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2.1 不等式及其性质
题型一 判断是否是不等式
1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）下列式子中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如
、 、 、 、 ）的式子是不等式，否则不是．
【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“ ”使用等号，是等式，∴D不是不等式．
故选：D．
2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）下列式子中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 是代数式，该选项不合题意；
、 是等式，该选项不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司、 是不等式，该选项符合题意；
、 是代数式，该选项不合题意；
故选： ．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “ ”“ ”“ ”“ ”
“ ” 连接的式子叫做不等式．
根据不等式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 是等式，故本选项不符合题意；
B、 是代数式，故本选项不符合题意；
C、 是不等式，故本选项符合题意；
D、 是代数式，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（23-24八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解
题的关键．
【详解】解： 、 是等式，故 不符合题意；
、 是不等式，故 符合题意；
、 是代数式，不是不等式，故 不符合题意；
、 是等式，故 不符合题意；
故选： ．
5．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ 中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 表示不等关系的式子，叫不等式．
根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：依题意，不等式有：① ，② ，⑤ ，⑥ ，共4个，
故选：C．
6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）以下式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行
判断即可
【详解】解：① 是等式，不符合题意；
② 是不等式，符合题意；
③ 是不等式，符合题意；
④ 不是不等式，不符合题意；
⑤ 是不等式，符合题意；
⑥ 是不等式，符合题意；
有4个不等式，
∴故选：C
题型二 用不等式表示数量关系
1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）用适当的式子表示 与 的和是负数： ．
【答案】
【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可．
【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零，
所以表示为 ．
故答案为： ．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示：
(1)x的4倍与3的差是正数：________________．
(2)a与b的积小于7：________________．
(3)a，b两数的平方和大于10：_____________________．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系．
（1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得；
（2）根据积的定义列出不等式即可得；
（3）根据平方和的定义列出不等式即可得．
【详解】（1）解： 的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为 ．
故答案为： ．
（2）解： 与 的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为 ．
故答案为： ．
（3）解： 与 的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为 ．
故答案为： ．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示：
(1)a是负数．
(2)x比 大．
(3)m与n的差不大于2．
(4)x与 的差是正数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．
大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示．
（1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式；
（2）“x比 大”意味着x大于 ，即可列出不等式；
（3）“m与n的差”表示为 ，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式；
（4）“x与 的差”表示为 ，即 ，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式．
【详解】（1）解：由题意，得 ．
（2）解：由题意，得 ．
（3）解：由题意，得 ．
（4）解：由题意，得 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系：
(1)x的2倍与3的和小于15．
(2)y的一半与1的差是负数．
(3) 与1的和不小于6．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”
“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模．
（1）“x的2倍”表示为 ，“与3的和”表示再加上3，即 ，“小于15”意味着该表达式的值比
15小，用不等号“ ”连接，即可列出不等式；
（2）“y的一半”表示为 ，“与1的差”表示减去1，即 ，“是负数”表示该表达式小于0，即
可列出不等式；
（3）“ 与1的和”表示为 ，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“ ”连接，即
可列出不等式．
【详解】（1）解：由题意，得 ．
（2）解：由题意，得 ．
（3）解：由题意，得 ．
题型三 不等式的解集
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有 这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键．
将 代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解.
【详解】A、当 时， ，成立，不符合题意；
B、当 时， ， ，不成立，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、当 时， ， ，成立，不符合题意；
D、当 时， ， ，成立，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知 是某不等式的一个解，这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键．
将 代入各个不等式，即可得到答案．
【详解】解：对于选项A： ，不成立；
对于选项B： ，不成立；
对于选项C： ，不成立；
对于选项D： ，成立．
故选：D．
3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）下列不等式的解集中，不包括 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可．
【详解】解： 中不包括 ，
故选：C．
4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若 是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
【详解】解：A、 中包含 ，符合题意；
B、 中不包含 ，不符合题意；
C、 中不包含 ，不符合题意；
D、 中不包含 ，不符合题意；
故选：A．
5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中， 时，不等式成立的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的解，把 代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的
关键．
【详解】解： 、把 代入得， ，该选项不合题意；
、把 代入得， ，该选项不合题意；
、把 代入得， ，该选项不合题意；
、把 代入得， ，该选项符合题意；
故选： ．
6．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是 ，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B． 不是这个不等式的解．
C．大于 的数都是这个不等式的解． D．小于 的数都不是这个不等式的解．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等
式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可．
【详解】解：A、∵某不等式的解集是 ，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是 ，
∴ 不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是 ，
∴大于 的数都是这个不等式的解，大于 且小于等于 的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是 ，
∴小于 的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C
7．（24-25七年级下·湖北随州·期末）写出一个解集为 的不等式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，
