文档内容
专题 3.2 导数与函数的单调性【七大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:28)........................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)................................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:43)(cid:32)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:33)(cid:13)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:40)(cid:34)(cid:3)(cid:49)(cid:28)............................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:50)(cid:27)——(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:28)......................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:50)(cid:27)——(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:28)......................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:45)(cid:13)(cid:3)(cid:49)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:28)..............................................................................................................16
1(cid:38)(cid:45)(cid:13)(cid:44)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:25)(cid:61)(cid:62)(cid:43) (cid:63)(cid:21)(cid:64)(cid:65) (cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:68)
(cid:45)(cid:13)(cid:44)(cid:33)(cid:13)(cid:111)(cid:24)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:34)(cid:112)(cid:113)(cid:114)
(1)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:115)(cid:73)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:116)(cid:25)(cid:34)(cid:117)(cid:61)(cid:114)(cid:115)(cid:73)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:103)
(cid:79)(cid:80)(cid:56)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:44)(cid:45) 2022(cid:103)(cid:23)(cid:104)(cid:105)I(cid:106)(cid:10)(cid:107)7(cid:21)(cid:73)
(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:66)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:73)(cid:123)(cid:124)(cid:114)(cid:115)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:87)(cid:116)
(cid:13)(cid:34)(cid:3)(cid:49) 5(cid:67)
(cid:126)(cid:127)(cid:34)(cid:128)(cid:21)(cid:129)(cid:10)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:83)(cid:84)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)
(2)(cid:81)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:83)(cid:84)(cid:33)(cid:13) 2022(cid:103)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:106)(cid:10)(cid:107)12(cid:21)(cid:73)5
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:43)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:82)(cid:27)(cid:33)(cid:13)(cid:34)
(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:85)(cid:43)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35) (cid:67)
(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:97)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:32)(cid:13)(cid:100)
(cid:36)(cid:39)(cid:40)((cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:58)(cid:33)(cid:13) 2023(cid:103)(cid:23)(cid:104)(cid:105)Ⅱ(cid:106)(cid:10)(cid:107)6(cid:21)(cid:73)
(cid:101)(cid:57)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:128)(cid:21)(cid:133)(cid:134)(cid:80)(cid:67)(cid:132)(cid:135)(cid:136)(cid:38)(cid:137)(cid:16)
(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)) 5(cid:67)
(cid:44)(cid:16)(cid:138)(cid:57)(cid:13)(cid:11)(cid:139)(cid:140)(cid:73)(cid:131)(cid:132)(cid:128)(cid:21)(cid:125)(cid:20)(cid:141)(cid:38)
(3)(cid:85)(cid:82)(cid:27)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) 2024(cid:103)(cid:23)(cid:104)(cid:105)I(cid:106)(cid:10)(cid:107)10(cid:21)(cid:73)
(cid:142)(cid:143)(cid:38)(cid:56)(cid:144)(cid:21)(cid:87)(cid:145)(cid:129)(cid:25)(cid:146)(cid:73)(cid:147)(cid:125)(cid:56)(cid:144)(cid:21)
(cid:96)(cid:97)(cid:54)(cid:55)(cid:73)(cid:43)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:98)(cid:99) 6(cid:67)
(cid:87)(cid:148)(cid:149)(cid:149)(cid:125)(cid:107)(cid:90)(cid:55)(cid:128)(cid:87)(cid:150)(cid:134)(cid:73)(cid:131)(cid:148)(cid:151)(cid:21)
(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:102)(cid:35)(cid:50)(cid:27)
(cid:152)(cid:133)(cid:153)(cid:154)(cid:53)(cid:54).
(cid:22)(cid:155)(cid:156)(cid:61)1 (cid:45)(cid:13)(cid:87)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:128)(cid:21)(cid:34)(cid:56)(cid:21)(cid:157)(cid:158)(cid:28)
1.(cid:159)(cid:160)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:161)(cid:162)(cid:130)
(1)(cid:159)(cid:160)(cid:33)(cid:13)f(x)(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:130)
(2)(cid:43)f'(x)(cid:130)
(3)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)>0(cid:73)(cid:56)(cid:165)(cid:125)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:67)(cid:167)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:130)
(4)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)<0(cid:73)(cid:56)(cid:165)(cid:125)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:67)(cid:167)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40).
2.(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:56)(cid:21)(cid:157)(cid:158)(cid:10)
(1)(cid:83)(cid:84)(cid:31)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:62)(cid:171)(cid:42)(cid:32)(cid:13)(cid:172)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:56)(cid:165)(cid:34)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:67)(cid:132)(cid:135)(cid:136).
(2)(cid:177)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:167)(cid:178)(cid:95)(cid:33)(cid:13)(cid:58)(cid:73)(cid:179)(cid:180)(cid:122)(cid:81)(cid:181)(cid:182)(cid:58)(cid:67)(cid:56)(cid:73)(cid:183)(cid:135)(cid:136)(cid:178)(cid:95)(cid:89)(cid:49)(cid:13)(cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:127)(cid:186)(cid:41)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:130)(cid:177)(cid:30)(cid:81)(cid:182)(cid:58)(cid:67)(cid:56)(cid:73)(cid:187)(cid:188)(cid:135)(cid:136)(cid:96)(cid:189)(cid:58) (cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:73)(cid:178)(cid:95)(cid:89)(cid:49)(cid:13)(cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:73)(cid:186)(cid:41)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:127)(cid:41)(cid:111)(cid:181)(cid:125)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:114).
3.(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:43)(cid:32)(cid:13)(cid:34)(cid:90)(cid:91)(cid:139)(cid:190)(cid:10)
△
(1)(cid:82)(cid:27)(cid:165)(cid:70)(cid:40)(cid:34)(cid:191)(cid:31)(cid:3)(cid:49)(cid:192)(cid:15)(cid:10)y=f(x)(cid:125)(a,b)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:187)(cid:39)(cid:40)(a,b)(cid:111)(cid:194)(cid:50)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:195)(cid:165).
(2)f(x)(cid:167)(cid:169)((cid:170))(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:196)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:111)(cid:172)(cid:199)(cid:200)(cid:34)x (a,b)(cid:145)(cid:129)f'(x)≥0(f'(x)≤0)(cid:73)(cid:201)(cid:125)(a,b)(cid:114)(cid:34)(cid:199)(cid:90)(cid:202)(cid:143)(cid:195)(cid:39)(cid:40)(cid:193)(cid:73)
f'(x)(cid:30)(cid:203)(cid:167)(cid:204)(cid:73)(cid:50)(cid:4)(cid:200)(cid:131)(cid:148)(cid:58)(cid:195)(cid:87)(cid:34)(cid:57)(cid:9)(cid:30)(cid:81)(cid:205)(cid:158)(cid:73)(cid:181)(cid:187)(cid:85)(cid:206)(cid:56).
∈
(3)(cid:33)(cid:13)(cid:125)(cid:207)(cid:208)(cid:39)(cid:40)(cid:193)(cid:209)(cid:125)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:210)(cid:137)(cid:16)(cid:167)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:129)(cid:56)(cid:128)(cid:21).
(cid:22)(cid:155)(cid:156)(cid:61)2 (cid:45)(cid:13)(cid:87)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:50)(cid:27)(cid:28)
1.(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:10)
(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:73)(cid:86)(cid:3)(cid:211)(cid:125)(cid:212)(cid:82)(cid:27)(cid:21)(cid:213)(cid:197)(cid:198)(cid:59)(cid:60)(cid:214)(cid:75)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:215)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:34)(cid:128)(cid:21)(cid:137)(cid:16)(cid:167)(cid:180)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:83)
(cid:84)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:175)(cid:147)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55).
2.(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:10)
(cid:44)(cid:216)(cid:47)(cid:33)(cid:13)(cid:129)(cid:3)(cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:73)(cid:62)(cid:196)(cid:67)(cid:217)(cid:218)(cid:197)(cid:198)(cid:3)(cid:49)(cid:73)(cid:219)(cid:220)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)(cid:130)(cid:21)(cid:213)(cid:87)(cid:177)(cid:209)(cid:125)f(x)(cid:44)f'(x)(cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:3)(cid:49)
(cid:148)(cid:73)(cid:116)(cid:59)(cid:60)(cid:31)f(x)(cid:44)(cid:221)(cid:90)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:222)((cid:223)(cid:224))(cid:34)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:44)(cid:21)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:56)(cid:21)(cid:228)(cid:197)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:83)(cid:84)(cid:23)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:118)
(cid:147)(cid:43)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58).
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:229)(cid:230)(cid:44)(cid:231)(cid:232)(cid:28)
(cid:45)(cid:13)(cid:3)(cid:49)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:90)(cid:233)(cid:116)(cid:234)(cid:69)(cid:59)(cid:10)
(1)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)+ g'(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= f(x)+g(x).
(2)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)-g'(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= f(x)-g(x).
(cid:235)(cid:189)(cid:236)(cid:73)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)> k(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= f(x)-kx.
(3)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= f(x)·g(x).
(4)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= .
(5)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)xf'(x)+nf(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= .
(6)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)+f(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= .
(7)(cid:172)(cid:212)(cid:30)(cid:57)(cid:58)f'(x)+kf(x)>0(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)F(x)= .
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:28)
(cid:22)(cid:72)1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:239)(cid:240)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:33)(cid:13) ( )=ln( ) 2+ (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:111)(cid:238) (cid:245)
A(cid:246)(0,1)
𝑓 𝑥
B(cid:246)
2𝑥−1
,
1
1
−𝑥 𝑥
2
C(cid:246) 2,1 2 D(cid:246) 1 ,1 2
2 2 2 2
1− + +
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:43)(cid:247)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:183)(cid:248) ( )>0(cid:73)(cid:56)(cid:249)(cid:250)(cid:210).
′
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:33)(cid:13) ( )=ln( ) 2+ (cid:34)(cid:160)(cid:163) 𝑓 (cid:164) 𝑥 (cid:167) 1 ,+ (cid:73)
2
𝑓 𝑥 2𝑥−1 −𝑥 𝑥 ∞
(cid:201) ( )= 2 +1= ( )2 = 2 ( ) 2 ( )(cid:73)
2− 2𝑥−1 − 2𝑥−1 + 2𝑥−1
′
𝑓 𝑥 2𝑥−1−2𝑥 2𝑥−1 2𝑥−1(cid:248) ( )>0(cid:73)(cid:56)(cid:249) 1 < <1 2(cid:73)
2 2
+
′
𝑓 𝑥 𝑥
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:167) 1 ,1 2 .
