精品解析：山东省聊城市某校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）_2025年10月高一试卷_251005山东省聊城市某校2025-2026学年高一上学期第一次月考（全）

山东省聊城市某校 2025-2026 学年高一上学期第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案. 【详解】因为集合 是所有非正整数组成的集合，所以 ． 故选：D． 2. 若 ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，那么 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取 ，有 ，A错误； 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，B正确； 取 ，显然 ，C错误； 因为 ，所以 ，即 ，D错误． 故选：B 3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） 第1页/共13页 学科网（北京）股份有限公司A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质可推断 ，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为 ，由 ，根据传递性可知 ， 因此“ ”能推出“ ”，因此充分性成立； 不妨取 ，满足 ，但 不成立，因此必要性不成立； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A 4. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“ ， ”的否定是： ， . 故选：C 5. 若 ，则下面各式中恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 第2页/共13页 学科网（北京）股份有限公司【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质和已知可同时得到﹣1＜α＜1，﹣1＜﹣β＜1，α﹣β＜0，从而得到答案． 【详解】∵﹣1＜α＜β＜1，∴﹣1＜α＜1，﹣1＜﹣β＜1，α﹣β＜0，∴﹣2＜α﹣β＜0． 故选A． 【点睛】本题考查不等式基本性质，正确利用已知条件和不等式的基本性质是解题得到关键． 6. 已知不等式 的解集非空，则 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由 在R上有解，又 开口向上， 所以 ，解得 或 ，即 或 . 故选：B 7. 已知集合 ， ，若“ ”是“ ”的充分不必要 条件，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“ ”是“ ”的充分不必要条件，转化为AB，利用集合之间的包含关系，即可求 出 的取值范围. 【详解】解： ，解得 ，即 ， 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则AB， 第3页/共13页 学科网（北京）股份有限公司且等号不同时成立，解得 ， 所以 的取值范围为 ， 故选：A. 8. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 ，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】 ，且 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立. 故选： . 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ， ，若 ，则 的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 第4页/共13页 学科网（北京）股份有限公司【分析】由 可得 ，结合条件列方程求 ，结合元素互异性检验所得结果. 【详解】因为 ， 所以 ，又 ， ， 所以 或 ， 解得 或 或 ， 当 时， ， ，满足要求， 当 时， ， ，满足要求， 当 时， ，与元素互异性矛盾， 故选：BC. 10. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则（ ） A. B. 不等式 的解集为 C. D. 不等式 的解集为 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程 的两根， 再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有 ，从 而判断选项C． 【详解】由题意可知 ，A选项正确； 第5页/共13页 学科网（北京）股份有限公司是方程 的两根， 则 ，C选项错误； 不等式 即为 ，解得 ，B选项正确； 不等式 即 为 ，即 ，解得 或 ，D选项正 确． 故选：ABD． 11. 已知 ，且 ，则下列结论中错误的是（ ） A. 有最小值4 B. xy有最小值1 C. 有最大值4 D. 有最小值4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，逐项判断即可. 【详解】对于A: ，当且仅当 时取等号， 所以A正确； 对于B：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即xy有最大值1，所以B错 误； 对于C：因为 ，当且仅当 时取等号，即 有最小值4，所 以C错误； 对于D：因为 ，当且仅当 时取等号，即 有 最大值2，所以D错误. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 第6页/共13页 学科网（北京）股份有限公司12. 已知集合 ， ，若 且 ，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由 ， ，若 且 ，则 ，所以 . 故答案为： 13. 若关于x的不等式 的解集是 ，则 ______． 【答案】0 【解析】 【分析】由题意得 ， 是方程 的两个根，代入求解即可. 【详解】由题意得 ， 是方程 的两个根，且 ， 所以 ，解得 ，所以 . 故答案为：0 14. 若对任意 恒成立，则实数 的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】因为 ，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围. 【详解】因 ，所以 ，当且仅当 即 时取等号. 为 第7页/共13页 学科网（北京）股份有限公司. 所以 ，当且仅当 时取等号 所以 ，当且仅当 时， 取得最大值 . 因为 恒成立，所以 ，所以 . 所以实数 的取值范围是 . 故答案是： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于 的不等式 的解集为 . （1）求实数 ， 的值； （2）求关于 的不等式 的解集. 【答案】（1） ， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为 ，因式分解后，讨论 的取值，解不等式. 【小问1详解】 由题意可知， 的根是1和2， 所以 ，解得： ， ； 第8页/共13页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 由（1）知， ， ， 所以不等式为 ，即 ， 当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 . 16. 求下列函数的最值 （1）求函数 的最小值. （2）若正数 满足 ，求 的最小值. 【答案】（1） ； （2）5. 【解析】 【分析】（1）利用换元法结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为 ，即 ， 所以 ，当且仅当 即 时等号成立， 故函数 的最小值为 . 【小问2详解】 由 得 ， 则 ， 第9页/共13页 学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，结合 ，解得 时等号成立， 故 的最小值为5. 17. 已知 . （1）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分条件，求实数 取值范围； （3）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据条件，列出不等式组，可求 的取值范围. 【小问1详解】 因为 是 的必要条件，所以 . 所以实数 的取值范围为 . 【小问2详解】 因为 是 的充分条件，所以 . 所以实数 的取值范围为 . 【小问3详解】 因为 是 的充分不必要条件， 所以命题 所表示的集合 是命题 所表示的集合 的真子集. 第10页/共13页 学科网（北京）股份有限公司由（2）可知，当 时，集合 . 又因为 与 不能同时成立（前者解得 ，后者解得 ）， 所以两个集合不可能相等. 故 是 的充分不必要条件的充要条件与 是 的充分条件等价， 所以实数 的取值范围为 . 18. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解 答． 已知集合 ，是否存在实数a，使得_____________？若存在，求出实 数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】选①： 或 ；选②：不存在，理由见解析；选③： . 【解析】 【分析】选①：根据集合补集的定义，结合子集的性质进行求解即可； 选②：根据集合补集的定义，结合并集的性质进行求解即可； 选③：根据集合交集 的性质进行求解即可. 【详解】选①：因为 ，所以 或 ， 当 时，即当 时， ，符合 ； 当 时，即当 时，要想 ， 只需 ，或 ，解得 ，或 ，而 ， 所以 ， 综上所述：实数a的取值范围为 ，或 ； 选②：因为 ，所以 ， 因为 ， 第11页/共13页 学科网（北京）股份有限公司所以有 ，故不存在实数a，使 成立； 选③：若 ，所以 当 时，即当 时， ，符合 ， 当 时，即当 时， 因为 ， 所以 ，而 ，所以 ， 综上所述：实数a的取值范围为 . 19. 南京某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段（图中的 ， ）和两 个半圆构成，设 为 ，且 . （1）若图中矩形 的面积为 ，则当 取何值时，内圈周长最小？ （2）若内圈的周长为 ，则当 取何值时，矩形 的面积最大？ 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）先求得内圈周长的表达式，结合基本不等式求得内圈的周长取得最小值时 的值. （2）先求得矩形 的面积的表达式，结合二次函数的性质求得矩形 的面积取得最大值时 的 值. 第12页/共13页 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ， 则 ， 则内圈周长为 米， 当且仅当 ， 即 时，取到最小值360米. （2）内圈周长为400米， 则 ， 则 ， 故当 时，取最大值 平方米. 第13页/共13页 学科网（北京）股份有限公司