专题7.5空间向量的概念与运算六大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_专题7.5空间向量的概念与运算六大题型

专题 7.5 空间向量的概念与运算【六大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)............................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:15)(cid:34)(cid:41)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:27)(cid:28)....................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:27)(cid:28)................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:28)....................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:38)(cid:28)............................................................................................................................9 1(cid:51)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) (cid:25)(cid:50)(cid:59)(cid:60) (cid:61)(cid:21)(cid:62)(cid:63) (cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (1)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:69) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:94) (cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15) (cid:50)(cid:51)(cid:95)(cid:50)(cid:96)(cid:97)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) (cid:43)(cid:44)(cid:70)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) 2023(cid:84)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:85)(cid:10)(cid:86)18(cid:21)(cid:69) (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:45)(cid:98).(cid:99)(cid:100)(cid:91) (cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:68)(cid:43)(cid:44)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:77) 12(cid:65) (cid:84)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:58) (2)(cid:72)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36) 2024(cid:84)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:10)(cid:86) 15(cid:21)(cid:69)5 (cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:69)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:111)(cid:21)(cid:51)(cid:112)(cid:30) (cid:37)(cid:38)(cid:43)(cid:44)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:77)(cid:69)(cid:72)(cid:73) (cid:65) (cid:21)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:25)(cid:104)(cid:69)(cid:115)(cid:59)(cid:116)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:54) (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:51)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:58)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40) (cid:55)(cid:76)(cid:77)(cid:69)(cid:78)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33) (cid:15)(cid:117)(cid:69)(cid:118)(cid:119)(cid:107)(cid:120). (cid:42)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:35)(cid:81)(cid:82)(cid:83) (cid:22)(cid:121)(cid:122)(cid:50)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:3)(cid:56)(cid:57)(cid:28) 1(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:57) (1)(cid:40)(cid:71)(cid:10)(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:126)(cid:123)(cid:127)(cid:128)(cid:81)(cid:129)(cid:32)(cid:34)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:124) (2)(cid:132)(cid:119)(cid:133)(cid:134)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:127)(cid:128)(cid:124) (3)(cid:76)(cid:77)(cid:129)(cid:135)(cid:10) (cid:136)(cid:91)(cid:92)(cid:76)(cid:77)(cid:135)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:123)(cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:76)(cid:77)(cid:138) (cid:150) (cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:77)(cid:135)(cid:10)(cid:27)(cid:140)(cid:141)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:69)…(cid:76)(cid:77)(cid:138)(cid:143)(cid:32)(cid:33)a(cid:34)(cid:144)(cid:50)(cid:93)A(cid:69)(cid:145)(cid:50)(cid:93)B(cid:69)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)AB(cid:69)(cid:44)(cid:134)(cid:148)(cid:151)|a| (cid:150) (cid:133)|AB|.(4)(cid:91)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:155)(cid:156) (cid:40)(cid:71)(cid:43)(cid:76)(cid:77) (cid:157)(cid:32)(cid:33) (cid:132)(cid:119)(cid:151)0(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:157)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:148)(cid:151)0 (cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33) (cid:134)(cid:151)1(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:156)(cid:151)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33) (cid:58)(cid:32)(cid:33)a(cid:132)(cid:119)(cid:105)(cid:117)(cid:161)(cid:129)(cid:32)(cid:105)(cid:160)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:156)(cid:151)a(cid:34)(cid:105)(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:148)(cid:151) (cid:162) (cid:105)(cid:160)(cid:32)(cid:33) a (cid:165)(cid:166)(cid:76)(cid:77)(cid:143)(cid:167)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:168)(cid:125)(cid:34)(cid:83)(cid:35)(cid:169)(cid:105)(cid:163)(cid:164)(cid:133)(cid:94)(cid:170)(cid:69)(cid:171)(cid:172) (cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33) (cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:33)(cid:130)(cid:131)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:133)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:124)(cid:175)(cid:40)(cid:10)(cid:106)(cid:176)(cid:177)(cid:70)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)(cid:178)(cid:123) ((cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33)) 0(cid:179)a (cid:105)(cid:117)(cid:32)(cid:33) (cid:129)(cid:32)(cid:105)(cid:180)(cid:181)(cid:134)(cid:105)(cid:117)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:156)(cid:151)(cid:105)(cid:117)(cid:32)(cid:33) (cid:22)(cid:121)(cid:122)(cid:50)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28) 