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第 06 讲 双曲线及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂
线，垂足为P，O为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ， ，所以根据点到直线的距离公式可得，
．
又 ，则 ，所以 的面积为 ．
故选：B.
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ，过E的右顶点A且与
一条渐近线平行的直线交y轴于点B， 的面积为2，则E的焦距为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
由题意可得， ，且直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以 ，
则可得直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即 ，
所以 ，则 ，解得 ，所以 ，即 ，则E的焦距 .
故选：D
3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知A，B分别是双曲线 的左、
右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且 轴.若直线PB与直线PA的斜率
之比为3，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意可得， ， ，
点的横坐标为 ，代入 ，又 ，所以 ，
， ，
则 ，可得 ．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 两点，若 的周长为 ，则当 取得
最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由 代入双曲线的方程可得 ，
则有 ， ， ，， ，
由题意可得 ，
结合 ，上式化简可得 ，
当 时， 取得最大值4，
， ， ，
双曲线离心率 ．
故选：A．
5．（2023·四川成都·模拟预测）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且
，点 为双曲线右支上一点， 为 内心，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意 为 内心，
设 ， ， ， 内切圆半径为 ，
所以 ，又因为 ，
即 ，
化简得 ，
由双曲线定义可知 ，因此有 ；
注意到 ，且 以及 ，联立并化简得 ，即 ，
解得 或 （舍去，因为 ）
故选：C
6．（2023·四川南充·统考三模）已知点F是双曲线 （ ）的左焦点，点E是该双曲线
的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心
率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 即 为等腰三角形，
故 是锐角三角形，只需 ，
将 代入 可得 ，
故在 中， ， ，
则 ，化简整理，得 ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
故选：B.
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】设 与y轴交于Q点，连接 ，则 ，
因为 ，故P点在双曲线右支上，且 ，
故 ，而 ，
故 ，
在 中， ，即 ，
故 ，
由 ，且三角形内角和为 ，
故 ，则 ，
即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
故选：A
8．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线 为左焦点， 分
别为左､左顶点， 为 右支上的点，且 （ 为坐标原点）.若直线 与以线段 为直径的圆
相交，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为 ，则 ，
则 ，为 右支上的点，取 的中点为B，连接 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
又直线 与以线段 为直径的圆相交，故 ，
设 ，则 ，
则需使 ，解得 ，
即双曲线离心率的范围为 ，
即 的离心率的取值范围为 ，
故选：D
9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线
过点 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点．若 是 的中点，且 ，则此双曲线的离
心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，所以 是直角三角形，又因为 是 的中点，
所以 是直角 斜边中线，因此 ，而点 是线段 的中点，所以 是等腰三角形，因此 ，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有： ，
因为双曲线渐近线的方程为： ，因此有：
，
故选：B.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ， 为 的
左焦点.经过原点的直线 与 的左、右两支分别交于A， 两点，且 ， ，则 的一条
渐近线的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知结合双曲线的对称性可得，四边形 为长方形.
所以， .
设 ， ，
根据双曲线的定义可得， .
又 ，在 中，有 .
又 ，所以 .
由正弦定理可得， ，即 .
又 ，，
所以， ，
所以， ，即 ，
解得， ，
所以 ， .
又 ，
所以 ，
所以， ， ，所以 .
所以，双曲线的渐近线方程为 .
所以，倾斜角为 或 .
故选：C.
11．（多选题）（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程 ，其中
，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（ ）
A．可以是圆的方程 B．一定不能是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程 D．一定不能是双曲线的标准方程
【答案】ACD
【解析】因为方程 ，其中 ，
所以当 时，方程为 ，
即 是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；
当 时，方程为 ，
即 是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；
当 时，方程为 ，
即 是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；
若方程为双曲线的标准方程，则有 ，
这与 矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.故选：ACD.
