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重难点 07 三角函数的图像与性质（4 种考向）
【目录】
考向1：三角函数的图像
考法1：图像的变换
考法2：根据图像求解析式
考向2：三角函数的周期性
考向3：三角函数的单调性
考向4：三角函数的最值与值域
二、命题规律与备考策略
一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象的步骤
ω φ
ω φ ω
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）
φ
再相位变换，平移的量是 （ ＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x
而言的．
ω
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ，利用这一结论可以较快地写出
“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ x+ ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最
ω φ
学科网（北京）股份有限公司 1小值m＝﹣A+b，故A＝ ．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ x+ ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ x+ ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期
ω φ
变换（伸缩变换），平移的量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移
ω φ
φ
的量是 （ ＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身
加减多少值，而不是依赖于 x加减多少值．
ω
3．三点提醒
ω
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函
数；
（3）由y＝Asin x的图象得到y＝Asin（ x+ ）的图象时，需平移的单位数应为 ，
而不是| |．
ω ω φ
二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式
φ
根据图象确定解析式的方法：
ω φ
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为 M，最小值为m，则A＝ ，k＝ ，
ω
由周期T确定，即由 ＝T求出， 由特殊点确定．
三．三角函数的周期性
φ
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有 f （ x + T ）＝ f （ x ） ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数
的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ x+ ），x R及函数y＝Acos（ x+ ）；x R（其中A、 、 为常数，
ω φ ∈ ω φ ∈ ω φ
且A≠0， ＞0）的周期T＝ ．
【解题方法点拨】
ω
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ x+ ）的单调区间时，应注意 的符号，只有当 ＞0时，才能把 x+
看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
ω φ ω ω ω φ
2．两类点
y＝sin x，x [0，2 ]，y＝cos x，x [0，2 ]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
∈ π ∈ π
学科网（北京）股份有限公司 2①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ x+ ）和 y＝Acos（ x+ ）的最小正周期为 ，y＝tan
ω φ ω φ
（ x+ ）的最小正周期为 ．
③利用图象．图象重复的x的长度．
ω φ
四．正弦函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ x+ ）+k的形式，再求最值（值
域）；
ω φ
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域
（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关
于t的二次函数求解．
五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ x+ ）或y＝Acos（ x+ ）（其中， ＞0）的单调区间时，要视
“ x+ ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果 ＜0，那么一定先借助诱导公式将
ω φ ω φ ω
化为正数，防止把单调性弄错．
ω φ ω ω
六．三角函数的最值
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定
义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简
