专题 31 抛物线及其性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】抛物线及其性质是平面几何的重要内容之一，其涉及到的知识点包括抛物线的对称轴、顶点、开口方向、交点等。在考试中，常常以选择题、填空题、证明题等形式
出现，难度中等偏上；
【备考策略】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质；
3.了解抛物线的简单应用；理解并掌握抛物线的性质；
4.熟练掌握抛物线的基本概念，如对称轴、顶点、开口方向等，这是解决问题的关键；
5.熟练掌握抛物线的方程、对称轴公式、顶点坐标公式；
【命题预测】1.抛物线的对称轴、顶点、开口方向、与坐标轴的交点等。在未来的命题中，可能会继
续对这几个基础概念进行考查；
2.抛物线的对称性、开口方向等性质是经常在题目中出现的考点。在未来的命题中，可
能会更深入地考查学生对这些性质的的理解和运用；
3.熟练掌握抛物线的方程、对称轴公式、顶点坐标公式等；
4.抛物线及其性质与一次函数、二次函数等其他内容有着密切的联系。未来的命题可能会
更加注重考查学生综合运用知识的能力；
知识讲解
一、抛物线的定义
1.平面内与一个定点 和一条定直线 的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点 叫作抛物线的
焦点,直线 叫作抛物线的 .
2.其数学表达式: ( 为点 到准线 的距离).
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程的几何意义:焦点 到准线 的距离
图形
顶点
对称轴 直线 直线
焦点
离心率
准线
方程
范围
焦半径(其中
)
1. 的焦点坐标为 ,准线方程为 .
2.如图,设 是过抛物线 的焦点 的弦,若 , ,则
(1) , .
(2)弦长 ( 为弦 的倾斜角).
(3)以弦 为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于 ,通径是过焦点最短的弦.
(5) .
1.抛物线定义的两个关键点
(1)抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等;(2)抛物线的焦点到准线的距离为 .
2.求抛物线标准方程的方法
(1)先定位:根据焦点或准线的位置.
(2)再定形:根据条件求 .
运用抛物线性质的技巧
1.利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
2.要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质,以图助解.
与抛物线有关的最值问题的求解方法
(1)定义转换法:将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,借助平面几何知识求解.
(2)平移直线法:先利用平行线之间距离最短平移直线与抛物线相切,再求两直线的距离.
(3)函数法:通过巧设点的坐标,将距离表示为关于 (参数)的二次函数形式,配方后求最值.
1.求解直线与抛物线的问题时,一般利用方程法,但当涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意
“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正
半轴上),可直接使用公式 ;若不过焦点,则可用弦长公式.
1.解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字
母等)表达、分析、解决问题.
2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线解决问题主要体现在:(1)建立平
面直角坐标系,求抛物线的标准方程;(2)利用已求方程求点的坐标.
考点一、抛物线的定义与标准方程
1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
2．对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
3．点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B． 或C． D． 或
1．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．抛物线 的准线方程是 ，则实数 .
3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
考点二、抛物线的几何性质
1．（2023年江苏省学业质量调研数学试题）抛物线 上一点 到其对称轴的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
2．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线与 两点，且 ，则
拋物线的准线方程为 .
3．（2023届江苏省二模数学试题）已知点 在抛物线 上，过 作 的准线的垂线，垂
足为 ，点 为 的焦点．若 ，点 的横坐标为 ，则
.1．已知 为坐标原点，垂直抛物线 的轴的直线与抛物线 交于 两点， ，
则 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2． 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为
A． B． C． D．
3．已知抛物线 ，以 为圆心，半径为5的圆与抛物线 交于 两点，若
，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
考点三、直线与抛物线的位置关系
1．已知直线 过抛物线 ： （ ）的焦点，且与抛物线 交于 ， 两点，若使 的直
线 有且仅有1条，则 .
