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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 08 讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精
讲）
题型目录一览
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ， 也
在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周期.
【常用结论】1.奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．②函数 ．③函数 类型的一切函数．
2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
4.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．题型 一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
2．已知奇函数 ，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
3．若函数 为奇函数，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．函数 为偶函数，当 时， ，则 时， ___________．
6． ，若 ，则 __________.
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的解集是__________.
三、解答题8．已知函数
(1)求函数 解析式；
(2)判断函数 的奇偶性并加以证明
9．已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)令 ，求证： 为奇函数；
(3)若锐角 满足 ，求 的取值范围．
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题【典例1】若函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．7
【典例2】若函数 是偶函数，则 、 的值是（ ）
A． B． 不能确定，
C． ， 不能确定 D．
【典例3】偶函数 满足： ，且在区间 与 上分别递减和递增，使
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． ＋1 D．
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若 ，
则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数 在 上单调递增，则
的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上
单调递减，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上是偶函数，在区间 上是单调函数，且
，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为R， 为奇
函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
三、填空题
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数 （其中 是自然对数的底数， ）
是奇函数，则实数 的值为______.
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为______.
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在 上的函数 ，满足
为偶函数， 为奇函数，若 ，则 __________.
12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
且 ，则 _________.
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知定义在 上的奇函数， 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数 是定义在R上奇函数，且 ， ，
则 （ ）
A．0 B． C．2 D．1
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的图像关于y轴对称，且周期为3，又
，则 的值是（ ）
A．2023 B．2022 C． D．1
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数 满足 ，且 是偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，都有 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 是以2为周期的周期函数
B．函数 是以4为周期的周期函数
C．函数 为偶函数
D．函数 为偶函数
三、填空题
7．（2023·江西南昌·统考二模） 是以2为周期的函数，若 时， ，则 ________．
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则
________．
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集 上的函数 满足 ，
且当 时， ，若 ，则 的最小值为__________.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，
，都有 ，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】已知二次函数 满足 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】函数 在 上是增函数，函数 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）若 的偶函数，其定义域为 ，且在 上是减函数，则
与 得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，且
为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于坐标原点对称 B． 的图象关于 轴对称
C． 的最大值为1 D． 在定义域上单调递减
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数 的图像关于直线 对称，
函数 的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数 满足：
，且 .请写出符合条件的一个函数的解析式 ______.
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足，若 的图像关于直线 对称，则 _________.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 （a，b为常数）满足 ，且
方程 有两等根， 在 上的最大值为 ，则 的最大值为__________.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数 的图象关于坐
标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数 的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数 为
偶函数”的一个推广结论.
题型 五 函数性质的综合应用
【典例1】若 的定义域为 ，且满足 为偶函数， 的图象关于 成中心对称，则
下列说法正确的个数是（ ）
① 的一个周期为4
②
③ 图象的一条对称轴为
④
A．1 B．2 C．3 D．4【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在 上的函数 满足
， ， 在区间 内单调且 ，则
（ ）
A． B．5055
C． D．1011
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在 上的奇函数 满足 为偶函数，且
当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数 的图像大致为
（ ）
A．
B．C．
D．
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在 上函数 满足 ，
.当 时， ，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，
，若 ，其中 为正整数，则（ ）
A．2是 的一个周期 B．
C． 的图象关于 对称 D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 、 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小
评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关
系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数 在区间 上单调递增，且恒有
成立，给出下列判断：① ；② 在 上是增函数；③ 的图象关
与直线 对称；④函数 在 处取得最小值；⑤函数 没有最大值，其中判断正确的序号
是______ ．
