文档内容
重难点 08 解三角形（5 种题型）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考1第18题 解三角形及其综合应用 求角度及最值
2021新高考2第18题 解三角形及其综合应用 求三角形的面积，应用余弦定理判断
三角形的形状
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【分析】（1）由三角形内角和可得 C＝ ，由 2sin（A﹣C）＝sinB，可得 2sin（A﹣C）＝sin
（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；
（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝ ，
∴4C＝ ， π
π
∴C＝ ，
∵2sin（A﹣C）＝sinB，
∴2sin（A﹣C）＝sin[ ﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinπC＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
1∴ ，
∴sinA＝3cosA，即cosA＝ sinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，∴ ，
解得sin2A＝ ，
又∵A （0， ），∴sinA＞0，
∈ π
∴sinA＝ ；
（2）由（1）可知sinA＝ ，cosA＝ sinA＝ ，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝ × ＝ ，
∴ ＝ ＝5 ，
∴AC＝5 sinB＝5 ＝2 ，BC＝5 ＝5 ＝3 ，
设AB边上的高为h，
则 ＝ ，
∴ ＝ ，
解得h＝6，
即AB边上的高为6．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 ，D为BC
的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝ ，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
学科网（北京）股份有限公司 2【分析】（1）根据已知条件，推得 ，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即
可求解；
（2）根据已知条件，求得 ，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1））D为BC中点， ，
则 ，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中， ， ， ，解得CD＝2，
∴BD＝2， ，
故 ＝ ＝ ；
（2） ，
，
AD＝1，b2+c2＝8，
则 ，
∴bccosA＝﹣2①，
，即 ②，
由①②解得 ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 3∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ＝ ．
（1）若C＝ ，求B；
（2）求 的最小值．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．
（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵ ＝ ，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．
∴ ＝ ＝ ，
化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）＝sinB，
∴﹣cosC＝sinB，C＝ ，
∴sinB＝ ，
∵0＜B＜ ，∴B＝ ．
（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C （ ， ），
∈ π
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣ ．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣ ）＝﹣cos2C，
＝ ＝ ＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 4＝ +4sin2C﹣5≥2 ﹣5＝4 ﹣5，当且仅当sinC＝ 时取等号．
∴ 的最小值为4 ﹣5．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正
三角形的面积依次为S ，S ，S ．已知S ﹣S +S ＝ ，sinB＝ ．
1 2 3 1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝ ，求b．
【分析】（1）根据S ﹣S +S ＝ ，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝ acsinB，
1 2 3
求△ABC面积．
（2）由正弦定理得∴a＝ ，c＝ ，且ac＝ ，求解即可．
【解答】解：（1）S ＝ a2sin60°＝ a2，
1
S ＝ b2sin60°＝ b2，
2
S ＝ c2sin60°＝ c2，
3
∵S ﹣S +S ＝ a2﹣ b2+ c2＝ ，
1 2 3
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB＝ ，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，
∴cosB＝ ，
∴cosB＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 5解得：ac＝ ，
S△ABC ＝ acsinB＝ ．
∴△ABC的面积为 ．
（2）由正弦定理得： ＝ ＝ ，
∴a＝ ，c＝ ，
由（1）得ac＝ ，
∴ac＝ • ＝
已知，sinB＝ ，sinAsinC＝ ，
解得：b＝ ．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．
四、考点清单
解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理π求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利
用A+B+C＝ ，求另一角．
3．已知两边π和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理或
余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方π向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
学科网（北京）股份有限公司 67．关于三角形面积问题
①S△ABC ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC ＝ ；
⑤S△ABC ＝ ，（s＝ （a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝
+ ＝ ﹣ ，2A+2B＝2 ﹣2C
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA π
b2＝a2+c2﹣2accosB cosA＝
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosB＝
cosC＝
正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
＝2R 2RsinC
R为△ABC的外接圆半径
sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△ ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c sinA＝
学科网（北京）股份有限公司 7②S△ ＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA sinB＝
③S△ ＝
④S△ ＝ ，（s＝
sinC＝
（a+b+c））；
⑤S△ ＝ （a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
五、题型方法
一．正弦定理（共6小题）
1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若cosA＝ ，a＝2 ，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用余弦定理化简已知即可证明；
（2）由题意，利用余弦定理可求得bc的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三
角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为 ，可得2a﹣acosB＝b+bcosA，
所以由余弦定理可得2a＝b+b• +a• ，
整理可得2a＝b+c，得证；
（2）因为cosA＝ ，a＝2 ，2a＝b+c，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得24＝b2+c2﹣2×bc× ＝（b+c）2﹣2bc﹣2×bc× ＝96﹣2bc﹣
2×bc× ，
解得bc＝20，
学科网（北京）股份有限公司 8又sinA＝ ＝ ，
所以△ABC的面积S＝ bcsinA＝ ＝6．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的综
合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
2 ． （ 2023• 和 平 区 一 模 ） 已 知 △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求A的大小；
（2）若 ．
（ⅰ）求△ABC的面积；
（ⅱ）求cos（2C﹣A）．
【分析】（1）由正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A；
（2）（i）利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；
（ii）利用正弦定理求出sinC，再利用二倍角公式求出sin2C，cos2C，求解即可．
【解答】解：（1）∵（bcosC+ccosB）tanA＝﹣ a，
由正弦定理得（sinBcosC+sinCcosB）tanA＝﹣ sinA．
∴sin（B+C）tanA＝﹣ sinA，
∴sinA•tanA＝﹣ sinA，∵sinA＞0，
