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重难点 09 球的切、接问题及截面、翻折问题（6 种考法）
【目录】
考法1：正方体（或长方体）的切、接球
考法2：柱体的切、接球
考法3：锥体的切、接球
考法4：台体的切、接球
考法5：截面问题
考法6：翻折问题
二、命题规律与备考策略
一、外接球题型归类：
（1）三线垂直图形
计算公式：三棱锥三线垂直 还原成长方体
（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：
①三棱锥对棱相等． ， ， ， 是三个对棱棱长．
②等边三角形与等腰直角三角形连接．
③投影为矩形．
（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外
接圆半径是r，满足正弦定理）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1计算公式 ；其中
（4）面面垂直型
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型
（5）垂线相交型
等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．
直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合．
二、求多面体的外接球的半径，常用方法有：
（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线
的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球
心.
三、立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是
找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点
找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后
借助交点找到截面形成的交线；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
三、题型方法
考法1：正方体（或长方体）的切、接球
1．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体 中，点 为线段 上一
点（不包括端点），点 为 上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过 的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B． 的最小值为
C．当点 为线段 中点时，三棱锥 的外接球的半径为
D． 两点间的最短距离为
考法2：柱体的切、接球
2．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长 ，其外接球的表面积为20 ，D是
1 1 1
π
B C 的中点，点P是线段A D上的动点，过BC且与AP垂直的截面 与AP交于点E，则三棱锥A﹣
1 1 1
BCE的体积的最大值为（ ） α
A． B． C． D．
考法3：锥体的切、接球
3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 36 ，且
π
3≤l≤3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．[18， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18，27]
4．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱
锥的内部，若球O的体积为36 ，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． π C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面
上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知正四棱锥 的各顶点都在球 的球面上， ，由
三点确定的平面 与侧棱 交于点 ，且 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球 内，则
球 的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥 中， 的面积为
8，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球 ， ，使得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4它们分别与圆锥的侧面和平面 都相切，平面 分别与球 ， 相切于点 ， .数学家
GerminalDandelin利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的交线为椭圆， ， 为此椭圆的两个焦点，这
两个球也被称为Dandelin双球.若球 ， 的半径分别为6和3，球心距离 ，则此椭圆的长轴长
为 .
11．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）在棱长为6的正方体 中， ， 分别为 ， 的
中点，则三棱锥 外接球的表面积为 ．
12．（多选）（2023·湖北武汉·华中师大一附中模拟）正四棱柱 ，底面边长为 ，侧棱
长为2，则下列结论正确的（ ）
A．点 到平面 的距离是 ．
B．四棱锥 内切球的表面积为 ．
C．平面 与平面 垂直．
D．点 为线段 上的两点，且 ，点 为面A B C D 内的点，若 ，则
1 1 1 1
点 的轨迹长为 ．
考法4：台体的切、接球
13．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5A．100 B．128 C．144 D．192
π π π π
14．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）圆台上底半径为 ，下底半径为 ，此圆台内接于表面积为 的
球，点 是上底面圆周上一动点，点 在下底面上的射影为 ，在下底面上过 点的直线交底面圆周于点
，点 是下底面圆周上一动点，则三棱锥 体积的最大值为 ．
考法5：截面问题
15．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在直四棱柱 中，底面ABCD是边长为2的正方形，
侧棱 ，E是BC的中点，F是棱 上的点，且 ，过 作平面 ，使得平面 平面
AEF，则平面 截直四棱柱 ，所得截面图形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
16．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当
的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为 的正四面体沿棱的三等分点作
平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角 的余
弦值为 ；②该截角四面体的体积为 ；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面
体的表面积为 ，则其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 617．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在正方体 中， 分别为棱
的中点，动点 平面 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的外接球面积为 B．直线 平面
C．正方体被平面 截得的截面为正六边形 D．点 的轨迹长度为
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形 中， ，将 沿
对角线 翻折至 的位置，使得平面 平面 ，则在三棱锥 的外接球中，以
为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
19．（多选）（2023·河北承德·统考模拟预测）如图，正六棱柱 的各棱长均为1，
下列选项正确的有（ ）
A．过A， ， 三点的平面 截该六棱柱的截面面积为
B．过A， ， 三点的平面 将该六棱柱分割成体积相等的两部分
C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 720．（多选）（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体 中，点 分别是
棱 的中点，则（ ）
A．直线 为异面直线
B． 平面
C．过点 的平面截正方体的截面面积为
D．点 是侧面 内一点（含边界）， 平面 ，则 的取值范围是
21．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为 的正方体 中，点 、 满
足 ， ，其中 、 ，点 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，若 平面 ，则 的最大值为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8C．当 时，若 ，则点 的轨迹长度为
D．过 、 、 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
22．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体 中，点 为线段 上
一点（不包括端点），点 为 上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过 的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B． 的最小值为
C．当点 为线段 中点时，三棱锥 的外接球的半径为
D． 两点间的最短距离为
23．（多选）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，棱长为2的正四面体 中， ， 分
别为棱 ， 的中点， 为线段 的中点，球 的表面正好经过点 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 平面
B．球 的体积为
C．球 被平面 截得的截面面积为
D．过点 与直线 ， 所成角均为 的直线可作4条
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 924．（多选）（2023·河北·校联考三模）在棱长为1的正方体 的侧面 内（包含边
界）有一点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 到直线 与到直线 距离之比为 ，则点 的轨迹为双曲线的一部分
B．若点 到直线 与到直线 距离之比为 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
C．过点 三点作正方体 的截面，则截面图形是平行四边形
D．三棱锥 体积的最大值为
25．（多选）（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别
是 的中点， 为线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 与 异面
B．不存在点 ，使得
C．直线 与平面 所成角的正切值的最小值为
D．过 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
26．（多选）（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
高相等， ， 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
27．（2023·广东江门·统考一模）勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的
创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒
洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，
因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个
球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面 截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线 的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1128．（多选）（2023·广东潮州·统考二模）在正方体 中， ，点P满足
，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 与 所成夹角可能为
B．当 时， 的最小值为
C．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为
D．当 时，正方体经过点 ､P､C的截面面积的取值范围为
29．（多选）（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能
在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以
正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体
ABCD的棱长为a，则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1230．（2022·湖南怀化·统考一模）如下图，正方体 中，M为 上的动点， 平面 ，
则下面说法正确的是（ ）
A．直线AB与平面 所成角的正弦值范围为
B．点M与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为 的中点时，平面 经过点B，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为 中点，当 的和最小时，M为 的三等分点
考法6：翻折问题
31．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，正三角形 中， 、 分别为边 、 的中点，其中
，把 沿着 翻折至 的位置，则当四棱锥 的体积最大时，四棱锥
外接球的表面积为 .
32．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中
，把 沿着DE翻折至 的位置，得到四棱锥 ，则当四棱锥 的体积
最大时，四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1333．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱 中， ，
，M，N在棱 ， 上，且 ， ，过 的平面交 于G，则截面 的
面积为 ．
34.如图，等腰直角 的斜边 为直角 的直角边， 是 的中点， 在 上，将三角形
沿 翻折，分别连接 、 、 ，使得平面 平面 .已知 ， .
(1)证明：
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
35．（2022秋·新疆和田·高三统考期中）如图1，等腰梯形ABCD中，AD// E是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14BC的中点，如图2将 沿AE折起，使面 面 连接 是棱BC上的动点．
(1)求证：
(2)若 ，当 为何值时，二面角 的大小为
36．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体 的体积为6，截面 的面积
为6．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15
