5.3三角函数的性质（精讲）（教师版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.3 三角函数的性质（精讲） 一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理： 1.正弦函数与余弦函数的图像画法 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 相位 初相 x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 三．伸缩平移 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．求三角函数周期的方法 1.定义法； 2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝； 3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 二．三角函数的定义域 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象． 三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： 1.形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值 域(最值)； 4，形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式 反解求值域(最值)． 四．三角函数的单调性 ①先把ω化为正数 ②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 ③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内解x． 五．三角函数的对称性 1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)，求x即可. 2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可. 六．三角函数的奇偶性 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】七．三角函数的伸缩平移 八．三角函数中的ω的求解 1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解； 2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值； 3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω的不等式(组)， 进而求出ω的值或取值范围. 九．易错点： 对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 考法一 三角函数的周期 【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，① ② （3） ④ 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】① ，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意； ②函数 的图像是将 的图像在 轴下方的全部对称到 轴上方，故函数 的最小正 周期为 ，故②满足题意； ③函数 的周期为 ，故③满足题意； ④函数 的周期为 ，故④满足题意. 故选：B. 【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A， ，∴ 选项B： 且 ， ∴ 对于选项C， ，∴ 对于选项D， ，∴ , 故选：C. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-3】（2022秋·河北）函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，所以 的最小正周期 ．故选：C． 【一隅三反】 1．（2023·湖南）给出下列函数： ① ；② ；③ ；④ ． 其中最小正周期为 的有（ ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】对于①， ，其最小正周期为 ; 对于②，结合图象，知 的最小正周期为 ． 对于③， 的最小正周期 ． 对于④， 的最小正周期 ．故选：A． 2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数 的最小正周期为（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】作出函数 的图象如图所示，得到函数的最小正周期为 . 证明： 所以函数的最小正周期为 . 故选：A 3．（2023北京）下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对选项A，由于函数 不是周期函数，故排除A； 对选项B，由于函数 ，周期为 ，故排除B； 对选项C，由于函数 的周期为 ，故排除C；  对选项D，由于函数 的周期为 ，故D正确. 2 故选：D 4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示， 则 （ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设 的最小正周期为 ，由图象可知 ， 则 ，所以 ，所以 或 . 又由题图知， ，则 ，解得 . 解 可得 ，不满足条件；解 可得， ， 当且仅当 时，符合题意.所以， ，此时 .故选：B. 考法二 三角函数的对称性与奇偶性 【例2-1】（2023·海南）设函数 的图象关于直线 对称，则 等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的对称轴为 ， ， 又 关于直线 对称， ， 又 ， .故选：D． 4π   ,0 【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 f(x)2cos(3x)的图象关于点 3 对称，那么  资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 的最小值为________． π 【答案】 2 4π  4π π 【解析】  f x2cos3x的图象关于点  3 ,0  对称，3 3 kπ 2 ,kZ，即 7π π π kπ 2 ,kZ，令 k 4 ，可得的最小值为 2 ．