文档内容
专题 12 三角函数图象与性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
三角函数图象与性质近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（理科），第11题,5分 三角函数的性质 导数求最值
2022年全国乙（文科），第8题,5分 三角函数图象 反比例型函数
2022年全国乙（理科），第15题,5分 根据性质求三角函数解析式 求参
2022年全国甲（文科），第5题,5分 正弦函数图形变换，奇偶性 求参
2022年全国甲（理科），第11题,5分 正弦函数图象的应用 导数求极值
2022年全国甲（理科），第5题,5分
三角函数图象 指数函数
2022年全国甲（文科），第7题,5分
2023年全国甲（理科），第10题,5分
三角函数的综合应用 函数的零点
2023年全国甲（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第6题,5分
根据性质求三角函数解析式，再求值
2023年全国乙（文科），第10题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查选择题、填空题（常出现在压轴题位置）；
2.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；
3.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；
4.函数解析式中含三角函数，判断图象；
5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；
【备考策略】1.能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象.
( π π)
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在 - , 上的性质(如单调性、最值、
2 2
图象与x轴交点等).
3.会使用正弦型函数、余弦型函数、正切型函数解决实际问题.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14.能借助图象理解参数ω，ϕ，A的意义,了解参数的变化对函数图象变化的影响.
5.掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值.
6.会用三角函数解决简单的实际问题,能够利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.
【命题预测】1.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；
2.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；
3.重点考查三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值；
4.函数解析式中含三角函数，判断图象；
5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；
知识讲解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(π ) (3π )
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,0), ,1 ,(π,0), ,-1 ,(2π,0).
2 2
(π ) (3π )
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,1), ,0 ,(π,-1), ,0 ,(2π,1).
2 2
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
{ π}
定义域 x|x≠kπ+
2
值域 [-1,1] [-1,1]
最小正周
2π 2π π
期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
[ π π]
2kπ− ,2kπ+
2 2
在 上 在 上单调 ( π π)
单调递增; 递减; kπ− ,kπ+
单调性 2 2
[ π 3π] 在 上单调 在 上单调
2kπ+ ,2kπ+
递增 递增
2 2
在 上
单调递减
( π ) (kπ )
对称中心 (kπ,0) kπ+ ,0 ,0
2 2
π
对称轴 x=kπ+ x=kπ 无
2
1、三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
②把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
2、求三角函数周期的常用方法(T为最小正周期)
(1)公式法求周期
2π
①函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B与f(x)=Acos(ωx+φ)+B的周期T= ;
|ω|
π
②函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B的周期T= .
|ω|
(2)对称性求周期
T
①两对称轴距离的最小值或两对称中心距离的最小值都等于 ;
2
T
②对称中心到对称轴距离的最小值等于 ;
4
③两个最大(小)值点的横坐标之差的最小值等于T.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3f (x)=Asin(ωx+ϕ)+B
三、正弦型函数：“ ”
1、定义域：
x∈R
2、值域：当
A>0
时，
f (x)∈[−A+B,A+B]
；当
A<0
时，
f (x)∈[A+B,−A+B]
3、单调性：
{ π π }
x|2kπ− ≤ωx+ϕ≤2kπ+ ,k∈Z
2 2
当A 与ω同号时，增区间：
{ π 3π }
x|2kπ+ ≤ωx+ϕ≤2kπ+ ,k∈Z
2 2
减区间：
{ π 3π }
x|2kπ+ ≤ωx+ϕ≤2kπ+ ,k∈Z
2 2
当A 与ω异号时，增区间：
{ π π }
x|2kπ− ≤ωx+ϕ≤2kπ+ ,k∈Z
2 2
减区间：
4、奇偶性：
当
ϕ=kπ,k∈Z
且
B=0
时，为奇函数；
π
ϕ=kπ+ ,k∈Z
2
当 时，为偶函数.
2π
T=
|ω|
5、最小正周期：
6、对称性：
{ π }
x|ωx+ϕ=kπ+ ,k∈Z
2
对称轴： ；
({x|ωx+ϕ=kπ,k∈Z}，B)
对称中心：
f (x)=Acos(ωx+ϕ)+B
四、余弦型函数：“ ”
1、定义域：
x∈R
2、值域：当
A>0
时，
f (x)∈[−A+B,A+B]
；当
A<0
时，
f (x)∈[A+B,−A+B]
3、单调性：
{x|2kπ−π≤ωx+ϕ≤2kπ,k∈Z}
当A 与ω同号时，增区间：
{x|2kπ≤ωx+ϕ≤2kπ+π,k∈Z}
减区间：
{x|2kπ≤ωx+ϕ≤2kπ+π,k∈Z}
当A 与ω异号时，增区间：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4{x|2kπ−π≤ωx+ϕ≤2kπ,k∈Z}
减区间：
4、奇偶性：
π
ϕ=kπ+ ,k∈Z
当
2
且
B=0
时，为奇函数；
ϕ=kπ,k∈Z
当 时，为偶函数.