的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ + cos （ 2 x + ） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ ﹣ +2• ＝ + （cos2x﹣sin2x）
＝ + cos（2x+ ）．
故答案为： + cos（2x+ ）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了
只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要
熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
学科网（北京）股份有限公司 3例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t [﹣1，1]
∈
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝ 时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，
在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一
些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
三、题型方法
考向1：三角函数的图像
一．选择题（共6小题）
1．（2023•韶关二模）函数 的
部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不
变），再向左平移 个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数g（x）的最小正周期为
π
B．函数g（x）在 上单调递增
C．函数g（x）的一个极值点为
D．函数g（x）的一个零点为
学科网（北京）股份有限公司 4【分析】根据图象确定f（x）的解析式，然后根据变换得到 ，
对应y＝sinx的性质判断各个选项即可．
【解答】解：由图可知， ，所以T＝4， ；
一条对称轴为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
所以g（x）的图象的最小正周期为T＝ ，A正确；
π
因为 ，所以 ，则g（x）在 上单调不单调，
B错误；
对于C：令 ，
k＝0时，函数g（x）的一个极值点为 ，所以C正确；
对于D：令 ，
令k＝0，则函数g（x）的一个零点为﹣ ，所以D正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数的图象，属于中档题．
2 ． （ 2023• 江 西 模 拟 ） 已 知 直 线 是 函 数
图像相邻的两条对称轴，将f（x）的图像向右平移
个单位长度后，得到函数g（x）的图像．若g（x）在（﹣m，m）上恰有三个不同的
零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意先求出 ＝2，再结合图像得出关于m的不等式组，即可求得m的范
围．
ω
学科网（北京）股份有限公司 5【 解 答 】 解 ： 由 题 意 得 ， 即 ， 解 得 ＝ 2 ， 则
ω
，
f（x）的图像向右平移 个单位长度后，得到函数 ，
又g（x）在（﹣m，m）上恰有三个不同的零点，
所以转化为h（x）＝4sinx在 上有三个不同的零点，其中，m
＞0，
则 ，要使h（x）＝4sinx在 上有三个不同的
零点，
则 或 ，解之得 ＜m≤ ．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数零点问题，属于中档题．
3．（2023•南关区校级模拟）已知函数 ，将y＝f
（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）的图象关
于y轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B．﹣2 C． D．0
【分析】根据已知有g（x）＝2cos2x，利用换元法的思想求函数 的最小
值．
【解答】解：将y＝f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝2sin[2（x+ ）+ ]＝2sin（2x+ + ），
φ φ
又g（x）的图象关于y轴对称，| |＜ ，则 ＝ ，
φ φ
g（x）＝2cos2x，则 ＝2cos2x+2cosx＝4cos2x+2cosx﹣2，
设h（x）＝4cos2x+2cosx﹣2＝4（cosx+ ）2﹣ ，cosx [﹣1，1]，
∈
学科网（北京）股份有限公司 6当cosx＝﹣ 时，h（x）取得最小值﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的平移变换，考查二倍角公式，考查三角函数的值域问题，
属于中档题．
4．（2023•乌鲁木齐模拟）如图所示的曲线为函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞
ω φ ω
0，| |＜ ）的部分图象，将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
φ
再将所得曲线向左平移 个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A．直线 为g（x）图象的一条对称轴