∴tanA＝﹣ ，∵A （0， ），
∈ π
∴A＝ ；
（2）（ⅰ）若 ，A＝ ，
由余弦定理得7＝c2+1﹣2c×1×（﹣ ），
即c2+c﹣6＝0，∵c＞0，∴c＝2，
学科网（北京）股份有限公司 9∴△ABC的面积为 bcsinA＝ ×1×2× ＝ ；
（ⅱ）由正弦定理 ＝ ，得sinC＝ ，
∵a＞c，∴cosC＝ ，
∴cos2C＝2cos2C﹣1＝ ，
sin2C＝2sinCcosC＝ ，
∴cos（2C﹣A）＝cos2CcosA+sin2CsinA＝ ×（﹣ ）+ × ＝ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中
的应用，属于中档题．
3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣
cosB，且b＞c．
（1）求A；
（2）若a＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin（B+ ）＝sinC，由题意可求得B＞C，进
而根据B+ +C＝ ，可得A的值．
（2）由已知利用三π角形的面积公式可求bc＝2，进而根据余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周
长的值．
【解答】解：（1）因为sinB﹣sinC＝sinC﹣ cosB，
所以sinB+ cosB＝2sinC，即sin（B+ ）＝sinC，
因为b＞c，可得B＞C，
所以B+ +C＝ ，可得B+C＝ ，A＝ ．
π
（2）因为a＝ ，△ABC的面积为 ＝ bcsinA，
学科网（北京）股份有限公司 10又sinA＝ ，
所以bc＝2，
由余弦定理可得cosA＝ ＝ ＝ ，
所以 ＝ ，可得b+c＝3，
所以△ABC的周长的值为3+ ．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，
考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知asinA+csinC＝（
asinC+b）sinB．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求tanB，进而可求B；
（2）延长BD到E，使得BE＝BD，则 ，则 ，然后结合向量数量积的性质
及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．
【解答】解：（1）因为asinA+csinC＝（ asinC+b）sinB，
由正弦定理得，a2+c2＝ acsinB+b2，
∴ ＝2accosB，
故 ，即tanB＝ ，
因为B为三角形内角，所以B＝ ，；
（2）如图延长BD到E，使得BD＝DE，则 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 11∴ ＝ ＝4，
即4＝ （a2+c2+2accos60°），
∴a2+c2＝16﹣ac≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，
解得，ac ，
△ABC面积S＝ ＝ ≤ ＝ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及向量数量积的性质的综合应用，属
于中档题．
5 ． （ 2023• 靖 远 县 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得tanC＝1，即可求解；
（2）由向量的线性运算可得 ，等式两边同时平方可得 ，由正弦定理
可得 ，结合角B的范围可得b （2，4），即可求解．
∈
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ， 由 正 弦 定 理 ， 得
，
学科网（北京）股份有限公司 12即sinCsinA+sinCcosA＝sinB，
因为A+B+C＝ ，所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
由sinA≠0，得πsinC＝cosC，即tanC＝1，
因为0＜C＜ ，所以 ；
π
（2）因为D为AB边的中点，所以 ，
所以 ＝ ，
在△ABC中，由正弦定理 ，得 ，
因为△ABC为锐角三角形，且 ，所以 ，
则tanB （1，+∞），故b （2，4），
∈ ∈
所以 ，即线段CD长的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质及
正切函数的性质，属于中档题．
6．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝ ，AB边上的高为 ．
（1）若S△ABC ＝2 ，求△ABC的周长；
（2）求 的最大值．
【分析】（1）由S＝ ab•sinC＝ c• ＝2 ，可得c和ab的值，再由余弦定理，求得a+b的值，
即可得解；
（2）结合（1）中结论、正弦定理、两角差的正弦公式与辅助角公式，可推出 ＝ ，
再由正弦函数的图象与性质，求出 的最大值．
【解答】解：（1）∵S△ABC ＝ ab•sinC＝ c• ＝2 ，∴c＝4，
学科网（北京）股份有限公司 13∵C＝ ，∴ab＝8，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC＝（a+b）2﹣3ab，
∴16＝（a+b）2﹣3×8，∴a+b＝2 ，
∴△ABC的周长为a+b+c＝2 +4．
（2）由正弦定理知， ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝
＝ ＝
＝ （其中 为锐角，且tan ＝ ）
θ θ
∵0＜A＜ ，∴当A+ ＝ 时， 取得最大值 ．
【点评】本题考查解三角θ形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、两角差的
正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．余弦定理（共5小题）
7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）先把cos2C﹣cos2A＝ sinA•sinB﹣sin2B化为a2+b2﹣c2＝ ab，用余弦定理即可求解．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
【解答】解：（1）∵cos2C﹣cos2A＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝ sinA•sinB﹣sin2B，
学科网（北京）股份有限公司 14∴sin2A﹣sin2C＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴a2+b2﹣c2＝ ab，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∵C （0， ），∴∠C＝ ．
∈ π
（2）∵a+b≥2 ，∴4≥2 ，∴ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab） ＝4，
max
∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin ＝ ．
【点评】此题考查了余弦定理，以及利用基本不等式求三角形面积的最大值，熟练掌握余弦定理，基本
不等式是解本题的关键．
8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【分析】（1）由正弦定理可将等式化简，再由三角形中的角的范围求出A的值；
（2）由（1）可得求出c边，进而由余弦定理可得cosC的值，再由三角形AD⊥AC可求出D为CB的中
点，可得三角形ABD的面积为三角形ABC的一半，求出三角形ABD的面积．
【解答】解：（1）因为 cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，
学科网（北京）股份有限公司 15由正弦定理可得： cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sinAsinA＝0，
可得： cosAsin（B+C）+sin2A＝0，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，
所以可得 cosA+sinA＝0，
即tanA＝﹣ ，而A为三角形的内角，
所以可得A＝ ；
（2）在△ABC中π由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
因为a＝2 ，b＝2，
所以28＝4+c2﹣2×2c•（﹣ ），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），
所以c＝4，
再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacosC，可得cosC＝ ，
在Rt△ABD中，CD＝ ＝ ＝ ，
所以可得CD＝ ，
S△ABD ＝ S△ABC ＝ • AB•ACsin∠BAC＝＝ •4•2• ＝ ；
所以△ABD的面积为 ．
【点评】本题考查了三角形正余弦定理，面积公式的知识点，属于中档题．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，② ，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明
另外一个成立．
学科网（北京）股份有限公司 16注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A＝B；
（2）三种情况，在△ACD中，利用余弦定理证明即可．
【解答】（1）证明：因为 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，又由正弦定理 ，得cosA＝cosB，
角A，B为△ABC中内角，所以A＝B．
（2）△ABC中，A＝B，D为BC的中点，如图所示，
①② ③，
⇒
已知AD＝4， ，求证CD＝2．
证明：AC＝2CD，△ACD中， ，
解得CD＝2．
①③ ②，
⇒
已知AD＝4，CD＝2，求证 ．
证明：AC＝2CD＝4，所以△ACD中， ．
②③ ①，
⇒
已知 ，CD＝2，求证：AD＝4．
证明：AC＝2CD＝4，
在△ACD中，由余弦定理， ，
所以AD＝4．
学科网（北京）股份有限公司 17【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（b﹣a）
（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝ ；②S△ABC ＝ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA的值，结合A的范围可