1(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:150) (cid:150) (cid:150) (cid:182)(cid:135) a(cid:183)b(cid:184)OA(cid:183) AB (cid:184)OB (cid:150) (cid:150) (cid:150) (cid:185)(cid:135) a(cid:162)b(cid:184)OA(cid:162)OC(cid:184)CA (cid:30)(cid:31)(cid:32) (cid:33)(cid:34)(cid:35) (cid:150) (cid:150) (cid:187)λ>0(cid:188)(cid:69)λa(cid:184)λO A(cid:184)P Q(cid:138) (cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:13)(cid:186) (cid:150) (cid:150) (cid:187)λ<0(cid:188)(cid:69)λa(cid:184)λO A(cid:184)M N(cid:138) (cid:187)λ(cid:184)0(cid:188)(cid:69)λa(cid:184)0 (cid:75)(cid:190)(cid:189)(cid:10)a(cid:183)b(cid:184)b(cid:183)a(cid:138) (cid:37)(cid:38)(cid:189) (cid:191)(cid:170)(cid:189)(cid:10)a(cid:183)(b(cid:183)c)(cid:184)(a(cid:183)b)(cid:183)c(cid:69)λ(μa)(cid:184)(λμ)a(cid:138) (cid:65)(cid:192)(cid:189)(cid:10)(λ(cid:183)μ)a(cid:184)λa(cid:183)μa(cid:69)λ(a(cid:183)b)(cid:184)λa(cid:183)λb. 2(cid:124)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:15) (1)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:15) (cid:106)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:177)(cid:70)(cid:193)(cid:194)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(b≠0)(cid:69)a b(cid:34)(cid:195)(cid:59)(cid:196)(cid:197)(cid:93)(cid:198)(cid:125)(cid:199)(cid:13)λ(cid:69)(cid:200)a(cid:184)λb. (2)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:15)(cid:34)(cid:27)(cid:201)(cid:10) ∥ (cid:79)(cid:40)(cid:193)(cid:196)(cid:83)(cid:35)(cid:163)(cid:164)(cid:138) (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35). ① (cid:22)(cid:121)②(cid:122)(cid:50)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:28) 1(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:202)(cid:203) (cid:150) (cid:150) (1)(cid:40)(cid:71)(cid:10)(cid:204)(cid:121)(cid:193)(cid:194)(cid:205)(cid:157)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:69)(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:177)(cid:206)(cid:207)(cid:50)O(cid:69)(cid:149)OA(cid:184)a(cid:69)OB(cid:184)b(cid:69)(cid:208)(cid:209)AOB(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:34) (cid:202)(cid:203)(cid:69)(cid:148)(cid:149)(cid:210)a(cid:69)b(cid:211)(cid:124)(2)(cid:212)(cid:213)(cid:10)0(cid:214)(cid:210)a(cid:69)b(cid:211)(cid:214)π. π (cid:153)(cid:215)(cid:216)(cid:69)(cid:187)(cid:210)a(cid:69)b(cid:211)(cid:184) (cid:188)(cid:69)a(cid:217)b. 2 2(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42) (cid:204)(cid:121)(cid:193)(cid:194)(cid:205)(cid:157)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:69)(cid:208)|a||b|cos (cid:210)a(cid:69)b(cid:211)(cid:130)(cid:131)a(cid:69)b(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:69)(cid:148)(cid:149)a·b. (cid:40)(cid:71) (cid:218)a·b(cid:184)|a||b|cos(cid:210)a(cid:69)b(cid:211)(cid:124) (cid:175)(cid:40)(cid:10)(cid:157)(cid:32)(cid:33)(cid:58)(cid:177)(cid:92)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:178)(cid:151)0. (cid:136)a(cid:217)b a·b(cid:184)0 (cid:36)(cid:219) (cid:139)a·a(cid:184)a2(cid:184)|a|2 ⇔ (cid:136)(λa)·b(cid:184)λ(a·b)(cid:69)λ(cid:220)R. (cid:37)(cid:38)(cid:189) (cid:139)a·b(cid:184)b·a((cid:75)(cid:190)(cid:189))(cid:124) (cid:221)a·(b(cid:183)c)(cid:184)a·b(cid:183)a·c((cid:65)(cid:192)(cid:189)). 3(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:63)(cid:38) (cid:60)(cid:193)(cid:194)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:202)(cid:203)(cid:10)(cid:222)(cid:27)(cid:7)(cid:114) (cid:184) (cid:60) (cid:69)(cid:223)(cid:161)(cid:224)(cid:40) (cid:124) 4(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:34)(cid:63)(cid:38) (cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:34)(cid:225)(cid:226)(cid:10) (1)(cid:227)(cid:228)(cid:32)(cid:33)(cid:65)(cid:68)(cid:229)(cid:204)(cid:121)(cid:134)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:230)(cid:170)(cid:113)(cid:114)(cid:124) (2)(cid:222)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:189)(cid:227)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:231)(cid:232)(cid:69)(cid:233)(cid:16)(cid:151)(cid:204)(cid:121)(cid:134)(cid:81)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:124) (3)(cid:234)(cid:235) (cid:60)(cid:68)(cid:124) (cid:22)(cid:121)(cid:122)(cid:50)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:27)(cid:28) 1(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15) (cid:165)(cid:166)(cid:49)(cid:194)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:236)(cid:39)(cid:53)(cid:69)(cid:171)(cid:172)(cid:106)(cid:177)(cid:70)(cid:207)(cid:194)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)p(cid:69)(cid:198)(cid:125)(cid:237)(cid:207)(cid:34)(cid:123)(cid:238)(cid:199)(cid:13)(cid:230)(x(cid:69)y(cid:69)z)(cid:69)(cid:200)(cid:239)p(cid:184) xa(cid:183)yb(cid:183)zc. (cid:240)(cid:241)(cid:242){a(cid:69)b(cid:69)c}(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:207)(cid:194)(cid:45)(cid:243)(cid:69)a(cid:69)b(cid:69)c(cid:178)(cid:130)(cid:131)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:124) 