2 2
+
(cid:254)(cid:20) 𝑓 (cid:10)𝑥 D.
(cid:22)(cid:255)(cid:58)1-1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:193)(cid:256)(cid:257)(cid:258)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:33)(cid:13) = ln (cid:238)(cid:259)(cid:259)(cid:245)
A(cid:246)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:33)(cid:13) 𝑦 𝑥 𝑥
B(cid:246)(cid:125) 0, 1 (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:170)(cid:33)(cid:13)
e e
C(cid:246)(cid:260)(cid:261)(cid:170)(cid:33)(cid:13) ∞
D(cid:246)(cid:125) 0, 1 (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:33)(cid:13)
e e
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:43)(cid:45)(cid:262)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:96)(cid:97)∞(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:263)(cid:41)(cid:42)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:250)(cid:210)(cid:249)(cid:264)(cid:20)(cid:89).
1
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:56)(cid:10)(cid:265)(cid:155) = ln (cid:73) >0(cid:73)(cid:187) =ln + =ln +1(cid:73)
′
𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥⋅𝑥 𝑥
1
(cid:248) =0(cid:73)(cid:250)ln +1=0(cid:73)(cid:56)(cid:249) = (cid:73)
e
′
𝑦 𝑥 𝑥
(cid:220)0< < 1 (cid:148)(cid:73) <0(cid:73)(cid:252)(cid:253)(cid:125) 0, 1 (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
e e
′
𝑥 𝑦
(cid:220) > 1 (cid:148)(cid:73) >0(cid:73)(cid:252)(cid:253)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:111)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
e e
′
(cid:254) 𝑥 (cid:20)(cid:10)D. 𝑦 ∞
(cid:22)(cid:255)(cid:58)1-2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:266)(cid:267)(cid:33)(cid:13)(cid:111)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:201)(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:34)(cid:111)(cid:238) (cid:245)
2 2 ∞
A(cid:246) ( )=3 +2 B(cid:246) ( )=
2𝑥 2−𝑥
𝑥 −𝑥 −
𝑥 −𝑥
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 +
C(cid:246) ( )= 3 D(cid:246) ( )=log 1 + 2+1
2
𝑓 𝑥 𝑥−𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:13)(cid:268)(cid:269)(cid:37)(cid:160)(cid:163)(cid:210)(cid:270)(cid:271)A(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:235)(cid:272)(cid:99)(cid:230)(cid:210)(cid:270)(cid:271)B(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:210)(cid:270)(cid:271)C(cid:73)(cid:41)
(cid:42)(cid:33)(cid:13)(cid:268)(cid:269)(cid:37)(cid:160)(cid:163)(cid:127)(cid:273)(cid:70)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:210)(cid:249)(cid:69)(cid:274).
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:172)(cid:212)A(cid:73)(cid:182)(cid:167) ( )=3 +2 (cid:73)(cid:252)(cid:253) ( ) ( ) ( ) ( )(cid:73)
−𝑥 𝑥
(cid:250) ( )(cid:167)(cid:202)(cid:268)(cid:202)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:254)(cid:270)𝑓 (cid:271)−𝑥A(cid:246) 𝑓 𝑥 ≠𝑓 −𝑥 ,𝑓 𝑥 ≠−𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 1 3 22 1 15
(cid:172)(cid:212)B(cid:73)(cid:182)(cid:167) (1)= 2= (cid:73) (2)= 4= (cid:73)(cid:252)(cid:253) (1)< (2)(cid:73)
2 1 5 22 1 17
2−2 −4
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)(0, 𝑓 + )(cid:193)+(cid:30)(cid:111)(cid:35)(cid:36) 𝑓 (cid:168)(cid:170)(cid:34)(cid:73)+(cid:254)(cid:270)(cid:271)B(cid:246) 𝑓 𝑓
(cid:172)(cid:212) 𝑓 C(cid:73) 𝑥 (cid:172) ( )(cid:43) ∞ (cid:45)(cid:73)(cid:249) ( )= 2(cid:246)(cid:248) ( )>0(cid:73)(cid:56)(cid:249) 3< < 3(cid:246)
3 3
′ ′
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 1−3𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑥
(cid:248) ( )<0(cid:73)(cid:56)(cid:249) > 3(cid:223) < 3(cid:73)
3 3
′
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 −(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125) 0, 3 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) 3,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:254)(cid:270)(cid:271)C(cid:246)
3 3
(cid:172)(cid:212) 𝑓 D 𝑥(cid:73)(cid:275)(cid:249) ( )(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:73) ∞
(cid:201) ( )=log 𝑓 1 𝑥 + 2+1 =log 1 2 1 2 1
2 2 −𝑥+ 𝑥 + 2 𝑥+ 1 𝑥 +
𝑓 −𝑥 1 −𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥 +
=log 1 = log 1 + 2+1 = ( )(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:167)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:246)
2 1
2 2
𝑥+ 𝑥 + − 𝑥 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:248) = + 2+1(cid:73)(cid:187) ( )=log 1 (cid:246)(cid:275)(cid:155) = + 2+1(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
2
𝑡 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑡 𝑡 𝑥 𝑥 ∞
=log 1 (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:246)(cid:276)(cid:273)(cid:70)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:249) ( )=log 1 + 2+1
2 2
𝑦 𝑥 ∞ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:246)
(cid:254)(cid:20)(cid:10)D∞(cid:246)
(cid:22)(cid:255)(cid:58)1-3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:277)(cid:278)(cid:227)(cid:145)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:125) (cid:193)(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:201)(cid:220) >0(cid:148)(cid:73) ( )= ( ln )(cid:73)
(cid:187)(cid:220) <0(cid:148)(cid:73) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:167)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑅 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 1− 𝑥
A𝑥(cid:246)( 𝑓e)𝑥 B(cid:246)( e,0)
C(cid:246)(−∞,,0−) D(cid:246)(− )
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)∞(cid:28)(cid:179)(cid:180)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:247)(cid:33)(cid:13)(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:34)−(cid:35)1,0(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:183)(cid:41)(cid:42)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:37)(cid:279)(cid:249)(cid:264)(cid:33)(cid:13)(cid:125)( ,0)(cid:193)(cid:34)(cid:35)
(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:96)(cid:97). ∞ −∞
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:220) >0(cid:148)(cid:73) ( )= ( ln )(cid:73)(cid:187) ( )= ln (cid:73)
′
(cid:252)(cid:253)(cid:220)0< <1𝑥(cid:148) ( )>𝑓0(cid:73)𝑥(cid:220) 𝑥>11−(cid:148) 𝑥( )<𝑓0(cid:73)𝑥 − 𝑥
′ ′
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)𝑥(0,1)(cid:193)𝑓(cid:35)(cid:36)𝑥 (cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)𝑥(1,+ 𝑓)(cid:193)𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
(cid:280)(cid:33)𝑓(cid:13)𝑥( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:125) (cid:193)(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73) ∞
(cid:252)(cid:253) (𝑓)(cid:125)𝑥 ( )(cid:193)(cid:35)𝑅(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)( )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170).
(cid:254)(cid:20)𝑓(cid:10)𝑥D. −1,0 −∞,−1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:72)2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= 1 2 ( +2) +2ln (cid:73) R(cid:246)
2
(1)(cid:177)(cid:285)(cid:286) = ( )(cid:125) =2(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:44) (cid:288)(cid:289) 𝑓 (cid:78)𝑥(cid:73)(cid:43)(cid:71) 𝑎𝑥 (cid:13) − (cid:34)𝑎(cid:99)(cid:130) 𝑥 𝑥 𝑎∈
(2)(cid:135)(cid:136)(cid:33)𝑦(cid:13) (𝑓)𝑥(cid:34)(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:37)(cid:246) 𝑦 𝑎
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)𝑓1𝑥(cid:245)(cid:43)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:41)(cid:42)(cid:45)(cid:13)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:200)(cid:163)(cid:127)(cid:287)(cid:286)(cid:44)y(cid:288)(cid:289)(cid:78)(cid:290)(cid:291)(cid:229)(cid:251)(cid:43)(cid:56)(cid:250)(cid:210)(cid:130)
(cid:238)2(cid:245)(cid:43)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:292)(cid:293) 0(cid:294) >0(cid:67)(cid:132)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:43)(cid:247)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37).
