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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 20 讲 三角函数的图像与性质（精讲）
题型目录一览
①正弦函数的图像与性质
②余弦函数的图像与性质
③正切函数的图像与性质
一、知识点梳理
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中k∈Z)
y=sinx x∈[0，2π]
(1)在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是： ．
y=cosx x∈[0，2π]
， 的图象中，五个关键点是： ．
(2)在余弦函数
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ }
2
值域 [−1，1] [−1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
递增区间 [2kπ− ，2kπ+ ] [−π+2kπ，2kπ] (kπ− ，kπ+ )
2 2 2 2
π 3π
递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无
2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0)
2 2
π
对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无
2二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1．对称与周期
T
(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2 ；
T
(2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2 ；
T
(3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4 ；
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
二、题型分类精讲
题型一 正弦函数的图像与性质
【典例1】方程 的根中，在 内的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】方程 的解等价于两个函数 与 图像交点的横坐标，所以分别画出两函数图
像，由图即可得出结论.
【详解】如图所示，在区间 内| 的两个根为 和 ，又因为 ，所以在区间 内|
只有一个根 .
故选：A.【典例2】函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用二倍角余弦公式得 ，令其为0，解出 值，再根据 的范围，即可得
到零点.
【详解】令 ，
解得 或 ，
又 ,
则 或 或 ,
则函数 在区间 上的零点个数为3个.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的图象与直线 的交点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】画出 以及 的图象，由此确定正确答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数 和直线 的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个.
故选：D
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先判断充分性，再判断非必要性，即得解.
【详解】当 时， ，所以“ ”是“ ”的充分条件；
当 时， 不一定成立，如 ，但是 ，所以“ ”是“
”的不必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化
法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
3．函数 最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.
【详解】 时， ，
所以 ，所以函数 最大值为2.
故选:A.
4．函数 的零点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以函数 的零点是 .
故选：B.
5．设函数 ，则 （ ）
A．在区间 上是单调递减的 B．是周期为 的周期函数
C．在区间 上是单调递增的 D．对称中心为 ，
【答案】A
【分析】先当 时， ，又 是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】当 时， ，在 上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；是偶函数，在 单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
二、多选题
6．函数 的图象与直线 的交点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABCD
【分析】根据 和 对应的 的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图
象，对 分类讨论即可判断．
【详解】解：由题意知， ，
，
在坐标系中画出函数 的图象如图所示：
由其图象知，当直线 ， 时， ， 的图象，与直线 有且仅有
两个不同的交点．
当直线 ， 或 时， ， 的图象，与直线 有且仅有三个不同
的交点．当直线 ， 时， ， 的图象，与直线 有且仅有一个不同的交点．
当直线 ， 时， ， 的图象，与直线 无交点．
故选：ABCD．
三、填空题
7．观察正弦函数的图像，可得不等 的解集为______．
【答案】
【分析】画出 的图像，根据图像确定正确答案.
【详解】画出 的图像如下图所示，
由图可知，不等 的解集为 .
故答案为：
8．函数 ， 的值域是______.
【答案】
【分析】利用整体代换和正弦函数的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即函数 的值域为 .
故答案为： .
9．如果方程 在 上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合三角函数图像判断即可；
【详解】
结合三角函数图像可知，当 时，直线 有两个交点，
故答案为：
题型二 余弦函数的图像与性质
【典例1】函数 的图象与直线 （ 为常数）的交点最多有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】作出函数 与函数 的图象，可得出结论.
【详解】作出函数 与函数 的图象，如下图所示：由图可知，当 时，函数 的图象与直线 （ 为常数）的交点最多有
个.
故选：D.
【典例2】不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.
【详解】∵ ，则 ，
注意到 ，结合余弦函数图象解得 .
故选：D.
【题型训练】
一、单选题1．函数y＝|cosx|的一个单调增区间是（ ）
A． B．[0，π]
C． D．
【答案】D
【分析】首先画出 的图像，根据图像判断各选项，从而得到答案.
【详解】将y＝ 的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图像
不变，即得y＝|cosx|的图像
根据各选项判断只有D选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查通过函数图像判断函数单调性的知识点，属于基础题型.
2．函数 的定义域为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，结合余弦函数的图象，即可求解.
【详解】函数 有意义，须 ，解得 ，
所以函数的定义域为 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数的定义域，熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题.
3．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义域，求出值域，也即求得 的值，进而求得 的值.
【详解】由于 ，故 ， ，即 ，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，属于基础题.对于定义域范围不同的三角函数，其值域可借助图
像来求解出来.
4．函数 的最大值是（ ）
A． B．5 C．6 D．1
【答案】B
【分析】先由余弦的二倍角公式对函数化简，统一成余弦，然后配方利用余弦函数的有界性可求得其最大
值.
【详解】 ，当
，即 时， ．
故选：B．
【点睛】此题考查了余弦的二倍角公式，配方法，属于基础题.