2(cid:124)(cid:27)(cid:45)(cid:243)(cid:76)(cid:77)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:225)(cid:226): (1)(cid:40)(cid:45)(cid:243)(cid:10)(cid:245)(cid:246)(cid:204)(cid:121)(cid:196)(cid:197)(cid:69)(cid:224)(cid:40)(cid:49)(cid:194)(cid:236)(cid:39)(cid:53)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:247)(cid:229)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:207)(cid:194)(cid:45)(cid:243)(cid:124) (2)(cid:248)(cid:249)(cid:55)(cid:10)(cid:27)(cid:224)(cid:40)(cid:34)(cid:45)(cid:243)((cid:133)(cid:204)(cid:121)(cid:45)(cid:243))(cid:76)(cid:77)(cid:249)(cid:55)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:250)(cid:59)(cid:245)(cid:246)(cid:49)(cid:203)(cid:113)(cid:135)(cid:208)(cid:43)(cid:163)(cid:164)(cid:52)(cid:251)(cid:113)(cid:135)(cid:208)(cid:69)(cid:191)(cid:170) (cid:105)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:234)(cid:190)(cid:51)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:223)(cid:164)(cid:252)(cid:113)(cid:51)(cid:16)(cid:253)(cid:69)(cid:254)(cid:255)(cid:60)(cid:256)(cid:191)(cid:166)(cid:124) (3)(cid:257)(cid:191)(cid:258)(cid:10)(cid:222)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:207)(cid:194)(cid:45)(cid:243){ (cid:69) (cid:69) }(cid:147)(cid:110)(cid:76)(cid:77)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:168)(cid:123)(cid:32)(cid:33)(cid:124)(cid:76)(cid:77)(cid:59)(cid:259)(cid:243)(cid:69)(cid:191)(cid:166)(cid:260)(cid:261)(cid:78)(cid:262)(cid:123) (cid:69) (cid:69) (cid:69)(cid:236)(cid:78)(cid:262)(cid:123)(cid:44)(cid:263)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:124) 3(cid:124)(cid:47)(cid:48)(cid:163)(cid:164)(cid:51)(cid:39)(cid:35)(cid:51)(cid:39)(cid:53)(cid:264)(cid:21) (1)(cid:106)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:177)(cid:70)(cid:193)(cid:194)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(b(cid:265)0)(cid:69)a(cid:179)b(cid:34)(cid:195)(cid:59)(cid:196)(cid:197)(cid:93)(cid:198)(cid:125)(cid:199)(cid:13)λ(cid:69)(cid:200)a(cid:184)λb. (2)(cid:165)(cid:166)(cid:193)(cid:194)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:236)(cid:39)(cid:35)(cid:69)(cid:171)(cid:172)(cid:32)(cid:33)p(cid:58)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)b(cid:39)(cid:53)(cid:34)(cid:195)(cid:59)(cid:196)(cid:197)(cid:93)(cid:198)(cid:125)(cid:237)(cid:207)(cid:34)(cid:123)(cid:238)(cid:199)(cid:13)(cid:106)(x(cid:69) y)(cid:69)(cid:200)p(cid:184)xa(cid:183)yb. 4(cid:124)(cid:60)(cid:202)(cid:203)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:82)(cid:83)(cid:264)(cid:21) a·b (1)θ(cid:151)a(cid:69)b(cid:34)(cid:202)(cid:203)(cid:69)(cid:208)cos θ(cid:184) . |a||b| (2)(cid:143)a(cid:69)b(cid:93)(cid:205)(cid:157)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:208)a(cid:217)b⇔a·b(cid:184)0. 5(cid:124)(cid:60)(cid:266)(cid:267)((cid:132)(cid:119))(cid:264)(cid:21) |(cid:150) | (cid:150) (cid:150) |a |(cid:184) a·a( AB (cid:184) AB·AB )(cid:124) 6(cid:124)(cid:222)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15)(cid:68)(cid:268)(cid:91)(cid:92)(cid:264)(cid:21)(cid:34)(cid:269)(cid:270): (1)(cid:163)(cid:164)(cid:81)(cid:50)(cid:39)(cid:35)(cid:178)(cid:147)(cid:110)(cid:233)(cid:16)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:35)(cid:264)(cid:21)(cid:138)(cid:50)(cid:35)(cid:39)(cid:53)(cid:147)(cid:110)(cid:233)(cid:16)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:53)(cid:264)(cid:21)(cid:138) (2)(cid:91)(cid:92)(cid:260)(cid:34)(cid:60)(cid:202)(cid:203)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:82)(cid:83)(cid:178)(cid:147)(cid:110)(cid:233)(cid:16)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:202)(cid:203)(cid:264)(cid:21)(cid:69)(cid:68)(cid:21)(cid:260)(cid:59)(cid:4)(cid:70)(cid:203)(cid:34)(cid:212)(cid:213)(cid:138) (3)(cid:91)(cid:92)(cid:260)(cid:60)(cid:266)(cid:267)((cid:132)(cid:119))(cid:178)(cid:147)(cid:110)(cid:233)(cid:16)(cid:151)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:134)(cid:69)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:147)(cid:110)(cid:60)(cid:239)(cid:124) (cid:22)(cid:121)(cid:122)(cid:50)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:38)(cid:28) 1(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55) (cid:150) (cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:203)(cid:54)(cid:55)(cid:271)Oxyz(cid:260)(cid:69)(cid:272)(cid:40)(cid:32)(cid:33)a(cid:69)(cid:149)OA(cid:184)a.(cid:273)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15)(cid:69)(cid:198)(cid:125)(cid:237)(cid:207)(cid:34)(cid:123)(cid:238)(cid:199)(cid:13)(cid:230)(x(cid:69) y(cid:69)z)(cid:69)(cid:200)a(cid:184)xi(cid:183)yj(cid:183)zk.(cid:123)(cid:238)(cid:199)(cid:13)(cid:230)(x(cid:69)y(cid:69)z)(cid:130)(cid:131)a(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:203)(cid:54)(cid:55)(cid:271)O-xyz(cid:260)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:69)(cid:87)(cid:114)(cid:147)(cid:253)(cid:148)(cid:149)a(cid:184) (x(cid:69)y(cid:69)z)(cid:124) 2(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:38) (cid:274)a(cid:184)(a (cid:69)a (cid:69)a )(cid:69)b(cid:184)(b (cid:69)b (cid:69)b )(cid:69)(cid:123) 1 2 3 1 2 3 (cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:38) (cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:77) (cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:77) (cid:182)(cid:135) a(cid:183)b a(cid:183)b(cid:184)(a (cid:183)b (cid:69)a (cid:183)b (cid:69)a (cid:183)b ) 1 1 2 2 3 3 (cid:185)(cid:135) a(cid:162)b a(cid:162)b(cid:184)(a (cid:162)b (cid:69)a (cid:162)b (cid:69)a (cid:162)b ) 1 1 2 2 3 3 (cid:13)(cid:186) λa λa(cid:184)(λa (cid:69)λa (cid:69)λa )(cid:69)λ(cid:220)R 1 2 3 (cid:13)(cid:33)(cid:42) a·b a·b(cid:184)a b (cid:183)a b (cid:183)a b 1 1 2 2 3 3 (cid:22)(cid:129)(cid:135)(cid:275)(cid:276)(cid:58)(cid:277)(cid:191)(cid:28) 1(cid:124)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35)(cid:10)(cid:125)(cid:163)(cid:53)(cid:260)A,B,C(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35) ((cid:44)(cid:260)x+y=1)(cid:69)O(cid:151)(cid:163)(cid:53)(cid:96)(cid:177)(cid:70)(cid:207)(cid:50). 