12．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，
点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
【答案】AB
【解析】由双曲线方程知 ， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C错误；
又 ，所以 为直径的圆方程为 ，故D错误；
由 ，得 或 ，所以点 的横坐标为2或 ，故B正确；
又 ，所以 ，故A正确．
故选：AB．
13．（多选题）（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线 的左､右焦点分别为 ，
过 向圆 作一条切线 与渐近线 和 分别交于点 （ 恰好为切点，且是渐近
线与圆的交点），设双曲线的离心率为 .当 时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当点 在第一象限时，
D．当点 在第三象限时，
【答案】BC
【解析】因为 且 ，所以 ，切点 不在双曲线上， 不正确， 正确；若 ，在 中， ，
当 分别在一二象限时（如图1）， ，设 的倾斜角为 ，
则 ；
当 分别在二､三象限时（如图2），设 的倾斜角为 ，
则 ，
正确， 错误.
故选：
14．（多选题）（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线 ： 上、下焦点分别
为 ， ，虚轴长为 ， 是双曲线上支上任意一点， 的最小值为 .设 ， ，
是直线 上的动点，直线 ， 分别与E的上支交于点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
.下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为 B．
C．以 为直径的圆经过 点 D．当 时， 平行于 轴
【答案】ACD
【解析】由题知， ， ， ，解得 ，所以双曲线方程为 ，A正确；
由A知， ， ，设 ，则 ， ，
所以 ，B错；由上述知，直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立 ，得 ，因点 是异于 的上支点，
所以 ，代入直线 方程得 ，即 ，
联立 ，得 ，因点 是异于 的上支点，
所以 ，代入直线 方程得 ，即 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，所以以 为直径的圆经过 点，C正确；
当 时，即 ， ，所以代入 坐标得 ，
所以 平行于 轴，D正确.
故选：ACD
15．（多选题）（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如
图，利用了双曲线的光学性质： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点
，经点 反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的切线平分
.若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为13
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
【答案】ABD
【解析】因为双曲线 的方程为 ，所以 ，渐近线方程为 ，
选项A，因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知， ，
若 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，即B正确；
选项C： ，即C错误；
选项D，因为 平分 ，由角分线定理知， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，即D正确.
故选：ABD.
16．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系 中，双曲线 ：的下、上焦点分别是 ， ，渐近线方程为 ， 为双曲线 上任意一点，
平分 ，且 ， ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的方程为
C．若直线 与双曲线 的另一个交点为 ， 为 的中点，则
D．点 到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【解析】不妨设 为双曲线 的下支上一点，延长 ， 交于点 ，如图，
因为 ，因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 为等腰三角形，
则 为 中点，又 为 中点，所以 ，
根据双曲线的定义得， ，所以， ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，得 ， ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ，离心率为 ，所以A正确，B不正确；
设 ， ， ，因为 ， 在双曲线 上，所以 ①， ②，
①
②并整理得， ，因为 ， ，所以， ，所以C不正确.
由 ，代入 ，即 ，即 ，
所以点 到两条渐近线的距离之积为 ，所以D正确；
故选：AD.
17．（多选题）（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆 ：
与双曲线 ： 的公共焦点， ， 分别是 与 的离心率，
且P是 与 的一个公共点，满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【解析】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故 ，故A错误；
对选项B： ，不妨设 为第一象限的点，即 ，由于 ， ，
故 ， ，故 ，即 ，即 ，故B正确；
对选项C：由 得 ，则 ，令 ，所以
，
由于 ，所以对勾函数 在 单调递增，故 ,
没有最小值，故C错误，对选项D：设 ， ， ，
，若最大值为 ，则 ， ， ，即 ，
， ，成立，故D正确；
故选：BD
18．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，存在过点 的直线与双曲
线 的右支交于 两点，且 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线 的方程： ．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可）
【解析】如图，取 ，且 x轴，
可得 ， ，
即 ， 为正三角形，
符合题意，此时双曲线 的方程为 .