B．点（ ，0）为g（x）图象的一个对称中心
C．函数g（x）的最小正周期为2
π
D．函数g（x）在[ ， ]上单调递减
【分析】由函数图象可得A＝2，可求f（x）的周期，利用周期公式可求 的值，由f（
ω
）＝2，可解得 ＝2k + ，k Z，结合| |＜ ，可求 的值，可得函数解析式为
φ π ∈ φ φ
f（x）＝2sin（3x+ ），进而利用函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换以及余弦函数的
性质即可求解．
ω φ
【解答】解：由函数图象可得A＝2，由 ＝ ，可得图中f（x）的最低点为
（ ，﹣2），
由 ＝ ，可得图中f（x）的左边最高点为（ ，2），
所以f（x）的周期T＝2（ ﹣ ）＝ ＝ ，解得 ＝3，
所以f（x）＝2sin（3x+ ），
ω
φ
学科网（北京）股份有限公司 7因为f（ ）＝2sin（3× + ）＝2，可得sin（ + ）＝1，
φ φ
可得 + ＝2k + ，k Z，解得 ＝2k + ，k Z，
φ π ∈ φ π ∈
又因为| |＜ ，
φ
所以 ＝ ，可得f（x）＝2sin（3x+ ），
φ
将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到y＝2sin（2x+ ） 的图
象；
再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到y＝2sin[2（x+ ）+ ]＝2sin（2x+ ）
＝2cos2x＝g（x）的图象，
对于A，g（ ）＝2cos ＝﹣1，故直线 为g（x）图象的一条对称轴，故正确；
π
对于B，g（ ）＝﹣2cos ＝﹣ ≠0，故错误；
对于C，函数g（x）的最小正周期T＝ ＝ ，故错误；
π
对于D，令2k ≤2x≤2k + ，k Z，解得k ≤x≤k + ，k Z，当k＝0时，可得g
π π π ∈ π π ∈
（x）的一个单调递减区间为[0， ]，
又 ＜ ＜ ，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式，函数 y＝Asin
（ x+ ）的图象变换以及余弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
5．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）的部分图象如图所示，其中A＞0，
ω φ
ω φ
＞0，﹣ ＜ ＜0．在已知 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为
（ ）
ω φ
学科网（北京）股份有限公司 8A． B． C． D．Asin
【分析】令f（x）＝Asin（ x+ ）＝0，找到零点的关系，观察可得．
ω φ φ
【解答】解：令f（x）＝Asin（ x+ ）＝0，
ω φ
根据“五点法”可得： x + ＝2k ，k Z，
1 ω 1 φ 1
x 2 + ＝2k 2 + ，k 2 Z， ω φ π ∈
ω 则 xφ1 ＝2k 1π ﹣ π ，k∈1 Z， x 2 ＝2k 2 + ﹣ ，k 2 Z，
ω π φ ∈ ω π π φ ∈
则 ＝ ，k ，k Z，设 ＝m（m为常数），
1 2
∈
则 ＝ ，k Z，再根据﹣ ＜ ＜0确定 的取值．
故选：B．
φ ∈ φ φ
【点评】本题考查三角函数的图象，属于中档题．
6．（2023•江西模拟）设函数 在[﹣ ， ]的图像大致如图，则f
（ ）＝（ ）
π π
π
A． B． C． D．
【分析】结合图象中标的数据得到关于最小正周期满足不等关系和等量关系，据此求解
的值，可求函数解析式，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．
ω
【解答】解：据图可知： ＜T＜ −（− ），
π π
即 ＜T＜ ，所以 ＝ （ ，2）……①，
π ω ∈
结合图像可知f（− ）＝cos（﹣ + ）＝0，
ω
则− + ＝− +2k ，k Z，
ω π ∈
所以 ＝ − k，k Z，结合①式可知，k＝0时， ＝ 符合题意，
ω ∈ ω
可得f（x）＝cos（ x+ ），可得f（ ）＝cos（ + ）＝ ．
故选：D．
π
学科网（北京）股份有限公司 9【点评】本题考查了由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析，余弦函数的图象和性
质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
ω φ
二．多选题（共2小题）
（多选）7．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 在
上单调，且f（x）的图象关于点 对称，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为4
π
B．
C．将f（x）的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数y＝5f（x）+4在[0， ]上有且仅有一个零点
π
【分析】把f（x）＝cos（ x+ ）求出来，结合图象和性质依次判断即可．
【解答】解：函数 在 上单调，
所以： ≥ ，整理得 ≥ ，故0＜ ≤ ，
ω
由于曲线y＝f（x）关于点 对称，故﹣ + ＝k + ，（k Z），
ω π ∈
故 ＝ ﹣3k，（k Z），当k＝0时， ＝ ，f（x）＝cos（ x+ ），
