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第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学校考三模）已知不重合的平面 、 、 和直线 ，则“ ”的充
分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内的任何直线都与 平行
C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】对于A选项，若 内有无数条直线与 平行且这无数条直线是平行直线，则 、 平行或相交，
即“ 内有无数条直线与 平行” “ ”，A不满足；
对于B选项，由面面平行的定义可知，“ 内的任何直线都与 平行” “ ”，B不满足；
对于C选项，若 且 ，则 、 平行或相交，
则“ 且 ” “ ”，C不满足；
对于D选项，由线面垂直的性质可知，若 且 ，则 ，
反之，若 ，则“ 且 ”不一定成立，
故“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，D满足.
故选：D.
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是三条不同的直线， 是三个不重合
的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 ．
B．若 与 异面， ，则存在 ，使得 ．
C．若 ，则 ．
D．若 ，则 ．
【答案】D
【解析】对选项A，若 ，则 ，又 ，∴ ．选项A正确；
对选项B，在 上取点 ，分别作 的平行线 ，这两条相交直线确定平面 ，
因为 ，则 ，同理可证 ，
因为 ，所以 ，又因为 ， ，
所以 ，故B正确；对选项C，设 ，在平面 内任取一个不在直线 上的点 ，
过点 作直线 ，垂足分别为点 ．
又因为 ， ， ，
，又 ，故 ，
又因为 平面 ，从而 ．故选项C正确；
对选项D，直线 的位置关系可以是任意的，比如设 ， 且 ， ， ，则根据
平行的传递性知 ，故D错误.
故选：D.
3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱 的底面 为正
方形，侧棱与底面垂直，点 是侧棱 上的点，且 .若点 在侧面 （包
括其边界）上运动，且总保持 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
如图，在侧棱 上取一点 ，使得 ，连接 ，
过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
由 ，可知 ，
平面 ， ，
从而 平面 ，所以 ，
又由 在平面 内的射影 ，所以 ，
平面 ， ，
知 平面 ，平面 ， 所以 ，
所以动点 的轨迹为线段 ，
在 中， ，所以 ，
则 ，得
易得 .
故选：D
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在四棱锥 中，底面 是矩形，给
出以下三个结论：
①若 的中点为 ，则 平面 ；
②若 平面 ，则平面 平面 ；
③若 平面 ，则线段 是四棱锥 外接球的直径.
则关于这三个结论叙述正确的是（ ）
A．①对，②③错 B．①②对，③错
C．①错，②③对 D．①②③都对
【答案】D【解析】
①正确，连接 交 于 ，连接 ，则在 中， ，而 平面 ， 平面 ，
则 平面 ；
②正确，因为 平面 ，得 ，又由于 ，所以 平面 ，又 ，所
以 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 ；
③正确，由于 平面 ，将四棱锥还原成长方体，知 为该长方体的体对角线，故 为四棱锥
外接球的直径.
故选：D.
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图，在矩形 中， 分别为边 上的点，
且 ， ，设 分别为线段 的中点，将四边形 沿着直线 进行翻折，
使得点 不在平面 上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ）
A．直线 直线 B．直线 直线
C．直线 直线 D．直线 平面
【答案】C
【解析】翻折之后如图所示：
①因为 ， ，所以 且 ，
因此 ，故选项A成立；②连接 ，因为 分别为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，故选项B成立；
③因为 ， ，所以 与 不平行，故选项C不成立；
④因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故选项D成立.
故选：C
6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在正方体 中， 分别为棱
的中点，则平面 与平面 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【解析】设棱 的中点分别为 ，连接 ，连接 ，如图
所示，
正方体中， 平面 ， 平面 ， ，
正方形 中， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，∴ ，
分别为棱 的中点，， ，∴ ，
同理可证 ， 平面 ， ，∴ 平面 ，
平面 ，∴ ，
同理可证 ，平面 ， ，∴ 平面 ， 平面 ，故平面 平面 .
故选：A.
