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专题 37 随机事件的概率、古典概型与几何概型
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.随机事件与样本空间：首先，我们要明确什么是随机事件，样本空间又是什么。随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；而样本空间则是所有可能结果组成的集
合;
2.古典概型与概率的古典定义：在古典概型中，每个基本事件发生的可能性完全相同。古典
概型的概率定义为事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数;
3.几何概型与等可能事件的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面
积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概
型的特点是无限性和等可能性;
【备考策略】1.理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.了解两个互斥事件的概率加法公式.
4.理解古典概型及其概率计算公式.
5.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.
6.掌握概率的基本性质.
【命题预测】1.概率论与数理统计的内容十分广泛，包括了古典概型、几何概型、随机变量的分布等;
2.命题可能会涉及到互斥事件、对立事件的概率求法，古典概型的概率公式的应用，或者几
何概型的等可能事件的概念等;
3.通过对整个学科的深入理解和掌握，以及对历年真题的解析来推断;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识讲解
一、样本点的样本空间
定义 字母表示
我们把随机试验 的 每个
样本
可能的基本结果 称为样本 用 ω 表示样本点
点
点
样本 全体样本点的集合称为试验
用 Ω 表示样本空间
空间 的样本空间
若一个随机试验有 个可能
有限
结果 , ,…, ,则称样本
样本
空间 空间 为
有限样本空间
二、三种事件的定义
我们将样本空间 的 子集 称为随机事件,简称事件,并把只包含 一个 样本点的事件称为基
随机
事件
本事件.随机事件一般用大写字母 , , ,…表示.在每次试验中,当且仅当 中某个样本点出现时,
称为事件 发生
必然 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以 总会发生,我们
事件
称 为必然事件
不可
能 空集⌀ 不包含 任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件
事件
三、事件的关系和运算
事件的关系和运
含义 符号表示
算
发生导致
包含
发生
相等关系 且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与 至少有
并事件(和事件) A ∪ B 或 A+ B
一个发生
与 同时发
交事件(积事件) A ∩ B 或 A B
生
与 不能同
互斥(互不相容) A ∩ B = ⌀
时发生
与 有且仅
互为对立 A∩B=⌀,A∪B=Ω
有一个发生
四、频率的稳定性
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐渐稳定于
事件 发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率 估计概率
.
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件 的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时 , 要用到概率加法公式的推广 ,即
.
1.判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;
二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
2.不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
(1)结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果,必须首先明确试验中的条件.
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有可能的结果,可应用画树状图、列表等方法解决.
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一
个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
(1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率求和公
式计算.
(2)间接求解法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 ,即运用逆向思维(正难则反).特
别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法就显得较简便.
五、古典概型
具有以下特征的试验叫作古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有 有限个 ;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性 相等 .
六、古典概型的概率公式
一般地,设试验 是古典概型,样本空间 包含 个样本点,事件 包含其中的 个样本点,则定义事件
的概率 .
其中, 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】七、几何概型
1、定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的
概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
2、特点：
(1)试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等
八、概率的性质
性质1:对任意的事件 ,都有 .
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即 , (⌀) .
性质3:如果事件 与事件 互斥,那么 P ( A ) + P ( B ) .
性质4:如果事件 与事件 互为对立事件,那么 , 1 - P ( B ) .
性质5:如果 ,那么 ,由该性质可得,对于任意事件 ,因为⌀⊆ ⊆ ,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设 , 是一个随机试验中的两个事件,有 .
概率的一般加法公式 中,易忽视只有当 ⌀,即 , 互斥时,
,此时 .
1.古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数 ;
(2)求出事件 包含的所有基本事件的个数 ;
(3)代入公式 求解.
2.基本事件个数的确定方法有列举法,树状图法,排列组合法等.
1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
2.求互斥事件的概率可以将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概
率公式计算,也可以先求此事件的对立事件的概率,再用公式 求出所求概率.
解决古典概型与几何图形、函数(方程)、解析几何的交汇问题,其关键是利用几何图形中的位置关系转
化为概率模型,利用函数的性质、方程根的存在性化为不等式组的解的情况,找到满足解析几何中图形的代数
关系,通过列举法找到满足条件的情况,再按照求古典概型的步骤求解.