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:171) 𝑎 (cid:21) ≤ (cid:200) > 𝑎 0(cid:73) ( )= 1 2 ( +2) +2ln (cid:73)
2
𝑥 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 − 𝑎 𝑥 𝑥(cid:187) ( )= ( +2)+ 2 = 2 ( 2) 2 = ( )( ) (cid:73)
𝑎𝑥 − 𝑎+ 𝑥+ 𝑎𝑥−2 𝑥−1
′
(cid:182) 𝑓 (cid:167)(cid:125)𝑥 = 𝑎 2 𝑥 (cid:192) − (cid:34)𝑎(cid:287)(cid:286)(cid:44) 𝑥 (cid:288)(cid:289)(cid:78)(cid:73)𝑥(cid:252)(cid:253) ( )= 𝑥 =0(cid:73)(cid:56)(cid:249) =1(cid:130)
′
𝑥 𝑦( )( ) 𝑓 𝑥 𝑎−1 𝑎
(cid:238)2(cid:245)(cid:276)(cid:238)1(cid:245)(cid:155) ( )= ( >0)(cid:73)
𝑎𝑥−2 𝑥−1
′
(cid:220) 0(cid:148)(cid:73)(cid:276) 𝑓 𝑥 >0(cid:249)0< 𝑥 <1(cid:73)𝑥 (cid:276) <0(cid:249) >1(cid:73)
′ ′
(cid:252)(cid:253)𝑎≤ (cid:34)(cid:35)(cid:36)𝑓(cid:168)(𝑥(cid:169)) (cid:39)(cid:40)(cid:167)(0,𝑥1)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:168)𝑓((cid:170)𝑥)(cid:39)(cid:40)(1,𝑥+ )(cid:73)
(cid:220) >𝑓(0𝑥(cid:148)) (cid:73)(cid:67)(cid:253)(cid:266)(cid:94)(cid:295)(cid:66)(cid:120)(cid:10) ∞
(cid:177)𝑎=2(cid:73)(cid:187) 0(cid:125)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:114)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
′
(cid:252)𝑎(cid:253) (cid:34)(cid:35)𝑓(cid:36)(𝑥(cid:168))≥(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:167)(0,+ )(cid:73)(cid:296)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:130)
𝑓(𝑥) ∞ 2 2
(cid:177)0< <2(cid:73)(cid:248) >0(cid:249)0< <1(cid:223) > (cid:73)(cid:248) <0(cid:249)1< < (cid:73)
′ ′
𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎
(cid:252)(cid:253) (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:167)(0,1), 2 ,+ (cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:167) 1, 2 (cid:73)
𝑓(𝑥) 2 𝑎 ∞ 2 𝑎
(cid:177) >2(cid:73)(cid:248) >0(cid:249)0< < (cid:223) >1(cid:73)(cid:248) <0(cid:249) < <1(cid:73)
′ ′
𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑥
(cid:252)(cid:253) (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:40)(cid:167) 0, 2 ,(1,+ )(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:167) 2 ,1 (cid:73)
(cid:297)(cid:193) 𝑓 (cid:252) (𝑥 (cid:298) ) (cid:73)(cid:220) 0(cid:148)(cid:73) ( )(cid:125)(cid:39)𝑎 (cid:40)(0,1 ∞ )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)(cid:39)(cid:40)(1, 𝑎 + )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)
(cid:220) =2(cid:148)(cid:73) (𝑎≤)(cid:125)(cid:39)(cid:40)(𝑓0,𝑥+ )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:296)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:130) ∞
(cid:220) 𝑎 0< <2(cid:148) 𝑓 (cid:73) 𝑥 ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0 ∞ ,1), 2 ,+ (cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)(cid:39)(cid:40) 1, 2 (cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)
𝑎 𝑓 𝑥 𝑎 ∞ 𝑎
(cid:220) >2(cid:148)(cid:73) ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40) 0, 2 ,(1,+ )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)(cid:39)(cid:40) 2 ,1 (cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170).
(cid:22) 𝑎 (cid:255)(cid:58)2-1(cid:28) 𝑓 (cid:238)𝑥 2024·(cid:277)(cid:278)(cid:299)𝑎(cid:300)·(cid:241)(cid:242)∞(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:225)(cid:33)(cid:13) ( )= 𝑎2 2 +3ln (cid:73)(cid:86)(cid:87) >0.
(1)(cid:135)(cid:136) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:130) 𝑓 𝑥 −𝑎 𝑥 −𝑎𝑥 𝑥−1 𝑎
(2)(cid:177) =𝑓 (𝑥 )(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:44) (cid:288)(cid:301)(cid:129)(cid:7)(cid:302)(cid:61)(cid:73)(cid:43) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)𝑦(cid:139)𝑓(cid:190)𝑥(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:43)𝑥(cid:45)(cid:73)(cid:41)(cid:42)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:184)𝑎(cid:185)(cid:67)(cid:68) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:250)(cid:210)(cid:130)
(cid:238)2(cid:245)(cid:303) = ( )(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:44) (cid:288)(cid:301)(cid:129)(cid:7)(cid:302)(cid:61)(cid:137)(cid:16)(cid:167) (𝑓) 𝑥 (cid:55)(cid:212)(cid:204)(cid:73)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:250)(cid:210).
max
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)𝑦(cid:251)𝑓(cid:28)𝑥(cid:238)1(cid:245)(cid:276)(cid:21)(cid:200)𝑥(cid:73) ( )(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)(0𝑓,+𝑥 )(cid:73)
( )= 2 + 3 =- 2 2 2 𝑓 𝑥 = ( )(2 3) (cid:73) ∞
𝑎 𝑥 +𝑎𝑥−3 𝑎𝑥−1 𝑎𝑥+
′
𝑓 𝑥 −2𝑎 𝑥−𝑎 𝑥 𝑥 − 𝑥
1 1
(cid:187)(cid:220) > (cid:148)(cid:73) ( )<0, ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)(cid:220)0< < (cid:148)(cid:73) ( )>0, ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:246)
′ ′
𝑥 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:254)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125) 0, 1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:246)
𝑓 𝑥 𝑎 𝑎 ∞(cid:238)2(cid:245)(cid:276)(cid:238)1(cid:245)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:304)(cid:54)(cid:99)(cid:167) 1 (cid:73)(cid:62)(cid:305) = ( )(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:44) (cid:288)(cid:301)(cid:129)(cid:7)(cid:302)(cid:61)(cid:73)(cid:306)(cid:188) ( )(cid:34)(cid:304)(cid:54)(cid:99)(cid:203)(cid:55)(cid:212)
𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
0(cid:73)(cid:250) 1 <0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
𝑓 𝑎2
(cid:254) 2 1 1 +3ln 1 <0(cid:73)(cid:249) > 1 (cid:73)(cid:252)(cid:253) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:167) 1 ,+ .
e e
(cid:22)−(cid:255)𝑎(cid:58)𝑎2-2(cid:28)−𝑎(cid:238)⋅𝑎2024·𝑎(cid:307)−1(cid:308)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)𝑎(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13)𝑎 ( )= ln e +1(cid:246)∞
𝑥
(1)(cid:43)(cid:285)(cid:286) = ( )(cid:125)(cid:61)( (1))(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:229)𝑓(cid:251)𝑥(cid:130) 𝑥 𝑥−
(2)(cid:135)(cid:136) (𝑦)(cid:125)𝑓(0𝑥,+ )(cid:193)1(cid:34),𝑓(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)𝑓(cid:190)𝑥 (cid:28)(cid:238)1(cid:245)∞(cid:43)(cid:45)(cid:73)(cid:65)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:73)(cid:183)(cid:27)(cid:61)(cid:310)(cid:58)(cid:43)(cid:56)(cid:250)(cid:210)(cid:130)
(cid:238)2(cid:245)(cid:248) ( )= ( )(cid:73)(cid:43)(cid:247) ( )(cid:73)(cid:41)(cid:42) 1 >0(cid:38) (1)<0(cid:210)(cid:249) 1 ,1 (cid:305) ( )=0(cid:73)(cid:210)(cid:249) (0, )(cid:38)
0 0 0
2 2
′ ′ ′ ′ ′
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑔 ∃𝑥 ∈ 𝑔 𝑥 𝑥∈ 𝑥
( ,+ )(cid:148) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:118)(cid:147)(cid:249)(cid:56).
0
′
(cid:22)𝑥∈(cid:56)(cid:144)𝑥 (cid:93)(cid:251)∞(cid:28)(cid:238)𝑓1(cid:245)𝑥 ( )=ln + e (cid:73)
𝑥
′
(1)= e(cid:73)(cid:280) (𝑓1)𝑥= e(cid:73)𝑥 1−
′
∴(cid:285)𝑓 (cid:286) =1−( )(cid:125)(cid:61)𝑓( (11))−(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:229)(cid:251)(cid:111) +e=( e)( )(cid:73)
∴(cid:250) =𝑦( 𝑓e)𝑥(cid:130) 1,𝑓 𝑦−1 1− 𝑥−1
(cid:238)2𝑦(cid:245)(cid:248)1−( )𝑥= ( )=ln + e ( >0)(cid:73)
𝑥
′
(cid:187) ( )= 𝑔1𝑥 e (cid:125) 𝑓 ( 𝑥 0,+ ) 𝑥 (cid:193)(cid:168) 1− (cid:170)(cid:73)(cid:201) 𝑥 1 = e>0(cid:73) (1)= e<0(cid:73)
2
𝑥
′ ′ ′
𝑔
0
𝑥 1 , 𝑥 1 − (cid:73)(cid:305) (
0
) ∞ = 1 e 0=0(cid:73) 𝑔 (cid:250)ln
0
2 = −
0
(cid:73) 𝑔 1−
2 0
𝑥
′
∴ (cid:220) ∃𝑥 ∈ (0, )(cid:148)(cid:73) 𝑔 ( 𝑥 )>0 𝑥 (cid:73) − (cid:220) ( ,+ 𝑥 )(cid:148)(cid:73) −𝑥 ( )<0(cid:73)
0 0 0 0
′ ′
𝑥(∈)(cid:125)(𝑥0, )(cid:193)𝑔(cid:168)(cid:169)𝑥 (cid:73)(cid:125)( ,+𝑥∈)(cid:193)𝑥(cid:168)(cid:170)∞(cid:73) 𝑔 𝑥
0 0
′
∴𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥
0
)=ln
0
+ 𝑥e 0=∞
0
+ 1 +1
0
1 +1= <0(cid:73)
0 0
𝑥
′ ′
∴𝑓 𝑥 ≤𝑓 𝑥 𝑥 1− − 𝑥 𝑥 ≤−2 𝑥 ⋅𝑥 −1
1
(cid:220)(cid:201)(cid:312)(cid:220) = (cid:73)(cid:250) =1(cid:148)(cid:73)(cid:57)(cid:9)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:313)(cid:314)(cid:73)(cid:57)(cid:9)(cid:30)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:254) ( )<0(cid:73)
0 0
0
′
( )(cid:125)(0 𝑥 ,+ 𝑥 )(cid:193)(cid:111) 𝑥 (cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:246) 𝑓 𝑥
∴(cid:22)𝑓(cid:255)𝑥(cid:58)2-3(cid:28)(cid:238)∞2024·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= ln + 2 ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:167) ( ).
′
(1)(cid:135)(cid:136) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:130) 𝑓 𝑥 𝑚 𝑥 𝑥 −𝑥,𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 2e 1
(2)(cid:220) =1(cid:148)(cid:73)(cid:319)(cid:320)(cid:10) ( +1) + + .