7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ， 是圆锥 的轴截面，
是 的中点， 为底面圆周上的一个动点（异于 、 两点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C．三棱锥 体积最大值为 D．三棱锥 体积最大值为
【答案】C
【解析】根据题意可知，如下图所示：
对于A，因为 圆 是直径，所以 ，假设存在点 ，使得 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 、 都是圆锥 的母线，即 ，所以 不成立，
所以不存在点 ，使得 ，即A错误；
对于B，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，
若存在点 ，使得 ，所以 ，这与 矛盾，所以B错误；
对于C，易知三棱锥 的高为 ，
所以当底面积 最大时，其体积最大，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即三棱锥 的体积 ，
即三棱锥 的体积的最大值为 ，所以，C正确；
对于D，因为 、 分别为 、 的中点，则 ，即三棱锥 体积最大值为 ，所以，D错误.
故选：C.
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为
棱 的中点， 为线段 上一个动点，则下列说法不正确的是（ ）
A．存在点 ，使直线 平面
B．存在点 ，使平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得截面的最大面积为
【答案】B
【解析】对于A项，如图所示，取 的中点H、I，连接HI交 于G点，
此时 ，由正方体的性质可得 ， ，
平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B项，如图所示，连接 ， 为侧面 的中心，
则面 与面 和面 分别交于线PG、DH，
若存在G点使平面 平面 ，则 ，又 ，
则四边形 为平行四边形，即 ，而 ，此时 应在 延长线上，故B错误；
对于C项，随着G移动但G到面 的距离始终不变即 ，
故 是定值，即C正确；
对于D项，若 点靠C远，如图一所示，过G作 ，即截面为四边形 ，
当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，如下图，
显然当 在底面的投影为 点时，截面为四边形 面积最大，
此时 为侧面 的中心，最大值为 ，
若 靠C近时（图二），G作 ，延长 交 、 延长线于M、H，
连接MK、 交 ， 于 ，则截面为六边形 ，当截面在正方体底面上的投影面积越大，其面积就越大，
如下图，六边形 在正方体底面的投影为六边形 ，
设
所以 ，
当 时， 取得最大值.
设
则当 在底面的投影为 点时，截面为四边形 面积最大，
当 为中点时取得最大值，最大值为 ， ，D正确.
故选：B.
9．（多选题）（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知 ， 为不同的直线， ， 为
不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【解析】由题意，
A项, 设 所在平面 , , 只需 即满足题设, 故A错误；
B项，设 且 且 , 此时 ，B错误；
C项，当 ， ， 时， 可能垂直于 ，C错误；
D项，当 ， ， ，则 ，故D正确.
故选：ABC.
10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D．
【答案】ACD【解析】选项A，如图连接 ， ， ，则四边形 为平行四边形，因为 为 的中点，所以
点 是 的中点，所以 ，
又 平面 ，故 平面 ，故A正确；
选项B，若 平面 ，DD 在面BDD B 内，则 ，因为 ，所以 ，显
1 1 1
然矛盾，所以 与平面 不垂直，故B错误；
选项C，连接 ，在 中，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 为中位线，所以
，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故C正确；
选项D，由题意知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，又 ，所以
，故D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，在矩形 中， 和 交
于点 ，将 沿直线 翻折，则正确的是（ ）
A．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
D．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
【答案】ABC
【解析】对A，当 时，所以此时矩形 为正方形，则
将 沿直线 翻折，若使得面 面 时,
由 ， 面 ，面 面 ，所以 面 ,又 面 ,所以 ，故选项A正确.
对B，又 ， ，且 ，
所以 面 ，又 面 ，所以 ，故选项B正确，
对C，在矩形 中， , ，
所以将 沿直线 翻折时，总有 ，
取 ，当将 沿直线 翻折到 时，有 ，
即 ，且 ，则此时满足 平面 ，故C正确.
对D，若 平面 ，又 平面 ，则 ，
所以在 中， 为斜边，这 与相矛盾.故D不正确.