2．已知直线 被抛物线 截得的弦长为 ，直线 经过 的焦点， 为 上的一
个动点，设点 的坐标为 ，则 的最小值为 ．
4．已知抛物线 的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以 为直径的圆与y轴交于
D，E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．1．已知抛物线C： ，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
2．（2023届广东省综合测试（一）数学试题）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴上，过
点 的直线交 于 两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的最大值为
（ ）
A． B． C． D．1
3．直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 （ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
4．倾斜角为135°的直线 与抛物线 相切，分别与 轴、 轴交于 、 两点，过 ， 两点的最小
圆截抛物线 的准线所得的弦长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
考点四、与抛物线有关的最值问题
1．（2023届福建省质量检测数学试题）已知 为抛物线 上的一个动点，直线 ， 为圆
上的动点，则点 到直线 的距离与 之和的最小值为 ．
2．已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B，满足 ，则弦AB的中点到C
的准线的距离的最大值是（ ）A．2 B． C． D．4
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，
过F作两条互相垂直的直线l，l，直线l 与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|
1 2 1 2
的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
4．已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ： 作切线，切点
分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
1．已知抛物线 焦点的坐标为 ，P为抛物线上的任意一点， ，则 的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
2．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）若P，Q分别是抛物线 与圆
上的点，则 的最小值为 ．
3．已知抛物线 ，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线 的
垂线，垂足为P，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
4．抛物线E： 与圆M： 交于A，B两点，圆心 ，点P为劣弧 上不同于
A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则 的周长的取值范围是.
考点五、抛物线的实际应用
1．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛
物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．
2．已知正三角形 的顶点 在抛物线 上，另一个顶点 ，则这样的正三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知抛物线 ， 为其焦点， 为其准线，过 任作一条直线交抛物线于 两点，
分别为 在 上的射影， 为 的中点，给出下列命题：
① ；② ；③ // ；
④ 与 的交点在 轴上；⑤ 与 交于原点.
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）1．（2022年《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学试题（三））已知椭圆 ： 与抛物线
： 交于 两点， 为坐标原点，若 的外接圆经过点 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， 也是抛物线
的焦点，点 是双曲线 与抛物线 的一个公共点，若 ，则双曲线 的离心率为
.
3．（2023年江苏省联合调研数学试题） 是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为 ，到圆
上动点 的距离为 ，则 的最小值为 ．【基础过关】
1．已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
2．已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点 ，当 的周长最小时，点P的
坐标为 ．
3． 是抛物线 的焦点，以 为端点的射线与抛物线相交于 ，与抛物线的准线相交于 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 ， 为坐标原点， 在 轴上方且在
双曲线上，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知拋物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，且 与 的公共弦
经过 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届贵州省联合考试数学（文）试题）已知过抛物线 的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，Q为弦 的中点，P为C上一点，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．5
7．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若 ，
则此抛物线方程为 ．
8．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过
点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若 ，则 的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
9．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线
与 交于 ， 两点．若 ，则 ．
10．已知椭圆 的焦点分别为 ， ，且 是抛物线 焦点，若P是 与
的交点，且 ，则 的值为 .
11．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．12．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知斜率存在的直线 过点 且与抛物线
交于 两点.
(1)若直线 的斜率为1， 为线段 的中点， 的纵坐标为2，求抛物线 的方程；
(2)若点 也在 轴上，且不同于点 ，直线 的斜率满足 ，求点 的坐标.
13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．14．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F
1
与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C
2 1 2 1 2
于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2【能力提升】
1．（2023届河北省调研性模拟数学试题）焦点为 的抛物线 上有一点 ， 为坐
标原点，则满足 的点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 上三点 ，直线 是圆 的两条切线，则直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中， ，⊙M： 与抛物线C： 有且仅有两个公共点，
直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则 ．
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知 是抛物线 的焦点，
是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则
．
5．已知圆 ，定点 ，动点Q满足以 为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l
与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则 的最小值为
．6．如图，已知点F为抛物线 的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为
准线l与x轴的交点，则 的面积S的取值范围为 ．
7．已知，点P是抛物线 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线C： 的焦点为F，准线l交x轴于点 ，过焦点的直线m与抛物线C交于
A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若 为等边三角形，可得直线AB的斜率为
9．（2023届湖北省调研数学试题）过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直
线 恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设 中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.10．（2023届广西模拟数学（文）试题）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与
抛物线 有两个不同交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
11．已知与圆 相切的直线l，过抛物线 的焦点F，且直线l的倾斜角为
.
(1)求抛物线E的方程；
(2)直线 与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线 对称，在 上是否存在点N，
使得以 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.【真题感知】
1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的
距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的
直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.4．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x
轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
5．（2020年北京市高考数学试题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一
点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线6．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于
点 .若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为
．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F
1
与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于
2 1 2 1 2
C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