考点一、随机事件与样本空间
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））从分别写有 的 张卡片中
随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），
（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
2．已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取 ，则 是必然事件；
②若任取 ，则 是不可能事件；
③若任取 ，则 是随机事件；
④若任取 ，则 是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合
A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取 ，则 是必然事件，故①正确；
对于②：任取 ，则 是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取 ，则 是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取 ，则 是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.
【详解】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；
4．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35-50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）
A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
【答案】D
【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.
【详解】A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；
B.该教职工具有研究生学历的概率 ，故错误；
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率 ，故错误；
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率 ，故正确.
【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
1．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生
分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设三位同学分别为 ，他们的学号分别为 ，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如 表示 同学拿到 号， 同学拿到 号， 同学拿到 号.
三人可能拿到的卡片结果为： ，共6种，
其中满足题意的结果有 ，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： .
【点睛】方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
2．（2023届河南省模拟理科数学试题）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫
猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大
定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年
取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随
机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.
【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，
随机选取两个不同的数，基本事件总数 ，
其和为奇数包含的基本事件有： ，共6个，所以 .
3．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是
（ ）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【答案】C
【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．
【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白
1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；
事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．
4．考虑掷硬币试验，设事件 “正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D.
【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率 ，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹
谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
【答案】C
【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果.
【详解】样本中夹谷的比例为 ，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为 （石）.
考点二 、 事件的关系 及 运算
1．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 为“向上的点数为1或4”，事件 为“向上的点数为奇数”，则
下列说法正确的是（ ）
A． 与 互斥 B． 与 对立
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件 ，然后计算概率．
【详解】 与 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，
事件 表示向上点数为 之一，∴ ．
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是
解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，
如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的
事件的概率不能用概率相加，本题 ．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件 发生的概率为 ，则
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
【答案】B
【分析】由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.
【详解】解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件 发生的概率为 ，则 ，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙和甲抽到有奖奖券的可能性都为 ，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基
础题.
3．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两
次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件 为
“第一次记录的数字为奇数”，事件 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与事件 是对立事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A，事件 与事件 是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，对于事件 与事件 ， ,事件 与事件 是相互独立事件,故B错误；
对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有 种，
其中，事件 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有 种，所以 ，
因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D，事件 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故 ，故
D错误.
4．（2023年山东省模拟数学试题）已知P（B）=0.3， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得 ，即可求解 .
【详解】由全概率公式可得：
可得 ，解得： .则 .
1．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件 “取出的两球同色”，事件
“取出的2球中至少有一个黄球”，事件 “取出的2球至少有一个白球”，事件 “取出的2球
不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，计算 判断A，B，D；分析事件 与 所含事件判断C作答.
【详解】依题意， ， ，而 ，A不正确；
， ，B不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】事件 是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件 是含有1个白球与没有白球的两个互斥
事件和，
事件 是必然事件，因此 ，C正确；
因 ， ，则 ，即D不正确.
2．（2023届上海市模拟数学试题）已知事件A与事件B互斥，如果 ， ，那么
．
【答案】0.2/
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意 ．
3．下列说法正确的是（ ）
A．从装有 个红球和 个白球的口袋内任取 个球，记事件 为“恰有 个白球”，事件 为恰有 个
白球”，则 与 互斥
B．甲､乙二人比赛，甲胜的概率为 ，则比赛 场，甲胜 场
C．随机试验的频率与概率相等
D．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 为“向上的点数为 或 ”，事件 为“向上的点数为奇数”，
则 与 对立
【答案】A
【分析】直接利用互斥事件和对立事件，频率和概率的关系的应用判断 、 、 、 的结论．
【详解】解：对于 ：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记事件 为“恰有1个白球”，
事件 为恰有2个白球”，则 与 互斥，故 正确；
对于 ：甲、乙二人比赛，甲胜的概率为 ，并不是说比赛5场，甲胜3场，故 错误；
对于 ：随机试验可以用频率估计概率，并不是说频率和概率相等，故 错误；
对于 ：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 为“向上的点数为1或4”，事件 为“向上的点数为奇
数”，则 与 不对立，故 错误．
考点 三 、互斥与对立事件的概率计算
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023届四川省模拟数学（文科）试题）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点
数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示
“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为： ,事件2可表示为： ,
事件3可表示为： ,事件4可表示为： ,
因为 ，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为 为不可能事件， 为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为 ，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为 为不可能事件， 不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
2．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑，
对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不
是互斥事件，不符合题意；
对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
3．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是
（ ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事
件
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；
利用条件概率的求法计算，即可判断D.