2(cid:124)(cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:10)(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:260)P,A,B,C(cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53) ((cid:44)(cid:260)x+y+z=1)(cid:69)O(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:260) (cid:177)(cid:70)(cid:207)(cid:50).(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28) (cid:22)(cid:278)1(cid:28)(cid:279)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:132)(cid:129)(cid:90) (cid:260)(cid:69)(cid:16)(cid:253) + =(cid:279) (cid:287) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵−𝐴𝐷 𝐶𝐶 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 1 1 1 1 (cid:22)(cid:252)(cid:114)1 𝐵 -1 𝐷(cid:28)(cid:279)2024·(cid:87)(cid:88)·(cid:134)𝐷(cid:284)𝐵(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:274)A(cid:51)B(cid:51)C(cid:51)𝐴 D 𝐶(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:260)(cid:34)(cid:52)(cid:194)(cid:50)(cid:69)𝐶(cid:208)𝐴 “ = + ”(cid:93)“A(cid:51)B(cid:51)C(cid:51)D (cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:289)”(cid:34)(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 A(cid:124)(cid:195)(cid:65)(cid:205)(cid:290)(cid:59)(cid:196)(cid:197) B(cid:124)(cid:290)(cid:59)(cid:205)(cid:195)(cid:65)(cid:196)(cid:197) C(cid:124)(cid:195)(cid:59)(cid:196)(cid:197) D(cid:124)(cid:291)(cid:205)(cid:195)(cid:65)(cid:146)(cid:205)(cid:290)(cid:59)(cid:196)(cid:197) 1 (cid:22)(cid:252)(cid:114)1-2(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:48)·(cid:296)(cid:297)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69) (cid:93) (cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)(cid:208) + + = 2 (cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐺 𝐵𝐷 𝐶𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐵 (cid:22)(cid:252)(cid:114)1-3(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:296)(cid:260)(cid:287)(cid:125)(cid:52)(cid:302)(cid:303) (cid:260)(cid:69) = (cid:69) =4 (cid:69)(cid:208) 1 1 1 1 1 1 (cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐶𝑀 𝑀𝐷 𝐶𝑄 𝑄𝐴 1 2 1 1 1 A(cid:124) = + + B(cid:124) = + + 3 3 1 2 3 2 1 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 1 1 3 1 1 4 C(cid:124) = + + D(cid:124) = + + 4 4 4 1 5 5 5 1 𝐴𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 𝐴𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:15)(cid:34)(cid:41)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:278)2(cid:28)(cid:279)2024·(cid:304)(cid:301)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:204)(cid:121) (cid:69) (cid:69) (cid:236)(cid:39)(cid:53)(cid:69)(cid:143) = + + (cid:69) = + + (cid:69) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (cid:181) (cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35)(cid:69)(cid:208) + =(cid:279) (cid:287) 𝑒 𝑒 𝑒 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝑒 𝐵𝐶 𝑒 𝜆𝑒 𝜇𝑒 𝐴,A𝐵,(cid:124)𝐶0 𝜆B(cid:124)𝜇1 C(cid:124)2 D(cid:124)3 (cid:22)(cid:252)(cid:114)2-1(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:308)(cid:309)·(cid:296)(cid:260)(cid:287)(cid:204)(cid:121) , (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:236)(cid:39)(cid:35)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:69) =5 (cid:69)(cid:171)(cid:172)(cid:290) (cid:123)(cid:279) (cid:287) 𝑀𝐴𝑀𝐵 𝑀𝐶 𝑀𝐴−3𝑀𝐵 A(cid:124) , (cid:39)(cid:35) B(cid:124) , (cid:39)(cid:35) C(cid:124)𝑀𝐴,𝑀𝐶, (cid:39)(cid:53) D(cid:124)𝑀𝐵,𝑀𝐶, (cid:236)(cid:39)(cid:53) (cid:22)(cid:252)(cid:114)2𝑀-2𝐴(cid:28)𝑀(cid:279)𝐵2𝑀3-𝐶24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:310)(cid:311)·(cid:296)(cid:297)(cid:287)(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:83)𝑀(cid:203)𝐴(cid:54)𝑀(cid:55)𝐵(cid:271)𝑀𝐶(cid:260)(cid:69)(cid:204)(cid:121)(cid:50) (0,0,1)(cid:69) (1,2,3)(cid:69) ( )(cid:69)(cid:143)(cid:32) (cid:33) (cid:58)(cid:32)(cid:33) (cid:39)(cid:35)(cid:69)(cid:208) (cid:34)(cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑚,𝑛,2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑚1 3 A(cid:124)0 B(cid:124) C(cid:124)1 D(cid:124) 2 2 (cid:22)(cid:252)(cid:114)2-3(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:313)(cid:314)(cid:127)(cid:315)·(cid:296)(cid:297)(cid:287)(cid:125)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69)E(cid:151) (cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)G(cid:151)(cid:163)(cid:53) (cid:34)(cid:94)(cid:316)(cid:124)(cid:143) | | 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶𝐷 (cid:58)(cid:163)(cid:53) (cid:75)(cid:176)(cid:50)F(cid:69)(cid:208) =(cid:279) (cid:287) | | 𝐴𝐹 𝐴𝐺 𝐵𝐶𝐸 𝐴𝐺 1 2 3 4 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 2 3 4 5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:41)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:278)3(cid:28)(cid:279)2023·(cid:298)(cid:299)(cid:317)(cid:310)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:125)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69) =3(cid:69) =4(cid:69) =5(cid:69) =6(cid:69)(cid:208) (cid:34) (cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷 A(cid:124)7 B(cid:124)9 C(cid:124)11 D(cid:124)13 (cid:22)(cid:252)(cid:114)3-1(cid:28)(cid:279)2024·(cid:298)(cid:318)(cid:319)(cid:301)·(cid:292)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:320)O(cid:96)(cid:321)(cid:176)(cid:74)(cid:52)(cid:302)(cid:322) (cid:69) = =2(cid:69)EF(cid:93)(cid:320)O(cid:34)(cid:207)(cid:196) (cid:83)(cid:323)(cid:69)(cid:50)Q(cid:151)(cid:74)(cid:52)(cid:302)(cid:322)(cid:76)(cid:53)(cid:87)(cid:34)(cid:50)(cid:69)(cid:208) (cid:34)(cid:206)(cid:312)(cid:212)(cid:213)(cid:151)(cid:279)𝑃 − (cid:287)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝐴𝐵 A(cid:124)[0,2] B(cid:124) 3,2] 𝑄𝐸⋅𝑄C𝐹(cid:124) 3] D(cid:124) 3] (cid:22)(cid:252)(cid:114)3-2(cid:28)(cid:279)2024·(cid:324)(cid:294)(cid:23)[(cid:325)4−·2(cid:292)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:289)(cid:322) [(cid:34)0,4(cid:243)−(cid:53)(cid:326)(cid:323)(cid:151) 3(cid:69)(cid:24)(cid:151)[01,4(cid:69)−(cid:44)2 (cid:260) (cid:151)(cid:243)(cid:53)(cid:289)(cid:316)(cid:69) (cid:93)(cid:243)(cid:53) (cid:289)(cid:34)(cid:207)(cid:196)(cid:83)(cid:323)(cid:69)(cid:143)(cid:50) (cid:125)(cid:289)(cid:322) (cid:34)(cid:327)(cid:53)(cid:87)(cid:37)(cid:328)(cid:69)𝑀𝑂(cid:208) (cid:34)(cid:254)(cid:128)(cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 𝑂 𝐴𝐵 9 𝑃 3𝑀𝑂 𝑃𝐴⋅𝑃𝐵 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 4 2 − − −2 −1 (cid:22)(cid:252)(cid:114)3-3(cid:28)(cid:279)2024·(cid:329)(cid:330)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:289)(cid:322) (cid:34)(cid:243)(cid:53)(cid:326)(cid:323)(cid:151)2(cid:69)(cid:50)P(cid:151)(cid:243)(cid:53)(cid:289)(cid:331)(cid:87)(cid:177)(cid:70)(cid:207)(cid:50)(cid:69)(cid:50)Q(cid:151)(cid:327) (cid:53)(cid:279)(cid:332)(cid:176)(cid:333)(cid:50)(cid:81)(cid:243)(cid:53)(cid:289)(cid:331)(cid:287)(cid:87)(cid:177)(cid:70)(cid:207)(cid:50)(cid:69)(cid:208) 𝑆𝑂 (cid:34)(cid:206)(cid:312)(cid:212)(cid:213)(cid:151)(cid:279) (cid:287) A(cid:124)( ) B(cid:124)[ ] 𝑂𝑃C(cid:124)⋅𝑂(𝑄 ) D(cid:124)[ ] (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 − 4(cid:30),4(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:15)−4(cid:43),4(cid:44)(cid:41)(cid:27)(cid:28) −2,2 −2,2 (cid:22)(cid:278)4(cid:28)(cid:279)2023·(cid:334)(cid:335)(cid:334)(cid:301)·(cid:49)(cid:134)(cid:287)(cid:125)(cid:49)(cid:302)(cid:322)P-ABC(cid:260)(cid:69)(cid:50)O(cid:151) ABC(cid:34)(cid:94)(cid:316)(cid:69)(cid:50)D(cid:69)E(cid:69)F(cid:65)(cid:215)(cid:151)(cid:327)(cid:302)PA(cid:69) PB(cid:69)PC(cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)(cid:143) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:208) =(cid:279) (cid:287)△ 1 1 1 𝑎 𝐴𝐹 1𝑏 1𝐶𝐸1 𝑐 𝐵𝐷 𝑂2𝑃 1 2 2 2 2 A(cid:124) + + B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎− 𝑏− 𝑐 − 𝑎− 𝑏− 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 1 (cid:22)(cid:252)(cid:114)4-1(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:52)(cid:336)(cid:229)(cid:178)·(cid:296)(cid:297)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:125)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69) = , = , = , = 3 𝑂−𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑂𝐴𝑏 𝑂𝐵𝑐 𝑂𝐶𝑂𝑀 𝑀𝐴,𝑁 (cid:151) (cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)(cid:143) = + + (cid:69)(cid:208) + + =(cid:279) (cid:287) 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑥 𝑦 𝑧3 1 1 A(cid:124)3 B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 4 2 3 (cid:22)(cid:252)(cid:114)4-2(cid:28)(cid:279)2024·(cid:337)(cid:338)(cid:298)(cid:339)(cid:340)(cid:341)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:168)(cid:123)(cid:302)(cid:132)(cid:342)(cid:151)1(cid:34)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69) 1 1 1 1 (cid:151) (cid:58) (cid:75)(cid:50)(cid:69) = = =60°(cid:69)(cid:208) (cid:34)(cid:132)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑀 1 1 1 1 1 1 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐴 ∠𝐷𝐴𝐴 𝐵𝑀 A(cid:124) 5 B(cid:124) 3 C(cid:124) 5 D(cid:124) 3 4 4 2 2 (cid:22)(cid:252)(cid:114)4-3(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:343)(cid:308)·(cid:232)(cid:11)(cid:25)(cid:344)(cid:287)(cid:125)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:279)(cid:165)(cid:288)(cid:287)(cid:69)(cid:163)(cid:53) (cid:163)(cid:53) (cid:69) (cid:93) (cid:117)(cid:251)(cid:49)(cid:203)(cid:113)(cid:69) = (cid:69) (cid:69)M(cid:151) (cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)N(cid:125)𝐴𝐵(cid:327)𝐶𝐷(cid:53) (cid:87)(cid:279)(cid:345)(cid:262)(cid:251)(cid:346)𝐴(cid:287)𝐵𝐷(cid:69)⊥(cid:143) 𝐴=𝐶𝐷 +△𝐴𝐵𝐷+ (cid:69)( 𝐴)𝐷(cid:208)(cid:257)𝐶(cid:347)𝐷(cid:74)𝐴(cid:224)𝐷(cid:34)⊥(cid:93)𝐶𝐷(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵 𝐵𝐶𝐷 𝑀𝑁 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐶 𝑧 𝐴𝐷 𝑥,𝑦,𝑧∈𝑅 1 A(cid:124)(cid:143) = (cid:69)(cid:208) (cid:163)(cid:53) B(cid:124)(cid:143) =0(cid:69)(cid:208) 2 𝑥 𝑀𝑁∥ 𝐴𝐶𝐷 𝑧 𝑀𝑁⊥𝐶𝐷 1 C(cid:124)(cid:187)| |(cid:254)(cid:128)(cid:188)(cid:69) = D(cid:124)(cid:187)| |(cid:254)(cid:127)(cid:188)(cid:69) =0 4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:47)𝑀𝑁(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:35) 𝑥 (cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:28) 𝑀𝑁 𝑥 (cid:22)(cid:278)5(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:49)(cid:87)·(cid:52)(cid:336)(cid:229)(cid:178)·(cid:232)(cid:11)(cid:25)(cid:344)(cid:287)(cid:125)(cid:52)(cid:302)(cid:303) (cid:260)(cid:69) = , = (cid:69) 1 1 1 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝐸 𝑘𝐷 𝐴𝐷 𝐹 𝑘𝐷 𝐵 = , = (cid:124) 1 1 1 1 𝐷 𝐺 𝑘𝐷 𝐶𝐷 𝐻 𝑘𝐷 𝐷3 (1)(cid:187) = (cid:188)(cid:69)(cid:344)(cid:27) , , (cid:76)(cid:77) (cid:138) 4 1 𝑘 𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐴 𝐴𝐹 (2)(cid:47)(cid:48)(cid:10) (cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:138) 𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 (cid:22)(cid:252)(cid:114)5-1(cid:28)(cid:279)2024(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:329)(cid:330)·(cid:26)(cid:21)(cid:348)(cid:349)(cid:287)(cid:204)(cid:121) (cid:151)(cid:30)(cid:31)9(cid:194)(cid:50)((cid:165)(cid:288))(cid:69)(cid:350)(cid:181) = , = (cid:69) = (cid:69) = + (cid:124) = +𝑂,𝐴,𝐵,𝐶(cid:69),𝐷(cid:60),𝐸(cid:47),𝐹,(cid:10)𝐺,𝐻 𝑂𝐸 𝑘𝑂𝐴𝑂𝐹 𝑘𝑂𝐵 𝑂𝐻 𝑘𝑂𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝑚𝐴𝐵 𝐸𝐺 𝐸𝐻 𝑚𝐸𝐹 (1) (cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:138) (2)𝐴,𝐵/,𝐶/,𝐷(cid:138) (3)𝐴𝐶 =𝐸𝐺 (cid:124) 𝑂𝐺 𝑘𝑂𝐶 (cid:22)(cid:252)(cid:114)5-2(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:87)(cid:88)·(cid:351)(cid:255)(cid:149)(cid:352)(cid:287)(cid:52)(cid:302)(cid:303) (cid:34)(cid:305)(cid:194)(cid:53)(cid:178)(cid:93)(cid:163)(cid:164)(cid:52)(cid:251)(cid:113)(cid:69)(cid:50) (cid:125)(cid:106)(cid:203) ′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀1 1 (cid:35) (cid:87)(cid:69)(cid:181)| |= | |(cid:69)(cid:50) (cid:125)(cid:106)(cid:203)(cid:35) (cid:87)(cid:69)(cid:181)| |= | |(cid:124) 2 3 ′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝑀𝐵 𝑁 𝐴𝐶 𝐴𝑁 𝑁𝐶 (1)(cid:274)(cid:32)(cid:33) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:27) (cid:51) (cid:51) (cid:76)(cid:77)(cid:32)(cid:33) (cid:51) (cid:138) ′ ′ ′ (2)(cid:60)(cid:47)(cid:10)𝐴𝐵(cid:51) 𝑎(cid:51) 𝐴 𝐷(cid:49)(cid:50)𝑏(cid:39)(cid:35)𝐴𝐴(cid:124) 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝐷𝑀 𝐷𝑁 ′ 𝑀 𝑁 𝐷 (cid:22)(cid:252)(cid:114)5-3(cid:28)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:298)(cid:299)(cid:315)(cid:293)(cid:353)·(cid:354)(cid:137)(cid:348)(cid:349)(cid:287)(cid:204)(cid:121) (cid:69) (cid:69) (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:260)(cid:236)(cid:39)(cid:53)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:143) =2 + (cid:69) = +2 (cid:69) = + + . 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴𝐵 𝑎−𝑏 (𝑐1)(cid:143)𝐴𝐶 𝑎(cid:49)(cid:50)𝑏−(cid:39)𝑐(cid:35)(cid:69)𝐴𝐷(cid:60) −𝑎(cid:34)(cid:312)𝑚(cid:138)𝑏 𝑛𝑐 (2)(cid:143)𝐵,𝐶,𝐷 (cid:52)(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:69)(cid:60)𝑚,𝑛 (cid:34)(cid:254)(cid:127)(cid:312)(cid:124) 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 𝑚𝑛 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:38)(cid:28) (cid:22)(cid:278)6(cid:28)(cid:279)2024·(cid:324)(cid:294)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) =(1,2,0), = = (cid:69)(cid:143) , , (cid:39)(cid:53)(cid:69)(cid:208)(cid:199)(cid:13) = (cid:279) (cid:287) 𝑎 𝑏 (0,−1,1),𝑐 (2,3,𝑚) 𝑎𝑏𝑐 𝑚 A(cid:124)1 B(cid:124)2 C(cid:124)3 D(cid:124)4 (cid:22)(cid:252)(cid:114)6-1(cid:28)(cid:279)2023·(cid:318)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:208)·(cid:207)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:32)(cid:33) = ， = (cid:69)(cid:143) (cid:58) (cid:82)(cid:83)(cid:69)(cid:208)| +2 |= → → (cid:279) (cid:287) 𝑎 (−2,1,3) 𝑏 (−1,1,𝑥) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 A(cid:124)2 B(cid:124)5 2 C(cid:124)2 13 D(cid:124) 26 (cid:22)(cid:252)(cid:114)6-2(cid:28)(cid:279)2024·(cid:52)(cid:336)(cid:96)(cid:298)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:204)(cid:121) = (cid:69) =(2,0,4)(cid:69)(cid:208)cos , =(cid:279) (cid:287) 𝑎 (2,−2,−3) 𝑏 〈𝑎𝑏〉A(cid:124)4 85 B(cid:124) 4 85 C(cid:124)0 D(cid:124)1 85 85 − (cid:22)(cid:252)(cid:114)6-3(cid:28)(cid:279)2024·(cid:329)(cid:330)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:274) (cid:49)(cid:50)(cid:125)(cid:302)(cid:132)(cid:151)2(cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:90)(cid:34)(cid:76)(cid:53)(cid:87)(cid:69)(cid:208) (cid:34)(cid:254)(cid:128)(cid:312)(cid:151) (cid:279) (cid:287) 𝐴,𝐵,𝐶 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶 9 3 4 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 4 2 3 − −2 − − (cid:207)(cid:51)(cid:158)(cid:20)(cid:21) 1(cid:124)(cid:279)2024·(cid:324)(cid:308)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:52)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69) (cid:151) (cid:34)(cid:94)(cid:316)(cid:69)(cid:143) = + + (cid:69)(cid:208) + + =(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐺 △𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐺 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐶 𝑧𝐴𝐷 𝑥 𝑦 𝑧 1 1 2 2 A(cid:124) B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 3 3 3 3 2(cid:124)(cid:279)20 − 24·(cid:358)(cid:298)(cid:359)(cid:360)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:274) (cid:69) =(1 − ,1,1), =( ), =( )(cid:69)(cid:181) , (cid:69)(cid:208)| 2 + |= (cid:279) (cid:287) 𝑥 𝑦∈𝑅,𝑎 𝑏 1,𝑦,𝑧 𝑐 𝑥,−4,2 𝑎⊥𝑐𝑏∥𝑐 𝑎 𝑏 A(cid:124)2 2 B(cid:124)0 C(cid:124)3 D(cid:124)3 2 3(cid:124)(cid:279)24-25(cid:24)(cid:292)(cid:87)·(cid:87)(cid:88)·(cid:351)(cid:255)(cid:149)(cid:352)(cid:287)(cid:274) (cid:69) (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:236)(cid:39)(cid:35)(cid:34)(cid:205)(cid:157)(cid:32)(cid:33)(cid:69)(cid:204)(cid:121) =2 + (cid:69) = +3 1 2 1 2 1 (cid:69) =2 (cid:69)(cid:181)A(cid:51)B(cid:51)D(cid:49)(cid:50)(cid:39)𝑒(cid:35)(cid:69)𝑒(cid:208)(cid:199)(cid:13)k(cid:34)(cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵 𝑒 𝑘𝑒 𝐵𝐶 𝑒 2 1 2 𝑒 A𝐷(cid:124)𝐶-8 𝑒 −𝑒 B(cid:124)-4 C(cid:124)-2 D(cid:124)8 