求A的值．
（2）选择① ．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC周长l＝2 sin（B+ ）+
，可求B+ 的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC周长的取值范围；选择②利用三角形的面积
公式可得bc＝4，由余弦定理得a2＝（b+c）2﹣12，根据基本不等式可求 ，即可得解
△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC，
由正弦定理得（b﹣a）（b+a）＝（b﹣c）c，即b2+c2﹣a2＝bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2分）
由余弦定理得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）选择① ．由正弦定理 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6
分）
学科网（北京）股份有限公司 18即 △ ABC 周 长 ＝ ＝
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣（11分）
即△ABC周长的取值范围 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
选择② ．，得 ，得bc＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣（7分）
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9
分）
即△ABC周长 ，
∵ ，当且仅当b＝c＝2时等号成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴
即△ABC周长的取值范围[6，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的
面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝ （a2+b2﹣c2），③ sin（A+B）＝1+2sin2
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为 ，求边长a的值．
【分析】（1）选①由余弦定理化简已知等式可得cosC＝ ，结合范围C （0， ），可求C的值．
∈ π
选②利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得 tanC＝ ，结合范围C （0， ），可求C
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 19的值．
选③利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin（C+ ）＝1，结合范围C+ （ ，
），即可求解C的值． ∈
（2）由题意S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ，利用三角形的面积公式可得 a×CD+CD＝ ， a×CD＝ ，
联立即可解得a的值．
【解答】解：（1）选①2a﹣b＝2ccosB，
则由余弦定理可得：2a﹣b＝2c• ，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得cosC＝ ＝ ，
因为C （0， ），
∈ π
所以C＝ ．
选②S＝ （a2+b2﹣c2），
可得 absinC＝ ，即sinC＝ ＝ cosC，
所以tanC＝ ，
因为C （0， ），
∈ π
可得C＝ ．
选③ sin（A+B）＝1+2sin2 ，
可得： sinC＝2﹣cosC，可得2sin（C+ ）＝2，
可得：sin（C+ ）＝1，
因为C （0， ），C+ （ ， ），
∈ π ∈
学科网（北京）股份有限公司 20所以C+ ＝ ，可得C＝ ．
（2）在△ABC中，S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ，
可得 BC•CD•sin∠BCD+ CA•CD•sin∠ACD＝ CA•CB•sin∠ACB，可得 a×CD+CD＝ ，①
又S△CDB ＝ a×CD＝ ，②
由①②可得： ＝ ，解得a＝2，或a＝﹣ （舍去），
所以边长a的值为2．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查
了计算能力和转化思想，属于中档题．
三．三角形中的几何计算（共11小题）
12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝ ，b＝1；
条件③：S△ABC ＝ ．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式，容易求出sin（ ）＝0，则易知B＝ ；
（Ⅱ）结合B＝ ，此时b应该最大，而条件②中b＝1 ，与已知矛盾，故条件①③正确，
再结合面积公式、余弦定理以及三角形内角平分线的性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）由 得：
学科网（北京）股份有限公司 21＝ ＝0，
结合B （0， ），得 ，故B＝ ；
∈ π
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得 ，即a2+c2﹣b2+ac＝0……（*），
因为 ，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确，
对于条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0，与（*）式结合得a＝3，
对于条件③： ，故ac＝15，所以c＝5，
所以 ，故b＝7，
所以 ，即 ，解得sinA＝ ，cosA＝ ，
显然 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
结合AC＝7，故 ，
在△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA＝ × ＝ ，
故BD＝ ．
【点评】本题考查了正余弦定理、面积公式和三角形内角平分线的性质，同时考查了学生的运算能力和
逻辑推理能力，属于中档题．
13．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，设△ABC的面积为S，满足 ，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式、诱导公式化简变形，即可得出答案；
学科网（北京）股份有限公司 22（2）利用三角形面积公式得ac，结合正弦定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
在△ABC中，由正弦定理得 ，
∵sinC＝sin[ ﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴ π ，
∴ ，
∵A （0， ），∴sinA≠0，
∴ ∈ π，
又B （0， ），则 ；
∈ π
（2）由（1）得 ，则 ，解得ac＝12，
又由正弦定理 得 ，
∴ ，解得 ．
【点评】本题考查正弦定理和面积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝
2sinA（1﹣cosC）．
（1）证明：b＝2a；
（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．
【分析】（1）由题意得A+B＝ ﹣C，利用两角和差的三角函数公式变形得sinAcosC+cosAsinC＝sinB＝
2sinA，利用正弦定理，即可证明π结论；
（2）作图，由题意得BD＝ ，b＝2a，利用余弦定理可得cos∠CDB＝ ﹣a2，cos∠ADC＝1﹣2a2，结
合cos∠CDB+cos∠ADC＝0，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，A+B＝ ﹣C，sin（2A+B）＝2sinA（1﹣cosC），
则sin（ +A﹣C）＝2sinA﹣2sinAcosC，即﹣sinπ（A﹣C）＝2sinA﹣2sinAcosC，
∴﹣（sπinAcosC﹣cosAsinC）＝2sinA﹣2sinAcosC，即sinAcosC+cosAsinC＝sinB＝2sinA，
学科网（北京）股份有限公司 23∴由正弦定理得b＝2a；
（2）作图：
点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，则BD＝ ，
由（1）得b＝2a，
在△CBD中，由余弦定理得cos∠CDB＝ ＝ ＝ ﹣a2，
在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝ ＝1﹣2a2，
∵∠CDB+∠ADC＝ ，
∴cos∠CDB+cos∠AπDC＝0，
即 ﹣a2+1﹣2a2＝0，解得a＝ ，
∴b＝2a＝ ，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝ + + ＝ + ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝ ，BE⊥AC于点E，BE＝ ，且△ACD
的面积为△ABC面积的2倍．
（1）求AD•sin∠DAC的值；
（2）当CD＝3时，求线段DE的长．
学科网（北京）股份有限公司 24【分析】（1）由题意得S△ACD ＝ AC•AD•sin∠DAC，S△ABC ＝ AC•BE，S△ACD ＝2S△ABC ，即可得出答
案；
（2）由题意得CE＝1，利用正弦定理得sin∠ACD＝ ，分类讨论cos∠ACD＝ ，cos∠ACD＝﹣
，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ACD的面积为△ABC面积的2倍，BE⊥AC，
∴S△ACD ＝ AC•AD•sin∠DAC，S△ABC ＝ AC•BE，S△ACD ＝2S△ABC ，
∴ AC•AD•sin∠DAC＝2× AC•BE，
又BE＝ ，则AD•sin∠DAC＝2BE＝2 ；
（2）在Rt△BCE中，则CE2＝BC2﹣BE2＝1，即CE＝1，
在△ACD中，由正弦定理得 ＝ ，即CD•sin∠ACD＝AD•sin∠DAC＝2 ，
∴sin∠ACD＝ ，
∴cos∠ACD＝± ＝± ，
当cos∠ACD＝ 时，
在△CDE中，由余弦定理得DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CDcos∠ACD＝12+32﹣2×1×3× ＝8，即DE＝2
，