【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，
事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，
所以 ，故A错误；
B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，
是互斥但不对立事件，故B错误；
C：3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
其中只有一个男孩的概率为： ，故C错误；
D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，
，所以 ，故D正确.
1．（2023年湖北省联考数学试题）某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事
件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（ ）
A．是对立事件 B．都是必然事件
C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件
【答案】C
【分析】根据两个事件的关系可得正确的选项.
【详解】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误.
事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女.
“至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女.
故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．对于一个古典概型的样本空间 和事件A，B，C，D，其中 ， ， ，
， ， ， ， ，则（ ）
A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥 D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据 的关系判断
事件是否独立.
【详解】由 ， ， ，即 ，故A、B互斥，A错误；
由 ，A、D互斥且对立，B错误；
又 ， ，则 ，C与D不互斥，C错误；
由 ， ， ，
所以 ，即A与C相互独立，D正确.
3．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、
大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰
球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事
件 “甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件 “甲乙两人所选课程完全不同”，事件 “甲乙两
人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A、B，再根据古典概型的概率公式求出 、 、
、 、 ，根据相互独立事件的定义判断C、D；
【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故 与 互斥不对立， 与 不互斥，
所以 ， ，
且 ， ，
所以 ， ，
即 与 相互独立， 与 不相互独立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点 四、古典概型
1．（2023届河南省适应性考试理科数学试题）安排 ， ， ， ， 五名志愿者到甲，乙两个福利院
做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则 ， 被安排在不同的福利院的概率为 ．
【答案】
【分析】分1人,4人和2人，3人两种情况安排到两个福利院，再分析 在4人组，3人组，2人组三种
情况得到在同一福利院的分法，利用对立事件的概率求解即可.
【详解】5人分配到2个福利院有1,4和3,2两种分组方法，共有 种分法，
其中 ， 被安排在同一组在同一福利院有 种，
所以 ， 被安排在不同的福利院的概率为 .
2．为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今
年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至
少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，
所以每所高校共有 种选择，
所以甲、乙两所高校共有 种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有 种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为 .
3．（2023届云南省模拟数学试题）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花
园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】方法一：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小
树高为事件A．
则6必在后排，1在前排，
因此，分为1-6相对和1-6不对两种情况（相对的意思是前后相邻），
（1）1-6相对：5必在后排，2必在前排，
因此，又可分为2-5相对和2-5不对两种情况，
①2-5相对时，3-4相对且4在后排，所以有 种情况；
②2-5不对，有 种情况．
（2）1-6不对：可分为5在前排和5在后排两种情况，
（ⅰ）5在前排，则5-6相对且4在后排，又可分为1-4相对和1-4不对两种情况，
1-4相对：有 种；
1-4不对：有 种．
（ⅱ）5在后排，又可分为1-5相对和1-5不对两种情况，
①1-5相对：2必在前排，又分为2-6相对和2-6不对两种，
2-6相对：有 种；
2-6不对：有 种．
②1-5不对，有 种．
所以 .
方法二：将设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为
事件A，所以，
.
【点睛】本题的解题关键是合理分类，首先根据题意知6必在后排，1必在前排，所以根据1，6的位置关
系分为两种情况，接下来就是根据每种情况，把能定下来的位置先定下来，不能定的就继续分类讨论，直
至求出所有适合的基本事件个数．两个计数原理在解题时发挥了关键作用．
不放回问题
4．一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，
求：
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取三次，第三次才取得一等品的概率．
【答案】(1) ；(2) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据全概率计算公式，计算出所求答案.
【详解】（1）令 为第i(i=1，2，3)次取得一等品．
（1） ．
（2） ．
有放回问题
5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回
的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球
的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
1．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若
他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．
（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得.
【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为 种，4个人恰好分配到4个学校的情况为 种，所以
4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有 种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023年慕华优策联考理科数学试题）学校高一年级从6个班各自选出2名同学参加市里组织的朗读
比赛.若从这12名同学选出6人参加决赛，其中预赛成绩优秀的一（1）班甲和一（2）班乙两名同学必须
参加，其余任选，则这6人恰好仅有两名同学来自相同班级的概率为 .