𝑥1 1
′
(cid:22)(cid:56)(cid:21) 𝑚 (cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:43)(cid:45) 𝑓 (cid:73)𝑥(cid:41)(cid:42)(cid:96) ≤ (cid:189)𝑥(cid:58)+(cid:67)(cid:132)𝑥+(cid:135)(cid:136) 𝑥 (cid:73) −1 (cid:250)(cid:210)(cid:41)(cid:42)(cid:45)(cid:13)(cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:159)(cid:160)(cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)
3
(cid:238)2(cid:245)(cid:303)(cid:252)(cid:319)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:57)(cid:321)(cid:255)(cid:226)(cid:262)(cid:59)(cid:60) ( )= (cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:56)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:319).
e2
𝑡 +𝑡
𝑡 −1
𝑠 𝑡(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245) ( )= + = 2 2 >0)(cid:73)
𝑚 𝑥 −𝑥+𝑚
′
𝑓 𝑥 𝑥 2𝑥−1 𝑥 (𝑥
1
(cid:220) = 0(cid:73)(cid:250) (cid:148)(cid:73)(cid:131)(cid:148)(cid:73) ( ) 0(cid:73)(cid:254) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169).
8
′
Δ 1−8𝑚≤ 𝑚≥ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥 ∞
1
(cid:220) = >0(cid:73)(cid:250) < (cid:148)(cid:73)(cid:248) ( )=0(cid:73)
8
′
Δ 1−8𝑚 𝑚 𝑓 𝑥
(cid:187) = , =1 .
1 2
4 4
1− 1−8𝑚 + 1−8𝑚
𝑥 𝑥
(cid:220)0< < 1 (cid:148)(cid:73) > > ( )(cid:125) 0, , 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) ,1 (cid:193)(cid:35)
8 2 1 4 4 4 4
1− 1−8𝑚 + 1−8𝑚 1− 1−8𝑚 + 1−8𝑚
① (cid:36)(cid:168)(cid:170). 𝑚 𝑥 𝑥 0,𝑓 𝑥 ∞
(cid:220) 0(cid:148)(cid:73) 0< (cid:73) ( )(cid:125) 0,1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169).
1 2
4 4
+ 1−8𝑚 + 1−8𝑚
② 𝑚≤ 𝑥 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 ∞
1
(cid:238)2(cid:245)(cid:319)(cid:320)(cid:10)(cid:220) =1(cid:148)(cid:73) ( +1)= + +1(cid:73)
1
′
(cid:319)(cid:322)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:57)(cid:321) 𝑚 (cid:212)(cid:319)( + 𝑓 2) 𝑥 +1 𝑥 2 + e (cid:73) 2 (cid:248) 𝑥 +1= (cid:73)
𝑥
(cid:187) >0(cid:73)(cid:201) = 2 (cid:73) 𝑥 (cid:254)(cid:306)(cid:188) 𝑥 (cid:319) ( 2 ≤ +1) 2e 2𝑥 (cid:73)(cid:250)(cid:319) 𝑡 3 2,
e2
𝑡 +𝑡
𝑡 −1
𝑡 −1
𝑡 3 𝑥 𝑡 −1 2 4 𝑡 𝑡 ≤ ≤
(cid:248) ( )= (cid:73)(cid:187) ( )= (cid:73)
e2 e2
𝑡 +𝑡 𝑡 +1−2𝑡
𝑡 −1 ′ 𝑡 −1
(cid:248) 𝑠 ( 𝑡 )= 2+ 𝑠4(cid:73)𝑡 (cid:187) ( )= 3= ( 2) = (1+ )( )(cid:73)
′
𝜑 𝑡 𝑡 1−2𝑡 𝜑 𝑡 2𝑡1−8𝑡 2𝑡 1−4𝑡 2𝑡 2𝑡 1−2𝑡
(cid:276)(cid:212) >0(cid:73)(cid:248) ( )>0,(cid:187)0< < (cid:73)
2
′
𝑡 𝜑 𝑡 𝑡
( )(cid:125) 0, 1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170).(cid:280) (0)= (1)=0(cid:73)
2 2
∴𝜑 𝑡 ∞ 𝜑 1,𝜑
(cid:220) (0,1)(cid:148)(cid:73) ( )>0(cid:73)(cid:250) ( )>0(cid:73)(cid:220) (1,+ )(cid:148)(cid:73) ( )<0(cid:73)(cid:250) ( )<0(cid:73)
′ ′
∴ (𝑡)∈(cid:125)(0,1)(cid:193)(cid:35)𝜑(cid:36)𝑡(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)(1𝑠,+𝑡 )(cid:193)(cid:35)(cid:36)𝑡(cid:168)∈ (cid:170)(cid:73) ∞ 𝜑 𝑡 𝑠 𝑡
∴𝑠 𝑡 3 ∞
= (1)=2, 2(cid:73)
max e2
𝑡 +𝑡
𝑡 −1
∴𝑠(𝑡) 𝑠 ∴ ≤
2e 1
(cid:252)(cid:253)(cid:73)(cid:220) =1(cid:148)(cid:73) ( +1) + + 1.
𝑥1 1
′
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 𝑚 (cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:13) 𝑓 (cid:34)𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:37) ≤ (cid:43)(cid:32)𝑥+(cid:13)(cid:28)𝑥+ 𝑥−
(cid:22)(cid:72)3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:240)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:177)(cid:33)(cid:13) ( )=ln 1 2 (cid:125)[1,4](cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:187)(cid:71)(cid:13) (cid:34)(cid:98)(cid:99)
2
(cid:100)(cid:101)(cid:167)(cid:238) (cid:245) ℎ 𝑥 𝑥− 𝑎𝑥 −2𝑥 𝑎
A(cid:246)( ] B(cid:246)( ) C(cid:246) 7 D(cid:246) 7
16 16
−∞,−1 −∞,−1 −∞,− −∞,−
1 1 2 1 2
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:198)(cid:249) ( )= 0(cid:250) (cid:125)[1,4](cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )= (cid:73) [1,4](cid:73)
2 2
′
(cid:276)(cid:178)(cid:95)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:37)(cid:279)(cid:43)(cid:247) ℎ (cid:34)𝑥 (cid:304)(cid:99)𝑥− (cid:250) 𝑎 (cid:210) 𝑥− (cid:56) 2 (cid:328) ≥ (cid:128)(cid:21) 𝑎 . ≤𝑥 −𝑥 𝐺 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥∈
𝐺(𝑥)(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167)(cid:33)(cid:13) ( )=ln 1 2 (cid:125)[1,4](cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
2
ℎ 𝑥 𝑥− 𝑎𝑥 −2𝑥
1 1 2
(cid:252)(cid:253) ( )= 0(cid:125)[1,4](cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:250) (cid:125)[1,4](cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
2
′
(cid:248) (
ℎ
)
𝑥
= 1
𝑥
2
−
(cid:73)
𝑎𝑥−2
[1
≥
,4](cid:73)(cid:255)(cid:226)(cid:249) ( )=( 1
𝑎≤2𝑥 −
(cid:73)
𝑥
(cid:182)(cid:167) [1,4](cid:73)(cid:252)(cid:253) 1 1 ,1 (cid:73)
2 4
𝐺 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥∈ 𝐺 𝑥 𝑥−1) −1 𝑥∈ 𝑥∈
1
(cid:252)(cid:253)(cid:220) =1(cid:73)(cid:250) =1(cid:148)(cid:73) = (cid:73)(cid:252)(cid:253) .
min
(cid:254)(cid:20)(cid:10)A 𝑥 (cid:246) 𝑥 𝐺(𝑥) −1 𝑎≤−1
(cid:22)(cid:255)(cid:58)3-1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:240)(cid:316)(cid:329)(cid:330)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155) >0(cid:73)(cid:201) 1(cid:73)(cid:177)(cid:33)(cid:13) = ln )(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)
𝑥−1
(cid:170)(cid:73)(cid:187)a(cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑎 𝑎≠ 𝑓(𝑥) 𝑎( 𝑥−𝑎 ∞
1 1
A(cid:246)(0, ] B(cid:246)[ ,1) C(cid:246)(1,e] D(cid:246)[e,+ )
e e
∞
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:21)(cid:200)(cid:73)(cid:137)(cid:16)(cid:167) 0(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:248) = (cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:249)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:35)(cid:36)
′ ′
(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:249)(cid:264) < = ln𝑓(cid:73)(𝑥(cid:249))≤(cid:247) ln ∞0(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56). 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥
𝑔(𝑥) 𝑔(1) 𝑎−𝑎 𝑎 𝑎−𝑎 𝑎≤
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:33)(cid:13) = ln )(cid:73)(cid:210)(cid:249) = ln
𝑎
𝑥−1 ′ 𝑥
𝑓(𝑥) 𝑎( 𝑥−𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥−𝑎 𝑎
(cid:182)(cid:167) (cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:252)(cid:253) 0(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
′
𝑓(𝑥) ∞ 𝑓(𝑥)≤ ∞
(cid:248) = = ln (cid:73)(cid:187) = (ln 2<0(cid:73)
2
𝑎 𝑎
𝑥 𝑥
′ ′
𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥−𝑎 𝑎 𝑔(𝑥) −𝑥 −𝑎 𝑎)
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:252)(cid:253) < = ln (cid:73)(cid:250) < ln (cid:73)
′
(cid:187) 𝑔l𝑥n 0(cid:73)(cid:56)∞(cid:249) e(cid:73)(cid:250)(cid:71)(cid:13) (cid:34)𝑔(cid:98)(𝑥(cid:99))(cid:100)𝑔(cid:101)((cid:111)1)[e,𝑎+−𝑎)(cid:246)𝑎 𝑓(𝑥) 𝑎−𝑎 𝑎
(cid:254)(cid:20)𝑎−(cid:10)𝑎D𝑎(cid:246)≤ 𝑎≥ 𝑎 ∞
(cid:22)(cid:255)(cid:58)3-2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:284)(cid:331)(cid:332)(cid:282)·(cid:90)(cid:241)(cid:245)(cid:177)(cid:33)(cid:13) ( )=log ( 3) >0(cid:201) 1)(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,1)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:187)
(cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑎 𝑎𝑥−𝑥 (𝑎 𝑎≠ 𝑎
A(cid:246)[3,+ ) B(cid:246)(1,3] C(cid:246) 0, 1 D(cid:246) 1 ,1
3 3
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)∞(cid:248) = ( )= 3(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:247)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:73)(cid:183)(cid:67) >1(cid:294)0< <1(cid:186)(cid:295)(cid:66)(cid:120)(cid:135)
(cid:136)(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:273)(cid:70)(cid:33)(cid:13)𝜇 (cid:34)𝑔(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:37)𝑎(cid:250)𝑥−(cid:210)𝑥(cid:249)(cid:56). 𝑔 𝑥 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248) = ( )= 3(cid:73)(cid:187) ( )= 2(cid:73)
′
(cid:220) > (cid:223) < 𝜇 (cid:148)𝑔(cid:73)𝑥 ( 𝑎 ) 𝑥 < −𝑥 0(cid:73)(cid:220)𝑔 𝑥< 𝑎 < −3𝑥(cid:148)(cid:73) ( )>0(cid:73)
3 3 3 3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
′ ′
𝑥 𝑥 − 𝑔 𝑥 − 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125) ,+ (cid:294) (cid:193)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:125) , (cid:193)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
3 3 3 3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:220) > 𝑔 1𝑥(cid:148)(cid:73) =log∞ (cid:167)(cid:169)−(cid:33)∞(cid:13),−(cid:73)(cid:201)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125)(cid:39)−(cid:40)(0,1)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
𝑎 𝑦 𝑎𝜇 𝑓 𝑥>1
0
(cid:252)(cid:253) 𝑎3 (cid:73)(cid:56)(cid:249) 3(cid:73)
𝑎
− ≤1
3 𝑎≥
𝑎
(cid:131)(cid:148) ( )(cid:125)≥ (0,1)(cid:193)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:187) ( )> (0)=0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
(cid:220)0<𝑔 𝑥<1(cid:148)(cid:73) =log (cid:167)(cid:170)𝑔 (cid:33)𝑥 (cid:13)(cid:73)𝑔(cid:201)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,1)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
𝑎 𝑦 𝑎𝜇 𝑓 𝑥
0
(cid:252)(cid:253) 3 (cid:73)(cid:296)(cid:56)(cid:73)
𝑎
0< <1
≤
(cid:297)(cid:193)(cid:252)(cid:298)(cid:73)𝑎 (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111)[3,+ ).