2π
T=
|ω|
5、最小正周期：
6、对称性：
{x|ωx+ϕ=kπ,k∈Z}
对称轴： ；
({ π } )
x|ωx+ϕ=kπ+ ,k∈Z ，B
2
对称中心：
f (x)=Atan(ωx+ϕ)+B
五、正切型函数：“ ”
π
ωx+ϕ≠kπ+ ,k∈Z
2
1、定义域：
f (x)∈R
2、值域：
3、单调性：
{ π π }
x|kπ− <ωx+ϕ0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
-φ π-2φ π-φ 3π-2φ 2π-φ
x
ω 2ω ω 2ω ω
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5y=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0)
七、函数 的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相 平衡位置
y=Asin(ωx+φ)
2π 1 ω
(A>0,ω>0),x∈[0,+∞) A T= f= = ωx+φ φ y=B
ω T 2π
y=sinx→y=Asin(ωx+ϕ)+B
八、图形变换
1、A：纵坐标的伸缩
y=sin⃗x
纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
y=2sinx
1
y=sin⃗ x纵坐标缩小为原来的 1 倍，横坐标不变 y= sinx
2 2
2、ω：横坐标的伸缩（注意：乘倒数）
1
y=sin⃗x横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 y=sin x
2
( π) (3 π)
y=sin 3x+ ⃗横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 y=sin x+
3 2 3
y=sin⃗ x横坐标缩小为原来的 1 倍，纵坐标不变y=sin2x
2
y=sin
(
3x+
π ⃗)
横坐标缩小为原来的 1 倍，纵坐标不变 y=sin
(
6x+
π)
3 2 3
3、ϕ：左右平移（注意：左“+”右“-”）
( π)
y=sinx⃗ 向左平移 π 个单位 y=sin x+
3 3
( π)
y=sin2x⃗ 向左平移 π 个单位 y=sin2 x+
3 3
( π) [ ( π) π]
y=2sin 2x+ ⃗ 向左平移 π 个单位 y=2sin 2 x+ +
6 3 3 6
( π)
y=sinx⃗ 向右平移 π 个单位 y=sin x−
3 3
( π)
y=sin2x⃗ 向右平移 π 个单位 y=sin2 x−
3 3
( π) [ ( π) π]
y=2sin 2x+ ⃗ 向右平移 π 个单位 y=2sin 2 x− +
6 3 3 6
4、B：上下平移（注意：上“+”下“-”）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6( π) ( π)
y=2sin 2x+ ⃗向上平移1个单位 y=2sin 2x+ +1
6 6
( π) ( π)
y=2sin 2x+ ⃗向下平移1个单位 y=2sin 2x+ −1
6 6
已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象,确定其解析式的步骤
M-m M+m
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= .
2 2
2π
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω= .
T
(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值
点,最好代入最值点求解.
考点一、三角函数的定义域与值域
1．（2023年内蒙古赤峰三模）函数
f(x)=ln(cosx)的定义域为（
）.
π π
A．（kπ− ,kπ+ ）,k∈Z
B．
2 2 (kπ,kπ+π),k∈Z
π π
C．（2kπ− ,2kπ+ ）,k∈Z
D．
2 2 (2kπ,2kπ+π),k∈Z
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 在区间 的最小值、最
大值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））函数 （
）的最大值是 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71
1．函数
y=
的定义域为 .
tanx−1
π [ π]
2．函数f(x)=3sin(2x− )在区间 0， 上的值域为（ ）.
6 2
[ 3√3 3√3] [ 3√3 ]
[ 3 3] [ 3 ]
A． − ， B． − ，3 C． − ， D． − ，3
2 2 2 2 2 2
π 3π
3．（2023年广东三模）已知函数f(x)=2√3sin2x+2sinxcosx−√3,则函数
f (x)
在区间（
4
，
4
）上
的值域是 .
考点二、三角函数的周期性
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 的最小正周期和最大值分别是（
）
A．3π和 B．3π和2 C． 和 D． 和2
π
2．若函数
f(x)=2tan(kx+ ),k∈N
的最小正周期 满足 ,则自然数 的值为 .
