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专题 13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：正四面体外接球....................................................................................................................2
题型二：对棱相等的三棱锥外接球....................................................................................................2
题型三：直棱柱外接球........................................................................................................................3
题型四：直棱锥外接球........................................................................................................................4
题型五：正棱锥与侧棱相等模型........................................................................................................4
题型六：垂面模型................................................................................................................................5
题型七：二面角模型............................................................................................................................6
题型八：坐标法解决外接球问题........................................................................................................6
题型九：多面体外接球........................................................................................................................7
题型十：锥体内切球............................................................................................................................8
重难点突破：棱切球............................................................................................................................9
02 重难创新练......................................................................................................................................9题型一：正四面体外接球
1．若正四面体的表面积为 ，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四面体 的外接球体积为 ，则正四面体 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
3．已知四面体 中， ， ， ，若该四面体的各个顶点都
在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B．
C．
D．
4．如图，在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接
球的体积为（ ）A． B． C． D．
5．在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表
面积为
A． B． C． D．
题型三：直棱柱外接球
6．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的
一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵” 的
所有顶点都在球 的球面上，且 ．若球 的表面积为 ，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ， ， ， ，若该三棱柱的
各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．A． B． C． D．
8．已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的表面上，若 ， ，则球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：直棱锥外接球
9．已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ， ， ， ， 平
面 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则该三棱锥外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，若三棱锥外接球的表面积为
，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
12．已知正六棱锥 底面边长为2，体积为 ，则 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
13．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则
球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知三棱锥 的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中
，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．在三棱锥 中， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
题型六：垂面模型
16．如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将 折叠，形成三棱锥 ．
当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， 是
的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B．
C． D．
18．已知直角 的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将 沿CD折起，使得二面角
是直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型七：二面角模型
19．在菱形 中， ， ，将 沿 翻折，使二面角 的余弦值为 ，则
四面体 的外接球的表面积为 .
20．在四棱锥 中，已知平面 平面 ， ，
若二面角 的正切值为 ，则四棱锥 外接球的表面积为 ．
21．在三棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正三角形，二面角 的
大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
22．已知 是边长为4的正三角形， 是 边上的中线．现将 沿 折起，使二面角
等于 ，则四面体 外接球的表面积为 ．题型八：坐标法解决外接球问题
23．如图，在长方体 中， ， ， 分别是棱 ， 的中点，点
在侧面 内，且 ，则三棱锥 外接球表面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中点，将 沿 折起
到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知四棱锥 ，底面 是边长为3的正方形， 面 ， ，
， ，若 ，则四棱锥 外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
26．四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，
，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
题型九：多面体外接球
27．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的
各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图
所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 ，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
28．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正
四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把
按 计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二
十面体的外接球表面积之比等于 ．
29．如图（1），在长方体 中， ， ， 为上底面 的中心.现将矩形
绕点 在原平面内顺时针旋转 角，连接 、 、 、 、 、 、 、 ，
得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积是 .
题型十：锥体内切球
30．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 ，则该圆锥的侧面积为 ．
31．已知三棱锥 三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且 ，M为该三棱锥的内
切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 .
重难点突破：棱切球
32．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．33．已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱 的各棱均相切，则球O的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
34．在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥 的六条棱均相切，则球 的表面
积为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知三棱锥 各个顶点都在半径为 的球 的球面上，且
， ， ，则球心 到平面 的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥 的外接球，若正三棱锥 的高为
，底边 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ）A． B． C． D．
4．已知四面体 的各个面均为全等的等腰三角形，且 .设 为空间内一点，且 ，
， ， ， 五点在同一个球面上，若 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱锥 ，点 都在半径为 的球面上，若 两两垂直，则球心到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）已知 是球 的球面上的三个点，且 .
若三棱锥 的体积是 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·湖南·期中）已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 ，则正四棱
锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，
， ， 平面 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边
形 是边长为2的正方形，则（ ）A．异面直线 与 所成角大小为
B．二面角 的平面角的余弦值为
C．此八面体的外接球体积为
D．此八面体的内切球表面积为
10．（2025·陕西渭南·一模）半径为2025的三个球放在桌面上．两两相切．现将另一个球放在三个球上方
（与三个球都相切）．且这个球的最高处与另外三个球的最高处在同一个平面上．则这个球的半径为
．
11．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面
平面 ， ， ，若点 、 、 、 都在球 的表面上，则球 的表面积为
．
12．（2024·河南·模拟预测）已知四棱锥 的5个顶点都在球 的球面上，且 平面
，则球 的表面积为 ．
13．（24-25高三上·福建·期中）已知球 的半径为 ， 、 、 三点均在球面上， ，
， ，则三棱锥 的体积是 .
14．（24-25高三上·辽宁·期末）已知四面体 的四个顶点均在球 的球面上， ， ，
，若 ，则球 体积的最小值为 .
15．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球 ，内部是8个半径均为1的小球 （球壁厚度均忽略不计），其中 两两相切， 两两相切， 两两相切，
两两相切， 两两相切，且 ， 均与球 相切，则球 的半径为
.
16．已知三棱锥 的各个顶点均在半径为1的球O的球面上， ， ，则三棱锥
的体积的最大值为 .
17．（24-25高三上·四川·期中）已知棱长为1的正四面体 ， 分别为 的中点，若以
的中点 为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球 半径的最大值为 ．
