文档内容
重难点突破 01 抽象函数模型归纳总结
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：一次函数模型................................................................................................................................................3
题型二：二次函数模型................................................................................................................................................4
题型三：幂函数模型....................................................................................................................................................4
题型四：指数函数模型................................................................................................................................................5
题型五：对数函数模型................................................................................................................................................5
题型六：正弦函数模型................................................................................................................................................6
题型七：余弦函数模型................................................................................................................................................6
题型八：正切函数模型................................................................................................................................................7
03过关测试...........................................................................................................................................7一次函数
（1）对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（2）对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
二次函数
（3）对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为
幂函数
（4）对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（5）对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 ．
指数函数
（6）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（7）对于指数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
其中
对数函数
（8）对于对数函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（9）对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
（10）对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
其中
三角函数
（11）对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：
（12）对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（13）对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：
（14）对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
题型一：一次函数模型
【例1】已知 且 ，则 不等于
A． B．
C． D．
【变式1-1】已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误
的是（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知定义在 上的单调函数 ，其值域也是 ，并且对于任意的 ，都有，则 等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
题型二：二次函数模型
【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成
立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列
结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A．135 B．395 C．855 D．990
题型三：幂函数模型
【例3】已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
，则（ ）
A． 是奇函数且在 上单调递减B． 是奇函数且在 上单调递增
C． 是偶函数且在 上单调递减
D． 是偶函数且在 上单调递增
题型四：指数函数模型
【例4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数 的定义域为 ，满足
，且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为非奇非偶函数
C．若 ，则 D． 对任意 恒成立
【变式4-1】已知函数 满足， ，则
的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【变式4-2】如果 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知函数 对一切实数 满足 ，且 ，若
，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
题型五：对数函数模型
【例5】（多选题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【变式5-1】已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知 为定义在R上且不恒为零的函数，若对 ，都有
成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
②若当 时， ，则函数 在 单调递增；
③对 ， ；
④若 ，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若
，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
题型六：正弦函数模型
【例6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的定义域为R，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． C． D．
【变式6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． C． D．
题型七：余弦函数模型
【例7】（多选题）已知定义域为 的函数 满足 ，且
，则（ ）A．
B． 是偶函数
C．
D．
【变式7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数 ．满足
，且 ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
【变式7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，
， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在 上的函数 ，满足 ，
且 ，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
题型八：正切函数模型
【例8】定义在 上的函数 满足： ，当 时，有 ，且
．设 ，则实数 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式8-1】（2024·浙江·二模）已知函数 满足对任意的 且 都有
，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1．已知函数 对于一切实数 均有 成立，且 ，则当 时，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意 ，都有 ，则
＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
3． 满足对任意的实数 都有 ，且 ，则
（ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
4．如果函数 对任意 满足 ，且 ，则
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
5．设函数 的定义域为 ，对任意实数 ， ，只要 ，就有 成立，则函
数 （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
7．设函数 的定义域为 ， ，若 ，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ，则（ ）A． 为偶函数
B．
C．
D．
9．（多选题）已知函数 的定义域为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的一个周期为3 D．
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数 的定义域为 ， ，
，则下列命题正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为 上减函数
C．若 ，则 为定值 D．若 ，则
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数 满足 ，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 是奇函数
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数 的定义域与值域均为 ，且
，则（ ）
A． B．函数 的周期为4
C． D．
13．（多选题）已知非常数函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
14．（多选题）已知 是定义在 上的函数， ，且 ，则
（ ）A．
B． 是偶函数
C． 的最小值是1
D．不等式 的解集是
15．（多选题）已知函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A．
B．
C． 是奇函数
D． 是偶函数
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数 是定义在 上不恒为零的可导函数，对任意的x， 均
满足： ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
19．（多选题）已知函数 ，对于任意 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 的定义域为 ， ，且
，当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C．当A，B是锐角 的内角时，
D．当 ，且 ， 时，
21．（多选题）函数 的定义域为 ， ，若 ，则下列选项正确的
有（ ）
A． B．
C．函数 是增函数 D．函数 是奇函数
22．（多选题）定义在 上的函数 ，对 ，均有 ，当 时，
，令 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（多选题）已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，则
对于 ， ，下式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则 ．25．已知函数 的定义域为R，且 ， ，请写出满足条件的一个
（答案不唯一）．
26．已知函数 ，且 ， ，则函数
的一个解析式为 .
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 的函数的解析式 ．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；②
．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
29．已知函数 ， ，且 ， ， ，…， ， ，
则满足条件的函数 的一个解析式为 .
30．若函数 满足 ，写出一个符合要求的解析式 ．
31．同时满足下列两个条件：① ；② 的函数可以为 .