(cid:254)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎 ∞
(cid:22)(cid:255)(cid:58)3-3(cid:28)(cid:238)23-24(cid:24)(cid:94)(cid:193)·(cid:333)(cid:334)·(cid:335)(cid:336)(cid:245)(cid:225)(cid:33)(cid:13) ( )= ln >0(cid:201) 1)(cid:125)(cid:39)(cid:40)(1,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
𝑥
(cid:187) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑎 −𝑎 𝑥(𝑎 𝑎≠ ∞
𝑎A(cid:246)[e,+ ) B(cid:246)[e2,+ ) C(cid:246)[2e,+ ) D(cid:246)[ee,+ )
∞ ∞ ∞ ∞
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:44)(cid:45)(cid:13)(cid:34)(cid:3)(cid:49)(cid:210)(cid:249) ( )= ln 0(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:175)(cid:147)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56).
𝑎
𝑥
′
𝑓 𝑥 𝑎 𝑎−𝑥≥ ∞
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:171)(cid:21)(cid:200)(cid:73) ( )= ln 0(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
𝑎
𝑥
′
𝑓 𝑥 𝑎 𝑎−𝑥≥ ∞
(cid:337) ( )= ( )= ln (cid:73)(cid:187) = (ln 2+ >0(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
2
𝑎 𝑎
𝑥 𝑥
′ ′
( 𝑔 ) 𝑥(cid:125)(1, 𝑓 + 𝑥 )(cid:193) 𝑎 (cid:35)(cid:36) 𝑎 (cid:168) −𝑥 (cid:169)(cid:73)(cid:252) 𝑔 (cid:253) (𝑥 (cid:306) ) (cid:188) 𝑎 ln 𝑎) = 𝑥 (ln ) 0(cid:73)∞(cid:56)(cid:249) e(cid:73)
′
𝑓(cid:254)(cid:20)𝑥 (cid:10)A(cid:246) ∞ 𝑎 𝑎−𝑎 𝑎 𝑎−1 ≥ 𝑎≥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:33)(cid:13)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:40)(cid:34)(cid:3)(cid:49)(cid:28)
(cid:22)(cid:72)4(cid:28)(cid:238)2023·(cid:258)(cid:338)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= 1 3+sin ( )(cid:167) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:187) = ( )(cid:34)(cid:54)(cid:339)(cid:46)(cid:47)
6
′ ′
(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥,𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥
A(cid:246) B(cid:246)C(cid:246) D(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:13)(cid:56)(cid:68)(cid:58)(cid:43)(cid:45)(cid:33)(cid:13),(cid:183)(cid:41)(cid:42)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:45)(cid:13)(cid:184)(cid:185)(cid:249)(cid:247)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:97)(cid:250)(cid:210).
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248)(cid:33)(cid:13) ( )= ( )= 1 2+cos ( )= 1 2+cos (cid:73)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:73)
2 2
′
( )= ( ), (cid:33) 𝑚 (cid:13)𝑥 ( ) 𝑓 (cid:167)𝑥(cid:269)(cid:33)(cid:13) 𝑥 (cid:73) 𝑥,𝑚 −𝑥 𝑥 𝑥
(cid:280)∵𝑚 𝑥(0)𝑚=1−(cid:73)𝑥(cid:201)∴ ( )𝑚= 𝑥 sin (cid:73)
′
(cid:220)∵>𝑚0(cid:148)(cid:73) ( )=𝑚(𝑥), (𝑥)−= 𝑥cos ( )(cid:125)(0,+ )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′ ′
(cid:187)𝑥( )> (0𝑚)=𝑥 s𝑡in𝑥0=𝑡 0𝑥, (1)−>0(cid:73)𝑥≥0,𝑡 𝑥 ∞
′
𝑡(cid:33)𝑥(cid:13) (𝑡 )(cid:125)(00,−+ )(cid:35)(cid:36)(cid:168)𝑚(cid:169)𝑥.
(cid:254)∴(cid:20)(cid:10)C𝑚. 𝑥 ∞
(cid:22)(cid:255)(cid:58)4-1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:277)(cid:278)(cid:227)(cid:145)·(cid:90)(cid:241)(cid:245)(cid:33)(cid:13) ( )=2 3+ 2+ ( R)(cid:34)(cid:54)(cid:339)(cid:46)(cid:47)(cid:340)(cid:46)(cid:252)(cid:341)(cid:73)(cid:187) (cid:54)(cid:55)(cid:342)
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:343)(cid:167)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑎,𝑏,𝑐∈ 𝑎,𝑏,𝑐
A(cid:246)b2(cid:201) >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) <0(cid:73)
2𝑏
(cid:280) ( − ) 3 = 𝑎 2 3+𝑎 2+ ( 𝑏 R)(cid:93)(cid:61) (cid:73)
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:252)𝑓(cid:253)𝑥 + + =𝑎0,(cid:73)𝑏,𝑐(cid:250)∈ = (−2>,1) > (cid:73)
(cid:252)(cid:253)−8<𝑎 <4𝑏 𝑐 𝑐 8𝑎−4𝑏 8𝑎 𝑎
𝑏 𝑎 𝑐(cid:254)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:255)(cid:58)4-2(cid:28)(cid:238)2023·(cid:344)(cid:345)(cid:285)(cid:346)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:44) ( )(cid:34)(cid:166)(cid:67)(cid:46)(cid:47)(cid:340)(cid:46)(cid:252)(cid:341)(cid:73)(cid:187)(cid:238) (cid:245)
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
A(cid:246) ( )<0< ( ) B(cid:246) ( )<0< ( )
′ ′ ′ ′
C(cid:246)𝑔(3−)1< (3) 𝑓 − 1 D(cid:246)𝑓 (−3)1< (3)𝑔 −1
′ ′ ′ ′
【解题思𝑔路】根𝑓据题意，利用函数的导数与单调性𝑓的关系𝑔分析4个结论是否正确，即可得答案．
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:46)(cid:210)(cid:155)(cid:73) ( )(cid:44) ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)[ ](cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )>0, ( )>0.
′ ′
(cid:125)(cid:39)(cid:40)[ ](cid:193)(cid:73) ( )(cid:34)(cid:46)𝑓(cid:47)𝑥(cid:52)𝑔(𝑥)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:347)−(cid:348)1,(cid:349)3 (cid:73)(cid:252)(cid:253)0< ( )<𝑔 −(1 ), (𝑓3)−<1 (3).
′ ′ ′ ′
(cid:254)(cid:20)(cid:10)D−.1,3 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 −1 𝑔 −1 𝑓 𝑔
(cid:22)(cid:255)(cid:58)4-3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:334)(cid:350)(cid:256)(cid:351)·(cid:90)(cid:241)(cid:245)(cid:33)(cid:13) (cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:125) (cid:193)(cid:34)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:86)(cid:46)(cid:47)(cid:340)(cid:46)(cid:252)(cid:341)(cid:73) =0.(cid:225)
(cid:111) (cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:187)(cid:3)(cid:212)x(cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:58)𝑓(𝑥+) 1) (−40,4(cid:34))(cid:56)(cid:165)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓(3)
′ ′
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 ⋅𝑓(𝑥)≥
A(cid:246)[0,2] B(cid:246) [3,4) C(cid:246) [2,4) D(cid:246) [2,3)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:74)(cid:75)(cid:33)(cid:13)(cid:46)(cid:47)[−(cid:44)3(cid:45),0](cid:13)∪(cid:34)(cid:3)(cid:49)(cid:65)(cid:309)(cid:250)(cid:210)(−(cid:249)5.,0]∪ (−4,0]∪
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276) =0(cid:73)(cid:201) (cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:254) =0(cid:73)
(cid:276)(cid:45)(cid:13)(cid:37)(cid:279)(cid:69)(cid:70)(cid:46)𝑓(3(cid:47))(cid:210)(cid:249)(cid:220) 𝑓((𝑥) )(cid:148)(cid:73) ( )𝑓<(−03(cid:73))
′
(cid:220) (0,4)(cid:148)(cid:73) ( )>0(cid:73)(cid:220)𝑥∈=−04(cid:148),0(cid:73)(cid:250) 𝑓(0)𝑥=0(cid:73)
′ ′
𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 < +1<𝑓4
(cid:187)(cid:276) +1) 0(cid:73)(cid:129) (cid:73)(cid:56)(cid:249) < <3(cid:73)
< <4
′ −4 𝑥
(cid:352)(cid:210)
𝑓
(cid:249)
(𝑥 ( +⋅1𝑓)(>𝑥)0≥
(cid:73)(cid:223)
( +−14)<𝑥0
(cid:73)(cid:223) ( +1)
−
=
4
0(cid:73)
𝑥
(cid:223) ( )=0(cid:73)
( )>0 ( )<0
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ′
(cid:276) ( +1 𝑓 )′> 𝑥 0 (cid:210)(cid:249) < 𝑓+′ 𝑥1< (cid:223) 3𝑓<𝑥 +1<4 (cid:73)(cid:250)2 𝑓 < 𝑥 <3(cid:73)
( )>0 0< <4 0< <4
𝑓 𝑥 −4 𝑥 −3 𝑥
′ 𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥( +1)<0 < +1<3
(cid:276) (cid:210)(cid:249) (cid:73)(cid:250) < <0(cid:73)
( )<0 < <0
𝑓 𝑥 −3 𝑥
′ −4 𝑥
(cid:276) (𝑓+𝑥1)=0(cid:73)(cid:210)(cid:249) +−41=±𝑥 3(cid:73)(cid:250) =2(cid:223) = (cid:238)(cid:353)(cid:354)(cid:73)(cid:30)(cid:125)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:114)(cid:245)(cid:73)
(cid:276)𝑓(𝑥)=0(cid:73)(cid:210)(cid:249) =𝑥0(cid:73) 𝑥 𝑥 −4
′
(cid:297)𝑓(cid:193)(cid:252)𝑥 (cid:298)(cid:73)(cid:3)(cid:212)x𝑥(cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:58) +1) 0(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167) [2,3).