3 T 10)两
1 2
个相邻的极值点，则 =（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数 的最小正周
期为（ ）
A． B． C． D．
2．（【全国百强校】宁夏模拟）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知函数 ，
则（ ）
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
考点三、三角函数的奇偶性
1．（2023年河南洛阳月考）若函数
f(x)=√3cos(3x−θ)−sin(3x−θ)是奇函数,则tanθ=
.
2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数 的图像向左平移 个单位长
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年北京市高考数学试题）函数 是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91．若函数
f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)为奇函数,则φ的一个值为（
）.
π π π 4π
A．− B． C． D．
3 3 6 3
π
2．若函数
f(x)=2sin(2x− +ϕ)是偶函数,则
的值可以是（ ）.
3 φ
5π π π π
A． B． C． D．−
6 2 3 2
考点四、三角函数的对称性
π π π
1．已知函数 y=sin(2x+φ)(− <φ< )的图象关于直线 x= 对称,则φ的值为 .
2 2 3
2．（2022年全国新高考I卷数学试题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
3．（2023年新高考天津数学高考真题）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则
的解析式可能为（ ）
A． B．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10C． D．
π π
1．（2023年海南模拟）已知函数
y=sin(ωx+ )(ω>0)图象的一条对称轴为x=
,则 的最小值为（
6 12
ω
）.
A．2 B．4 C．6 D．8
π
2．已知函数
y=sin(2x+φ)
在
x=
6
处取得最大值,则函数
y=cos(2x+φ)
的图象（ ）.
(π ) (π )
A.关于点
，0
对称 B.关于点
，0
对称
6 3
π π
C.关于直线
x=
对称 D.关于直线
x=
对称
6 3
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数 的图象关
于直线 对称，则 的值是 ．
考点五、三角函数的单调性
1 √3 [ π]
1．函数 y= sinx+ cosx(x∈ 0, )的单调递增区间是 .
2 2 2
2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A． B． C． D．
3．（2022年北京市高考数学试题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
π
1．函数 f(x)=sin(−2x+ )的单调递减区间为 .
3
π (π )
2．已知 且函数f(x)=sin(ωx+ )在 ，π 上单调递减,则 的取值范围是 .
ω>0 4 2 ω
π 5π
3．已知函数f(x)=−2sin(2x+φ)(|φ|<π)在区间( , )上单调递增,则φ的取值范围是（ ）.
5 8
[ 9π 3π] [2π 9π] [ π π] [ π ]
A． − ，− B． ， C． ， D． −π，−
10 10 5 10 10 4 10
考点六、三角函数图象与性质的综合应用
经常出压轴题
π
1．设函数 f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是（ ）
3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 128π
A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线
x=
对称
f (x) −2π y=f (x) 3
π π
C． 的一个零点为 x= D． 在（ ，π）单调递减
f (x+π) 6 f (x) 2
1
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））关于函数
f(x)=sinx+
有如下四个命
sinx
题：
①f (x)的图象关于y轴对称．
②f (x)的图象关于原点对称．
π
③ 的图象关于直线x= 对称．
f (x) 2
④f (x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
3．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数 ．给出下列结论：
①f (x)的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
1
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数
f(x)=sinx+
，则（ ）
sinx
A．f (x)的最小值为2 B．f (x)的图象关于y轴对称
π
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于直线
x=
对称
f (x)
x=π
f (x) 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 132．已知函数 的图像关于直线 对称，将函数 的图像向左平移 个单
f (x)
位长度得到函数 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x) 的图像关于直线 对称
B． 是奇函数
C． 在 上单调递减
D． 的图像关于点 对称
3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知
在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
考点七、三角函数的图形变换
1．（2022年浙江省高考数学试题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上
所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图
象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
1．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
2．为了得到 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
D．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
3．已知函数 的一个零点为 ．要得到偶函数 的图象，可将函数 的图
象（ ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
考点八、根据三角函数的图象、性质求解析式
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设函数 ， ，
其中 ， .若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足
条件 的最小正整数x为 ．
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ，
如图A，B是直线 与曲线 的两个交点，若 ，则
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 161．已知函数 在一个周期内的图象如图所示；若 为偶
函数，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的部分图象如图所示， 则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数
f(x)=Acos(ωx+φ)（A>0,ω>0,0<φ<π）为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(G
是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f(1)= .
考点九、三角函数的零点问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 171．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数 在 的零点个数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023年辽宁省重点高中联合模拟）已知函数 在 上有且仅有2个零点，则 的
取值范围为 ．
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）函数 在 的零点个数为 ．
2．将函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象，若函数 在
区间 内有零点，无最值，则 的取值范围是 .
