．
故选： ．
【变式5-2】（2021秋•天元区校级期末）一个角的度数是 ，则它的余角的度数为 4 8 ．
【分析】根据余角的定义进行计算即可．
【解答】解：一个角的度数是 ，则它的余角的度数为 ，
故答案为：48．
【变式5-3】（2022秋•大冶市期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为 ．
【分析】根据余角和补角的概念以及题意可设这个角为 ，得到关于 的方程，于是得到结论．
【解答】解：设这个角的度数是 ，根据题意，列方程得：
，
解方程，得 ．
答：这个角的度数 ．
故答案为： ．
【变式5-4】（2021秋•零陵区期末）一个角的度数为 ，那么这个角的补角度数为 ．
【分析】根据补角的和等于 计算即可．
【解答】解： 一个角的度数是 ，
它的补角 ．
故答案为： ．
【变式5-5】（2021秋•余干县校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的 4倍大 ，则这个角是
．
【分析】设这个角为 ，则其余角为 ，补角为 ，根据题意可列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个角为 ，则其余角为 ，补角为 ，
由题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
题型六 相交线中角度的计算【例题6】如图，直线 ， 相交于点 ，已知 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】设 ，根据邻补角的概念得到 ，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设 ，
则 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
故选： ．
解题技巧提炼
熟练掌握各角知识点的定义进行解题。
【变式 6-1】（2022 秋•东方期末）如图，已知直线 、 相交于点 ， 平分 ，若
，则 度数是
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角平分线的性质，可得 ，进而得到答案．
【解答】解： ，
，
平分 ，
．
故选： ．
【变式 6-2】（2022秋•万全区期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂直为点 ，
，则
A． B． C． D．
【分析】利用对顶角的定义结合垂线的定义得出 求出即可．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．
【变式 6-3】2022•邹城市校级开学）如图，在 内部作 ， 平分 ．若
，则
A． B． C． D．
【分析】由角平分线的定义可求 ，由垂直的定义得到 ，即可求出 ．
【解答】解： 平分 ，
，，
，
．
故选： ．
【变式6-4】（2021秋•岳阳楼区期末）如图，直线 和直线 相交于点 ， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的意义进行计算即可；
（2）根据邻补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 的大小，再由对顶角相等得出答
案．
【解答】解：（1） 直线 和直线 相交于点 ， ，
，
又 平分 ．
；
（2） ， ，
， ，
又 平分 ．
，
．
【变式 6-5】（2022 春•碑林区校级月考）如图，直线 与 相交于点 ， ，
，射线 平分 ，求 的度数．【分析】根据角平分线的定义以及对顶角、平角的定义，列方程求解即可．
【解答】解： 射线 平分 ，
，
由于 ，可设 ，则 ，
又 ，
，
，
，
解得 ，
，
答： 的度数为 ．