当cos∠ACD＝﹣ 时，
在△CDE中，由余弦定理得DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CDcos∠ACD＝12+32﹣2×1×3×（﹣ ）＝12，即DE
＝2 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记
∠CAP＝ ．
θ
学科网（北京）股份有限公司 25（1）若 ，求PB的长；
（2）用 表示S△PAB ，并求S△PAB 的取值范围．
θ
【分析】（1）由题意得∠PAB＝ ，CP＝CA＝AP＝2，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）由题意得∠PCA＝ ﹣2 ，∠APC＝ ，利用正弦定理得PA＝4cos ，表示出S△PAB ＝ PA•ABsin（
π θ θ θ
+ ），结合三角函数的性质，即可得出答案．
θ
【解答】解：（1）∵∠CAP＝ ，△ABC是边长为2的正三角形，
∴∠PAB＝ ，CP＝CA＝AP＝2，
∴在△APB中，由余弦定理得PB2＝AP2+AB2﹣2AP•ABcos∠PAB＝4+4﹣8×（﹣ ）＝12，即PB＝2
；
（2）∵CP＝CA，∠CAP＝∠CPA＝ ，
∴∠PCA＝ ﹣2 ，∠APC＝ ， θ
π θ θ
在△APC中，由正弦定理得 ，解得PA＝4cos ，
θ
∴S△PAB ＝ PA•ABsin（ + ）＝ •4cos •2sin（ + ）＝4cos sin（ + ）＝sin2 + cos2 +
θ θ θ θ θ θ θ
＝2sin（2 + ）+ ，
θ
∵ ，∴0＜ ＜ ，
θ
∴ ＜2 + ＜ ，即sin（2 + ） （﹣ ，1]，
θ θ ∈
学科网（北京）股份有限公司 26∴2sin（2 + ）+ （0，2+ ]，
θ ∈
故S△PAB 的取值范围为（0，2+ ]．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为 的面积
为 ．
（1）若 ，求△ABC的周长；
（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．
【分析】（1）由题中条件可求得tanA，再由同角三角函数得基本关系可求得cosA，，从而求出bc，再
由余弦定理可求得b+c，从而求出周长；
（2）由余弦定理和基本不等式求出BD的最小值，再由三角形的面积可求得．
【解答】解：（1）∵ ，∴bccosA＝﹣1，①
∵△ABC的面积为 ，∴ ，②
由①②得：tanA＝ ，
∵ ，∵A （0， ），∴ ，
∈ π
由①及cosA＝ ，∴bc＝3，
在△ABC中，由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝ ＝ ＝（b+c）2﹣4，
即（b+c）2＝12，∴ ，∴ ，
∴△ABC的周长为 ；
（2）记d＝|AD|，e＝|BD|，
由（1）知：bc＝3，cosA＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 27∴ ，
在△ABD中，由余弦定理有：cosA＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴e≥2，当且仅当c＝d＝ 时等号成立，
∵ ，
当底边e最小时，高h最大，
∴ ＝ ，
∴A到BD距离的最大值为 ．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系求值、用正余弦定理和面积公式解三角形、用基本不等式求
最值等，属于中档题．
18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，
CD平分∠ACB交AB于点D，
CD＝ ．
（1）求∠ADC；
（2）求△BCD的面积．
【分析】（1）由条件和余弦定理求A，再在△ADC中由正弦定理求∠ADC；
学科网（北京）股份有限公司 28（2）由（1）及条件求出∠ABC，∠BCD，再在△ABC中由余弦定理求a，最后由面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵b＝2，a2＝c2+2c+4，∴a2＝c2+bc+b2，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴由余弦定理有： ＝ ，
∵A （0， ），∴ ，
∈ π
在△ADC中，由正弦定理 ，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠ADC （0， ）∴ ．
∈
（2）由（1）知， ，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD＝ ，∴ ，
∴ ，∴c＝b＝2，
在△ABC中由余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC＝ ＝12，
∴ ，∵ ，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查用正、余弦定理和面积公式解三角形，属于中档题．
19．（ 2023•鼓楼区校级模拟）在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且
．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD长为 ，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换知识化简即可；（2）由CD为中线可转化为向量法求解，得
到48＝a2+b2+ab，再由基本不等式可得ab≤16，最后由三角形的面积即可求得．
学科网（北京）股份有限公司 29【解答】（1）在△ABC中，由正弦定理得： ，
，
化简得 ，
∵A （0， ），∴sinA≠0，
∴ ∈ π ，
即 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵C （0， ），∴ ，
∈ π
∴ ，即 ；
（2）由CD是△ABC的中线，∴ ，
∴ ，即 ，
∴48＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，∴ab≤16，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴三角形面积 ，
∴△ABC的面积的最大值为 ．
【点评】本题考查正余弦定理、面积公式、三角恒等变换、向量、基本不等式在解三角形中的应用，属
于中档题．
20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
（1）求角C的大小；
（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．
【分析】（1）由三角恒等变换知识化简条件式即可；
（2）由CD为角平分线得到S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ，从而得到 ，再由基本不等式求最值即可．
学科网（北京）股份有限公司 30【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵B （0， ），∴sinB≠0，
∈ π
∴ ，即 ，
∵C （0， ），
∈ π
∴ ；
（2）∵CD为角C的角平分线，且CD＝2，
∴S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ， ，
根据三角形面积公式可得：
＝ ，
即 ，
等式两边同时除以 ，
可得： ，即 ，
则 ，
当且仅当 即 ，b＝ 时等式成立，
∴a+2b的最小值为 ．
【点评】本题考查利用三角恒等变换知识解三角形和角平分线、基本不等式在解三角形中的应用，属于
中档题．
21．（2023•华龙区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求函数f（x）的值域；
学科网（北京）股份有限公司 31（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为 ，当a＝6
时，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+ ）+1，由题意可
求 ，利用正弦函数的性质即可求解f（x）的值域．
（2）由（1）可得 ，可求 ，解得 ，利用三角形的面
积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b+c的值，即可得解△ABC的周长．
【解答】解：（1）由题意，
＝2cos2x+ sin2x
＝2cos2x﹣1+ sin2x+1
＝cos2x+ sin2x+1
＝2sin（2x+ ）+1，
当x 时，可得 ，
所以﹣ ＜sin（2x+ ）≤1，
所以f（x）＝2sin（2x+ ）+1 （0，3]，
所以函数f（x）的值域为（0，3∈]．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
因为A （0， ），可得 ，
∈ π
所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 32又由 ，可得bc＝8，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣24，
因为a＝6，
所以 ，
所以△ABC的周长为 ．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质，三角形的面积公式以及余弦定理的综合应用，
考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点， ．
（1）若BC＝ ，求AC的长；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．
【分析】（1）分别在△BDC，可求cos∠BDC，△ADC中，由余弦定理可求AC；
（2）设AC＝x，BC＝y，又正弦定理可得 ＝ ，进而可得 2y2＝x（y2+1）①，利用
cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，可得x2+y2＝6②，进而可求解．
【解答】解：（1）在△BDC中，cos∠BDC＝ ＝ ，
cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，
在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC＝4，
∴AC＝2；
（2）设AC＝x，BC＝y，
在△ADC，△BDC中，由正弦定理，可得 ＝ ， ＝ ，
又sin∠ADC＝sin∠BDC，得 ＝ ，
在△BDC中，由余弦定理得cos∠BCD＝ ，
由∠BAC＝2∠BCD，有sin∠BAC＝sin2∠BCD＝2sin∠BCDcos∠BCD，