4(cid:124)(cid:279)2024·(cid:343)(cid:294)(cid:132)(cid:361)·(cid:207)(cid:134)(cid:287)(cid:125)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69)(cid:204)(cid:121) =4(cid:69) =3(cid:69) =5(cid:69) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 =90°(cid:69) = =60°(cid:69)(cid:208) (cid:34)(cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 1 1 1 ∠𝐵𝐴 A 𝐷(cid:124)10.5 ∠𝐵𝐴𝐴 ∠𝐷𝐴𝐴 𝐴𝐶⋅ B 𝐵(cid:124)𝐷 12.5 C(cid:124)22.5 D(cid:124)42.5 1 1 5(cid:124)(cid:279)2024·(cid:329)(cid:330)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:125)(cid:302)(cid:132)(cid:151)2(cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:90) (cid:260)(cid:69)(cid:204)(cid:121) = + + (cid:69)(cid:362)(cid:53) 1 1 1 1 2 4 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 (cid:58)(cid:74)(cid:129)(cid:90)(cid:327)(cid:53) (cid:75)(cid:176)(cid:35)(cid:137) (cid:69)(cid:208)(cid:35)(cid:137) (cid:34)(cid:132)(cid:151)(cid:279) (cid:287) 1 1 1 𝐴𝐷 A 𝑃 (cid:124)1 𝐵𝐶𝐶 B(cid:124) 𝐵 2 𝑀𝑁 C(cid:124) 𝑀3 𝑁2 D(cid:124)2 2 26(cid:124)(cid:279)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:356)(cid:363)·(cid:292)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:302)(cid:132)(cid:151)1(cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:90) (cid:69)(cid:110)(cid:74)(cid:129)(cid:90)(cid:260)(cid:316)(cid:151)(cid:320)(cid:316)(cid:34)(cid:320) (cid:58)(cid:74)(cid:129)(cid:90) 1 1 1 1 (cid:34)(cid:228)(cid:196)(cid:302)(cid:105)(cid:321)(cid:69)(cid:143)(cid:50) (cid:125)(cid:320) (cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:90)(cid:364)(cid:365)(cid:279)(cid:262)(cid:74)(cid:129)𝐴(cid:90)𝐵(cid:76)𝐶𝐷(cid:53)−(cid:287)𝐴(cid:37)𝐵(cid:328)𝐶(cid:69)𝐷(cid:208) (cid:34)(cid:254)(cid:127)(cid:312)(cid:151)(cid:279) (cid:287)𝑂 𝑃 7𝑂 3 𝑃𝐴1⋅𝑃𝐵 A(cid:124)2 B(cid:124) C(cid:124) D(cid:124) 4 4 4 7(cid:124)(cid:279)2023·(cid:324)(cid:294)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90) (cid:260)(cid:69)(cid:243)(cid:53) (cid:69)(cid:327)(cid:53) (cid:178)(cid:93)(cid:74)(cid:129) 1 1 1 1 1 1 (cid:113)(cid:69)(cid:181)(cid:292)(cid:53)(cid:203) (cid:34)(cid:127)(cid:128)(cid:151)120°(cid:69) =2(cid:69)𝐴(cid:143)𝐵𝐶𝐷(cid:93)−𝐴 𝐵(cid:58)𝐶 𝐷 (cid:34)(cid:75)(cid:50)(cid:69)(cid:208)𝐴𝐵𝐶𝐷=(cid:279) (cid:287)𝐴 𝐴𝐷𝐷 1 1 1 𝐴 −𝐴𝐷−𝐵 𝐴𝐵 𝑃 𝐶 𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑃 A(cid:124) 3 B(cid:124) 5 C(cid:124) 7 D(cid:124)3 8(cid:124)(cid:279)2024·(cid:298)(cid:299)(cid:366)(cid:367)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:38)(cid:371)(cid:372)(cid:260)(cid:227)(cid:243)(cid:53)(cid:151)(cid:373)(cid:113)(cid:181)(cid:123)(cid:207)(cid:196)(cid:327)(cid:302)(cid:58)(cid:243)(cid:53)(cid:82)(cid:83)(cid:34)(cid:52)(cid:302)(cid:322)(cid:156)(cid:151)“(cid:374) (cid:375)”(cid:69)(cid:376)(cid:123)(cid:207)(cid:374)(cid:375) (cid:69) (cid:53) (cid:69) = = =2(cid:69) (cid:151)(cid:243)(cid:53) (cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:365)(cid:34)(cid:207)(cid:194)(cid:328)(cid:50)(cid:181)(cid:377)(cid:378) = 5(cid:69)(cid:208) 𝑃−𝐴𝐵(cid:34)𝐶(cid:206)𝐷(cid:312)𝑃(cid:212)𝐴(cid:213)⊥(cid:93)(cid:279)𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:287) 𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑀 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝑀A(cid:124) 𝑃2𝑀,1+⋅𝐵2𝑀2] B(cid:124) C(cid:124) 2 D(cid:124) (cid:292)(cid:51)(cid:379)(cid:20)[1(cid:21)−2 [−1,2] [1− ,−1] [−1,1] 9(cid:124)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:329)(cid:330)·(cid:351)(cid:255)(cid:149)(cid:352)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:168)(cid:77)(cid:69)(cid:125)(cid:74)(cid:129)(cid:90) (cid:260)(cid:69)(cid:257)(cid:347)(cid:228)(cid:114)(cid:260)(cid:37)(cid:38)(cid:191)(cid:166)(cid:151)(cid:32)(cid:33) 1 1 1 1 1 (cid:34)(cid:93)(cid:279) (cid:287) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐶 A(cid:124) + + (cid:138) B(cid:124) + + (cid:138) 1 1 1 1 1 1 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐴 𝐷 𝐷 𝐶 C(cid:124) + + (cid:138) D(cid:124) + + (cid:124) 1 1 1 1 1 1 1 1 10(cid:124)(cid:279)20 𝐴 2 𝐵 4·(cid:280)𝐵(cid:281)𝐵(cid:380)(cid:381)· 𝐵 (cid:292) 𝐶 (cid:134)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90)A 𝐴 B 𝐴 CD﹣𝐴 A 𝐵 B C D 𝐵 (cid:260) 𝐶 (cid:69)(cid:110)(cid:333)(cid:50)A(cid:151)(cid:382)(cid:50)(cid:34)(cid:49)(cid:196)(cid:302)(cid:132)(cid:178)(cid:93) 1 1 1 1 1(cid:69)(cid:181)(cid:383)(cid:241)(cid:384)(cid:385)(cid:34)(cid:202)(cid:203)(cid:178)(cid:93) (cid:69)M(cid:151)A C (cid:58)B D (cid:34)(cid:75)(cid:50)(cid:124)(cid:143) = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:208)(cid:257)(cid:347)(cid:386)(cid:135)(cid:74)(cid:224)(cid:34) 3 1 1 1 1 1 π 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐴𝐴 𝑐(cid:93)(cid:279)(cid:387)(cid:387)(cid:287) 1 1 A(cid:124) = + B(cid:124) ， = 2 2 1 3 π 𝐶𝑀 − 𝑎− 𝑏 𝑐 𝐶𝑀 𝐴𝐶 C(cid:124) = + + D(cid:124) =1 1 ⟨ 1 ⟩ 11(cid:124)(cid:279)2 𝐵 02 𝐷 4·(cid:298)(cid:299)𝑎 (cid:294)𝑏(cid:309)·(cid:292)𝑐(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90) 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷 (cid:34)(cid:302)(cid:132)(cid:342)(cid:151)2(cid:69) = 1 1 1 1 1 1 = =60°(cid:69)(cid:50) (cid:125) (cid:96)(cid:69)(cid:208)(cid:279) 𝐴 (cid:287)𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 1 𝐴𝐷 A∠(cid:124)𝐵𝐴𝐷//(cid:163)(cid:53) 𝑃 △𝐴 𝐵𝐷 B(cid:124) 1 1 1 1 1 C(cid:124)|𝐴 𝑃| 6|𝐵 𝐶|𝐷 D(cid:124)𝐴| 𝑃|⊥+𝐴|𝐶 | 2 6 1 1 (cid:49)(cid:51)(cid:112)(cid:30)𝑃(cid:21)𝐶 ≥ 𝐴𝑃 𝐴𝑃 𝑃𝐶 ≥ 12(cid:124)(cid:279)2024·(cid:87)(cid:88)·(cid:49)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) =( )(cid:69) =(0,1,1)(cid:69) =( )(cid:39)(cid:53)(cid:69)(cid:208)(cid:199)(cid:13) = . 