故答案为： 2 【例2-3】（2023·广东）函数 是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 【答案】D 【解析】函数 ，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为 .故选：D. 【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数 为偶函数，则 的 一个值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ， 因为 为偶函数，可得 ，所以 ，令 ，可得 .故选：A. 【一隅三反】 π f(x)sin(x )(0) 1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 3 ，若对于任意实数x，都有 π f(x)f( x)，则 的最小值为（ ） 3  5 A．2 B． C．4 D．8 2 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C π π 【解析】因为对于任意实数x，都有 f(x)f( x)，则有函数 图象关于点( ,0)对称， 3 f(x) 6 π π 因此 6  3 kπ,kZ，解得 6k2,kZ ，而 0 ，所以当 k 1 时，  取得最小值4.故选：C 2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 图象的对称轴可以是 （ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【解析】 ， 令 ，解得 ， 所以 的对称轴为直线 ，当 时， . 故选：A. 3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数 的图象关于坐标原 点对称，则 的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由已知，得 ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 的图象关于坐标原点对称，所以 ， 解得 ．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．故选：AD．  π  π f xsin2x ,(0 ) 4．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数  6  2 是偶函数，则____． π 【答案】 3 f xsin  2x π    π  π kπkN  π kπ (0 π ) 【解析】因为  6 是偶函数，故6 2 ,解得 3 ， 2 ，所 π π k 0, 以 .故答案为： . 3 3 考法三 三角函数的定义域与值域   ylog 2cosx 3 【例3-1】（2023春·上海静安）函数 3 的定义域是__________.  5π 5π 【答案】2kπ ,2kπ ，  6 6  kZ ylog (2cosx 3) 【解析】要使函数 3 有意义， 3 则需 ，即cosx ， 2cosx 30 2 3 5π 当cosx 时，x 2kπ,kZ， 2 6 3 5π 5π 所以当cosx ，解得2kπ x2kπ ， ， 2 6 6 kZ  5π 5π 2kπ ,2kπ  所以函数 ylog 3 (2cosx 3) 的定义域是 6 6 ，kZ.  5π 5π 2kπ ,2kπ  故答案为： 6 6 ，kZ. f x2 3sinx2cosx 【例3-2】（2023春·北京昌平） 的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B 【解析】 f x2 3sinx2cosx4     2 3 sinx 1 2 cosx     4    cos π 6 sinxsin π 6 cosx    4sin    x π 6    4 ， 故选：B.  π 【例3-3】（2023云南）函数 f xcosx 3sinx在  0, 2   的最大值是（ ） 3 A．2 B．0 C．1 D． 【答案】C 1 3   π 【解析】由已知可得， f x2   2 cosx 2 sinx   2cos  x 3  . π π π 5π π 5π 0x x   ,  因为 2 ，所以3 3 6 .又ycosx在3 6 上单调递减， 所以，当x π  π ，即 时，函数取得最大值 f 02cos π 1 .故选：C. 3 3 x0 3 f xcosxcos2x 【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数 是（ ） 9 A．奇函数，且最大值为 B．偶函数，且最小值为 2 8 9 9 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 8 8 【答案】B f x f xcosxcos2xcosxcos2x f x f x R 【解析】函数 的定义域为 ， ，故函数 为偶  1 2 9 9 f x2cos2 xcosx12cosx   f x  函数，因为1cosx1，则  4 8，所以， min 8， f x 2112 max .故选：B. ysin2x2sinx 【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3 3 【答案】 2 y2cos2x2cosx2(2cos2x1)2cosx4cos2x2cosx2 【解析】】 ， 1 1 设 cosxt[1,1] ， f(t)4t22t2 ，令 f(t)0 ，得 t  2 或 t 1 ， 所以当t(1, 2 )时， f(t)0 ， π π 即在(π2kπ, 3 2kπ)和( 3 2kπ,π2kπ)(kZ)上y单调递减， 1 π π 当t( 2 ,1)时， f(t)0 ，即在( 3 2kπ, 3 2kπ) (kZ) 上，y单调递增， π 3 3 3 3 3 3 又因为 ， f( 2kπ) ，所以 的最大值为 ，故答案为： ． f(π2kπ)0 3 2 y 2 2  1 1, 【例3-6】（2023·安徽）设函数ysinx定义域为 a,b ，值域为   2  ，则ba的最大值为______ 2π 【答案】 3 【解析】作出函数ysinx的部分图像如图所示：  1 1, 7π   a 因为ysinx的值域为 2，不妨设 6 , 11π 11π 7π 2π 由图像可得 b max  6 ba max  6  6  3 . 