【答案】
【分析】在余下的10人中任选4人作为基本事件总数 ，仅有两名同学来自相同班级可分为：来自一
（1）班或一（2）班或余下的四个班中的一个班.
【详解】12名同学中选6人，其中2人必须参加，即在余下的10人中任选4人，所以基本事件总数为
，
余下4人中如有一人来自一（1）班或一（2）班选法有 种，
余下4人均来自余下的四个班选法有 种，故所求概率为 .
3．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同
学7步登完楼梯的概率为 .
【答案】
【分析】由题意可分为 步、 步、 步、 步、 步、 步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再
利用古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：由题意可分为 步、 步、 步、 步、 步、 步共6种情况，
① 步：即 步两阶，有 种；② 步：即 步两阶与 步一阶，有 种；
③ 步：即 步两阶与 步一阶，有 种；④ 步：即 步两阶与 步一阶，有 种；
⑤ 步：即 步两阶与 步一阶，有 种；⑥ 步：即 步一阶，有 种；
综上可得一共有 种情况，满足7步登完楼梯的有 种；
故7步登完楼梯的概率为
4．（2023年湖北省模拟数学试题）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有
一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求甲取到白球的概率．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）利用古典概型的概率公式运算即可得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）利用离散型随机变量的分布列分析运算即可得解.
【详解】（1）设袋中原有 个白球，
由题意知， ，
可解得： 或 （舍去），即袋中原有3个白球．
（2）由题意， 的可能取值为 .
，
，
，
，
，
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件 ，
则 .
考点 五 、几何概型
1．如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也
称“赵爽弦图”.若直角三角形中较大锐角的正弦值为 ，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正
方形内的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /0.2
【分析】本题属于几何概型，分别求出面积，即可求概率.
【详解】设直角三角形中较大锐角为 ，则 ，所以
设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为 ， .故小正方形边长为
，面积为 .而大正方形的面积为1，故所求概率为 .
2．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他
们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为 ．
【答案】
【分析】将甲、乙到达时间设为 （以 为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足： 画出
图像，根据几何概型公式得到答案.
【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为 （以 为0时刻，单位为分钟）
则相见需要满足： 画出图像：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据几何概型公式：
【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.
3．对称性是数学美的重要征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德
国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影
区域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已
知恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是 ．
【答案】
【分析】先明确是几何概型中的面积类型，通过试验求得概率，
再求得正方形面积，再由几何概型概率公式建立方程求解.
【详解】由题意可知，正方形面积为 ，
设图中对称蝴蝶的面积为 ，则
即 ，
所以可估计图中对称蝴蝶的面积是 .
1．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，
我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实
数对 ，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对 的个数m，最后再根据m来估计 的值．
假如统计结果是 ，那么 的估计值为 ．
【答案】3.2
【分析】 表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对 表示的点构
成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．
【详解】 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形 （不含边界），x、y两数能与1构成钝角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三角形满足条件 ， 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），
因此所求概率为 ，估计 ．
2．甲订了一份报纸，送报人可能在早上 之间把报纸送到甲家，而甲取报纸的时间在早上
之间，则甲能得到报纸的概率为 .
【答案】
【分析】求出全部结果所构成的区域以及甲能看到报纸构成的区域，由面积之比可得.
【详解】设送报人到达的时间为 ，甲取报纸的时间为 ，
记甲能得到报纸为事件 ， 可以看成是平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为 ，
这是一个正方形区域，面积 ，
事件 所构成的区域为 ， .
所以 .
3．（2023届四川省诊断性考试数学（文）试题）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如
图所示，三个半圆的圆心分别为 ， ， ，半径分别为 ， ， （其中 ），在半圆О内随
机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为 ，则 .
【答案】 /
【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】解：阴影部分面积为：
由图可知： ，所以
则 ，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为 ，
所以 ，
，即 ，则
解得： ，因为 ，所以 .
4．（2023届四川省模拟文科数学试题）四叶草也被称为幸运草、幸福图，其形状被广泛用于窗户、壁纸、
地板等装修材料的图案中．如图所示，正方形地板上的四叶草图边界所在的半圆都以正方形的边长为直径．
随机抛掷一粒小豆在这块正方形地板上，则小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为 ．
【答案】
【分析】求出图中阴影部分的面积，利用几何概型公式求解即可．
【详解】不妨设正方形的边长为2个单位，则图中阴影部分的面积为两个圆（半径为1）的面积减去一个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】正方形（边长为2）的面积，即 ，
根据几何概型，小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为 ．
5．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，
说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来
氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取
一点，则该点落在黑色区域的概率为 .