学科网（北京）股份有限公司 33∴ ＝2• ，整理得2y2＝x（y2+1）①，
又由cos∠ADC＝﹣cos∠BDC， ＝﹣ ，
整理得x2+y2＝6②，
联立①②得：x3﹣2x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x2+x﹣4）＝0
又 ﹣1＜x＜ +1，故x＝ ，
∴AC＝ ．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能
力，属中档题．
四．解三角形（共22小题）
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c
﹣4sinC）；
（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；
（2）证明：当△ABC的面积为 时，求a+b+c的值．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，将问题转化为证明a2≥16sinA（a﹣4sinA），整理可得完全平方式，
由此可得结论；
（2）由（1）可得a＝8sinA，进而用a，c表示出sinA，sinC，结合已知关系式整理可求得a2＝bc，代入
三角形面积公式即可求得a的值，再由余弦定理可得b+c的值，进而求出a+b+c的值．
【解答】（1）证明：∵a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC），由正弦定理可得：sinA（a﹣4sinA）＝sinB（c
﹣4sinC），
要证a2≥16sinB（c﹣4sinC），只需证a2≥16sinA（a﹣4sinA），
即证64sin2A﹣16asinA+a2≥0，即证（8sinA﹣a）2≥0成立，
显然（8sinA﹣a）2≥0成立，
所以a2≥16sinB（c﹣4sinC）成立；
（2）由（1）得：a2＝16sinB（c﹣4sinC）时，a2﹣16asinA+64sin2A＝（a﹣8sinA）2＝0，
则a＝8sinA，由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝8，
学科网（北京）股份有限公司 34则sinA＝ ，sinC＝
由a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）得：a（a﹣ ）＝b（c﹣ ），
整理可得a2＝bc，
所以S△ABC ＝ bcsinA＝ ＝ ＝ ，
解得：a＝ ．
所以sinA＝ ＝ ，可得cosA＝ 或cosA＝﹣ ，
当cosA＝ 时，由余弦定理可得：cosA＝ ＝ ，即 ＝
﹣ ，
cosA ＝ ﹣ 时 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： cosA ＝ ＝ ， 即 ﹣ ＝
﹣ ，
解得a+b+c＝ • ＝ ，或a+b+c＝ + ，
所以a+b+c＝ + 或a+b+c＝ + ．
【点评】本题考查分析法证明的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
24．（2023•福州模拟）已知函数 ，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
学科网（北京）股份有限公司 35（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，求a﹣b的
取值范围．
【分析】（1）根据平移变换得到g（x），注意到y＝sinx与y＝﹣sinx的单调性相反即可；（2）根据正
弦定理，将a﹣b表示出来，利用三角函数求值域的方法求范围即可．
【解答】解：（1）将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到 ，
再将得到的图象向左平移 个单位长度，
得到 ＝cos（x+ ）＝﹣sinx，则g（x）＝﹣sinx．
当函数y＝sinx单调递增时，g（x）单调递减，
故函数g（x）的单调递减区间为 ．
（2）∵ ，∴﹣sinC＝﹣ ，∴ ，又C为锐角，∴ ，A+B＝ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵△ABC为锐角三角形，
∴ 即 解得 ，
∴ ，∴ ．
∴a﹣b的取值范围为（﹣1，1）．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查正弦定理，属于基础题．
25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）若角 ，求角A的大小；
（2）若a＝4， ，求b．
学科网（北京）股份有限公司 36【分析】（1）根据题意，利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换化简，即可得出答案；
（2）根据题意，利用余弦定理求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ，
∴2sinBsinC• ＝sinA，即2sinBsinC ＝sinA，
即 ＝sinA，
又A （0， ），即sinA≠0，
则2s∈inBsinCπ＝1+cosA，即2sinBsinC＝1﹣cos（B+C），
∴cos（B﹣C）＝1，
又﹣ ＜B﹣C＜ ，且 ，故 ；
（2）π由（1）得πcos（B﹣C）＝1，﹣ ＜B﹣C＜ ，则b＝c，
π π
∵ ，
∴cosA＝± ，
当A为锐角时，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即16＝2b2﹣ b2，
即 ；
当A为钝角时，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即16＝2b2+ b2，
即 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档
题．
26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中， ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
学科网（北京）股份有限公司 37△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①： ；条件②： ；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（Ⅱ）条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，
边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转
化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）因为bsin2A＝ asin B，由正弦定理得，sinBsin2A＝ sinAsin B，
又B （0， ），所以sinB≠0，得到sin2A＝ sinA，
∈ π
又sin2A＝2sinAcosA，所以2sinAcosA＝ sinA，
又A （0， ），所以sinA≠0，得到cosA＝ ，所以A＝ ；
∈ π
（Ⅱ）选条件①：sinC＝ ；
由（1）知，A＝ ，根据正弦定理知， ＝ ＝ ＝ ＞1，即c＞a，
所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件②： ；
因为S△ABC ＝ bcsinA＝ bcsin ＝ bc＝3 ，所以bc＝12 ，
又 ，得到b＝ c，代入bc＝12 ，得到 c2＝12 ，解得c＝4，所以b＝3 ，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（3 ）2+42﹣2×3 ×4× ＝27+16﹣36＝7，所以a＝ ．
选条件③：cosC＝ ；
学科网（北京）股份有限公司 38因为S△ABC ＝ bcsinA＝ bcsin ＝ bc＝3 ，所以bc＝12 ，
由cosC＝ ，得到sinC＝ ＝ ＝ ，
又sinB＝sin（ ﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin AcosC+cosAsin C，由（1）知A＝ ，
π
所以sinB＝ × + × ＝ ，
又由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ，得到b＝ c，代入bc＝12 ，得到 c2＝12
，解得c＝4，所以b＝3 ，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（3 ）2+42﹣2×3 ×4× ＝27+16﹣36＝7，所以a＝ ．
【点评】本题考查正余弦定理，属于中档题．
27．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边 a，b，c所对的角分别为 A，B，C，已知 a＝4，
＝ ．
（1）若 ，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为 ，求AB的长．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanC＝
，结合C （0， ），可得C＝ ，利用正弦定理，即可得出答案；
∈ π
（2）设AB边上的中线为CD，则2 ＝ + ，两边平方，利用余弦定理可得b2+3b﹣28＝0，解得b
的值，根据余弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＝4， ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 39整理得cosB+cosAcosC＝ sinAcosC，
∵cosB＝﹣cos（A+C）＝sinAsinC﹣cosAcosC，
∴sinAsinC＝ sinAcosC，
又sinA≠0，则tanC＝ ，
∵C （0， ），∴C＝ ，
∈ π
由正弦定理得 ，即 ，解得sinA＝1；
（2）设AB边上的中线为CD，则2 ＝ + ，
∴4| |2＝（ + ）2＝b2+a2+2abcos∠ACB，即37＝b2+9+3b，
整理得b2+3b﹣28＝0，解得b＝4或﹣7（不合题意，舍去），
∴AB＝c＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力、推理论证能力、转化
与化归思想，属于中档题．
28 ． （ 2023• 辽 宁 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，且b＝3，求△ABC的面积S．
学科网（北京）股份有限公司 40【分析】（1）利用余弦定理得 ＝ ＝ ，即 ＝ ，可得tanB＝
，即可得出答案；