2π 故答案为: . 3 【一隅三反】  π y 1tanx  4x2 1．（2023春·辽宁本溪）函数  4 的定义域为________．  π  π π 【答案】 2,   ,   2  4 2 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】  π  π π 1tanx 0 kπ x kπ   4  4 2 【解析】由 4x2 0 ，得  2x2 ， kZ ， 在数轴上表示如图所示，  π  π π 所以x  2,   , ，  2  4 2  π  π π 故答案为： 2,   , ．  2  4 2 tanx1 y  π 2．（2023春·辽宁沈阳）函数 tanx 的定义域为______．  6  π π  π π 【答案】 kπ+ ,kπ+   kπ+ ,kπ+  k  Z  4 3  3 2  π π tanx1  kπx kπkZ 4 2     π  π 【解析】根据题意，得tanx 0 ，解得x kπkZ ，   6  6  π π  π x  kπkZ  x kπkZ  6 2  3  π π  π π  kπ+ ,kπ+   kπ+ ,kπ+  k  Z 所以函数的定义域为 4 3  3 2 .  π π  π π  kπ+ ,kπ+   kπ+ ,kπ+  k  Z 故答案为： 4 3  3 2 .  π  y3sinx2 x0 3.（2023·福建）函数  2 最大值为（ ） A．2 B．5 C．8 D．7 【答案】A 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 π  x  ,0 【解析】   2  时， sinx1,0 ，所以 3sinx21,2 ，  π  y3sinx2 x0 所以函数  2 最大值为2.故选:A. 2cosx 4．（2023春·四川南充）函数 f(x) 的值域为______. 2cosx 1  【答案】 ,3  3  2cosx 4 4 4  【解析】 f(x) 2cosx  2cosx 1， cosx1,1，则 cosx21,3， 2cosx   3 ,4   ，故 1  f x ,3   3 . 1  故答案为： ,3  3  π   π x  ,m  f xcos3x  5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当 6 时，函数  3的值  3  1,  域是 2 ，则m的取值范围是（ ）   π 7π 2π 7π , ,     A．9 18 B． 9 18 π 5π 2π 5π , ,     C．9 18 D． 9 18 【答案】D π  5π π π 【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由x  ,m ，可知 3x 3m ， 6  6 3 3 因为 f    π 6    cos 5 6 π  2 3 且 f    2 9 π   cos1 ，要使 f x的值域是    1, 2 3    ，只要 2 9 π m 1 5 8 π ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2π 5π 即m  , ；  9 18 π  5π π π 解法二：由题x  6 ,m   ，可知 6 3x 3 3m 3 ，由 ycosx 的图象性质知，要使 f x的值域是    1, 2 3    ，则 π3m π 3  7 6 π ，解之得 m    2 9 π , 1 5 8 π   ．故选：D. 考法四 三角函数的单调性  π y3sin 2x   【例4-1】（2023湖北）函数  6的单调递增区间是（ ）  π 5π  π π kπ ,kπ ,kZ kπ ,kπ ,kZ     A． 3 6  B． 6 3  π 5π  π π 2kπ ,2kπ+ ,kZ 2kπ ,2kπ ,kZ     C． 3 6  D． 6 3 【答案】A  π π π 3π y3sin  2x  2kπ2x  2kπ,kZ 【解析】因为  6，由2 6 2 有： π 5π kπx kπ,kZ ，故B，C，D错误.故选：A. 3 6 【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递增的是 （ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于选项A，函数 的最小正周期为 ，故选项A错误： 对于选项B，函数 的最小正周期为 ， 当 ， ， 因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，B正确； 对于C，函数 最小正周期为 ， 当 时， ，因为 在 上单调道减， 所以 在 上单调递减，故选项C错误 对于选项D，作出函数 的大致图像如图： 函数 的最小正周期为 ，且在区间 上单调递增，故选项D正确 故选：BD asin0.9,b0.9,ccos0.9 a,b,c 【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知 ，则 的大小关系 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是（ ） A．abc B．bca C．bac D．cba 【答案】C f xxsinx,x0 fx1cosx0 g(x) (0,) 【解析】令函数 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增， x0 f x f 00 f 0.90.9sin0.90 0.9sin0.9 所以当 时， ，则 ，于是 ，即ba； π π π  π  π 当x , 时，x 0, ，则ysinxcosx 2sinx 0，所以 ， 4 2 4  4  4 sinxcosx π π 0.9 而 ，于是 ，即 ；综上： .故选：C 4 2 sin0.9cos0.9 ac bac 【一隅三反】 f xsinx 3cosxx0,π 1．（2023春·山东）函数 的单调递增区间是（ ）  5   5 π  π   π  0, π  π,  ,0  ,0         A． 6  B． 6 6 C． 3  D． 6  【答案】A  π f xsinx 3cosx2sinx  【解析】因为  3. π π π  2kπx  2kπ,kZ 由 可得， 2 3 2 π 5π  2kπ x 2kπ,kZ . 6 6 当 时， π x 5π ，且    π , 5π   0,π   0, 5π ； k 0 6 6  6 6   6  11π x 17π   11π , 17π   0,π 当k 1时，所以 6 6 ， 6 6  .  