ω ∈ ω
所以函数的最小正周期T＝ ＝4 ，故A正确；
π
f（ ）＝cos（ + ）＝cos ＝﹣cos ，f（ ）＝cos（ + ）
＝cos ＝﹣cos ，
即f（ ）＝f（ ），B错误；
将函数f（x）＝cos（ x+ ）的图象向右平移 个单位长度后得到g（x）＝cos（
x﹣ + ）＝cos x，
由于函数g（﹣x）＝g（x），故函数g（x）为偶函数，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司 10令函数y＝5f（x）+4＝0，整理得f（x）＝﹣ ，由于x [0， ]，如图：
∈ π
f（ ）＝cos（ + ）＝﹣sin ＝﹣ ＜﹣ ，则f（x）与y＝﹣ 在[0， ]上
只有一个交点，
π π
则y＝5f（x）+4在[0， ]上有且仅有一个零点．D正确．
故选：ACD．
π
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）8．（2023•临沂二模）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，0＜ ＜
）在一个周期内的图象如图，则（ ）
ω φ ω φ
π
A．
B．点 是一个对称中心
C．f（x）的单调递减区间是[3k ﹣ ，3k + ]（k Z）
π π ∈
D．把函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平
移 个单位，可得f（x）的图象
【分析】根据图象得到函数解析式，根据y＝sinx的性质，对应判断即可．
【解答】解：由图象可得A＝2，且 ，所以最小正周期T＝3 ，
π
而 ，即 ，可得 ，所以 ，
由图知，x＝ 时， ，k z，又0＜ ＜ ，所以 ，
π ∈ φ π
学科网（北京）股份有限公司 11所以 ，所以A错误；
B中，因为 ，这时y＝0，所以 是函数的一个对称中心，
所以B正确；
C中， ， ，k Z，是函数的单调增区间，C项错误，
∈
理由如下：函数的递增区间满足 ，k Z，
∈
解得 ，
所以函数的递增区间为 ， ，k Z，所以C错误；
∈
D中，y＝2sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，
可得 ，再向左平移 ，可得 ，
即与该函数图像一样，所以D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•吴忠模拟）已知函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0， ）的部分图
ω φ ω
象如图所示，则 ＝ ．
【分析】先由图象确定解析式，再求函数值．
【解答】解：∵ ，∴周期T＝ ，∴ ＝ ，∴f（x）＝2sin
（2x+ ），
π ω
φ
又 ，k Z，又 ，∴ ＝ ，∴f（x）＝2sin（2x+
），
∈ φ
∴ ，
故答案为：﹣ ．
学科网（北京）股份有限公司 12【点评】本题考查三角函数图像性质，属基础题．
10．（2022•江西模拟）如图是函数 的部
分图像，f（a）＝f（b）＝0，且对不同的 x ，x [a，b]，若f（x ）＝f（x ），有
1 2 1 2
∈
，则 ＝ ．
θ
【分析】由图象建立变量的方程，通过方程思想求解．
【解答】解：由图知A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+ ），
又如图，对不同的x ，x [a，b]，f（x ）＝f（x ），
1 2 1 2θ
∈
∴ ，k Z，∴ ，k Z，
∈ ∈
∴ ＝2sin ＝ ，
θ
∴sin ＝ ，又 ，∴ ＝ ，
θ θ
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图像性质，属基础题．
11．（2023•建华区模拟）将函数f（x）＝sin（x﹣ ）的图象向右平移 个单位长度，
再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则不等
式g（x）﹣g（ ）＞0在区间[0， ]内的解集为 （ ， ） ．
π
学科网（北京）股份有限公司 13【分析】先得到g（x），所求不等式化为g（x） ，解三角不等式即可．
【解答】解：因为f（x）＝sin（x﹣ ），所以g（x）＝sin（2x﹣ ），
g（ ）＝sin ＝ ，g（x）﹣g（ ）＞0，
可化为g（x）﹣ ＞0，所以g（x） ，
令2k + ＜2x﹣ ＜2k + ，k Z，得k + ＜x＜k + ，k Z，
π π ∈ π π ∈
当k＝0时，不等式g（x）﹣g（ ）＞0在区间[0， ]内的解集为（ ， ）．
π
故答案为：（ ， ）．
【点评】本题考查三角函数变换，考查三角不等式的解法，属于基础题．
12．（2023•西山区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）满足|f（x ）﹣f
1
ω ω
（x ）|＝2的|x ﹣x |的最小值为 ，则 ＝ 4 ，直线y＝ 与函数y＝f（x）在（0，
2 1 2
ω
）上的图像的所有交点的横坐标之和为 ．
π
【分析】由题意可|f（x ）﹣f（x ）|＝2的|x ﹣x |的最小值为 可得半个周期的值，进
1 2 1 2
而求出 的值，由x的范围，求出4x+ 的范围，进而求出sin（4x+ ）＝ 的交点
横坐标的和．
ω
【解答】解：|由f（x ）﹣f（x ）|＝2的|x ﹣x |的最小值为 ，可得 ＝ ＝ ，
1 2 1 2
解得 ＝4，
ω