故答案为： .
19．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，
即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在
一个圆上时等号成立.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线C上关于
原点对称的两点 ， 满足 ，若 ，则双曲线 的离心率
.
【答案】 /【解析】由双曲线 的左、右焦点分别为 ， 及双曲线上关于原点对称的两点 ， ，
则 ， ，可得四边形 为平行四边形，
又 及托勒密定理，可得四边形 为矩形．
设 ， ，
在 中， ，
则 ， ，
， ， ，
，解得 ．
双曲线的离心率为 ．
故答案为： ．
20．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知 是双曲线 的右顶点，点 在 上，
为 的左焦点，若 的面积为 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题设知： ，则 ，所以 且 ，易知： ，
又 ，故 ，且 ，
所以 ，则 ，
化简得 ，解得 或 （舍），
综上， ，故 ，则离心率为 .
故答案为：
21．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作一条渐
近线的垂线，垂足为P，点Q为线段PF的中点， ，O为坐标原点，且点E在双曲线 上，则
.
【答案】
【解析】不妨设点P在渐近线 上，令 ，由题意知 ，
又 ，解得 ，所以 .
因为点Q为线段PF的中点，所以 ，又 ，所以 ，
又因为点E在双曲线 上，所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：22．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C： ，过双曲线C的右焦点F作
直线 交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足 ，
，则双曲线C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】
双曲线C： 的右焦点 ，渐近线方程为 ，
设 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ①， ②
又 分别在渐近线 上，所以 代入②可得： ，再
代入①得
故 ，则 ，所以
整理得： ，又 ，所以 ，
则 ，即 ，故 ，所以 ，
则双曲线C的离心率 .
故答案为： .23．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为： ，离心率为 ，过C
的右支上一点 ，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且 ．过点P作
的角平分线， 在角平分线上的投影为点H，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】 ，
，即 ，
两渐近线方程为 ，
设 为右支上一点，则 ，
设 ， ，
分别令 ，可得 ， ，
又 ，
，即 ，
，
所以双曲线方程为 ，故 ，
延长 交 于 ，如图，
因为 平分 且 ，所以 ，
又 ， ， 为 中点，，
，
，
，
即 的最大值为 .
故答案为：
1．（2021•甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离，
则点 到双曲线的一条渐近线的距离 ．
故选： ．
2．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为 ，
由题意可得： ，渐近线的方程为： ，
可得 ， ， ， ，， ， ， ，
所以 ， ，
由 ，
解得： ，所以双曲线的离心率 ，
故选： ．
3．（2021•北京）双曲线 的离心率为2，且过点 ， ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为双曲线 过点 ， ，
则有 ①，
又离心率为2，
则 ②，
由①②可得， ， ，
所以双曲线的标准方程为 ．
故选： ．
4．（多选题）（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作
的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为 ，设过 的切线与圆 相切于点 ，
则 ， ，又 ，
所以 ，
过点 作 于点 ，
所以 ，又 为 的中点，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
由双曲线的定义可知 ，
所以 ，可得 ，即 ，
所以 的离心率 ．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为 ，连接 ，则 ， ，过 作 于 ，则 ，因为 ，所以 ， ，
，即 ，
所以 ， 正确．
故选： ．
5．（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】根据题意可设所求方程为 ， ，
又 ，解得 ， ， ，
所求方程为 ．
故答案为： ．
6．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．（法一）如图，设 ，
， ，
设 ，则 ，又 ，则 ，可得 ，
又 ，且 ，
则 ，化简得 ．
又点 在 上，
则 ，整理可得 ，
代 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
故 ．
（法二）由 ，得 ，
设 ，由对称性可得 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ．
故答案为： ．7．（2022•甲卷）记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与 无公
共点”的 的一个值 ．
【答案】 ， 内的任意一个值都满足题意）．
【解析】双曲线 的离心率为 ， ，
双曲线的渐近线方程为 ，
直线 与 无公共点，可得 ，即 ，即 ，
可得 ，
满足条件“直线 与 无公共点”的 的一个值可以为：2．
故答案为： ， 内的任意一个值都满足题意）．
8．（2022•甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
【答案】 ．
【解析】双曲线 的渐近线： ，
圆 的圆心 与半径1，
双曲线 的渐近线与圆 相切，
，解得 ， 舍去．
故答案为： ．