通过合理的变形得到不等式．
【详解】解：∵ ，
解得： ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一）．
题型一 不等式的性质
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如果 ，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等
号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘
以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不
等式的性质对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、如果 ，则 ，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，
不符合题意；
B、如果 ，则 ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符
合题意；
C、如果 ，则 ，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符
合题意；
D、如果 ，则 ，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号
不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改
变”是解题的关键．
根据不等式的性质，逐项判定即可．
【详解】解：选项A： ， ，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司选项B： ， ，不符合题意；
选项C： ， ，不符合题意；
选项D： ， ，符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等
号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负
数，不等号方向改变．依据不等式的基本性质，即可得出结论．
【详解】解： 、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
、若 ，则 ，故本选项符合题意；
、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
4．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知 ，则下列事件中随机事件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式性质和随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
由于 ，选项A、B、D均为必然事件，而选项C中 可能大于0也可能小于0，故为随机事件
【详解】解：∵ ，
∴A ，必然成立，是必然事件；
B ∶ ，必然成立，是必然事件；
C∶ 仅当 时成立，但 且 可能小于 ，故 可能成立也可能不成立，为随机事件，
D∶ ，必然成立，是必然事件；
故∶选 C．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的
问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘
以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由 ，得到 ，原写法错误，不符合题意；
B、由 ，得到 ，原写法正确，符合题意；
C、由 ，得到 ，原写法错误，不符合题意；
D、由 ，得到 ，原写法错误，不符合题意；
故选：B．
6．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知 ， 是两个有理数， ， ，对于下列三个
结论：（1） 且 ；（2） ；（3） 且 ．正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的基本性质以及有理数的乘法法则，解题的关键是掌握不等式的基本性质与有
理数的运算法则．根据给定不等式 和 ，推导 和 的符号关系，并逐一判断三个结论的正确
性即可解答．
【详解】解：（1） ， 当 时， ；当 时， ，故此结论错误；
（2）若 ，则 、 异号， 当 时， ，则 ，与条件矛盾，故此结论错误；
（3） ， 若 ，则 不成立，故 ， ， ，若 ，则 ，把
代入 ，得 ，与 矛盾，故 ，故此结论正确；
综上，仅结论（3）正确，正确个数为 ，
故选： ．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知 ，请用“>”或“<”填空：
(1) ________ ；
(2) ________ ；
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学科网（北京）股份有限公司(3) ________ ；
(4) ________ ．
【答案】(1)<
(2)<
(3)>
(4)>
【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式
的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）运用不等式的性质1进行作答即可；
（2）运用不等式的性质2进行作答即可；
（3）运用不等式的性质3进行作答即可；
（4）运用不等式的性质3进行作答即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ；
（4）解：∵ ，
∴ ．
题型二 作差法比较大小
1．（18-19八年级下·山东聊城·期中）已知： ； ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D． 的大小关系不能确定
【答案】A
【分析】先计算 的值，再根据平方的非负性确定 的大小关系．
【详解】解：∵
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、平分的非负数，正确求出 的值是解题关键．
2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）若 则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握．
通过作差法来比较 与 的大小，即计算 ，然后判断其结果的正负性．
【详解】解：已知 ， ，
将其代入 可得： ，
因为 ．
所以 ，也就是 ．
因为 ，移项可得 ．
故选：A．
3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的
符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动：
(1)完成表格：
比较 与0的 比较a与b的
a b
大小 大小
5 3
5 ①
②
(2)发现规律： 若 ， 则a b； 若 ， 则a b； 若 ，则 ．
(3)利用数式通性，借助上面的规律比较 与 的大小关系．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)① ②
(2) ；
(3)
【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质．
（1）根据表格填空即可；
（2）观察表格规律可得答案；
（3）求出 ，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：由 得 ；
由 得 ；
故答案为： ， ；
（2）解：若 ，则 ，若 ，则 ；
故答案为： ， ；
（3）解： ；
任意实数a，
．
题型三 不等式的应用
1．（25-26七年级上·吉林·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所
示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位： ），右侧数字代表该车道车型的
最低通行车速（单位： ）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车
速v的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义．
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学科网（北京）股份有限公司由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速
的范围．
【详解】解： 王师傅驾驶的车辆是货车，
王师傅应走右侧两车道，
车速 的范围是 ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·广西玉林·期中）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已
连接好三段篱笆 ， ， ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 ， 可分别绕轴 和 转
动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到 的取值范围即可求解．
【详解】解：根据题意， ， ， ，
设在篱笆 上接上新的篱笆的长度为 ，
若要围成一个三角形的空地，则 ，
解得 ，
故选项C符合题意，
故选：C．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量
为 ，请用不等式表示x的取值范围．
用法用量：口服，每次 ，一日 次
规格：□□□□
贮藏：□□□□
【答案】
【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”
“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模．
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学科网（北京）股份有限公司每次用量为 ，意味着服用药品的剂量大于或等于 且小于或等于 ，即可列出不等式．
【详解】解：∵每次 ，
∴一次服用药品的剂量 应满足 ．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)长为a、宽为 的长方形的面积小于边长为 的正方形的面积．
(2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍
有空余座位．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”