所以f（x）＝sin（4x+ ），x （0， ），则4x+ （ ，4 + ），
∈ π ∈ π
因为sin ＝ ＞ ，所以f（x）＝sin（4x+ ）＝ ，4x+ （ ，4 + ）有
∈ π
4个交点，且4x + +4x + ＝ •2＝3 ，所以x +x ＝ ，
1 2 1 2
π
4x + +4x + ＝2• ＝7 ，所以x +x ＝ ，
3 4 3 4
π π π
学科网（北京）股份有限公司 14所以所有交点的横坐标之和为 + ＝ ，
故答案为：4， ．
【点评】本题考查正弦函数的周期的应用及三角函数的取值范围的求法，属于中档题．
π
四．解答题（共3小题）
13．（2023•天河区三模）在直角坐标系中，已知 O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，
点A（2，0），角x（单位：弧度）的始边为射线OA，终边与 O交于点B，点B的纵
⊙
坐标y关于角x的函数为y＝f（x）．
⊙
（1）写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得
到的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．求函数y＝g（x）在区
间[0，2 ]上的最大值和最小值，并写出取得最值时自变量x的值．
【分析】（1）直接根据三角函数的定义可得；（2）根据平移变换规律得到g（x），再
π
利用整体思想求最值即可．
【解答】解：（1）根据三角函数的定义有y＝2sinx；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝2sin （x+ ）＝2sin（ x+ ），x [0，2 ]，则 x+ [ ，
]，
∈ π ∈
当 x+ ＝ ，即x＝ 时，g（x）取得最大值2，当 x+ ＝ ，
即x＝2 时，g（x）取得最小值2sin ＝﹣ ．
【点评】本题考查三角函数的变换，三角函数的值域问题，属于基础题．
π
14．（2022•柯桥区模拟）函数f（x）＝Asin（ x+ ），x R（其中
π φ ∈
）部分图象如图所示， 是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及 的值；
φ
（Ⅱ）若 ，求A的值．
学科网（北京）股份有限公司 15【分析】（Ⅰ）由 直接得出最小正周期，再由 求得 ；
（Ⅱ）由图象可知， ，利用两点间的距离公式可得到|PM|
2，|PN|2，再利用余弦定理建立关于A的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为 ，
又 是该图象的最高点，
∴ ，则 ，解得 ，
又 ，
∴ ；
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 知 ， 令 f （ x ） ＝ 0 ， 解 得
，则 ，
由图象可知， ，
∴ ， ，
又 ，则 ，
在△PMN中，由余弦定理有， ，
∴ ， 令 ， 则
，即x2﹣6x+2＝0，
∴16A4﹣88A2+9＝0，解得 ，
∴ 或 ．
学科网（北京）股份有限公司 16【点评】本题考查由函数y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式，考查余弦定理以
及两点间距离公式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
ω φ
15．（2022•乐清市校级模拟）函数f（x）＝3sin（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象
ω φ ω φ
如图所示，其中B（ ，0），且最高点A与B的距离AB＝ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 （ ， ），f（4 ）＝ ，求cos2 的值．
α∈ α α
【分析】（1）由函数图象可求A的值，根据已知可求得周期T，由周期公式可求得 ，
再将点A的坐标代入解析式可求得 ，从而可求得f（x）的解析式；
ω
φ
（2）由题意可求sin（2 ）＝ ，可求范围2 （﹣ ， ），利用同
∈
角三角函数基本关系式可求cos（2 ）的值，进而利用两角和的余弦公式即可求
解cos2 的值．
【解答】解：（1）因为f（x）的最大值为3，
α
又A为最高点，即A的纵坐标为3，
所以可设A（a，3），B（ ，0），
所以|AB|＝ ＝ ，解得a＝ ，或 ，
因为A在B点左侧，
故a＝ 舍去，可得A（ ，0），
可得 T＝x ﹣x ＝ ，可得T＝4 ，
B A
π π
又因为 ＝T＝4 ，可得 ＝ ，
π ω
又因为点A在f（x）上，故sin（ + ）＝1，
φ
学科网（北京）股份有限公司 17所以 + ＝ +2k ，k Z，解得 ＝﹣ +2k ，k Z，
φ π ∈ φ π ∈
又因为| |＜ ，
φ
所以k＝0时， ＝﹣ ，
φ
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（ ﹣ ）．
（2）因为f（4 ）＝ ，
α
所以3sin[2 +（﹣ ）]＝ ，即sin（2 ）＝ ＞0，
α
因为 （ ， ），可得2 （﹣ ， ），
α∈ ∈
所以cos（2 ）＝ ＝ ，
所以cos2 ＝cos[（2 ）+ ]＝cos（2 ）cos ﹣sin（2 ）sin ＝
α
﹣ ＝ ．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式，考查数形结合思
想和函数思想，考查运算求解能力，属于中档题．