【答案】
【解析】设大圆面积为 ，小圆面积 ，求得 ， ，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，
即可求解.
【详解】设大圆面积为 ，小圆面积 ，则 ， ，
可得黑色区域的面积为 ，
所以落在黑色区域的概率为 .
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件
对应的“几何度量 ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量 ”，然后根据 求解，着重
考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
考点 六、 概 率的基本性质
1．（2023届陕西省模拟理科数学试题）某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 ，乙队和丙队答对该题的概率都是 .若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞
赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
.
2．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，
且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3
局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为 ，∴所求概率为 .
3．甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各
自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，
则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据取球规则分析得到两次取球后甲的袋子中有6个球时，两次取球均为同色，然后分第一次
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取球甲、乙都取到红球和白球两种情况求解即可.
【详解】由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为 ，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，
乙的袋子中有1个红球和2个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 ，
故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为 .同理，第一次取球甲、
乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为 .
故所求概率为 .
4．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小
质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球
和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个
数是（ ）
①事件 与 相互独立；
② ， ， 是两两互斥的事件；
③ ；
④ ；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先判断出 ， ， 是两两互斥的事件，且不满足 ，①错误，②正确，
用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然， ， ， 是两两互斥的事件，且
， ，而 ，①错误，②正确；
， ，所以 ，③正确；
④正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
1．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，
则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648
【答案】D
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，
然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为 ，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为 .
2．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时
投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响．则投篮结
束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互
斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.
【详解】设 ， 分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则 ， ，（ ，2），记
“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．
则
3．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为 、 ，
两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（ ）．
A．两人均获得满分的概率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
【答案】A
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定
【详解】解：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为 、 ，
两人能否获得满分相互独立，分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，
则 ， ，M，N相互独立，
∴两人均获得满分的概率为 ，故A正确；
两人至少一人获得满分的概率为 ，故B错
误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为 ，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为 ，故D错误．
4．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，
乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个
球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．考虑第一次
取球甲、乙都取到红球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二
次取同色球分为取到红球或取到白球，分别求出其概率，即可求出答案.
【详解】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为 ，
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 ，
故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，
盒子A有8个球的概率为 ，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，
盒子A中有8个球的概率为 ，所以两次取球后，
盒子A中恰有8个球的概率是 ．
考点 七、概率 的综合 应用
1．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常
工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为 ，则在该集成块能够正常工作的情况
下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】记事件 为该集成块能够正常工作，事件 为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率
公式得 ，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：记事件 为该集成块能够正常工作，事件 为仅有一个元件出现故障，
则 为该集成块不能正常工作，
所以 ， ，所以
2．（2023届河北衡水中学模拟检测数学试题）甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；
若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、
乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
【答案】
【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输
赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】分两种情况讨论：
（1）第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，
所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为 ；
（2）第一局乙胜，第二局甲胜：
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为 ，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ，
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为 ，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ，
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为 .
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为 .
3．（2023年四川省模拟理科数学试题）小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E
处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口
汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口
除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据组合知识结合古典概型概率公式及条件概率的求法逐项分析即得.
【详解】小明到养老院能选择的最短路径条数为 条；
小明到F的最短路径走法有 条，再从F到养老院的最短路径有 条，小明经过F到养老院能选
择的最短路径条数为 条，
所以 ，故（1）正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】小明从H到养老院的最短路径有 条，即 ，
从H到F的最短路径有 条，从F到养老院的最短路径有3条，即 ，所以
，故（2）正确；
又 ，
所以 ，故（3）正确．
4．中国古塔矗立在大江南北，为城市山林增光添彩，被誉为中国古代杰出的高层建筑.如图是位于陕西省
西安市的大慈恩寺大雁塔，其塔身为四边形，底面边长为a米.现一游人站在距离塔底中心a米的圆周上任
取一点观看，则他能同时看到塔的两个侧面（即图2中的正方形的两边）的概率为 .