5．若函数 的大致图像是A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．
【详解】 ，
在 ， 为减函数，在 ， 为增函数，并且函数值都大于等于0，
只有 符合，
故答案为
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于
基础题．
6．在 内，使 成立的 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出 在 内的图像，根据图像求出使 成立的 的取值范围.
【详解】画出 在 内的图像如下图所示，由图可知，使 成立的 的取值范围是 ，故选A.
【点睛】本小题主要考查 和 的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、多选题
7．下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据正弦 在 单调递增可判断A,根据 在 单调递减可判断B,根据诱导
公式以及正余弦的单调性可判断C,D.
【详解】对A,因为 ， 在 单调递增，所以 ,故A正确；对B，因为 ， 在 单调递减，所以 ,故B错误；
对于C, ，故C正确；
对于D， ，故D错误；
故选：AC
三、填空题
8．若 ，且 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由余弦函数的值域有 ，即可求m的范围.
【详解】由余弦函数的性质知： ，可得 .
故答案为：
9．方程 的解集为___________．
【答案】
【分析】本题可根据余弦函数性质得出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
故方程 的解集为 ，
故答案为： .
10．在 内不等式 的解集为__________．
【答案】【分析】利用余弦函数的性质即可得到结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
根据余弦曲线可得，
∴ .
故答案为：
题型三 正切函数的图像与性质
【典例1】设直线l的斜率为k，且 ，直线l的倾斜角 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到 ，结合正切函数的图象及 ，数形结合得到
直线l的倾斜角 的取值范围.
【详解】由题意得： ，因为 ，且 ， ，
画出 的图象如下：
所以
故选：D
【典例2】函数 的定义域为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】利用正切函数图像可以得到结果.
【详解】由题意可得： ，且 ，
即 ，
∴ ， ．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题1．方程 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把方程化为 ，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.
【详解】由题意，方程 ，可化为 ，
解得 ， ，即方程的解集为 .
故选：C.
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充要条件的定义进行判断即可．
【详解】充分性：当 时， 符合“ ”，但是 不存在，即“
”不能推出“ ”，故充分性不满足；
必要性：当 时， 符合 ，此时 不满足 “ ”，即“
”不能推出“ ”，故充分性不满足；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
3．在（0， ）内，使 成立的 的取值范围为（ ）
A．（ ， ） B．C． D．
【答案】B
【分析】画出 和直线 的图象，由图象可得不等式的解集.
【详解】
画出 和直线 的图象，
由图象可得 ,在 上解集为 ，
故选B.
【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想
求解.
4． 是 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既非充分也非必要条件 D．充要条件
【答案】C
【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可【详解】由于 满足 ，但推不出 ，故必要性不满足；
由于 满足 ，但正切值不存在，所以充分性不满足；
所以 是 的既非充分也非必要条件
故选：C
5．若直线 （ ）与函数 的图象无公共点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，得 ，从而转化为解不等式 ，利用正切函数的性质求解即可.
【详解】因为直线 与函数 的图象无公共点，且 ，
所以 ，所以 ，
故 可化为 ，
所以解得
所以不等式 的解集为 ，
故选：B．
6．对于四个函数 ， ， ， ，下列说法错误的是（ ）
A． 不是奇函数，最小正周期是 ，没有对称中心
B． 是偶函数，最小正周期是 ，有无数多条对称轴
C． 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D． 是偶函数，最小正周期是 ，没有对称中心
【答案】D
【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：
由图可知，函数 不是奇函数，最小正周期是 ，没有对称中心，A对；
对于B选项，如下图所示：
由图可知， 是偶函数，最小正周期是 ，有无数多条对称轴，B对；
对于C选项，如下图所示：
由图可知， 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；
对于D选项，如下图所示：
由图可知，函数 是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.
故选：D.二、多选题
7．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 的定义域是
C． 在 上单调递增 D． 的最小正周期是
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义可判断A，利用正切函数的性质可判断B，利用函数的图象可判断CD.
【详解】因为函数 ，作出函数的大致图象，
对于B，令 ，得 ，可知 的定义域为 ，故B错误；
对于A，定义域关于原点对称，且 ，故 是偶函数，故A正确；
对于C，由图象可知函数在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D，由 的图象的可知函数最小正周期是 ，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
8．若 ，则该函数定义域为_____________．【答案】
【分析】解不等式 即得解.
【详解】由题得 .
所以函数的定义域为 .
故答案为：
9．函数 的对称轴是___________.
【答案】 ，
【分析】作出函数 的图象，观察图象可得出函数 的对称轴方程.
【详解】函数 的图象是 把 轴的下部分翻折到 轴的上方可得到的，如下图所示：
由图象可知，函数 的对称轴是 ， .
故答案为： ， .
【点睛】本题考查含绝对值的正切函数对称轴的求解，作出函数图象是关键，考查数形结合思想的应用，
属于基础题.