9．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是．
【答案】 ．
【解析】（法一）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
由于 ， 且 ，则点 在渐近线 上，不妨设 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，即 ，则 ，
，
又 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
点 的坐标为 ，
，即 ，
．
（法二）由 ，解得 ，
又 ，
所以点 的纵坐标为 ，
代入方程 中，解得 ，
所以 ，代入双曲线方程中，可得 ，
所以 ．
故答案为： ．10．（2022•北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】 ．
【解析】双曲线 化为标准方程可得 ，
所以 ，双曲线的渐近线方程 ，
又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
11．（2021•乙卷）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线 的一条渐近线为 ，
则有 ，解可得 ，
则双曲线的方程为 ，则 ，
其焦距 ；
故答案为：4．12．（2021•乙卷）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】 ．
【解析】双曲线 的右焦点 ，
所以右焦点到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
【答案】 ．
【解析】 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为
又 离心率为 ，可得
，即 ，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
14．（2021•全国）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在直线 上，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由双曲线 的方程可得左右焦点 ，
设 为 关于直线 的对称点，
则 ，可得 ， ，
连 接 与 直 线 的 交 点 为 ， 则
，故答案为： ．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
【解析】（1）双曲线 中心为原点，左焦点为 ， ，离心率为 ，
则 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）证明：过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
则可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
记 的左，右顶点分别为 ， ，
则 ， ，
联立 ，化简整理可得， ，
故△ 且 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 方程 ，
故，
故 ，解得 ，
所以 ，
故点 在定直线 上运动．
16．（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，
直线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【解析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，而直线 不过 点，故 ；
（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，，得
由 ， ，
得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
同理 ，
故 ，
而 ，由 ，得 ，
故 ．
17．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，
因此 的方程为 ，
（2）解法一：设直线 的方程为 ， ，将直线 的方程代入 可得
，
△ ，， ，
，
，
设点 的坐标为 ， ，则 ，
两式相减可得 ，
，
，
解得 ，
两式相加可得 ，
，
，
解得 ，
，其中 为直线 的斜率；
若选择①②：
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
， ，
此时点 的坐标满足 ，解得 ， ，
为 的中点，即 ；
若选择①③：
当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时不在直线 上，矛盾，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标
为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
此时 ，
，
由于点 同时在直线 上，故 ，解得 ，
因此 ．
若选择②③，
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
设 的中点 ， ，则 ， ，
由于 ，故 在 的垂直平分线上，即点 在直线 上，
将该直线 联立，解得 ， ，
即点 恰为 中点，故点 在直线 上．
（2）解法二：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为0．
若选①③ ②，则 为线段 的中点，假设 的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，
此时由对称性可知 、 关于 轴对称，从而 ，已知不符．
综上，直线 的斜率存在且不为0，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ．
则条件① 在直线 上，等价于 ，两渐近线的方程合并为 ，
联立方程组，消去 并化简得： ，
设 ， ， ， ，线段中点为 ， ，
则 ． ，
设 ， ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ， ，
，
直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程为 ，即 中，
得 ，
解得 的横坐标为 ，
同理， ， ，
，
条件② 等价于 ，综上所述：
条件① 在 上等价于 ，
条件② 等价于 ，
条件③ 等价于 ．
选①② ③：
由①②解得 ， ③成立；
选①③ ②：
由①③解得： ， ， ， ②成立；
选②③ ①：
由②③解得： ， ， ， ①成立．