3．（2022年北京市高考数学试题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
考点十、三角函数中含有绝对值的问题
常考压轴题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 181．（2023年上海市模拟）函数 的值域为 ．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））关于函数 有下述四个结
论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））下列函数中，以 为周期且在区间( ， )
单调递增的是（ ）
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
考点十一、解析式中含三角函数的问题
1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，
则该函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19A． B．
C． D．
3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程
为
A． B．
C． D．
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 202．（2020年浙江省高考数学试卷）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 曲线 在点 处的切线方程为 .
考点十二、三角函数图象与性质在解答题中的应用
1．（2021年浙江省高考数学试题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
2．（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数
在一个周期内的图象时，列表如下：
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0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数 ， ， 的值；
（2）该函数在区间 上的最大值和最小值.
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知函数
f(x)=sin2x−cos2x−2√3sinxcosx(x∈R)
2π
（I）求 f( )的值
3
（II）求f (x)的最小正周期及单调递增区间.
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
1．已知函数
(1)求函数 的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当 时，求 的最小值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 222．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数 ，
其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷））已知向量
．
（1）若 ，求x的值；
（2）记 ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【基础过关】
√ π
1．函数f(x)= 2sin x−1的定义域为（ ）.
2
[π 5π ] [1 5 ]
A．
+4k, +4kπ (k∈Z)
B．
+4k, +4k (k∈Z)
3 3 3 3
[π 5π ] [1 5 ]
+4k, +4kπ (k∈Z) +4k, +4k (k∈Z)
6 6 D． 6 6
C．
2．函数
y=√3sin2x+cos2x
的最小正周期为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23A． B． C．π D．2π
3． 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 在 单调递减，求 .
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））若 在 是减函数，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019年天津市高考数学试卷（理科））已知函数 是奇函数，
将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若
的最小正周期为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023年北京市模拟）将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得到点P′.若
P′位于函数 的图象上，则（ ）
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））函数y= sin2x的图象可能是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24A． B．
C． D．
9．（2023年北京市阶段性考试数学试题）设函数 ，将函数 图像上所
有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，若对于任意的实数 ，
恒成立，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年山东省模拟）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
上的所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍
B．向右平移 个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍
C．向左平移 个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移 个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的 倍
π
11．（2023年北京二模）已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则f(x)的表达式
2
为（ ）.
π π
A． f(x)=sin(2x+ ) B． f(x)=sin(2x− )
6 6
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25π π
C． f(x)=sin(x+ ) D． f(x)=sin(x+ )
6 3
12．已知函数 ，若 ， 为 的两个零点，则当 取得
最小值时， ．
13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数
.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当 时， ．
【能力提升】
1．设函数 ，则（ ）
A． 且 在 单调递增
B． 且 在 单调递减
C． 且 在 单调递增
D． 且 在 单调递减
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数 在 的图像大
致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26A． B． C． D．
3．（2023届安徽省考前适应性检测数学试卷）已知函数 ，其中 ，若
，对任意的 都有 ，且 在 上单调，则下列说法错误的是（
）
A． 关于 对称 B． C． 一定是奇数 D． 有两个不同的值
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数 ，
则 的最小值是 ．
5．（2023年辽宁省模拟）已知函数 在 上单调，且 的图象关于
点 对称，则（ ）
A． 的周期为
B．若 ，则
C．将 的图像向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数 在 上有2个零点
6．（2021年天津高考数学试题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 277．（2023年陕西省质量检测数学试题）同时具有下列性质：“①对任意 ， 恒成立；
②图象关于直线 对称；③在 上是增函数”的函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023年江西省部分学校调研测试数学试题）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，
建立平面直角坐标系如图（2）， （单位：m）表示在时间 （单位： ）时，过山车（看作质点）离地平
面的高度．轨道最高点 距离地平面 ，最低点 距离地平面 ，入口处 距离地平面 时，
过山车到达最高点 时，过山车到达最低点 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为12
B． 时，过山车距离地平面
C． 时，过山车距离地平面
D．一个周期内过山车距离地平面低于 的时间是
9．（2021年浙江省高考数学试题）已知 是互不相同的锐角，则在 三
个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2023·浙江省绍兴市名校模拟）对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣
味．折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图．其平面图如下右图的扇形
AOB，其中 ， ，点 在弧 上，则 的最小值是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28A． B． C．1 D．3
11．已知函数 （其中 ）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有
.
（1）
（2） 的图象关于直线 对称
（3）
（4） 在 上的值域为
12．（2019年浙江省高考数学试卷）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【真题感知】
1．（全国甲卷理数）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，则
的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 305．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）记函数 的最小正周期为
T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，
则 的取值范围是 ．
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