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回扣 5 立体几何与空间向量
1．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图 表面积 体积
直棱柱 长方形 S＝2S ＋S V＝S ·h
底 侧 底
圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l
棱锥 由若干个三角形构成 S＝S ＋S V＝S ·h
底 侧 底
圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h
S＝S ＋S ＋S V＝(S ＋＋S )h
上 下 侧 上 下
圆台 扇环
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V＝π(r′2＋r′r＋r2)h
球 S＝4πr2 V＝πr3
2.外接球、内切球问题
(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R ∶r ＝3∶1.
外接球 内切球
(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点．
(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体．
(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.
(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线．
(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂
线，两垂线的交点即为外接球球心．
3．直观图与斜二测画法
(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法．斜二测画法的规则为“平行要保持，横
长不变，纵长减半．”
(2)任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′
＝S.
4．平行、垂直关系的转化示意图(1)
(2)两个结论
①⇒a∥b；②⇒b⊥α.
5．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a ，b ，c)，平面α，β的法向量分别为u＝(a ，b ，c)，v＝
1 1 1 2 2 2
(a，b，c)．则有：
3 3 3
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.
1 2 1 2 1 2
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a＝ka，b＝kb，c＝kc.
1 2 1 2 1 2
(3)面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a＝λa，b＝λb，c＝λc .
2 3 2 3 2 3
(4)面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.
2 3 2 3 2 3
6．用向量求空间角
(1)直线l，l 的夹角θ满足cos θ＝ |cos 〈 a ， b 〉 |(其中a，b分别是直线l，l 的方向向量)．
1 2 1 2
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝ |cos 〈 a ， n 〉 |(其中a是直线l的方向向量，n是平面
α的法向量)．
(3)平面α与平面β的夹角为θ，cos θ＝ |cos 〈 n ， n 〉 |(其中n ，n 分别是平面α，β的法向
1 2 1 2
量)．
1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，
a⊂α.
2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面
面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中
的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽
视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不
变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位
置关系与数量关系．
5．几种角的范围
两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°；
直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°；
平面与平面夹角：0°≤θ≤90°.
6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，
易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．