5  0, π 所以，函数在 0,π 上的单调递增区间是   6  . 故选：A. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x x 3．（2023春·广西）已知函数 f(x)cos2 sin2 ，则（ ） 2 2  π π  π π  A． f x 在    2 , 6  上单调递减 B． f x 在    4 , 12  上单调递增 C． f x 在    0, π 3   上单调递减 D． f x 在    π 4 , 1 7 2 π  上单调递增 【答案】C x x f(x)cos2 sin2 cosx 【解析】因为 . 2 2 π π  π π 对于A选项，当  2 x 6时， f x 在    2 , 6  上单调递增，A错； π π  π   π  对于B选项，当  4 x 12时，则 f x 在    4 ,0 上单调递增，在   0, 12  上单调递减，故B错； π  π 对于C选项，当0x 时，则 f x在0, 上单调递减，C对； 3  3 π 7π π 7π 对于D选项，当4 x 12 时，则 f x 在  4 , 12  上单调递减，故D错.故选：C.  π 4．（2023春·上海长宁）在下列函数中，既是0, 上的严格增函数，又是以 为最小正周期的偶函数的函  2 π 数是（ ） ysin2x ycos2x A． B． y sinx ysin x C． D． 【答案】C 【解析】选项ABC中函数的最小正周期都是π，而选项D中函数不是周期函数， 其图象如下所示： 除D； ysin2x 易知函数 是奇函数，排除A； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】π x(0, ) 2 时， 2x(0,π) ，则 ycos2x 是减函数，排除B；  π 根据函数 在0, 上严格单调递增，且其最小正周期为 ， ysinx  2 2π  π 则 y f x sinx 在在  0, 2   上严格单调递增，其最小正周期为 π ， f x sinx  sinx sinx f x 且 ，又因为其定义域为R，则其为偶函数，故C正确，故选：C． 考法五 函数的伸缩平移 【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到关于 轴对称的图象，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数 ， 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到函数 ， 因为函数是偶函数， ． 当 时， ．则 的最小值为 故选：A 【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A．向左平移是 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移登 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】B 【解析】因为函数 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位长度. 故选：B.    f xcos2x  【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数  3的图象向右平移 3 个单位长度，再把横 1 gx gx 坐标压缩到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ） A．最小正周期为2 B．奇函数 2  g xgx C．偶函数 D．  3  【答案】D    【解析】把函数 f xcos2x 的图象向右平移 个单位长度，得  3 3       ycos  2x   cos2x    3 3  3，     再把横坐标压缩到原来的1 倍，纵坐标不变，ycos4x ，即gxcos4x ， 2  3  3 2   则最小正周期为 ，故A错误； 4 2    1 因为 g 12   1,g   12    2，所以函数 gx 是非奇非偶函数，故BC错误； 2   2       g xcos  4 x  cos4x2 cos4x gx  3    3  3  3  3 ，故D正确.故选：D. 【一隅三反】 f(x)sinx 3cosx  g(x) 1．（2023·北京·高三专题练习）已知的 图象向左平移 个单位长度后，得到函数 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】g(x) || 的图象，且 的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ） π π π 5π A． B． C． D． 12 6 3 12 【答案】B π f(x)sinx 3cosx2sin(x ) 【解析】由题意可得 ， 3 π g(x)2sin(x ) 故 3 ，由于g(x)的图象关于y轴对称， π π π 则 g(x) 为偶函数，故 3  2 kπ,kZ ,即 6 kπ,kZ， π 故 的最小值为 ， || 6 故选：B 2．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】B 【解析】由题意， ，函数 ，则 ，所以函数 的图象向右平 移 个单位得到函数 的图象，因为函数的周期为 ，所以向左应该平移 个 单位. 故选：B. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再 向右平移 个单位，所得图象对应的函数（ ） A．在区间 上单调递增 B．在区间（ ， ）上单调递减 C．图象关于点（ ，0）对称 D．图象关于直线 对称 【答案】A 【解析】将函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位， 得 ， 因为 ，所以 ，故A正确； 因为 ，所以 ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A 4．（2022·安徽滁州）若将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再 向下平移一个单位得到函数 的图象，则函数 （ ） A．图象关于点 对称 B．图象关于 对称 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．在 上单调递减 D．