ω φ
考向2：三角函数的周期性
1．（2023•福建模拟）函数f（x）＝asinx+bcos2x+csin4x（a，b，c R）的最小正周期不可
能是（ ）
∈
A． B． C． D．2
【分析】举例，分别求a＝b＝0，c≠0；a＝c＝0，b≠0；b＝c＝0，a≠0时函数的最小
π π
正周期，从而判断．
【解答】解：当a＝b＝0，c≠0时，
f（x）＝csin4x，
故函数f（x）的最小正周期为 ＝ ；
当a＝c＝0，b≠0时，
f（x）＝bcos2x，
故函数f（x）的最小正周期为 ＝ ；
当b＝c＝0，a≠0时，
π
f（x）＝asinx，
学科网（北京）股份有限公司 18故函数f（x）的最小正周期为2 ；
故选：C．
π
【点评】本题考查了三角函数的周期性的判断，属于基础题．
2．（2023•临高县模拟）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
π
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin x D．y＝cos2x
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ x+ ）、y＝Acos（ x+ ）的周期为| |，得出结
论．
ω φ ω φ
【解答】解：根据函数y＝Asin（ x+ ）、y＝Acos（ x+ ）的周期为| |，
故选：D．
ω φ ω φ
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ x+ ）、y＝Acos（ x+ ）的周期性，利用了它
ω φ ω φ
们的周期为| |，属于基础题．
（多选）3．（2023•邵阳二模）若函数f（x）＝2cos x（cos x﹣sin x）﹣1（ ＞0）的
最小正周期为 ，则（ ）
ω ω ω ω
π
A．
B．f（x）在 上单调递增
C．f（x）在 内有5个零点
D．f（x）在 上的值域为[﹣1，1]
【分析】先将f（x）解析式确定，直接可判断A错误，C正确；B，D项需将2x+ 看
成一个整体，利用y＝cosx的性质来解即可．
【解答】解：f（x）＝2cos x（cos x﹣sin x）﹣1＝2cos2 x﹣2sin xcos x﹣1＝
ω ω ω ω ω ω
cos2 x﹣sin2 x＝ cos（2 x+ ），
ω ω ω
由于f（x）的最小正周期为 ，则 ＝ ，∴ ＝1，则f（x）＝ cos（2x+ ），
π π ω
A项：f（﹣ ）＝ cos（﹣ + ）＝ cos ＝ ，A错误；
B项：令2k ﹣ ≤2x+ ≤2k ，k Z，
π π π ∈
∴k ﹣ ≤x≤k ﹣ ，k Z，k＝1时，一个单调增区间为[ ， ]，
π π ∈
学科网（北京）股份有限公司 19又 [ ， ]，则B正确；
⊂
C项：f（x）＝ cos（2x+ ）＝0，2x+ ＝k + ，k Z，x＝ k + ，k Z，
π ∈ π ∈
在 内，当k＝0时，x＝ ，当k＝1时，x＝ + ＝ ，当k＝2时，x
＝ + ＝ ，
π
当k＝3时，x＝ + ＝ ，当k＝4时，x＝2 + ＝ ，共有5个零点，C
正确；
π
D项：x ，2x+ [﹣ ， ]，
∈ ∈
当2x+ ＝0，即x＝﹣ 时，f（x）取得最大值为 ，
当2x+ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最小值为 cos ＝﹣1，
则f（x）在 上的值域为[﹣1， ]，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查值域，单调性，零点，属于中档题．
（多选）4．（2023•吕梁二模）若函数f（x）＝2sin x（cos x﹣sin x）﹣1（ ＞0）的最
小正周期为 ，则（ ）
ω ω ω ω
π
A．
B．f（x）在 上单调递减
C．f（x）＝﹣2在 内有5个零点
D．f（x）在[ ]上的值域为
【分析】确定解析式后，根据y＝sinx的性质，对应判断各个选项即可．
【解答】解：f（x）＝2sin x（cos x﹣sin x）﹣1＝2sin xcos x﹣2sin² x﹣1＝
ω ω ω ω ω ω
sin2 x+cos2 x﹣2＝ ，
ω ω
由最小正周期为 ，可得 ，故 ，
π
对于A， ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司 20对于B，当 ， [ ， ]，此时f（x）单
调递减，故B正确；
⊆
对于C， ，
所以 时，
满足要求的有 ，共有5个零点，C正确；
对 于 D ， 当 时 ， ， 则
，
故 ，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
考向3：三角函数的单调性
5．（2023•天津二模）若函数 在区间 上
具有单调性，则 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
ω
【 分 析 】 由 x [﹣ ， ] ， 得 x+ [﹣ + ， + ] ， 若 函 数
∈ ω ∈ ω ω
在 区 间 上 具 有 单 调 性 ， 则
，k Z，即可得出答案．
∈
【解答】解：因为x [﹣ ， ]，
∈
所以 x+ [﹣ + ， + ]，
ω ∈ ω ω
若函数 在区间 上具有单调性，
则 ，k Z，
∈
学科网（北京）股份有限公司 21所以 ，k Z，
又 ＞0，
∈
解得 的最大值为2．
ω
故选：B．
ω
【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