′
(cid:254)(cid:20)(cid:10)D. 𝑓(𝑥 ⋅𝑓(𝑥)≥ (−4,0]∪
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:33)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:50)(cid:27)——(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:28)
1 ln2 ln4
(cid:22)(cid:72)5(cid:28)(cid:238)2024·(cid:240)(cid:316)(cid:329)(cid:330)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155) = (cid:73) = (cid:73) = (cid:73)(cid:86)(cid:87)e= (cid:167)(cid:355)(cid:314)(cid:172)(cid:13)(cid:34)(cid:356)(cid:13)(cid:73)(cid:187)
2 e 2 2 4
𝑎 𝑏 𝑐 2.71828⋯
(cid:238) (cid:245)
A(cid:246) < < B(cid:246) < < C(cid:246) < < D(cid:246) < <
𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐ln 𝑐 𝑏 𝑎
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:179)(cid:180)(cid:303) (cid:16)(cid:227)(cid:64)(cid:90)(cid:226)(cid:58)(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )= ( >0)(cid:73)(cid:83)(cid:84)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:175)(cid:147)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:250)(cid:210).
𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:21)(cid:200)(cid:249) 𝑎,𝑏,𝑐 = 1 = ln e (cid:73) = ln2 = ln 𝑓 2(cid:73) 𝑥 = l 𝑥 n4 = 𝑥 2ln2 = ln2 (cid:130)
2 e e 2 2 2 4 4 2
𝑎 𝑏 𝑐
ln ln
(cid:225) ( )= (cid:73)(cid:187) = (cid:73)
2
𝑥 1− 𝑥
′
(cid:220) 𝑓 0< 𝑥 < 𝑥 e(cid:148)(cid:73) 𝑓(𝑥) >0(cid:73) 𝑥 (cid:252)(cid:253) (cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:280)0< 2< e<2 > B(cid:246) > > C 𝑎(cid:246) > ,𝑏 > ,𝑐 D(cid:246) > >
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)𝑎(cid:190)(cid:28)𝑏(cid:52)(cid:53)𝑐 ， (cid:54)(cid:55)𝑎(cid:73)(cid:59)𝑐 (cid:60)𝑏( )=ln +𝑐1(cid:73)𝑏(cid:69)(cid:70)𝑎(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:250)(cid:210)(cid:52)𝑐(cid:53)(cid:54)𝑎(cid:55)(cid:130)𝑏(cid:52)(cid:53) ， (cid:54)(cid:55)(cid:73)(cid:59)(cid:60) ( )
=( )e (cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:35)𝑎(cid:36)𝑏(cid:37)(cid:250)(cid:210)(cid:52)(cid:53)(cid:54)𝑓(cid:55)𝑥. 𝑥−𝑥 𝑏 𝑐 ℎ 𝑥
𝑥
1−𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248) ( )=ln +1(0< <1)(cid:73)(cid:187) ( )= >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
1−𝑥
′
(cid:280) (1)=0(cid:73)(cid:252)(cid:253) 𝑓 𝑥 ( )<0 𝑥 (cid:73) −𝑥 (cid:250)ln < 𝑥 (cid:73) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
𝑓 5 1 𝑓 𝑥 5 1 𝑥 6 𝑥−11
(cid:252)(cid:253)ln < (cid:73)(cid:252)(cid:253) ln > (cid:73)(cid:250)ln > (cid:73)(cid:252)(cid:253) > (cid:73)
6 6 6 6 5 6
− − 𝑎 𝑏
(cid:225) ( )=( )e (0,1)(cid:73)(cid:187) ( )= e <0(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
𝑥 𝑥
′
ℎ 𝑥 1−𝑥 ,𝑥∈ 1 ℎ 1𝑥 1−𝑥 7 1 1ℎ 1𝑥
( )< (0)=1(cid:73)(cid:250)e < (cid:73)(cid:254)e7< 1= (cid:73)(cid:73)(cid:250) e7< (cid:73)(cid:252)(cid:253) > (cid:73)
6 7 6
7
𝑥
ℎ (cid:252)𝑥(cid:253) > ℎ > (cid:73) 1−𝑥 1− 𝑏 𝑐
(cid:254)(cid:20)(cid:10)𝑎 A.𝑏 𝑐(cid:22)(cid:255)(cid:58)5-2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:315)(cid:316)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )=2 +2 +cos + 2(cid:73)(cid:177) = (5ln4 )(cid:73) = (4ln5 )(cid:73)
𝑥 −𝑥 π π
= (5ln 4)(cid:73)(cid:187)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓
𝑐 𝑓A(cid:246) π< < B(cid:246) < < C(cid:246) < < D(cid:246) < <
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139) 𝑐 (cid:190)(cid:28) 𝑏 (cid:180) 𝑎 (cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:96) 𝑏 (cid:97) 𝑐 (cid:34) 𝑎 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:183)(cid:59) 𝑐 (cid:60)(cid:33) 𝑎 (cid:13) 𝑏 = ln (cid:73)(cid:82)(cid:27) 𝑏 (cid:45)(cid:13) 𝑎 (cid:96) 𝑐 (cid:97)(cid:249)5ln 4>5ln4 >4ln
𝑥 π
5 (cid:73)(cid:118)(cid:147)(cid:249)(cid:56). 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑥 π
π
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167) =2 +2 +cos + 2(cid:73)
𝑥 −𝑥
(cid:252)(cid:253) =(2 2𝑓(𝑥)l)n2+ sin (cid:73)𝑥 𝑥
𝑥 −𝑥
′
(cid:248) (𝑓)(=𝑥) sin−(cid:73)(cid:187) ( )(=2𝑥−cos𝑥)>0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
′
(cid:252)ℎ(cid:253)𝑥(cid:220) >2𝑥0−(cid:148)(cid:73)𝑥( )>ℎ 𝑥(0)=20−(cid:73)(cid:250)𝑥 sin >0(cid:73)
(cid:280) =2𝑥 2 (cid:125)(ℎ0,𝑥+ )ℎ(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)2𝑥(cid:252)−(cid:253) 𝑥=2 2 >20 20=0(cid:73)
𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:252)𝑦(cid:253) −>0(cid:125)(0,+ ∞)(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:187) (cid:125)𝑦(0,+− )(cid:193)(cid:35)(cid:36)−(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′
𝑓(𝑥) ln ∞ ln 𝑓(𝑥) ∞
(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) = (cid:73)(cid:187) = (cid:73)
2
𝑥 1− 𝑥
′
(cid:248) > 𝑔 0 ( (cid:73) 𝑥) (cid:249)0 𝑥 < < 𝑔 e(cid:73) (𝑥 (cid:248) ) 𝑥 <0(cid:73)(cid:249) >e(cid:73)
′ ′
(cid:252)𝑔(cid:253)(𝑥) (cid:125)(0,e)(cid:193)(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)𝑔(cid:125)((𝑥e),+ )(cid:193)(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
(cid:252)(cid:253)𝑔((𝑥))> (4)> (5)(cid:73) ∞
𝑔 πln4 𝑔ln5 𝑔
(cid:250) > > (cid:73)(cid:210)(cid:249)4 > 4(cid:73)5ln4>4ln5(cid:73)
4 5
lnπ
(cid:252)(cid:253)π ln 4>ln4 (cid:73)5 4 ln > π 4 πln 5(cid:73)
π
(cid:252)(cid:253)5lnπ 4>5ln4 (cid:73)π5lnln4 >π4lnln5 (cid:73)
π π π
(cid:250)5ln 4π>5ln4 >4ln5
π π
(cid:252)(cid:253)(cid:73)π (5ln 4)> (5ln4 )> (4ln5 )(cid:73)
π π
(cid:250) < 𝑓< π. 𝑓 𝑓
(cid:254)(cid:20)𝑏 (cid:10)𝑎D. 𝑐
97 1 1
(cid:22)(cid:255)(cid:58)5-3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:258)(cid:357)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155) = =cos =e 97 (cid:73)(cid:187)(cid:238) (cid:245)
98 7
−
A(cid:246) > > B 𝑎(cid:246) >,𝑏 > ,𝑐
C(cid:246)𝑎> 𝑏> 𝑐 D(cid:246)𝑏>𝑎>𝑐
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139) 𝑐 (cid:190)(cid:28) 𝑎 (cid:59) 𝑏 (cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )=cos 2 (cid:73) 𝑐 0, 𝑏 (cid:294) 𝑎 ( )=e ( +1) >0)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:56)(cid:33)(cid:13)(cid:34)
2 2
𝑥 π 𝑥
(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56). 𝑓 𝑥 𝑥− 1− 𝑥∈ 𝑔 𝑥 − 𝑥 ,(𝑥(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248) ( )=cos 2 (cid:73) 0, (cid:73)(cid:187) ( )= sin (cid:73)
2 2
𝑥 π
′
𝑓 𝑥 𝑥− 1− 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥− 𝑥
(cid:248) ( )= sin 0, (cid:73)(cid:187) ( )= cos > ( )(cid:250) ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )> (0)=0(cid:73)(cid:254) ( )(cid:167)
2
π
′ ′ ′ ′
𝜑 𝑥 𝑥− 𝑥,𝑥∈ 𝜑 𝑥 1− 𝑥 0,𝜑 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥
(cid:169)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:252)(cid:253) 1 > (0)=0(cid:73)(cid:210)(cid:249)cos 1 > 97 (cid:73)(cid:254) < .