【答案】
【分析】由条件确定他能同时看见两个侧面的区域，利用几何概率模型的公式求其概率.
【详解】当他站在圆弧 位置时，能同时看到 两边，同理可得当他站在圆弧 时都
能看到两个边，又 ， ， ， 都是等边三角形，所以圆弧
对应的区域的总长度为 ，即 ，又圆的周长为 ，所以他能同时看到塔的两个侧面的概
率 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023届云南省教学质量检测数学试题）一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2
名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为 ．
【答案】
【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条
件概率公式求概率.
【详解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，
所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为 ，
而 ， ，故 .
2．（2023年上海市模拟数学试题）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中
恰有1名女生的概率为 ，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生
的左右相对顺序固定，则共有 种不同的站队方法.
【答案】25200
【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.
【详解】设10名学生中，有女生 人，男生 人，
则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率 ，
整理得： ，即
因式分解可得： ，
解得： 或 （舍去）或 （舍去）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以10名学生中，有女生6人，男生4人，
将6名女生排成一排有 种方法，再将4名男生插到7个空中有 种方法，
因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有 种方法，
所以一共有 .
3．（2023届四川省适应性考试（二诊）理科数学试题）在二项式 的展开式中，二项式的系
数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有
理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为 ，所以 .
则 即 ，通项公式为 ，
故展开式共有9项，当 时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有 种,
故有理项都互不相邻的概率为 .
4．（2023年四川省模拟考试理科数学试题）如图，将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧
围成星形放在圆内（阴影部分）.现在往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为
.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求得图中阴影部分面积，根据几何概型的概率公式求得点落在星形区域内的概率，即可求得落在
星形区域内的豆子数.
【详解】将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）,
即将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为 平方分米,
则阴影部分的面积为 平方分米,
圆的面积为 平方分米，
∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为︰ ，
故往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．（2023年浙江省宁模拟数学试题）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回
地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列
说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意可知，事件 和事件 可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件 和事件 不相互独立，故B正确；
事件 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件 与事件 为对立事件，故D错.
2．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，
并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次
向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则 ，
A不正确；
事件B含有的基本事件有8个： ，
其中事件 发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个， ，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
3．甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中
任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为 ，
4．某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一 第三
第二组 合计
组 组
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 125 176 369
命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（ ）
A．0.68 B．0.625 C．0.587 D．0.615
【答案】D
【分析】由频率和概率的关系求解.
【详解】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．
5．坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用 表示“第一次取得白
球”， 表示“第二次取得白球”，则 和 是（ ）
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案.
【详解】设白球编号为 ，黑球的编号为 ，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有 ， ,
，所以 和 是不相互独立的事件.
基本事件包括“第 次取到白球，第 次取到白球”，即 和 可以同时发生，
所以 和 不是互斥，也不是对立事件.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对
立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，
白），所以两个事件不互斥，故D错误.
7．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，
象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，
则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【详解】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或
乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
8．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞
赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小
组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为 ， ．若 ， ，
则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法
公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的
1题有先后之分，
所以所求概率为 .
9．盒中有 个质地，形状完全相同的小球，其中 个红球， 个绿球， 个黄球；现从盒中随机取球，每次
取 个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 .
【答案】
【分析】分别计算“第一次取到红球”的概率和“第一次取到绿球，第二次取到红球”的概率后相加即可.
【详解】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”
记事件 表示第一次取到红球， 表示第二次取到红球， 表示第一次取到绿球，
则 ， ，
∴没有取到黄球的概率为 .
10．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业
取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试
验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务
则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，
每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率
加法公式计算作答.
【详解】试验任务成功的事件 是甲成功的事件 ，甲不成功乙成功的事件 ，甲乙都不成功丙成立
的事件 的和，
事件 ， ， 互斥， ， ， ，
所以试验任务成功的概率 .
11．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持
递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，
则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共 个，前3个数字保持递减，后3个数
字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余
两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有 个，
所以所求的概率 ．
12．屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作
者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵
读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，
周三不读《离骚》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率
【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为 .
13．某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四
名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择
参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据排列组合知识计算出事件发生的种类数，再利用古典概型的概率公式求出概率.
【详解】每人有 种选择，四人共有 种选择，
其中恰有两人参加同一项活动共有 种选择，
所以四人中恰有两人参加同一项活动的概率为： .