6．（2023•河南模拟）已知函数 ， ，则f（x）
的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【分析】f（x）＝2cos（3x﹣ ），利用y＝cosx的性质即可得．
【解答】解： ＝2cos（3x﹣ ），
令2k ﹣ ≤3x﹣ ≤2k ，k Z，
π π π ∈
解得 k ﹣ ≤x≤ k + ，k Z，
π π ∈
令k＝0，﹣ ≤x≤ ，
令k＝1， ≤x≤ ，
又 ，
所以f（x）的单调递增区间是[﹣ ， ]，[ ， ]．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的单调性，属于基础题．
（ 多 选 ） 7 ． （ 2023• 让 胡 路 区 校 级 二 模 ） 已 知 函 数
满足 ，其图象向右平
移s（s N*）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）在 上单
调递减，则（ ）
∈
A． ＝1
ω
学科网（北京）股份有限公司 22B．函数f（x）的图象关于 对称
C．s可以等于5
D．s的最小值为2
【分析】先将函数 f（x）化简，利用其图像的性质即可确定各选项．
【解答】解：∵函数f（x）＝ sin x+cos x＝2sin（ x+ ），0＜ ＜3，
ω ω ω ω
对于A，因为 ，所以f（x+ ）＝﹣f（x+ ）＝f（x），则 是f
（x）的一个周期，
π π
因为f（x）＝ sin x+cos x＝2sin（ x+ ），所以T＝ 是f（x）的最小正周
期，
ω ω ω
故k× ＝ （k Z），则| |＝2k，又0＜ ＜3，故 ＝2，故A错误；
π ∈ ω ω ω
对于B，由选项A得f（x）＝2sinf（2x+ ），
所以f（ ）＝2sin（ + ）＝2sin ＝0，故（ ，0）是f（x）的一个对称中
心，故B正确；
π
对于C，f（x）的图象向右平移s（s N*）个单位后得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣s）+
∈
]的图象，
则g（x）＝2sin（2x+ ﹣2s），
因g（x）在 上单调递减，
所以 ，（k Z），解得﹣k ﹣ ≤s≤﹣k ﹣ ，
（k Z），
∈ π π
∈
当k＝﹣2时， ≤s≤ ，因为s N*，所以s＝5，故C正确；
∈
对于D，因为s N*，所以﹣k ﹣ ＞0，则k＜﹣ ，又k Z，故k≤﹣1，
∈ π ∈
当k＝﹣时， ≤s≤ ，可知s ＝2，故D正确．
min
故选：BCD．
学科网（北京）股份有限公司 23【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题
8．（2023•福田区校级模拟）已知函数 ．
（1）求函数f（x）在 上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数g（x）
的图象，若函数g（x）的图象关于点 成中心对称，在 上的值域
为 ，求 的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），根据正弦函数的周期性，即可得出答案；
α
（2）根据三角函数图象的平移变换和对称性求出 、g（x），再由三角函数的性质求
解，即可得出答案．
φ
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ＝
，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为 ；
（2）由题意得 ，
∵函数g（x）的图象关于点 成中心对称，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
又g（x）在 上的值域为 ，
则 ．解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 24故 的取值范围为 ．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，
α
属于中档题．
考向4：三角函数的最值与值域
9．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0），若函数f（x）的图象
ω φ ω
关于点 中心对称，且关于直线 轴对称，则 的最小值为 3 ．
【分析】根据三角函数的性质可知，当函数的最小正周期最大时， 的值最小．
ω
ω
【解答】解：当对称中心 与对称轴 的横向距离最小时，最小正周期最
大， 最小，
ω
此时T＝4（ ﹣ ）＝ ， ．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
10．（2023•全国模拟）若 ，则sinxsiny的最大值为
0 ．
【分析】记sin2x＝m，sin2y＝n，则将原等式代换化简为mn（m+n﹣2）＝0，则得到最
后答案．
【解答】解：由题意可得x，y的取值范围均是{ | ≠k + ，k Z}，所以sin2x＜1，
sin2y＜1，
αα π ∈
记sin2x＝m，sin2y＝n，则tan2x＝ ，tan2y＝ ，
于是题中等式即为 ＝m+n，
化简整理得mn（m+n﹣2）＝0，
于是m＝0或n＝0或m+n＝2，
若m+n＝2，则sin2x＝sin2y＝1，不符合题意，
因此six＝0或siny＝0，所以sinx•siny＝0．
故sinx•siny的最大值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
