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济南一中 2025 级高一上学期期中学情检测
数学试题
本试卷满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用常用数集的定义与集合的交集运算即可得解.
【详解】因为 ，
.
而 ，所以
故选：B.
2. 已知幂函数 过点 ， 则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合幂函数定义求 ，再由函数 的解析式求其定义域.
【详解】因为函数 为幂函数，故可设 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
由 有意义可得 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
3. 已知集合 ，则下列 是从集合 到集合 的函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于选项A：定义域为 ，不满足函数的特性：任意性，故A错误；
对于选项B：值域为 ，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选
项B错误；
对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误；
对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确；
故选：D
4. 已知函数 在区间 内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，
经过2次二分法后确定的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断.
【详解】由 ，且 ， ，得 在 内有零点；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，且 ， ，得 在 内有零点；
所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为 ．
故选：B
5. 下面命题正确的是（ ）
A. 已知 ，则“ ”是“ ”的充要条件
B. 命题“ ”的否定是“ ”
C. 命题“ ”是真命题
D. 已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断 A，D；根据特称命题与全称命题的关系判断 B；根据
判断C.
【详解】对于A， 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，命题“ ”的否定是“ ”，故B错误；
对于C，对于方程 ，故命题“ ”是真命题错误，即C错
误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，“ ”不能推出“ ”，例如 时不成立；
反之，当 时， ，即 ，故 可以推出 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故D正确.
故选：D
6. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性得 ，利用对数函数单调性得 ，即可利用中间值法比较
大小.
【详解】 ，
，
，
。
故选：C
7. 设函数 （ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数与指数运算即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为
所以 ，
则 .
故选：A.
8. 在同一坐标系内，函数 （ ）和 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数与一次函数的函数性质与图象特征判断即可.
【详解】解：对于A，幂的指数 ，则直线 应为减函数，A错误；
对于B，幂 的指数 ，则直线 应为增函数，B错误；
对于D，幂的指数 ，则 ，即直线 与y轴交点在 轴上方，D错误；
易知C正确.
故选：C.
9. 已知函数 在 上的最小值为2，则 在 上的（ ）
A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】整理函数 解析式后令 ，验证 得到函数 为奇函数，
由对称性得到 在 的最大值，然后得到 在 上的最大值.
【详解】 ，
令 ，
∵ ，即 为奇函数，
当 时， ，∴ ，
∴当 时， ，
∴ .
故选：D.
10. 定义域为 的函数 满足 ， ，且 ， ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.
【详解】由题意， 是函数 的对称轴， 在 上是增函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上是减函数，
又 ，所以 ，
所以当 时， ， 满足 ，
当 时， ， ，也满足 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D.
11. 定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ，则 的最小值为（
）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性求函数 的解析式，再结合对数的运算法则和基本不等式可求函数
的最小值.
【详解】
因为函数 ， 分别为 上的奇函数和偶函数，
所以 .
所以 ，
由 （当且仅当 时取“ ”）.
所以 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司12. 设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足： .
则 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次，二次函数性质得 ，结合题意可
得 ，即可得出答案.
【详解】由解析式，可得如下 图象，
令 ，要满足题设，则 ，
若 ，则 ，令 ，则 ，故 ，
综上 的范围时 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
13. 以下运算中不正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由对数，指数幂运算可判断各选项正误．
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误．
故选：BD
14. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象恒过原点
B. 若 ，则 是增函数
C. 若 的定义域为 ，则 的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司D. 若 的值域为 ，则 的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A：直接代入 运算即可；对于 B：举反例说明即可；对于 C：分析可知
对任意 恒成立，结合 判别式分析运算；对于D：分析可知 的值
域包含 ，结合 判别式分析运算.
【详解】因为函数 ，
对于选项A：因为 ，所以 的图象恒过原点，故A正确；
对于选项B：若 ，则 ，
因为 ，可知 不是增函数，故B错误；
对于选项C：若 的定义域为 ，则 对任意 恒成立，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，故C正确；
对于选项D：若 的值域为 ，则 的值域包含 ，
则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 ，故D错误；
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对数运算可知 ， ，且 ， ，进而计算 ，结合对
数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D.
【详解】根据题意， ，
，
对于A， ，A正确；
对于B， ，
因为 ，所以等号不成立，即 ，B错误；
对于C，由 ，
， ，则 ，
由 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，C正确；
对于D，由于 ， ，
所以 ， ，
则 ， ，且 ，
由于 为减函数，所以 ，
由于 为增函数，所以 ，
所以 ，即 ，
则 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于D项，将 等价转化为 ，进而利
用指数函数和幂函数的单调性判断是关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
16. 若实数 满足 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】计算出 ，进而求出 .
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 .
故答案为：
17. 已知 ，则 ＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，其中 .
∴ .
故答案为：
18. 已知函数 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】计算 ，根据 得到答案.
【详解】 ，函数定义域为 ，
则 ，
.
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知函数 值域为 ，则实数 的取值范围是___________.
的
【答案】
【解析】
【分析】结合 的值域，可分析得到 必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数
形结合，即得解
【详解】由题意， 的值域为：
要使得： 的值域为
必为减函数，因此
可作出函数图象如图，由图象可知 解之得 .
故答案为：
四、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
20. 已知全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果.
（2）因为 ，则 ，再利用集合的包含关系即可求得结果.
【小问1详解】
当 时，集合 ，即 ，
由 得 或 ，所以 ，
所以 ，故 .
【小问2详解】
若 ，则 ，
又 ， ，
所以 或 ，解得： 或
故实数 的取值范围为 .
21. 已知函数 是定义域为 的偶函数，且 时， ．
（1）求 的解析式；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当 时的解析式，进而求解；
（2）根据指数函数的单调性判断 在 的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题意知，当 时， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
得 的解析式为 .
【小问2详解】
当 时， ，
又函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
由 ，得 ，
则 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .
22. 已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求实数 的值.
（2）试判断 的单调性（不需要证明），并求 的值域．
（3）解关于 的不等式 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）函数 在 上为增函数， 的值域为
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）分离函数，根据复合函数单调性判断单调性并求解值域即可得结论；
（3）由奇函数在 上为增函数，可将原不等式转化为 ，利用指数函数与一元二次函数解不
等式可得所求解集．
【小问1详解】
由定义域为 的函数 是奇函数，
可得 ，即有 ，
即 ，
所以 ；
【小问2详解】
由于 ，
因为函数 在 上为增函数，所以 在 上为减函数，
所以函数 在 上为增函数，
由于 ，所以 ，于是可得 ，
故 的值域为 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（2）得，函数 为奇函数且在 上为增函数，
故原不等式 等价为 ，
即 ，令 ，则不等式化为 ，解得
又 ，所以 ，故 ，解得 ，
所以不等式的解集为： .
23. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的定义域；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解.
（2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于 的不等式组，即可求解.
（3）由题意可知 恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出 ，即
对于任意 恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得 对于任意
恒成立，最后利用基本不等式得出 ，从而可得出 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
若 ，则 ，令 ，得 ，
故 的定义域为 ．
【小问2详解】
令 ，则 .
因为函数 是 上的增函数， 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的判断方法可得：
函数 在 上单调递增,且 在 上恒成立，
所以 ，解得 .
故 的取值范围为 .
【小问3详解】
因为对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
所以 .
令 ， ，因为 ，
所以 ， .
又二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以当 时，函数 有最小值 ，故当 时， .
所以 对于任意 恒成立，即 对于任意 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司故 对于任意 恒成立.
又由基本不等式可得： ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