最小正周期是 【答案】C 【解析】由题得 对于A当 时, 所以函数 的图象不关于点 对称，故A错误; 对于B当 时， ， 所以函数 的图象不关于直线 对称，故B错误; 对于C. 令 ，解得: ， 取 ，得 ，所以 在 上单调递减 因为 ,所以 在 上单调递减，故C正确 对D. 的最小正周期 , 故D错误.故选:C. 考法六 由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数 的部分图象如图所示，则 和 的值是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C 【解析】由图象可知 ，所以 ， ，由于 ，所以 .故选：C 【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数 ，则这段曲线的函数解析式可以为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】由于 ，所以 ， 又 ，所以 ，故 ， 又过点 ，则有 ，即 ， 所以 ， ，取 ，得 ，符合题意选： A．  π 【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数 f(x)sin(x)0,|| 的  2 f x 部分图象如图所示，则下列关于函数 的说法正确的是（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f x π A． 的最小正周期为 7π  B． f x 的图象关于  12 ,0 中心对称  7π π  , C． f x 在   12 6  上单调递减 π D．把 f x的图像向右平移 个单位长度，得到一个奇函数的图象 12 【答案】AD 2π π π 【解析】A选项，由图可得， f x的半个最小正周期为   ，则 的最小正周期为 ，故A正 3 6 2 f(x) π 确； 2π π,02 π π π π BC选项， ，由 f x 在6处取最大值，则3  2 2kπ ，kZ.则  6 2kπ ，取 π π ，则 .即 f(x)sin(2x ) . k 0 6 6 7π 7π 4π 7π  将x 12 代入 f x，得 f  12   sin 3 0，则 12 ,0  不是 f x对称中心；  7π π  π π π  π  π π 2      π 2   π,   ,   12 6 ，  6 6 6，因ysinx在 2上递减，在 2 6上递增，则  7π π  ,   12 6  不是 f x 的单调递减区间，故BC错误； π π D选项，由BC选项分析可知， f(x)sin(2x )，向右平移 个单位长度后，得 6 12 资料整理【淘宝 店铺π：向 阳百π分 百】 y  sin2x      sin2x   12 6   π π y  sin2x      sin2x   12 6  ，为奇函数，故D正确.故选：AD 【一隅三反】 1．（2022·甘肃武威）函数 （A，ω，φ为常数，A>0，ω>0， ）的部分图象如图 所示，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知 ， ，则 ，所以 ，所以 ， 将 代入得 ，所以 ， 又 ，所以 .故选：B. 2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数 的部分图象如图所示， 则 的解析式是（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可得 ，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得 ， 所以 ，解得 ，又 ，且 ，所以 ，所以 .故选：A 3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，由图可知， ， ， ，则 ， 又 ，即 ， ， .故选：A. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2022·四川南充·二模）函数 的部分图像如图所示， ，则 （ ） A． 关于点 对称 B． 关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 在 上是单调递增 【答案】C 【解析】由图可知 ，且 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ， 即 ，因为 ，所以函数 关于直线 对称， 故A错误； ，所以函数 关于 对称，故B错误； 对于C：由 ，所以 ，因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故C正确； 对于D：由 ，则 ，因为 在 上不单调，所以 在 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上不单调，故D错误；故选：C 考法七 三角函数的综合运用 【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数 的部分 图象，将 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得 到函数 的图象，则（ ） A．直线 为 图象的一条对称轴 B．点 为 图象的一个对称中心 C．函数 的最小正周期为2π D．函数 在 上单调递减 【答案】A 【解析】由图象知 ， 又 ，所以 的一个最低点为 ， 而 的最小正周期为 ， 所以 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，则 ， 所以 ,即 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 将函数 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 得 的图象， 再把所得曲线向左平移 个单位长度得 ， 即 . 因为 ， 所以直线 是 图象的一条对称轴，故A正确； 因为 ， 所以 不是 图象的一个对称中心，故B错误； 函数 在周期 ，故C错误； 由 得 ， 所以 在 上单调递减， 当 时，可知 在 递减，在 递增，所以D错误. 故选：A. 