（2）由（1）得B＝ ，利用正弦定理得sinC＝ ，结合余弦定理和面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ，
∴在△ABC中，由余弦定理得 ＝ ＝ ，
∵cosC≠0，
∴ ＝ ，
∵sinA≠0，∴tanB＝ ，
∵B （0， ），∴B＝ ；
∈ π
（2）由（1）得B＝ ，
在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ＝ ，即sinC＝ ，
∴a+c＝2 a× ＝ ac①，
在△ABC中，由余弦定理得9＝a2+c2﹣2accos ，即a2+c2﹣ac＝9②，
联立①②得2（ac）2﹣3ac﹣9＝0，即（ac﹣3）（2ac+3）＝0，解得ac＝3或ac＝﹣ （不合题意，
舍去），
∴△ABC的面积为S＝ acsinB＝ ×3× ＝ ．
学科网（北京）股份有限公司 41【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
29．（2023•云南模拟）已知函数 在 上单调，
且 ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2， ，求△ABC周长
的最大值．
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，根据单调性求出 的取值范围，再根据对称
性求出 的值，即可得出答案； ω
（2）首ω先求出A，再利用余弦定理及基本不等式求出b+c的最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）
＝
＝ ，
∵f（x）在 上单调，且 N*，
ω∈
∴ ，解得0＜ ≤3，
ω
又 ，则 为f（x）的一条对称轴，
∴ ，解得 ＝2+3k，k Z，
ω ∈
∴ ＝2，即 ；
ω
（2）由（1）得 ，
则 ，即 ，
又0＜A＜ ，则 ，
π
学科网（北京）股份有限公司 42∴ 或 ，解得 或 ，
∵△ABC为钝角三角形，∴ ，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，即 ，
即 ，当且仅当b＝c时取等号，
∴ ，
∴ ，
即△ABC周长的最大值为 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
30．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．
（1）求A；
（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cos（B+C），求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）结合题意，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）由（1）得 A＝ ，利用正弦定理可得 a＝4，利用余弦定理可得 bc≤ ，结合题意可得
bc≥1，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵b2+c2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴在△ABC中，由余弦定理得cosA＝ ＝﹣ ，
又A （0， ），则A＝ ；
∈ π
（2）由（1）得A＝ ，
∵bsinA＝4sinB，∴由正弦定理得ab＝4b，解得a＝4，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA≥2bc+bc＝3bc，则bc≤ ，当且仅当b＝c＝ 时等号成立，
∵lgb+lgc≥1﹣2cos（B+C），∴lg（bc）≥1+2cosA＝0，解得bc≥1，
∴1≤bc≤ ，
学科网（北京）股份有限公司 43∴△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ bc，
∴ ≤S≤ ，
故△ABC面积的取值范围为[ ， ]．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcos（ +
）＝0．
（1）求A；
（2）若a＝ ，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理可得sinA+cos（ + ）＝0，结合三角函数的诱导公式可得sinA＝sin（
+ ），即可得出答案；
（2）由（1）得A＝ ，利用余弦定理可得bc≤ ＝3 +6，结合面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵asinB+bcos（ + ）＝0，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcos（ + ）＝0，
∵B （0， ），∴sinA+cos（ + ）＝0，
∈
∴sinA+cos（ + + ）＝0，即sinA＝sin（ + ），
∵A （0， ），∴ + （ ， ），
∈ ∈
∴A＝ + ，解得A＝ ；
（2）由（1）得A＝ ，a＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 44在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA≥（2﹣ ）bc，当且仅当b＝c时等号成立，
∴bc≤ ＝3 +6，
∴△ABC的面积S＝ bcsinA＝ bc≤ ，
故△ABC面积的最大值为 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
．
（1）求角C的大小；
（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．
【分析】（1）根据两角和与差的三角函数，可得 ，即可得出答案；
（2）首先根据面积公式求a，再根据余弦定理和正弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得 ，
即 ，则 ，
又C （0， ），则 ；，
∈ π
（2）由题意得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
33．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，
，且 ．
学科网（北京）股份有限公司 45（1）求角C；
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
【分析】（1）由题意得a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），利用正弦定理边化角得a（a+b）＝
（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，结合余弦定理，即可得出答案；
（2）由（1）得 ，由余弦定理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，即（a+b）2﹣ab＝c2＝18，结合面积公式可
得ab＝6，求出a+b，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ， ， ，
∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），
在△ABC中，由正弦定理得a（a+b）＝（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴ ，
又C （0， ），则 ；
∈ π
（2）由（1）得 ，由余弦定理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，即（a+b）2﹣ab＝c2＝18，
又 ，则ab＝6，
∴（a+b）2＝18+ab＝24，即 ，
∴△ABC的周长为 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6cosBcosC﹣1＝3cos（B﹣
C）．
（1）若 ，求cosC；
（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分 ，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出cos（B+C），由诱导公式求出cosA，即可求出sinA，最
后由cosC＝﹣cos（A+B）计算，即可得出答案；
学科网（北京）股份有限公司 46（2）利用二倍角公式求出 ，再由S△ABC ＝S△ADC +S△ADB 求出b，最后由面积公式计算，即可得出
答案．
【解答】解：（1）∵6cosBcosC﹣1＝3cos（B﹣C）＝3cosBcosC+3sinBsinC，
则3cosBcosC﹣3sinBsinC＝3cos（B+C）＝1， ，
又A+B+C＝ ，cos（B+C）＝cos（ ﹣A）＝﹣cosA，则 ，
π π
又A （0， ），则 ，
∈ π
则 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
又S△ABC ＝S△ADC +S△ADB ，则 ，
即 ，
则 ，即 ，解得b＝4，
故△ABC的面积 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35 ． （ 2023• 厦 门 模 拟 ） 记 △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求a的值；
（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式，将条件变形即可得出答案；
（2）由 可得AB＝AC，然后由余弦定理可解出AB，AC，即可得出答案；或利用正弦定理
结合结合条件求∠ACB＝30°，然后再利用余弦定理及三角形面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由正弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司 47∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵sinC＞0，∴ ；
（2）方法1：∵ ，即 ，
又 ，
∴ ，即AB＝AC，
在△ABC中，由余弦定理得 ，则2AB2﹣3＝﹣AB2，
∴AB＝AC＝1，
∴ ；
方法2：设∠ACB＝ ，在△ACD中，由正弦定理得 ，
θ
同理在△ABC中 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又0°＜ ＜60°，
∴ ＝30θ°，即AB＝AC，
θ
在△ABC中，由余弦定理得 ，即2AB2﹣3＝﹣AB2，
∴AB＝AC＝1，
∴ ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 4836．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（a2+c2﹣b2）