𝑎 1,−1,0 𝑏 𝑐 1,2,𝑚 𝑚 13(cid:124)(cid:279)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:388)(cid:294)·(cid:207)(cid:134)(cid:287)(cid:125)(cid:49)(cid:302)(cid:303) (cid:260)(cid:69) =2 (cid:69) = (cid:69)(cid:181) //(cid:163)(cid:53) (cid:69) 1 1 1 1 1 1 1 (cid:208) (cid:34)(cid:312)(cid:151) . 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐵 𝐴 𝑁 𝑚𝐴 𝐶 𝐵𝑁 𝐴 𝐶𝑀 14𝑚(cid:124)(cid:279)2024·(cid:313)(cid:314)·(cid:207)(cid:134)(cid:287)(cid:204)(cid:121) ， (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:69) e ，e =105°(cid:69)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:377)(cid:378) =1(cid:69) = 1 2 1 2 1 2 2(cid:69)(cid:181)(cid:106)(cid:176)(cid:177)(cid:70) ， R(cid:69)(cid:178)(cid:123)𝑒| 𝑒 + )| | ⟨ + ⟩ )|=1(cid:279)(cid:44)(cid:260) ，𝑎 R(cid:287)𝑎(cid:69)⋅(cid:208)𝑒 | |= 𝑎 ⋅𝑒 (cid:124) 1 2 0 1 0 2 0 0 (cid:52)(cid:51)(cid:68)(cid:389)(cid:21) 𝑥 𝑦∈ 𝑎−(𝑥𝑒 𝑦𝑒 ≥ 𝑎−(𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 𝑦 ∈ 𝑎 15(cid:124)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:298)(cid:299)·(cid:351)(cid:390)(cid:285)(cid:349)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:163)(cid:164)(cid:305)(cid:53)(cid:90) (cid:69)(cid:16)(cid:253)(cid:257)(cid:347)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:391)(cid:114)(cid:69)(cid:350)(cid:125)(cid:288)(cid:260)(cid:55) ′ ′ ′ ′ (cid:256)(cid:16)(cid:253)(cid:239)(cid:392)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴𝐵𝐶𝐷 (1) + + (cid:138) ′ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 (2) + (cid:138) ′ 𝐷𝐷−𝐴𝐵 𝐵𝐶1 (3) + + . 2 ′ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐷−𝐵𝐶 16(cid:124)(cid:279)23-24(cid:24)(cid:292)(cid:257)·(cid:298)(cid:299)(cid:109)(cid:301)·(cid:296)(cid:260)(cid:287)(cid:204)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:49)(cid:50) ( )(cid:69) ( )(cid:69) ( )(cid:69)(cid:274) = (cid:69) = (cid:124) (1)(cid:143) + (cid:58) (cid:169)(cid:105)(cid:82)(cid:83)(cid:69)(cid:60)(cid:199)(cid:13) (cid:34)(cid:312)(cid:138) 𝐴 −2,0,2 𝐵 −1,1,2 𝐶 −3,0,4 𝑎 𝐴𝐵 𝑏 𝐴𝐶 (2)(cid:143)𝑘|𝑎|=3𝑏(cid:69)𝑘/𝑎/−2𝑏(cid:69)(cid:60) (cid:124) 𝑘 𝑐 𝑐 𝐵𝐶 𝑐 17(cid:124)(cid:279)2024(cid:24)(cid:49)·(cid:329)(cid:330)·(cid:26)(cid:21)(cid:348)(cid:349)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:204)(cid:121)(cid:52)(cid:302)(cid:322) (cid:34)(cid:243)(cid:53)(cid:93)(cid:393)(cid:113)(cid:69)(cid:106)(cid:203)(cid:35) (cid:75)(cid:176)(cid:50) (cid:69) =4(cid:69) =3(cid:69) = (cid:243)(cid:53) (cid:69) (cid:65)(cid:215)(cid:151)𝑃−(cid:327)𝐴(cid:302)𝐵𝐶𝐷 (cid:34)(cid:260)(cid:50)(cid:69)(cid:50) (cid:125) (cid:87)𝐴(cid:181)𝐶,𝐵𝐷 =2 𝑂(cid:124)(cid:60)(cid:47)(cid:10) 𝑂𝐴 (cid:52)𝑂(cid:50)𝐵(cid:39)(cid:53). 𝑂𝑃 4,𝑂𝑃⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝑃𝐵,𝑃𝐷 𝑀 𝐶𝑃 𝐶𝑀 𝑀𝑃 𝐴,𝐸,𝑀,𝐹 18(cid:124)(cid:279)2024·(cid:304)(cid:301)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:165)(cid:288)(cid:69)(cid:125)(cid:302)(cid:132)(cid:151)4(cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:90) (cid:260)(cid:69) = =1(cid:69)(cid:274) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝐸 𝐵𝐹 = (cid:69) = (cid:69) = . 1 𝐷𝐴 𝑎 𝐷𝐶 𝑏 𝐷𝐷 𝑐(1)(cid:344)(cid:27) (cid:69) (cid:69) (cid:76)(cid:77) (cid:138) (2)(cid:60) 𝑎(cid:34)(cid:132)𝑏. 𝑐 𝐸𝐹 𝐸𝐹 | | 1 2 3 19(cid:124)(cid:279)2024·(cid:293)(cid:294)·(cid:134)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:49)(cid:354)(cid:164)(cid:347)(cid:114)(cid:93)(cid:68)(cid:268)(cid:394)(cid:395)(cid:234)(cid:13)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:38)(cid:135)(cid:69)(cid:44)(cid:37)(cid:38)(cid:135)(cid:208)(cid:165)(cid:257)(cid:10) = 1 2 3 1 1 2 3 𝑎 𝑎 𝑎 | | 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 + + .(cid:143) × = (cid:69)(cid:208)(cid:156) × (cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑐 (cid:33)𝑐(cid:58) 𝑐(cid:34)(cid:396)(cid:186)(cid:69) 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 2 2 2 𝑖 𝑗 𝑘 (cid:44) 𝑏 𝑐 (cid:260) = 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 𝑐 − ( 𝑎 , 𝑏 𝑐 , −𝑎 𝑏 )(cid:69) 𝑐 − = 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )(cid:69) , , 𝑎 (cid:151) 𝑏 (cid:158)(cid:159)(cid:74)(cid:75)(cid:45)(cid:243) 𝑎 .(cid:110) 𝑏 (cid:151)(cid:54)(cid:55) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 𝑥2 2𝑦2 𝑧 𝑎 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 ∈𝑅 𝑏 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 ∈𝑅 𝑖𝑗𝑘 𝑂 (cid:397)(cid:50)(cid:69)(cid:65)(cid:215)(cid:110) , , (cid:34)(cid:129)(cid:32)(cid:151) (cid:398)､ (cid:398)､ (cid:398)(cid:34)(cid:74)(cid:129)(cid:32)(cid:335)(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:203)(cid:54)(cid:55)(cid:271)(cid:69)(cid:204)(cid:121) (cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:203)(cid:54)(cid:55)(cid:271)(cid:260)(cid:332)(cid:176) 𝑖𝑗𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴,𝐵 𝑂 (cid:34)(cid:236)(cid:180)(cid:193)(cid:50). (1) (cid:143) (0,2,1) ( )(cid:69)(cid:60) × (cid:138) ①(cid:47)(cid:48)(cid:10)𝐴 × ,𝐵 −+1,3,2× =𝑂𝐴0. 𝑂𝐵 ② (2)(cid:148) 𝑂𝐴 (cid:34)(cid:53) 𝑂𝐵 (cid:42)(cid:151) 𝑂𝐵 𝑂 (cid:69) 𝐴 (cid:47)(cid:48)(cid:10) = 1| × |(cid:138) 2 (3)(cid:264)(cid:10) △ ( 𝐴𝑂𝐵 × ) 2 (cid:34)(cid:91) 𝑆△ (cid:92) 𝐴𝑂 (cid:70) 𝐵 (cid:71)(cid:76)(cid:77)(cid:110) 𝑆△𝐴𝑂𝐵 (cid:151)(cid:243) 𝑂𝐴 (cid:53)､ | 𝑂𝐵 × |(cid:151)(cid:24)(cid:34)(cid:49)(cid:302)(cid:322)(cid:90)(cid:42)(cid:34)(cid:379)(cid:108)(cid:399)(cid:400) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 △𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