7 7 98
𝑓 𝑓 𝑎 𝑏
(cid:248) ( )=e ( +1) >0)(cid:73)(cid:187) ( )=e >0(cid:73)(cid:254) ( )(cid:167)(cid:169)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:252)(cid:253) 1 > (0)=0(cid:73)(cid:250)e9 1 7 98 >0.
97 97
𝑥 𝑥
′
𝑔 𝑥 − 𝑥 ,(𝑥 𝑔 𝑥 −1 𝑔 𝑥 𝑔 𝑔 −
1 97
(cid:252)(cid:253)e 97< (cid:73)(cid:254) < (cid:73)(cid:252)(cid:253) < 1(cid:73)∞2 <1𝑦(cid:73)(cid:252)(cid:253)2 2 >−0(cid:73)(cid:254) >0(cid:125)(−0,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291).
𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥
′
(cid:252)(cid:253)(cid:33)𝑥∈(cid:13) =2∞+2 (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:252)(cid:253)− (cid:125)(0,+𝑦 )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)∞.
𝑥 −𝑥
(cid:252)(cid:253) 𝑦 +1) |∞ | | +1|(cid:73) 𝑓(𝑥) ∞
(cid:252)(cid:253)𝑓(2𝑎−1)+≤1𝑓(24𝑎 2+ ⇒+1𝑎 −1 3≤22+𝑎 0(cid:73)(cid:56)(cid:249) 0(cid:223) (cid:246)
(cid:254)(cid:20)𝑎(cid:10)−B.2𝑎 ≤ 𝑎 4𝑎 ⇒ 𝑎 6𝑎≥ 𝑎≥ 𝑎≤−2
(cid:22)(cid:255)(cid:58)6-1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:240)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )=( )3+sin( )+5(cid:73)(cid:187)(cid:30)(cid:57)(cid:58) ( +1)+ ( )
10(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑓 2𝑥 𝑓 1−𝑥
≥ A(cid:246)[0,+ ) B(cid:246)[1,+ ) C(cid:246)[2,+ ) D(cid:246)[3,+ )
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)∞(cid:276)(cid:21)(cid:200)(cid:210)(cid:249) ( +1∞)= ( )(cid:73)(cid:210)(cid:303)∞( +1)+ ( ) 1∞0(cid:137)(cid:16)(cid:167) ( +1)
( +1)(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:45)(cid:13)(cid:210)(cid:249) (𝑓)𝑥(cid:125)( ,+10−)(cid:193)𝑓 1(cid:35)−(cid:36)𝑥(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:250)𝑓(cid:210)2𝑥(cid:249) +1𝑓 1−𝑥+1≥. 𝑓 2𝑥 ≥𝑓
(cid:22)𝑥(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:21)(cid:210)(cid:249)𝑓(𝑥+1)−∞= ∞3+sin (cid:73) 2𝑥 ≥𝑥
𝑓 𝑥 −5 𝑥 𝑥(cid:252)(cid:253) ( +1) =( )3+sin( )= 3 sin (cid:73)
(cid:250)(cid:129)𝑓(−𝑥+1) −5+ (−𝑥+1) =−0𝑥(cid:73)(cid:250)−𝑥( −+1)𝑥= ( )(cid:73)
(cid:254)(cid:30)(cid:57)𝑓 𝑥(cid:58) ( −+51)𝑓+−(𝑥 )−510(cid:57)(cid:321)(cid:212)𝑓(𝑥 +1) 10−(𝑓+11−)𝑥(cid:73)
(cid:280) ( )=𝑓3(2𝑥 )2+c𝑓os1(−𝑥 ≥)(cid:73) 𝑓 2𝑥 ≥𝑓 𝑥
′
𝑓 𝑥 𝑥−1 𝑥−1
(cid:220) ,1+ (cid:148)(cid:73)cos( ) 0(cid:73)(cid:254) ( ) 0(cid:73)
2 2
π π
′
𝑥∈ 1− 𝑥−1 ≥ 𝑓 𝑥 ≥
(cid:220) 1+ ,+ (cid:148)(cid:73)
2 2
π π
𝑥∈ −∞,1− ∪2 ∞
3( )2 3× >1(cid:73)cos( ) [ ](cid:73)(cid:254) ( ) 0(cid:73)
2
π
′
(cid:250)𝑥− ( 1 ) ≥0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:254) ( )(cid:125)(𝑥−1,+ ∈ −)1(cid:193),1(cid:35)(cid:36)(cid:168)𝑓(cid:169)𝑥(cid:73)≥
′
(cid:254)𝑓(cid:276)𝑥( ≥+1) ( +𝑓1)𝑥(cid:210)(cid:249)−∞+1 ∞ +1(cid:73)(cid:250) 0.
(cid:254)(cid:20)(cid:10)𝑓 2A𝑥. ≥𝑓 𝑥 2𝑥 ≥𝑥 𝑥≥
(cid:22)(cid:255)(cid:58)6-2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:284)(cid:331)(cid:361)(cid:362)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:225)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167) (cid:73)(cid:45)(cid:13)(cid:167) ( )(cid:73)(cid:177)(cid:220) 0(cid:148)(cid:73) ( )> (cid:73)
′ ′
(cid:201)(cid:172)(cid:212)(cid:199)(cid:200)(cid:34)(cid:71)(cid:13) ( )= ( )+ (cid:73)(cid:187)(cid:30)𝑓(cid:57)𝑥(cid:58) ( ) 𝑅( )<3 2𝑓 𝑥+2(cid:34)(cid:56)𝑥(cid:165)≥(cid:167)(cid:238) 𝑓(cid:245)𝑥 2𝑥−1
A(cid:246)( ,1) 𝑥,𝑓 − B 𝑥 (cid:246) 1𝑓 ,1 𝑥 2𝑥 C(cid:246) 𝑓 21𝑥 , − + 1 −𝑓 𝑥 D 𝑥 (cid:246) −5𝑥 1 (1,+ )
3 3 3
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)∞(cid:28)(cid:225) ( )= ( ) 2+ (cid:73)(cid:41)(cid:42)(cid:21)(cid:200)(cid:73)(cid:210)−(cid:319) ∞(cid:167)R(cid:193)(cid:34)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)−∞(cid:201),− ∪ (cid:125)(0,+ ∞ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
(cid:125)( ,0)(cid:193)(cid:35)(cid:36)𝑔(cid:168)𝑥(cid:170)(cid:73)𝑓(cid:280)𝑥(cid:276)−(𝑥 𝑥) ( )<3 2 𝑔+(𝑥2)(cid:137)(cid:16)(cid:167) ( ) ( 𝑔(𝑥))2+( ∞)< ( ) 2
+ −(cid:73)∞(cid:250) ( )< ( )(cid:73)(cid:250)𝑓(cid:210)2(cid:249)𝑥−(cid:56)1.−𝑓 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑓 2𝑥−1 − 2𝑥−1 2𝑥−1 𝑓 𝑥 −𝑥
(cid:22)𝑥(cid:56)(cid:144)(cid:93)𝑔(cid:251)2(cid:28)𝑥−(cid:182)1(cid:167) 𝑔( 𝑥)= ( )+ (cid:73)
(cid:225) ( )= ( ) 2𝑓+−(cid:73)𝑥 𝑓 𝑥 2𝑥
(cid:187)𝑔(𝑥 )=𝑓 𝑥(−𝑥) 𝑥2 = ( )+ 2 = (cid:73)
(cid:250)𝑔 −𝑥(cid:167)R(cid:193)𝑓(cid:34)−(cid:269)𝑥 −(cid:33)𝑥(cid:13)−(cid:73)𝑥 𝑓 𝑥 2𝑥−𝑥 −𝑥 𝑔(𝑥)
(cid:280)𝑔(cid:220)(𝑥) 0(cid:148)(cid:73) ( )> (cid:73)
′
(cid:187) (𝑥≥)= ( )𝑓 𝑥 +12𝑥>−01(cid:73)(cid:252)(cid:253) (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125)( ,0)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
′ ′
(cid:182)𝑔(cid:167)𝑥( 𝑓 )𝑥 −(2𝑥)<3 2 +2(cid:73)𝑔(𝑥) ∞ −∞
(cid:252)(cid:253)𝑓(2𝑥−1)−𝑓( 𝑥 )2𝑥+−(5𝑥 )< ( ) 2+ (cid:73)
(cid:250) (𝑓 2𝑥−)1<−(2𝑥)(cid:73)−1(cid:252)(cid:253)| 2𝑥−1|<|𝑓|(cid:73)𝑥(cid:250)−(𝑥 𝑥)2< 2(cid:73)
𝑔 12𝑥−1 𝑔 𝑥 2𝑥−1 𝑥 2𝑥−1 𝑥
(cid:56)(cid:249) < <1.