【一隅三反】 1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数 的图像上所有点横 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，有下述四个结论： ① ②函数 在 上单调递增 ③点 是函数 图像的一个对称中心 ④当 时，函数 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【解析】由题意可得： ，故①错误； 因为 ，则 ，且 在 上单调递增， 所以函数 在 上单调递增，故②正确； 因为 ， 所以点 是函数 图像的一个对称中心，故③正确； 因为 ，则 ， 所以当 ，即 时，函数 的最大值为 ，故④错误； 故选：B. 2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数 ，其 图象相邻对称轴间的距离为 ，点 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．函数 的最小正周期为 B．函数 图象的一条对称轴方程是 C．函数 在区间 上单调递增 D．将函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象 【答案】ACD 【解析】因为函数 图象相邻对称轴间的距离为 ，则 ，即 ，所以 正确； 因为 ，则 ，即 ，且点 是对称中心， 当 时， ，即 ， 又 ，所以 ，即 . 令 ,解得 ， 所以函数 的对称轴为 ，所以 错误； 令 ,解得 ， 函数 的单调增区间为： ，所以C正确； 函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到 的图象， 再把得到的图象向左平移 个单位长度，得函数 ，所以 正确. 故选:ACD. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数 ，满足 ，则下列 结论正确的是（ ） A． 的值域为 B． 的最小值为2 C． 的图象关于直线 对称 D． 是偶函数 【答案】AC 【解析】依题意， ，所以 的值域为 ，故A正确； 因为 ， 所以 ，即 ,解得 ，又 ， 所以当 时， 的最小值为 ，故B错误； 由 ，得 的图象关于直线 对称，故C 正确； ， ， 所以 ，所以 是奇函数，故D错误.故选：AC. 考法八 ω的求法 【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数 ，若 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 可化为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 在 上的值域为 ，所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 . 故选：B. 【例8-2】．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数 在区间 上恰有唯一 极值点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 ， ， 由于 在区间 上恰有唯一极值点， 故满足 ，解得 ， 故选：B． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例8-3】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知函数 在 上单调 递减，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ， 所以 ， 又因为 在 上单调递减， 所以 ， ,解得： ， 因为 ，故 ，而 ，故 ，故 . 故选：C 【例8-4】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数 ， 若 ， 在 内有极小值，无极大值，则 可能的取值个数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】已知函数 ，若 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，则 ①， 又 在 内有极小值，无极大值，则 ，所以 ， 又 ，则当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍； 当 得， ，所以 ，由①式可得 ； 当 得， ，所以 ，由①式可得 ； 当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍； 当 得， ，无解，故舍； 易知，当 时， 都无解，故不讨论； 综上， 或 ，则 可能的取值个数为 . 故选：C. 【一隅三反】 1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数x，都有 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为对于任意实数x，都有 ，则有函数 图象关于点 对称， 因此 ，解得 ，而 ， 所以当 时， 取得最小值4. 故选：C 2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数 是区间 上的增函数，则正实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 又因为函数 是区间 上的增函数， 解得 因为 为正实数，所以 ，从而 ， 又 ， 所以正实数 的取值范围是为 . 故选：C 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数， 且 在 上单调，则 的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 则 ①.，因为 是偶函数， 所以直线 是 图象的对称轴，所以 ②. 由①②可得， ，又 ，所以 ， 则 ， 因为 在 上单调， 的最小正周期为 ， 所以 ，解得 ，故 的最大值为5，经检验， 在 上单调. 故选：C. 4．（2023春·湖北）已知 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 x，都有 成立，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】因为 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有 成立， 则 是函数 的最小值， 是函数 的最大值， 因为 ，若使得 最小，则函数 的最小正周期取最大值， 且函数 最小正周期的最大值为 ， 故 的最小值为 ，则 的最小值为 . 故答案为： . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】