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第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．过两点有且只有一条直线 B．两点之间线段最短
C．一个角的补角一定大于这个角 D．钝角的补角一定是锐角
【答案】C
【分析】分别根据直线的定义，补角的定义以及线段的性质判断即可．
【详解】解：A．两点确定一条直线，故正确，不合题意．
B．两点之间线段最短，故正确，不合题意；
C．一个角的补角不一定大于这个角，比如 ， 的补角为 ，但是 ，
故错误，符合题意；
D．钝角的补角一定是锐角，故正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线的定义，补角的定义以及线段的性质，熟记相关定义是解答
本题的关键．
2．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）已知 与 互余，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】此题考查了余角，熟练掌握两个角的和是 ，则两个角互为余角是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被直线c所截，则 与 是
（ ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义可判断．
【详解】∵ 和 都在直线c的下侧，且 和 在直线a、b之内
∴ 和 是同旁内角的关系
故选：C．
【点睛】本题考查同旁内角的理解，解题的关键是根据定义来判断．
4．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知 的余角为35°，则 的补角度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义得出 ，再由补角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵ 的余角为35°，
∴
∴ 的补角 ．
故选B．
【点睛】本题考查余角和补角的计算，掌握余角和补角的定义是解题关键．
5．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，
的同位角是（ ）
A． B． C． D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案．
【详解】解： 的同位角是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“ “形，内错
角的边构成“ ”形，同旁内角的边构成“ ”形是解题的关键．
6．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）若一个锐角的补角比这个锐角的4倍少 ，则
这个锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出这个角，再表示出这个角的补角，根据题干中的等量关系进行计算即可求
解．
【详解】解：设这个锐角为x，则这个锐角的补角为 ，
由题意可知：
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查补角，解题的关键是根据假设表示出补角列出方程．
二、填空题
7．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）已知 与 互余， ，则
___________．
【答案】
【分析】根据 与 互余，可得 ，再进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了互余，角的加减运算，掌握互余的含义，角的四则运算的运算法则是
解题关键．
8．（2023秋·天津东丽·七年级统考期末）一个角的度数为 ，这个角的余角的度数
是________．
【答案】
【分析】利用余角的定义直接计算求解即可.
【详解】 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查余的定义和角度的计算，余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角
互为余角．掌握概念和 、 是本题的解题关键.
9．（2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，两个直角三角形的
直角顶点重合，若 ，则 ____________ .
【答案】60
【分析】根据题意得到 ，再计算 ，然后根据
进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
而 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
10．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如
图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____．
【答案】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上所有点
的连线中，垂线段最短．
三、解答题
11．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，点A、B、C在一条直线上，已知， ，则 与 垂直吗？请说明理由．
【答案】 与 垂直，理由见解析
【分析】根据平角的定义求出 ，即可判定垂直．
【详解】解： 与 垂直．
理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平角的定义，垂直的定义，比较简单．根据平角的定义求出 是
解题的关键．
12．（2023秋·安徽淮南·七年级统考期末）如图， 是直线 上一点，以 为顶点作
，且 ， 位于直线 两侧， 平分 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)请你猜想 和 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
【分析】（1） ， ，可求出 的度数， 平分 ，可求
出 的度数，根据平角即可求解；
（2） ， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵OB平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互
余、互补的运算是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）若一个角的补角等于这个角的余角的5倍，则这
个角为___________．（用度、分、秒的形式表示）
【答案】
【分析】利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的5倍”作为相等关系列方程
求解即可．
【详解】解：设这个角为x，则它的补角为 ，余角为 ，由题意得：
，
解得： ．
即这个角的度数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用．解此题的关键是能准
确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余
角的两角的和为 ，互为补角的两角之和为 ．
2．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图， 于点 ， 经过点 ，
， ___________．
【答案】 ##62度
【分析】先根据垂直的定义求出 ，再根据对顶角相等解答即可.
【详解】解：如图所示，，
，
，
．
故答案为： .
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，垂线的定义，掌握相关基础知识是
解题关键．
3．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图， 中，
，P为直线 上一动点，连 ，则线段 的最小值
是______．
【答案】
【分析】根据垂线段最短，得到当 时， 的值最小，利用等积法进行计算即可。
【详解】∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当 时， 的值最小，
在 中，
∵ ，∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
4．（2023秋·湖南常德·七年级校考期末）如果 和 互补，且 ，则下列表示
的余角的式子中：① ；② ，③ ；④ ，正确
的有___________．（填序号，多选）
【答案】①②④
【分析】由 和 互补，可得 ，即： ， ，
再用不同的形式表示 的余角．
【详解】解： 和 互补，
，
，
∴ 的余角为： ，故①正确，
，故②正确，
，故④正确，
因此正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入
的方法是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七
年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺 的直角顶点O放在互
相垂直的两条直线 的垂足O处，并使两条直角边落在直线 上，若将
绕着点O顺时针旋转一个小于 的角得到 ，射线 是 的角平分
线且满足 ，则 __________．【答案】 或
【分析】分两种情况进行讨论，①当 在 内部时，②当 在 内部时，
根据角平分线的定义，以及角度之间的和差关系，即可进行解答．
【详解】解：设 ，
①当 在 内部时，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得：
∴ ；
②当 在 内部时，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及角
度之间的和差关系．
二、解答题
6．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点 在直线 上，
与 互补， 分别是 ， 的平分线．
(1)当 时，求 ， 的度数．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据同角的补角相等，得出 ，根据已知条件得出
，根据角平分线的定义，得出
， ，根据 即可求解；
（2）由（1）得出 ，继而得出
①，又 ②，进而即可求解．【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 分别是 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ①，
又∵ ，
∴ ②，
①+②得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同角的补角相等，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结
合是解题的关键．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点O在直线 上， ，射线
分别平分 和 ：
(1)若 ，求 的度数；
(2)请写出图中所有与 互余的角，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 是 的余角，理由见解析
【分析】（1）先求出 ，再根据平角的定义求出 ，最后根据角平分线的定义即可得到 ；
（2）先证明 ，再由角平分线的定义和平角的定义推出
， ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
（2）解： 是 的余角，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是 的余角．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义，灵活运用所
学知识是解题的关键．
8．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在桌上放置一副三角板
（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点 ， ， ．(1)如图1，当 重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）．
(2)绕着点O转动三角板 （两个三角板有重叠）， 的大小是否发生变
化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
(3)在（2）的条件下，当 时，求 的度数．
【答案】(1) 与 ； 与 ， 与
(2) 的大小不变，
(3)
【分析】（1）根据三角板中的角度，结合补角的定义，即可求解；
（2）根据 ，即可求解．
（3）根据题意，设 ，表示出 ，根据 ，列出方程，解方
程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ；
；
；
图中互补的角有 与 ； 与 ， 与 ；
（2） ，
∵ ，
∴ 的大小不变， ，
（3）解：设 ，
则 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即： ．
【点睛】本题考查了补角的定义，三角板中角度的计算，一元一次方程的应用，数形结合
是解题的关键．