14．若随机事件 、 互斥， 、 发生的概率均不等于0，且分别为 ， ，则实
数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值
范围.
【详解】因为随机事件 、 互斥， 、 发生的概率均不等于0，所以有：
，即 ，解得 ，故答案为： .
15．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件 表示 “不
大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件利用古典概率公式求出事件 和 的概率即可计算作答.
【详解】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件 有2个结果，事件
有3结果，
于是有 ， ，而事件 和 是互斥的，则 ，
所以事件 的概率为 .
16．（2020年天津市高考数学试题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
17．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是 ，选中两人都是女生的概率
是 ，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ．
【答案】
【分析】记“选中两人都是男生”为事件 ，“选中两人都是女生”为事件 ，“选中两人中恰有一人是
女生”为事件 ，根据 为互斥事件， 与 为对立事件，从而可求出答案.
【详解】记“选中两人都是男生”为事件 ，“选中两人都是女生”为事件 ，“选中两人中恰有一人是
女生”为事件 ，易知 为互斥事件， 与 为对立事件，
又 ，
所以 .
18．第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，
其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮
票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票
又有“雪容融”邮票的概率为 .
【答案】
【分析】既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票包括1张“冰墩墩”和2张“雪容融”、 2张“冰墩
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】墩”和1张“雪容融”、 1张“冰墩墩”和1张“雪容融”和1张其他，
再按照古典概型求解即可.
【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有 种，有2张“冰墩
墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有 种，
有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有 种，
3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为 .
19．（2023届江西省联考数学（文）试题）鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长
为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相
同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径 （等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保
持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上
钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔
洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为
.
【答案】
【分析】设正方形的边长为 ，求出鲁洛克斯三角形面积，再利用几何概型求解.
【详解】解：设正方形的边长为 ，鲁洛克斯三角形由三个弓形与正三角形组成，
其面积为 ，
故所求概率 .
20．已知圆的半径为2，在圆 内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为
.
【答案】 或0.25
【分析】考查几何概型，求出符合要求的点 M运动范围，比上圆的面积
【详解】若过点 的最短弦长为 ，则 ，当点 M在以 为圆心，半径为1的圆内时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 M 的所有弦的长度都大于 ，大圆面积为 ，符合要求的圆面积为 ，所以概率 .
21．寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆
门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的
人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是 ．
【答案】
【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.
【详解】设小明到达的时刻为8时x分，小强到达的时刻为8时y分，其中 ，
则当|x-y|≤10时，两人能够在图书馆门口会合.
如图所示：两人到达时刻（x，y）构成正方形区域，记面积为S,
而事件A：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S
1
所以 .
【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概
型；
（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比.
22．在 上随机地取一个数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生的概率为
．
【答案】
【详解】试题分析：直线y=kx与圆 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得 ，而 ，所以所求概率P= .
【考点】直线与圆位置关系；几何概型
【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的
显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.
【能力提升】
1．（2023届上海市模拟数学试题）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件
M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ．
①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥； ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥； ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．
【答案】②③④
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应
的样本空间判断③④作答.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为 (男,男),(男,女),(女,男),(女,女) ，
(男,女),(女,男) (男,男),(男,女),(女,男) ， (男,女),(女,男) ，
则M与N不互斥，①错误；
， ， ，则 ，所以M与N不相互独立，②正确；
若该家庭中有三个小孩，
样本空间为 (男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女) ，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男) ，
(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男) ，
(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男) ，则M与N不互斥，③正确；
， ， ，于是 ，所以M与N相互独立，④正确．
所以说法正确的是②③④.
2．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的
球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有 ．
①A与C互斥；② ；③A与D相互独立；④B与C相互独立．
【答案】①③
【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件 和事件 的样本点，可求得 ， ，易知
， ，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.
【详解】因为 与 不可能同时发生，所以 与 互斥，故①正确；
包含： ， ， ， ， ，共5个基本事件， 包含： ， ， ， ，
， ，共6个基本事件，
故 ， ， ， ，
则 ，故③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故④错误；
，故②错误；
故答案为：①③
3．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因
中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO
为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等
可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突
变，则小明是A型血的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.
【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概
率分别为 ，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为 ，
此时小明是A型血的概率为 ，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为 ，此时小明是A型血
的概率为 ，
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为 ，即C正确.
