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泰安一中青年路校区高一上学期 1 月份诊断性测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“改量词，否结论”，可得答案.
【详解】由“改量词，否结论”,命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C
2. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 ， ，
则 .
故选：A
3. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数性质与对数函数性质选取特殊值进行比较.
【详解】 ， ， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
综上 .
故选：C
4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故选：A
5. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】算出 的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到
的最小正周期．
【详解】对于 ， ，因此它的最小正周期为 ，
加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，
由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以 的最小正周期与 一致，
均为 ．
故选：D．
6. “ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，
要使函数 在区间 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为 ，则经过一定时间t（单
位：分钟）后的温度 满足 ，其中 是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热
水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时
一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据： ， ，
， .）（ ）
A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出参数 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出
结果.
详解】根据题意可知 ， ， ，
【
因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以要使得该茶降至 ，即 ，则有 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
所以大约需要等待6分钟.
故选：C.
8. 已知定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ．若函数
在区间 上有9个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析 的周期性，再将问题转化为“ 的图象在区间 上有 个交
点，求 的取值范围”，然后作出 的图象，通过数形结合的方法求解出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 为R上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，
在 上的零点个数 函数 图象在 上的交点个数，
且 是最小正周期为 的周期函数，
而 ,
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学科网（北京）股份有限公司在同一平面直角坐标系中作出 的图象，如下图所示：
因为 ，且 ，
由图象可知：当 时， 的图象共有 个交点，且第 个交点的横坐标为 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以第 个交点的横坐标为 ，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】思路点睛：求解函数零点的个数问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转
化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）若实数 满足 则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司的
【分析】先利用函数 为 上 增函数，得 ，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选
项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到.
【详解】因为函数 为 上的增函数，由 ，可得 ，
对于A，当 时， 不成立，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，故 B正确；
对于C，因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
因为函数 为 上的减函数，所以 C正确：
对于D，由于 ，所以 ，故D不正确.
故选：BC.
10. （多选）已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
.
A
B. 在 上单调递增
C. 若 、 ， 且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 把 的图象向右平移 个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐
标不变），得到函数 的图象，则函数 为偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用图象求出函数 的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利
用余弦型函数的对称性求出 的值，代值计算可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数
的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图可知， ，
函数 的最小正周期 满足 ，可得 ，则 ，
则 ，
又因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，可得 ，
所以， ，A对；
对于B选项，当 时， ，
所以， 在 上不单调，B错；
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学科网（北京）股份有限公司对于C选项，当 时， ，由 可得 ，
所以函数 在区间 内的图象关于直线 对称，
若 、 ， 且 ，则 ，
所以 ，C对；
对于D选项，把 的图象向右平移 个单位长度，
可得到函数 的图象，
再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，
则 为偶函数，D对.
故选：ACD.
11. 已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的根，它们从小到
大依次记为 ， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 函数 有8个零点
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】作出函数 的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过 求解；对于C：
根据图象得到 ， ，进一步计算求解；对于D：令 ，求出
的根，代入 ，继续根据图象可求根的个数.
【详解】因为 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，
作出函数 的图象如下：
对于A：关于x的方程 有四个不同的根，
即函数 与 的图象有4个交点，由图象可得 ，故A错误；
对于B：由图可知 ，即 ，解得 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C：由图象知 ，所以 ，且 ，
所以 ，
又由 ，
所以 ，故C正确；
对于D：对于函数 ，令 ，则 ，
即 ，因为 ， ， ，
可得 ，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
综合得函数 有 个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为 圆心角 ，则扇形的面积为______ .
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】已知 ， ，
所以扇形的面积为 .
故答案为： .
13. 已知 ， ，则 ________，
的最小值是________．
【答案】 ①. 1 ②. 2
【解析】
【分析】先拆角 ， ，再利用和差角公式化简可得 ，
利用基本不等式可求 的最小值.
【详解】因为 ，
所以
，
所以 ，于是有 ．
又
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是2．
故答案为：1 2
14. 设 为实数，若实数 是关于 的方程 的解，则 _________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】将已知等式变为 ，构造函数 ，结合其单调性推出
，即得 ，由此可化简求值，即得答案.
【详解】由题意知 ，得 ，
即 ，
设 ，则 在 上单调递增，
则由 可得 ，
而实数 是关于 的方程 的解，即 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到 ，从而结合
的单调性推出 ，即 ，即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 ，点 的
横坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）若将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到角 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义，求出 的值，再根据倍角公式求出 即可；
（2）求出 的值，将 结合 化为齐次式，上下同除
得到关于 的表达式，再代入 的值即可．
【小问1详解】
在单位圆上，且在第二象限，横坐标为 ，可求得纵坐标为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
【小问2详解】
由题知 ，则 ，
，则 ，
故
．
16. 函数 的值域为 ， 的定义域为
（1）求 ；
（2）若 求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数 在 上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合 ，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可.
【小问1详解】
因为 在 上单调递减，所以当 时 有最大值，且最大值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 有最小值，且最小值为 .
所以 .
【小问2详解】
由 ，得 ，解得 ，所以， ，
因为 ，所以 ，解得 .
故实数 的取值范围 .
17. 已知函数 .
（1）用定义证明函数 在 上为减函数；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若 在 上存在唯一零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义求证；
（2）利用函数的单调性求解；
（3）利用函数的单调性结合零点存在性定理可求.
【小问1详解】
任取 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以函数 在 上为减函数；
【小问2详解】
由（1）得 在 上为减函数，又 ，则 ，
当 时，有 ，解得 ；
当 时， ，解得 ，不成立，
综上所述，实数 的取值范围为 ；
【小问3详解】
由（1）得 在 上为减函数，则 在 上也为减函数，
又 在 上存在唯一零点，
则由零点存在性定理可得， ， ，
解得 ，
故实数 的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 ， 、 是 的图象与直线 的
两个相邻交点，且 ．
（1）求 的值及函数 在 上的最小值；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为 ，根据题中信息求出函数
的最小正周期，可得出 的值，即可得出函数 的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求
出函数 在 上的最小值；
（2）设 ，可得出 ，设 ，可知
在 上恒成立，可得出关于 的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
解：函数
， 则 ，
因为 、 是函数 的图象与直线 的两个相邻交点，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 的最小正周期为 ，则 ，
可得 ．
由 ，得 ，所以， ，
所以， ，故函数 在 上的最小值为 ．
【小问2详解】
解：设 ，因为 ，所以 ．
因为不等式 恒成立，
设 ，
所以 在上恒成立．
则 ，即 ，
解得 ，故 的取值范围为 ．
19. 对于函数 ，若 的图象上存在关于原点对称的点，则称 为定义域上的“伪奇函数”．
（1）试判断 是否为“伪奇函数”，简要说明理由；
（2）若 是定义在区间 上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）试讨论 在 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．
【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）答案和理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得 在 有解，进而结合正弦函数的性质即可求解；
（3）由题意可知 在 上有解，令 ， ，可得
在 有解，进而分情况讨论求解即可.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，则 是“伪奇函数”．
【小问2详解】
令 ，
则 ，
即 在 有解，
而 ，则 ，∴ ，
则 ，
又∵ 在 时恒成立，
∴ ，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴实数m的取值范围为 .
【小问3详解】
当 为定义域 上的“伪奇函数”时，
则 在 上有解，可化为 在 上有解，
令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，
则 在 有解，即可保证 为“伪奇函数”，
令 ， ，
①当 ，即 时，
在 一定有解，满足题意；
②当 ，即 或 时，
在 有解等价于 ，
解得 .
综上所述，当 时， 为定义域 上的“伪奇函数”，否则不是．
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