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2.2 二次函数的图象和性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学内容 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课时 1
1.能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形
式．
核心素养 2.使学生掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐
目标 标．
3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合
的思想、动手操作能力和逻辑思维能力．
1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并
知识目标 能由此得到二次函数图象的顶点坐标；
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．
教学重点 掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由
此得到二次函数图象的顶点坐标
教学难点 掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入
设计意图：回顾内容1，
通过对这几个函数图象和
性质的回顾，为后面学习
y＝ax2＋bx＋c 的性质作
铺垫.
二、探究
师生活动：
新知
引导学生完成上表，对如何求二次函数一般式的
顶点坐标、对称轴、最值提出疑问，从而引出本
节要研究的课题．
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和
性质
通过之前的学习，师提问：通过组合平移 y = ax²
(a≠0) 的图像能否得到y = ax² + bx + c (a≠0) 的图
像？
填一填
(1) x2 − 12x + 36 = (x____)2；
设计意图：通过复习完全
(2) x2 − 12x = (x____)2 −____.
平方公式，为后面用配方
答案：(1) − 6.
法推导y＝ax2＋bx＋c的
(2) − 6；36.
对称轴和顶点坐标公式作
知识准备．
合作探究
师生活动：
1上节课我们已经学习了y＝a(x－h)2＋k的图
象和性质，能否小组合作研究二次函数y＝2x2－ 设计意图：通过问题串的
4x＋5的图象和性质？ 方式，让学生复习顶点式
(1)要求学生独立完成，教师巡视，对于有困 y＝a(x－h)2＋k，增强学
难的学生及时指导； 生利用顶点式的意识，为
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师 下面例题的解决奠定了良
点评； 好的基础．利用函数图象
(3)让学生分组总结配方的方法； 的直观性说出函数的性
(4)让学生思考配方后的函数对称轴和顶点坐 质，体现数形结合的思
标，并且思考它由 y = 2x² 怎样平移得到的
想.
(5)画出函数图象，思考函数的最大值或最小
值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与
函数图象的顶点坐标有什么关系？
多媒体展示做的正确的学生的成果，然后找学生
说明研究的思路．
问题1 怎样将 y=2x²－4x + 5化成 y = a(x − h)2 +
k 的形式？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
预设：
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
问题2 你能说出 y = 2(x - 1)² + 3 的对称轴及顶
点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3).
问题3 二次函数 y = 2(x - 1)² + 3 可以看作是由
y = 2x² 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右
平移 1 个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平
移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5
的图象？
解：先利用图形的对称性列表；
然后描点画图，得到图象
如右图.
问题5 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说
出其增减性.
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数
2y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？
师生活动：
多媒体展示例题.
求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶
点坐标．
根据上面的分析，要求y＝2x2－8x＋7图象的
对称轴和顶点坐标，首先要利用配方法把y＝2x2
－8x＋7转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式．
要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互
订正，代表展示成果．
设计意图：通过例1和做
教师及时指导． 一做的两道题目，加深学
预设： 生将一般式转化为顶点式
解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 来解决相关问题的的意
= 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 识.
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是
直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，
当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2
时，y 随 x 的增大而增大.
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y = 3x2 - 6x + 7；
(2) y = 2x2 - 12x + 8.
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
预设：
(1) y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x
+ 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4
对称轴：x = 1
顶点坐标：(1，4)
(2) y = 2x2 - 12x + 8 = 2(x2 - 6x) + 8= 2(x2 - 6x
+ 9 - 9) + 8= 2(x - 3)2 - 10
对称轴：x = 3
顶点坐标：(3，-10)
师生活动：
你感觉利用上面的方法求二次函数图象的对
称轴和顶点坐标的方法好吗？如果每次都采取
“配方”很麻烦，有没有更好的办法呢？下面我
们就来一起探究形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次
函数图象的对称轴和顶点坐标．
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶
设计意图：
点坐标．
从简单的二次函数入手，
学生小组讨论后，代表说明解题思路和方法，师
类比总结二次函数图象的
生共同解答．
对称轴和顶点坐标公式，
预设：
体现了从特殊到一般的研
究思路，同时为学生提供
了另一种解决问题的方
法，公式法.
3归纳总结
归纳总结
知识点二：二次函数的图象与系数的关系 设计意图：通过探究字母
a，b，c 对二次函数 y
想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图 = ax2 + bx + c (a≠0) 图象
象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 性质所起的作用，加深对
一般研究哪几种性质？ 抛物线的认识. 结合图象
结合对称轴和顶点公式进行探究. 的直观性，说出函数的性
预设： 质体现数形结合的思想.
师提问：c 决定什么？
合作探究
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图
所示，请根据二次函数的性质填空：
答案：＞，＞； ＞，＜； ＞，=.
4答案：＜，＜； =，＞； ＞，＜.
师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自
己所总结的结果．
归纳总结
二次函数图象与 a、b、c 的关系
设计意图：通过中考题的
探究加强学生对于图象和
系数之间关系的理解.
链接中考
1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图
象的对称轴为直线 x＝-1，
下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a + bx + c + 2 = 0
2
的两根为 x，x ( | x |＜| x | )，则 2x－x = 5.
1 2 1 2 1 2
其中正确的结论的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
设计意图：让学生学会从
数学角度提出问题、分析
问题，并能综合运用所学
知识和技能解决问题，发
师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自
展学生的应用意识，让学
己所总结的结果．对于有问题的，师生共同分析.
生进一步体会在实际问题
中利用数学模型来解决问
题的过程．
做一做
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形
三、当堂
状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照
练习，巩
图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y =
固所学
x2 + x + 10 表示.
(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少?
师生活动：
5师：解决实际应用问题的关键是什么？
生：解决实际应用问题的关键是把实际问题
转化为数学问题．
教师引导学生，本题可以运用不同的方法进 设计意图：考查学生用配
行解答． 方法或公式法求顶点坐标
学生讨论后，得出两种方法：(1)运用配方法 及对称轴的掌握情况，通
转化成顶点式；(2)运用公式法直接写出顶点坐 过练习加深对所学知识的
标． 理解.
最后教师展示不同的解题方法供学生参考．
三、当堂练习，巩固所学
1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对
应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( )
A. y轴 B. 直线 x= 设计意图：考查学生对于
C. 直线 x=2 D. 直线 x= 图象和系数之间关系的运
2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶 用.
点坐标和最值：
3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标的方法：
板书设计 （1）配方法：
一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x－h)2＋k．
（2）公式法：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有①图象的对称轴是直线x＝－；
②图象的顶点坐标是（－，）．
课后小结
6总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进
行归纳，在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师
发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后
教学反思
的教学．课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，
通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积
极主动的求知态度.
7