4．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”
在两轮活动中猜对3个成语的概率为 .
【答案】
【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”
的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：设 分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件, 分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的
事件.根据独立事件的性质,可得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则 ,且 与 互斥, 与 , 与 分别相互独
立,
所以
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 .
5．（2023届广东省教学质量检测（一）数学试题）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与
计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子
女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可
能的，记事件 ：该家庭既有男孩又有女孩；事件 ：该家庭最多有一个男孩；事件 ：该家庭最多有一
个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 互斥但不对立 B．事件 与事件 互斥且对立
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
【答案】D
【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，
男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件 ={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A， ,且 ，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B， {(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件 与事件 不互斥，故B不正确；
对于C，事件 有4个样本点，事件 有4个样本点，事件 有0个样本点，
，显然有 ，即事件 与事件 不相互独立，故C
不正确；
对于D，事件 有6个样本点，事件 有4个样本点，事件 有3个样本点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，显然有 ，即事件 与事件 相互独立，故D正
确；
6．（2023届山东省模拟数学试题）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3
个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用 分别表示甲袋
取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A． 两两不互斥 B．
C． 与B是相互独立事件 D．
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定
义判断，对于D，由 求解
【详解】对于A，由题意可知 ， ， 不可能同时发生，
所以 ， ， 两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得 ，
所以 ，所以B正确；
对于C，因为 ， ，
，
所以 ，所以 与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五
个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是
两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是
两两一对，都拿到对方的情况，由 种情况，综上：共有 种情况，而五人抽五个
礼物总数为 种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为 .
8．下列命题中正确的是（ ）
A．事件 发生的概率 等于事件 发生的频率
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是 ，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件 为“两枚都是正面朝
上”，则
D．对于两个事件 、 ，若 ，则事件 与事件 互斥
【答案】C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典
概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是 ，表示一次实验发生的可
能性是 ，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得 ， ，故 ，故C选项
正确；
对于D选项，设 ，A事件表示从 中任取一个数 ，使得 的事件，则 ，B事
件表示从 中任取一个数 ，使得 的事件，则 ，显然
，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的
举反例求解即可.
9．（2023届吉林省联合模拟考试数学试题）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 ，夏季来
的概率是 ，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查
干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三
国”景点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概
率公式即可求解.
【详解】设事件 “冬季去吉林旅游”，事件 “夏季去吉林旅游”，事件 “去了一眼望三国”，
则 ， ，
在冬季去了“一眼望三国”的概率 ，
在夏季去了“一眼望三国”的概率 ，
所以去了“一眼望三国”的概率 .
10．（2023届四川省模拟考试理科数学试题）已知 的外接圆O的半径为1， ．从圆O内随机
取一点M，若点M在 内的概率恰为 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】设 对应的边为 ，如图，根据余弦定理可得 ，由几何概型可得 ；利用余弦
定理得 ，结合完全平方公式可得 ，即可求解.
【详解】在 中，设 对应的边为 ，如图，
在圆O中，由 ，得 ，
在等腰 中， ，由余弦定理，
得 ，得 .
因为点M在 内的概率恰为 ，所以 ，
得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由余弦定理，得 ，即 ，得 ，
有 ，由 得 ，所以 的周长为 .
11．（2023年吉林省模拟考试数学试题）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行
但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放
入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从
左到右分别编号为1，2，3， ，6，用 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160
粒小球，则落入3号格的小球大约有 ．
【答案】
【分析】设 ，由题意得 ，求出 时的概率，由此能求出落入 号格的小球粒数．
【详解】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且 ，
设 ， 小球下落过程中共碰撞 次， ，
， ，1，2，3，4， ，
，故投入 粒小球，则落入 号格的小球大约有 粒．
【真题感知】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4
名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有 件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有 ，
所以这2名学生来自不同年级的概率为 .
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面
的概率为 ．
【答案】 .
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．
3．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相
互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两
盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；
该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者
进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，故2个0不相邻的概率为 .
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究
中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概
率公式求概率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共
有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，
故概率为 .
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件
的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本
事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较
多且元素数目较多的题目.
6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学试题）记函数 的定义域为 ,在区间
上随机取一个数 ，则 的概率是 ．
【答案】
【详解】由 ，即 ，得 ，根据几何概型的概率计算公式得 的概率是
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