“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模．
（1）长方形的面积为 ，正方形的面积为 ，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列
出不等式；
（2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客 人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40
人，即可列出不等式．
【详解】（1）解：根据题意，得 ．
（2）解：根据题意，得 ．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样
一个代数命题：“有两个数 和 ．若 ．则一定有 ”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若 ，则一定有
．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质．
（1）根据题意举反例即可；
（2）由不等式的性质可得 ， ，即可证得结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：例如： ， ， ， ， ，得到 ．
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
6．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下：
一次性购物的金额 促销方式
不超过200元 全部九折
超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折
某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品．
(1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式．
(2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式．
【答案】(1)当 时， ；当 时，
(2)
【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键．
（1）分 和 两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可；
（2）该顾客得到的优惠超过30元时， ，根据对应的促销方式列出不等式即可．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
（2）解：当 时，得到优惠为 （元），
∵该顾客得到的优惠超过30元，
∴ ，
∴ ，
即 ．
7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由 得， ；如果两个正数 ， ，即
， ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1) 的最小值为_____；
(2)当 时，式子 的最小值为_____；
(3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形 花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20
米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的 、 各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是
多少米？
【答案】(1)
(2)
(3) 为10米， 为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米．
【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中 ，
则有下面的不等式 ，当且仅当 时取到等号．
（1）当 时，按照公式 （当且仅当 时取到等号）来计算即可．
（2）当 时，则 ，则也可以按公式 （当且仅当 时取到等号）来计算．
（3）设 ， ，则 ，再照公式 （当且仅当 时取到等号）来计算求出
的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
17 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ ， 的最小值为6．
（2）解：∵ ，
∴ ，
，
当 时，式子 的最小值为 ．
（3）解：设 ， ，
则 ，欲使 最小，
，
，
当且仅当 时取得等号，
由 ，
解得 或 （舍去）
即 为10米， 为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米．
题型一 不等式及其性质综合
1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法正确的有（ ）
①已知 ，则 ；
②已知 ， ， 是非零的有理数，且 时，则 的值为 或 ；
③已知 ， ， 是有理数，且 ， 时，则 的值为 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司④已知 时，那么 的最大值为 ，最小值为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的
加减运算，合并同类项等知识点．①由题意得 ，则 ；②当 时，则 ，分两种情
况：一是 ， ， ，二是 ， ， ，分别讨论即可；③当 且 时，
， ， ，且 、 、 三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设 ，
， ，化简求解即可；④当 时，分两种情况：当 时与当 时，分别化简求值即
可；综上，即可得出答案．
【详解】解：①由题意得 ，则 ；故①说法错误；
②当 时，则 ，
此时有两种情况：
一是 ， ， ，
则 ，
二是 ， ， ，
则 ，故②说法正确；
③当 且 时，
， ， ，
且 、 、 三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，
不妨设 ， ， ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，故③说法错误；
④当 时，分两种情况：
第一种情况：
当 时，
， ，
，
，
；
第二种情况：
当 时，
， ，
；
综上所述，当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，
故④说法正确；
综上，②④正确．
故选：A．
2．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）对于任意实数a，b，都有 ，特别地，当a，b都为
正数时，有 ，当且仅当 时等号成立．已知 ， ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）（多选）
A．xy的最大值为 B． 的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，完全平方公式的应用，
根据 可得 ，再两边平方可解答A；再根据 ，可得 ，即可说明
B；然后根据 和 ，可得 ，进而说明C；最后根据 ， 解
答D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
两边平方，得 ，
所以 的最大值是 ；
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
所以 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以正确的有A，C，D；B不正确．
故选：A，C，D．
3．（25-26八年级上·天津南开·月考）（1）若 ，求 的值；
（2）已知 中三个角 所对的三边分别为 ．求证： ．
【答案】（1） ，（2）见解析．
【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质．
（1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的
式子去表示另外两个未知数，
（2）利用三角形三边关系，可得 ， ， ，再
利用不等式性质即可证明结论．
【详解】（1）解：解关于 、 的方程：
解得 ，
所以 ，
（2）证明：在 中， 、 、 为边长
∴ ，
∴ ，
同理： ，
，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
4．（25-26八年级上·四川内江·期中）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规定无理数 的
“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，所以 的“青一区间”为 ，
的“青一区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“青一区间”是_____； 的“青一区间”是_____；
(2)若无理数 （ 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ，求 的
值；
(3)实数 ， ， 满足关系式： ，求 的算术
平方根的“青一区间”．
【答案】(1) ，
(2)2或
(3)
【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题
目中“青一区间”的定义．
（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先根据无理数 和 的“青一区间”求出a的取值范围，再根据 为正整数求出a的值，代入
即可求解；
（3）先根据 ， ，得出 ，进而得出 ，
，两式相减可得 ，再根据“青一区间”的定义即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
的“青一区间”是 ， 的“青一区间”是 ，
故答案为： ， ；
（2）解： 无理数 的“青一区间”为 ，
，
，即 ，
的“青一区间”为 ，
，
，即 ，
，
，
为正整数，
或
当 时， ，
当 时， ，
的值为2或 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解： ，
， ，
，
，
，
， ，
两式相减，得 ，
，
的算术平方根为 ，
∵
∴ ，
，
的算术平方根的“青一区间”是 ．
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