（tanA+tanB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边 ，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围．
【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由 ，结合正弦定理，辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用
三角函数值域求出范围
【解答】解：（1）由余弦定理得2c²＝2accosB（tanA+tanB），即c＝acosB（tanA+tanB），
由正弦定理得：
＝ ，∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，即 tanA＝1，
∵ ，∴ ；
（2）由余弦定理得： ，则 ，
，
由正弦定理得 ，则b＝2sinB，c＝2sinC，
bc＝4sinBsinC＝4sinBsin（ ﹣B）＝2 （sinBcosB+sin²B）
＝ （﹣cos2B+sin2B）+ ＝ ，因为△ABC是锐角三角形，
所以 ，即 ＜B＜ ，
则 ＜2B﹣ ＜ ， ＜sin（2B﹣ ）≤1，bc （2 ，2+ ]，
∈
中线AD长的取值范围为（ ， ]．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 4937．（2023•包河区校级模拟）在①4asinC＝3ccosA，② 这两个条件中任选一个，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____， ．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）如图，D为边AC上一点，DC＝DB，AB⊥BD，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）选择条件①：利用正弦定理可得 4sinAsinC＝3sinCcosA，即 4sinA＝3cosA，结合
sin2A+cos2A＝1，即可得出答案；
选择条件②：在△ABC中，cos ＝cos ＝sin ，则6bsin ＝ asinB，利用正弦定理可得
6sin ＝ sinA＝2 sin cos ，可得cos ＝ ，求出sin ，结合二倍角公式，即可得出答
案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA＝ ，A为锐角，则cosA＝ ＝ ，设BD＝CD＝3x，结合题意可得
AD＝5x，AB＝4x，利用余弦定理求出x，可得b，c，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）选择条件①：4asinC＝3ccosA，
在△ABC中，由正弦定理得4sinAsinC＝3sinCcosA，
∵sinC≠0，∴4sinA＝3cosA，
又sin2A+cos2A＝1，A （0， ），则16sin2A＝9（1﹣sin2A），解得sinA＝ ；
∈ π
选择条件②： ，
在△ABC中，cos ＝cos ＝sin ，
则6bsin ＝ asinB，
学科网（北京）股份有限公司 50由正弦定理得6sinBsin ＝ sinAsinB，
∵sinB≠0，∴6sin ＝ sinA＝2 sin cos ，
∵A （0， ），∴ （0， ），
∈ π ∈
∴sin ≠0，
∴3＝ cos ，解得cos ＝ ，
∴sin ＝ ，
∴sinA＝2sin cos ＝2× × ＝ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA＝ ，A为锐角，则cosA＝ ＝ ，设BD＝CD＝3x，
∵DC＝DB，AB⊥BD，∴AD＝5x，AB＝4x，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即18＝（5x+3x）2+（4x）2﹣2•8x•4x• ，解得x＝
，
∴c＝4x＝ ，b＝8x＝2 ，
∴S△ABC ＝ bcsinA＝ ×2 × × ＝6．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
38．（2023•旌阳区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b﹣c）
sinB+c（2sinC﹣sinB）．
（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝4，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可得出答案；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵2asinA＝（2b﹣c）sinB+c（2sinC﹣sinB），
∴2a2＝（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，
学科网（北京）股份有限公司 51∴ ，
∵A （0， ）．
∈ π
∴ ；
（2）由题意得 ，两边平方得 ，
整理得256＝c2+9b2+3bc≥9bc，
∴ ，当且仅当 ， 时，等号成立，
∴ ，
故△ABC面积的最大值为 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
39．（2023•惠安县模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）
cosA．
（1）若c＝ a，求cosB的值；
（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理得出c＝2b，再由余弦定理，即可得出答案；
（2）设∠BAD＝ ，把△ABC表示成两个三角形的面积和，表示出AD，即可得出答案；
【解答】解：（1θ）∵acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB﹣2sinAcosC＝（2sinC﹣sinB）cosA，
∴sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），
∴sinC＝2sinB，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）得c＝2b，b＝1，则c＝2，
设∠BAD＝ ，如图所示：
θ
学科网（北京）股份有限公司 52∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属
于中档题．
40 ． （ 2023• 南 关 区 校 级 模 拟 ） 已 知 △ ABC 中 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ，
．
（1）求A；
（2）若 ，且△ABC的面积为 ，求△ABC周长．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 正 弦 定 理 得 ， 即
，可得 ，即可得出答案；
（2）由面积公式和余弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵acosC+ asinC﹣b﹣c＝0，
∴ 在 △ ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 即
，
∵0＜C＜ ，∴sinC≠0，
∴ π ，
∴ ，
又A （0， ），则 ，
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 53∴ ，解得 ；
（2）∵ ，且△ABC的面积为 ，
∴ ，解得bc＝12，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝13，
∴b+c＝7，
∴ ，
故△ABC的周长为 ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
41．（2023•开福区校级模拟）已知向量 ＝（sinx，1+cos2x）， ＝（cosx， ）， ．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且 ， ，BC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由题意可得函数f（x）的解析式，由函数的最大值的求法可得函数的最大值及相应的x
的值；
（2）由（1）及A的范围可得A角的大小，进而求出B角的大小，再由三角形的内角和可知C角的大小，
由正弦定理可得AC，AB边的值，代入三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ • ﹣ ＝sinx•cosx+ （1+cos2x）﹣ ＝ sin2x+ cos2x＝ sin
（2x+ ），
当2x+ ＝ +2k ，k Z，即x＝ +k ，k Z，则函数值f（x）最大，且为 ，
π ∈ π ∈
所以函数y＝f（x）的最大值为 ，相应x的值为 +k ，k Z；
π ∈
（2）由（1）可得f（A）＝ sin（2A+ ）＝ ，A角为锐角，所以2A+ ＝ ，
π
解得A＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 54又因为A+B＝ ，所以B＝ ，
进而可得C＝ ，
由正弦定理可得 ＝ ＝ ，BC＝2，
可得AC＝ ，AB＝1+ ，
所以S△ABC ＝ AC•AB•sinA＝ • •（1+ ）• ＝ ．
【点评】本题考查数量积的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
42．（2023•江西模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB＝cos2B﹣
cos2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝2sinB， ，求△ABC的面积．
【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角，即
可得出答案；
（2）先利用正弦定理将sinA＝2sinB转化为a，b的关系，再结合（1）中的条件求出a，b，最后利用三
角形的面积公式求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵sin2A+sinAsinB＝cos2B﹣cos2C＝1﹣sin2B﹣（1﹣sin2C）＝sin2C﹣sin2B，
∴在△ABC中，由正弦定理得a2+ab＝c2﹣b2，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴ ，