学科网（北京）股份有限公司 2511．（2023•合肥三模）函数f（x）＝cos2x+2|sinx|（x [0，2 ]）的值域为 ．
【分析】由条件可用二倍角公式对函数解析式进行变形得到f（x）＝﹣2|sinx|2+2|sinx|
∈ π
+1，再用换元法令t＝|sinx|，将原函数的值域转化为二次函数g（t）＝﹣2t2+2t+1，
t [0，1]的值域即可．
【解答】解：f（x）＝cos2x+2|sinx|＝1﹣2sin2x+2|sinx|＝﹣2|sinx|2+2|sinx|+1，
∈
令t＝|sinx|，∵x [0，2 ]，∴t [0，1]，
∈ π ∈
则原函数可化为g（t）＝﹣2t2+2t+1＝ ，t [0，1]，
∈
其图象开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， ；当t＝0或1时，g（t） ＝1，
min
∴g（t）的值域为 ，即函数f（x）的值域为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查将三角函数的值域问题转化成二次函数的值域，考查转化思想以及计
算能力，属中档题．
12．（2023•海淀区校级模拟）已知 在[0，m]上的最大值为 ，则实
数m的最大值为 ．
【分析】求出2x+ 的范围，结合y＝cosx的图象找到满足题目条件的实数m的最大值．
【解答】解：∵x [0，m]，2x+ [ ，2m+ ]，
∈ ∈
∵ 在[0，m]上的最大值为 ，
则 ＜2m+ ≤ ，解得0＜m≤ ，所以实数m的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
13．（2023•屯昌县二模）已知函数f（x）＝sinx﹣cosx（x R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
∈
（2）求函数 的最大值与最小值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）＝ sin（x﹣
学科网（北京）股份有限公司 26），进而利用正弦函数的单调性即可求解．
（ 2 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 化 简 可 得 y ＝ ， 可 求 范 围
，即可利用余弦函数的性质即可求解最值．
【解答】解：（1）由于 f（x）＝sinx﹣cosx＝ （ sinx﹣ cosx）＝
，
令 ，k Z，
∈
解得 ，k Z，
∈
故函数f（x）的单调递增区间为[﹣ +2k ， +2k ]，k Z．
π π ∈
（ 2 ） y ＝ f2 （ x ） + cos2x﹣ 1 ＝ ＝
＝ ＝ ，
当 时， ，
故当 时，取最小值﹣2，当 时，取最大值 ．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦函数的性质的
应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
14．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数 ．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在 上的最大值与最小值．
【分析】（1）先利用降幂公式、辅助角公式，将f（x）化为Asin（ x+ ）的形式，再
结合正弦函数的单调性求解；
ω φ
（2）利用换元的想法，结合正弦函数的单调性解决问题．
【解答】解：（1）由已知得f（x）＝ sin2x﹣ ＝ ，
要求f（x）的单调递增区间，只需 ，k Z，
∈
解得 ≤x≤ +k ，k Z，
π ∈
学科网（北京）股份有限公司 27故函数f（x）的单调递增区间为[ ， +k ]，k Z；
π ∈
（2）由x 得 [ ， ]，
∈ ∈
结合y＝sinx在 上单调递减，在[ ]上单调递增，
且 ，sin ＝ ，
故 ≤ ，
所以f（x）在 上的最大值与最小值分别为 ， ．
【点评】本题考查三角函数的降幂公式和辅助角公式，同时考查了正弦型函数的单调性
和最值的求法，属于中档题．
15．（2023•和平区校级一模）已知 ， ．
（1）求 的大小；
（2）设函数f（x）＝sin（x+2 ），x [0， ]，求f（x）的单调区间及值域．
α
【分析】（1）根据切化弦公式与二倍角公式化简进行求值；
α ∈ π
（2）根据正弦型函数的单调区间公式求解函数 f（x）的单调区间，由x [0， ]，求整
体角的取值范围得到f（x）的值域．
∈ π
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 ， 得
，
则 ＝2（cos ﹣sin ）（cos +sin ），因为 ，
α α α α
所以cos ＞sin ＞0，所以 ，解得 ，
α α
即 ，又 ，所以 ，则 ．
（2）函数 ，x [0， ]，
∈ π
令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 28所以函数f（x）在区间 上单调递增；
令 ，解得 ，
所以函数f（x）在区间 上单调递减；
因为x [0， ]， ，
∈ π
当 时，即 ，f（x）取最大值1；
当 时，即x＝ ，f（x）取最小值 ，所以f（x）值域为 ．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查两角和差公式，属于中档题．
π
学科网（北京）股份有限公司 29