故选：ABC
12．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形 中， 、 分别为
、 的中点，且 ，现将 沿 问上翻折，使 点移到 点，则在翻折过程中，下
列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A， ， ，因此 不平行，
即不存在点 ，使得 .故A错误；
对于B，如图：取 的中点 ，连接 ， ， ， ,当 时，
因为 ，即 .则 ，
而 ， ， 平面 ，
又 分别为 ， 的中点，
即 ，于是 平面 ，而 平面 ，
则 ，故B正确；
对于C，在翻折过程中，令 与平面 所成角为 ，
则点 到平面 的距离 ，
又 的面积为 ，
因此三棱锥 的体积为： ，
当且仅当 时，即 平面 时取等号，
所以三棱锥 的体积最大值为 ，故C正确；
对于D，当三棱锥 的体积达到最大值时，
三棱锥 外接球的球心为 ，
故球的半径为1，则球的表面积为 .故D正确.
故选：BCD.
13．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知平面 ，直线 满足 ， ，则“ ”
是“ ”的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必
要”）
【答案】充分不必要条件
【解析】因为 ，且 ， ，所以 ，反过来， 时，包含 或是 或
,所以不一定垂直，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
14．（2023·贵州·校联考模拟预测）在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且
， ，则 .
【答案】2
【解析】因为 底面 ， 底面 ，所以 ，设 ，则 ， ，.故 .
故答案为：
15．（2023·广东梅州·统考三模）如图，在三棱锥 中， 是 的中点， ， 分别为线段 ，
上的动点， ， 平面 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】 8
【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以
则 ，又 ， 平面
所以 平面 ，因为 平面 ，所以
则在平面 上，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ，设
因为 ，所以直线 的方程为 ，设 ，
则
由于变量 不具有等量关系，故 时， 有最小
即当 时， 最小；
过点 作BD垂线，垂足为 ，连接 ，因为 平面 ， ， ， 平面
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
又 ， 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 ，又 ，
所以 ，由 平面 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ， ， 平面 ，
所以 ，
所以当 沿 翻转到平面 时，四边形 构成矩形，
所以 的最小值为 ，
即 的最小值为8．
故答案为：8．
16．（2023·陕西延安·校考一模）已知在正方体 中， ， 是 的中点， 是侧面
内（含边界）的动点，若 ，则 的最小值为 ．【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ，
在直角 中， ，
故 ,所以 ，
又在正方体中， 平面 平面 又 平面
，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ,则 平面 ，即 点的轨迹是线段 ，
在直角 中， ，
当 时， 最小，此时 ，
即 的最小值为 ．
故答案为：
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱 中， ， ，
，点D为AB的中点．(1)求证 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【解析】（1）在 中，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 为直角三角形，即 ，
又因为在直三棱柱 中， 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
（2）在 中，过C作 ，F为垂足，
由直三棱柱 得平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
平面 ，
所以 平面 ，
在 中， ，
又因为 ，
所以 ．
18．（2023·四川广元·校考模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ，且
的面积为6．(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
【解析】（1）面 面 ， ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，又 的面积为6，
所以三棱锥 的体积 .
（2）由题设 ，即 ，又 为锐角，
所以 ，
由 ，故 ，
所以 ，
由（1）知 面 ， 面 ，故 ，
， 面 ，故 平面 .
19．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图 ，等腰梯形 中， ，
， ， 为 中点， 为 中点.将 沿 折起到 的位置，
如图 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求点 到平面 的距离．
【解析】（1）证明：在等腰梯形 中， ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 ，
所以 为等边三角形，则 .因为 为 中点，所以 ，
在等腰梯形 中，可得 .
连接 ，在 中，由余弦定理可得 ,
则 ，所以 ，则 .
因为 、 分别是 、 中点，
所以 ，所以 ，
从而可得 ， ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ．
（2）由（1）可知， ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离.
因为 是 中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半.
取 的中点为 ，连接 .
因为 为等边三角形，所以 ，
由（1）知 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
则点 到平面 的距离为 .