又C （0， ），∴ ；
（2）∈∵sinAπ＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b①，
又a2+b2﹣7＝﹣ab②，
联立①②得a＝2，b＝1，
∴ ．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 5543．（2023•镇江三模）在凸四边形ABCD中， ．
（1）若 ．求CD的长；
（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求 sin∠ABD 的值，利用两角差的余弦公式可求
cos∠CBD的值，在△BCD中，由余弦定理即可求解CD的值．
（ 2 ） 由 题 意 可 求 ， 由 正 弦 定 理 可 得 sin∠ ADB ＝ sin∠ CDB ， 即
， 设 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ，
，利用三角函数恒等变换的应用可求 ，
进而利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为BC＝ ，BD＝2 ，
所以在△BCD中，由余弦定理可知，CD2＝BD2+BC2﹣2BD⋅BC⋅cos∠CBD＝13，即 ．
（2）因为四边形ABCD有外接圆，所以 ，
因为AB＝BC，且由正弦定理可知， ，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
即 ，
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 56由正弦定理可知， ，
所以 ，
同理可知 ，
所以CD+AD
＝2 sin +2 （ cos + sin ）
θ θ θ
＝
＝ ，
因为 ，
所以 ，
所以当 ，
即 时，AD+CD取得最大值为 ．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合
应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
44．（2023•成都模拟）在斜三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足
asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且BC上的中线AD长为 ，求斜三角形ABC的面积．
学科网（北京）股份有限公司 57【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解；
（2）由已知利用余弦定理可得 4＝b2+c2﹣bc，①在△ABD 中，由余弦定理可得 cos∠ADB＝
，在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC＝ ，由cos∠ADB＝﹣
cos∠ADC，整理可得b2+c2＝8，②，由①②解得b＝c＝2，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC，
∴由正弦定理可得，a2+4bc•cos2A＝b2+c2，
∴cos2A＝ ＝ cosA，
∵三角形ABC为斜三角形，
∴∠A不为直角，即cosA≠0，
∴cosA＝ ，
又∵A （0， ），
∈ π
∴A＝ ；
（2）∵A＝ ，a＝2，
∴由余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc，①
∵BC上的中线AD长为 ，可得BD＝CD＝1，
∴在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝ ，
在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC＝ ，
又∵cos∠ADB＝cos（ ﹣∠ADC）＝﹣cos∠ADC，
π
∴ ＝﹣ ，整理可得b2+c2＝8，②
∴由①②解得b＝c＝2，
学科网（北京）股份有限公司 58∴S△ABC ＝ bcsinA＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力
和转化能力，属于中档题．
五．三角形的形状判断（共4小题）
45．（2023•安徽二模）在△ABC中，sin2A+3sin2C＝3sin2B．
（1）若sinBcosC＝ ，判断△ABC的形状；
（2）求tan（B﹣C）的最大值．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求 sinBcosC 及sinCcosB，进而可求 sin
（B+C），即可判断；
（2）结合（1）及两角差的正切公式可求tan（B﹣C），然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）因为sin2A+3sin2C＝3sin2B，
所以a2+3c2＝3b2，
所以2a2＝3a2+3c2﹣3b2，
所以cosB＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以sinA＝3sinCcosB＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB，
所以2sinCcosB＝sinBcosC＝ ，
所以sinCcosB＝ ，
所以sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝1，
学科网（北京）股份有限公司 59故B+C＝ ，A＝ ，
所以△ABC为直角三角形；
（2）由（1）知2sinCcosB＝sinBcosC，
所以tanB＝2tanC＞0，
所以tan（B﹣C）＝ ＝ ＝ ＝ ，
当且仅当2tanC＝ ，即tanC＝ 时取等号，
故tan（B﹣C）的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等
式在最值求解中的应用，属于中档题．
46．（2023•洪山区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin（A﹣B）cosC＝cosBsin
（A﹣C）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，且 ，求 的最大值．
【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的和与差公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，以及换元法，即可求解．
【解答】解：（1）sin（A﹣B）cosC＝cosBsin（A﹣C）．
则（sinAcosB﹣cosAsinB）cosC＝cosB⋅（sinAcosC﹣cosAsinC），化简整理可得，cosA•sin（C﹣B）＝
0，
故cosA＝0或sin（C﹣B）＝0，
则 或B＝C，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．
（2） 得asinB＝bsinA＝1，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 60又B＝C，A+B+C＝ ，
∴sin2B+sin2A＝sin2Bπ+sin2（ ﹣2B）＝sin2B+4sin2Bcos2B，
令t＝sin2B，t （0，1）， π
∴sin2B+4sin2B∈cos2B＝t+4t（1﹣t）＝﹣4t2+5t，
故当 时，即 原式取最大值，
即 ，
综上 最大值为 ．
【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题．
47．（2023•湖北模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角， ．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，分析运算即可；
（2）设∠ACD＝ ，用 表示其他角，并结合正弦定理建立关系，利用三角恒等变换运算求解即可．
θ θ
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理有： ，
因为sinB≠0，所以 ，
又因为A为锐角，即 ．
（2）设∠ACD＝ ，
在△ACD中，ADθ＝CD，则∠CAD＝ ，
θ
可得 ，
在△ABD中，由正弦定理有： ，
又因为AD＝2BD，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 61则 ，化简得 ，
因为 ，即 ，则 ，
所以△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查正弦定理等相关解三角形的知识，属于中档题．
48 ． （ 2023• 福 建 模 拟 ） 已 知 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）当 ， ＝2时，求c的值；
（2）判断△ABC的形状λ．
【分析】（1）由正弦定理通过边角互化将条件转化为角的关系，再通过三角恒等变换求角 B，再由正
弦定理求c；
（2）由条件通过三角恒等变换判断tanA，tanB的正负，结合两角和公式判断tanC的符号，由此确定三
角形形状．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
所以acosA+bcosB＝ ccosC，
所以sinAcosA+sinBcλosB＝ sinCcosC，
则sin2A+sin2B＝ sin2C，λ
λ
又 ， ＝2，C＝ ﹣A﹣B，
λ π
所以 ，
所以（sinB+cosB）2＝﹣2（cosB﹣sinB）（cosB+sinB），
因为 ，所以 ，sinB+cosB≠0，
所以sinB+cosB＝2sinB﹣2cosB，
所以tanB＝3，所以 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 62由 ，得 ；
（2）因为sin2A+sin2B＝ sin2C，
所以sin[（A+B）+（A﹣Bλ）]+sin[（A+B）﹣（A﹣B）]＝ sin2C，
所以2sin（A+B）cos（A﹣B）＝2 sinCcosC，又sin（A+Bλ）＝sinC≠0，
所以cos（A﹣B）＝ cosC＝﹣ cosλ（A+B），
化简得（1+ ）cosAcλosB＝（ ﹣λ1）sinAsinB，
λ λ
所以 ，
因为 ＞1，所以 ，
所以λtanA＞0，tanB＞0，
所以 ，
又A，B，C （0， ），
所以A，B，∈C都为π锐角，
所以△ABC为锐角三角形．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
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