因为 是等边三角形，边长为 ，故 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故点 到平面 的距离为 ．1．（2022•乙卷（文））如图，四面体 中， ， ， ， 为 的中
点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ， ，点 在 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【解析】证明：（1） ， ， ，
，
，又 为 的中点．
，
， 为 的中点．
，又 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）由（1）可知 ，
， ， 是等边三角形，边长为2，
， ， ， ，
， ，
又 ， ，
平面 ，
由（1）知 ， ，连接 ，则 ，
，
当 时， 最短，此时 的面积最小，
过点 作 于点 ，则 ， 平面 ，
，， ，
三棱锥 的体积 ．
2．（2021•乙卷（文））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
【解析】（1）证明： 底面 ， 平面 ，
，
又 ，
， ， 平面 ．
平面 ．
平面 ，
平面 平面 ；
（2）由 底面 ，
即为四棱锥 的高， 是直角三角形；
底面是矩形， ， 为 的中点，且 ．
设 ，取 的中点为 ．作 交于 ，
连接 ， ， ，
可得 ， ，
那么 ．且 ． ， ，．
是直角三角形，
根据勾股定理： ，则 ；
由 是直角三角形，
可得 ，
解得 ．
底面 的面积 ，
则四棱锥 的体积 ．
3．（2020•新课标Ⅰ）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，
为 上一点， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 ， ， ， 是底面的内接正三角形，
所以 ．
是圆锥底面的圆心，所以： ，
所以 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，
所以 ， ，
由于 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，
所以：平面 平面 ．
（2）设圆锥的底面半径为 ，圆锥的母线长为 ，
所以 ．
由于圆锥的侧面积为 ，
所以 ，整理得 ，
解得 ．
所以 ．
由于 ，解得
则： ．
4．（2020•江苏）在三棱柱 中， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中
点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．【解析】证明：（1） ， 分别是 ， 的中点．
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
5．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【解析】（1）因为 是长方体，所以 平面 ，而 平面 ，所以
，因为 是长方体，且 ，所以 是正方形，所以 ，又 ．
所以 平面 ，又因为点 ， 分别在棱 ， 上，所以 平面 ，
所以 ．
（2）取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ， ．
因为点 在 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，且 ，
又因为 在 上，且 ，所以 ，且 ，
所以 为平行四边形，
所以 ， ，即 ， ，
所以 为平行四边形，
所以 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面．
所以点 在平面 内．
6．（2019•江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．【解析】证明：（1） 在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，
， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 在直三棱柱 中， 是 的中点， ．
，
直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
，
又 ， 平面 ，
平面 ， ．
7．（2019•北京）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．【解析】证明：（Ⅰ） 四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
， ，
， 平面 ．
（Ⅱ） 在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
为 的中点， ，
， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅲ）棱 上是存在中点 ，使得 平面 ．
理由如下：取 中点 ，连结 ， ，
在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点，
， ，
， ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ．
8．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，其中 ，
， ．将其沿 ， 折起使得 与 重合，连结 ，如图2．（1）证明：图2中的 ， ， ， 四点共面，且平面 平面 ；
（2）求图2中的四边形 的面积．
【解析】（1）证明：由已知可得 ， ，即有 ，
则 ， 确定一个平面，从而 ， ， ， 四点共面；
由四边形 为矩形，可得 ，
由 为直角三角形，可得 ，
又 ，可得 平面 ，
平面 ，可得平面 平面 ；
（2）连接 ， ，
由 平面 ，可得 ，
在 中， ， ，可得 ，
可得 ，
在 中， ， ， ，
可得 ，即有 ，
则平行四边形 的面积为 ．
9．（2018•江苏）在平行六面体 中， ， ．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．【解析】证明：（1）平行六面体 中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以
，
， 平面 ， 平面 平面 ；
（2）在平行六面体 中， ， 四边形 是菱形， ．
在平行六面体 中， ， ．
面 ，且 平面 平面 平面 ．