3
𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)B.(cid:22)(cid:255)(cid:58)6-3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:281)(cid:282)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155) ( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:125) (cid:193)(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73) ( )= ( ) e + (cid:363)(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:125) (cid:193)
𝑥
′
(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:187)(cid:3)(cid:212) (cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:58) ( 2)+ (𝑓 𝑥+2)>0(cid:34)𝑅(cid:56)(cid:165)(cid:167)(cid:238) (cid:245) 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −2 𝑥 𝑅
A(cid:246)( ) 𝑥(3,+ ) 𝑔 1−𝑥 𝑔 2𝑥 B(cid:246)( ) (1,+ )
C(cid:246)(−∞,−)1 ∪ ∞ D(cid:246)(−∞,−)3 ∪ ∞
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)1(cid:28),3(cid:41)(cid:42) ( )(cid:167)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:127) ( )(cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:210)−(cid:43)3,1( )(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:210)(cid:96)(cid:97) ( )(cid:167)R(cid:193)(cid:34)(cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:118)(cid:147)(cid:210)(cid:43)
′
(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:56). 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167) ( )= ( ) e + (cid:73)(cid:254) ( ) e + + ( ) e =0(cid:73)
𝑥 𝑥 −𝑥
′ ′ ′
(cid:254) ( )+ ( )=𝑔2e𝑥 +2𝑓e 𝑥(cid:73)−2 𝑥 𝑓 𝑥 −2 𝑥 𝑓 −𝑥 −2 −𝑥
𝑥 −𝑥
′ ′
(cid:182)𝑓(cid:167)𝑥( )(cid:111)𝑓(cid:160)−(cid:163)𝑥(cid:125) (cid:193)(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:254) ( )+ ( )=0(cid:73)
(cid:254) (𝑓)𝑥 ( )=𝑅0(cid:73)(cid:254) ( )=e +𝑓e𝑥 (cid:73)(cid:254)𝑓 −(𝑥)= e +e + (cid:73)
𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥
′ ′ ′
(cid:131)𝑓(cid:148)𝑥(−)𝑓=−𝑥e e +1𝑓 𝑥 +1<0(cid:73)(cid:254) (𝑔 )𝑥(cid:167)R(cid:193)−(cid:34)(cid:170)(cid:33)(cid:13)(cid:73)𝑥
𝑥 −𝑥
′
(cid:147) (𝑔 𝑥2)+−( −+2)>≤0(cid:57)−(cid:321)2 (cid:212) ( 2)>𝑔 𝑥( )(cid:73)
(cid:250)𝑔 1−2𝑥< 𝑔 2𝑥(cid:250) 2 >0(cid:73)𝑔(cid:254)1−𝑥< (cid:223)𝑔 −>2𝑥3−2
(cid:254)1(cid:20)−(cid:10)𝑥A .−2𝑥−2 𝑥 −2𝑥−3 𝑥 −1 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:45)(cid:13)(cid:3)(cid:49)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:72)7(cid:28)(cid:238)2024·(cid:284)(cid:331)(cid:364)(cid:365)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:167) ( )(cid:73)(cid:201) (1)=e(cid:73)(cid:220) >0(cid:148)(cid:73) ( )< +e (cid:73)
𝑥
′ ′
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
( ) ln
(cid:187)(cid:30)(cid:57)(cid:58) >1(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167)(cid:238) (cid:245)
e
𝑓 𝑥 − 𝑥
𝑥
A(cid:246)(0,1) B(cid:246)(0,+ ) C(cid:246)(1,+ ) D(cid:246)(0,1) (1,+ )
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:276)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:16)(cid:102)(cid:59)(cid:60)∞(cid:23)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:249)∞(cid:23)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:250)(cid:210)∪(cid:43)(cid:56)(cid:322)(cid:30)∞(cid:57)(cid:58).
( ) ln
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:30)(cid:57)(cid:58) >1(cid:57)(cid:321)(cid:212) >e +ln (cid:73)(cid:250) e +ln >0(cid:73)
e
𝑓 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)− 𝑥
1
(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) = e +ln >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) = e (cid:73)
𝑥 𝑥
′ ′
𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)− 𝑥,𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)− −𝑥
1
(cid:182)(cid:167) >0(cid:148)(cid:73) ( )< +e (cid:73)(cid:252)(cid:253) <0(cid:172) (0,+ )(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
𝑥
′ ′
(cid:252)(cid:253) 𝑥 (cid:125)(0, 𝑓 + 𝑥)(cid:35)(cid:36)𝑥 (cid:168)(cid:170)(cid:73) 𝑔(𝑥) ∀𝑥∈ ∞
(cid:280)(cid:182)𝑔(cid:167)(𝑥) = ∞ e ln1=0(cid:73)
(cid:252)(cid:253)(cid:30)𝑔(cid:57)((cid:58)1) 𝑓(1e)−+−ln >0(cid:57)(cid:321)(cid:212) ( )> (1)(cid:73)(cid:252)(cid:253)0< <1(cid:73)
𝑥
( ) ln 𝑓(𝑥)− 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥
(cid:250) >1(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167)(0,1).
e
𝑓 𝑥 − 𝑥
𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)A.(cid:22)(cid:255)(cid:58)7-1(cid:28)(cid:238)2024·(cid:240)(cid:366)(cid:345)(cid:367)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:225)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167) (cid:34)(cid:269)(cid:33)(cid:13) = ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:167) = ( )(cid:73)(cid:177) ( )+
′ ′
( +1)2(cid:363)(cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:201) ( +4)> ( 2+1)(cid:73)(cid:187)(cid:71)(cid:13)𝑅 (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)𝑦(cid:101)𝑓(cid:111)𝑥(cid:238) (cid:245) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
𝑥 A(cid:246)( ) (3,+𝑓 2)𝑎 𝑓 𝑎 B(cid:246)( 𝑎 ) (1,+ )
C(cid:246)(−∞,−)1 ∪ ∞ D(cid:246)(−∞,−)3 ∪ ∞
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)3(cid:28),1(cid:180)(cid:248) = + +1)2(cid:73)(cid:96)(cid:97) −1(cid:34),3(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:127)(cid:268)(cid:269)(cid:37)(cid:73)(cid:276)(cid:265)(cid:155)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:127)(cid:268)(cid:269)
′
(cid:37)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:246)𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑥 𝑔(𝑥)
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167) = (cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
(cid:252)(cid:253) = (cid:73)𝑦(cid:252)𝑓(cid:253)(𝑥) = (cid:73)
′ ′
(cid:248) 𝑓(−=𝑥) 𝑓(+𝑥) +1)2−(cid:73)𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥)
′
(cid:182)𝑔(cid:167)(𝑥)( )𝑓+((𝑥)+1(𝑥)2(cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
′
(cid:187) 𝑓 𝑥= 𝑥 (cid:73)(cid:250) + +1)2= + +1)2(cid:73)
′ ′
(cid:250)𝑔(−𝑥) +𝑔(𝑥)+1)𝑓2=(−𝑥) +(−𝑥 +1)2(cid:73)𝑓(𝑥) (𝑥
′ ′
(cid:252)−(cid:253)𝑓(𝑥) =(−𝑥 (cid:73) 𝑓(𝑥) (𝑥
′
(cid:220) >𝑓0(𝑥(cid:148))(cid:73)−2𝑥 = <0(cid:73)(cid:250) (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:187) (cid:125)( ,0)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′
(cid:276)𝑥 +4)𝑓>(𝑥) 2−+21𝑥)(cid:73)(cid:250) (| 𝑓(+𝑥)4|)> (∞2+1)(cid:73) 𝑓(𝑥) −∞
(cid:252)(cid:253)𝑓(2|𝑎 +4|<𝑓(2𝑎+1(cid:73)(cid:250) (𝑓2+2𝑎1)< +𝑓4𝑎< 2+1(cid:73)(cid:56)(cid:249) < (cid:223) >3(cid:73)
(cid:250)(cid:71)(cid:13)2𝑎(cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)𝑎 (cid:101)(cid:111)( − 𝑎) (3,+2𝑎)(cid:246) 𝑎 𝑎 −1 𝑎
(cid:254)(cid:20)(cid:10)𝑎A(cid:246) −∞,−1 ∪ ∞
(cid:22)(cid:255)(cid:58)7-2(cid:28)(cid:238)2024·(cid:368)(cid:318)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)( ,0)(cid:73)(cid:86)(cid:45)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:369)(cid:370) ( ) ( )>0(cid:73)
′ ′
(cid:187)(cid:30)(cid:57)(cid:58) ( +2024) ( +2024)2 ( )<𝑓 0𝑥(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167)(cid:238) −(cid:245)∞ 𝑓 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 −2𝑓 𝑥
A(cid:246)(𝑓 𝑥 −)𝑥 𝑓 −1 B(cid:246)( )
C(cid:246)(−2025,−20)24 D(cid:246)(−2024,0 )
−∞,−2024 ( ) −∞,−2025 ( 2024) ( )
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:248) ( )= (cid:73)(cid:43)(cid:45)(cid:210)(cid:249) ( )(cid:125)( ,0)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:276)(cid:265)(cid:155)(cid:210)(cid:249) < (cid:73)(cid:210)(cid:249)
2 ( 2024)2 2
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥+ 𝑓 −1
( +2024)< ( 𝑔 𝑥 )(cid:73)(cid:210)𝑥(cid:249)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:56) 𝑔 (cid:165)𝑥 . −∞ 𝑥+ (−1) 𝑔
(cid:22)𝑥(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)𝑔(cid:276)−(cid:21)1(cid:200)(cid:155)(cid:73)(cid:220) ( ,0)(cid:148)(cid:73) ( ) ( )>0(cid:73)
′
(cid:248) ( )= ( ) (cid:73)(cid:187) ( )= 2𝑥(∈) −∞( )= (𝑥)𝑓 𝑥( −)< 2𝑓 0(cid:73) 𝑥
𝑓 𝑥 2 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 − 4 2𝑥𝑓 𝑥 𝑥𝑓 ′ 𝑥 − 3 2𝑓 𝑥
′
(cid:252) 𝑔 (cid:253)𝑥 ( )(cid:125)𝑥 ( ,0 𝑔 )(cid:193)𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)𝑥 𝑥
𝑔 𝑥 −∞ ( 2024) ( )
(cid:30)(cid:57)(cid:58) ( +2024) +2024)2 ( )<0(cid:57)(cid:321)(cid:212) < (cid:73)
( 2024)2 2
𝑓 𝑥+ 𝑓 −1
𝑓 𝑥 −(𝑥 𝑓 −1 𝑥+ (−1)+2024>
(cid:250)(cid:167) ( +2024)< ( )(cid:73)(cid:252)(cid:253) (cid:73)(cid:56)(cid:249) < < .
+2024<0
𝑥 −1
(cid:254)(cid:20)(cid:10) 𝑔 A 𝑥 . 𝑔 −1 𝑥 −2025 𝑥 −2024
( )
(cid:22)(cid:255)(cid:58)7-3(cid:28)(cid:238)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:160)(cid:163)(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:34)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:369)(cid:370) ( ) >0(cid:73)(cid:201) (1)
𝑓 𝑥
′
=1(cid:73)(cid:187)(cid:30)(cid:57)(cid:58) (e ) ( +1)e >0(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:167)(cid:238) (cid:245) ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑥 −1 𝑓
𝑥 𝑥
A(cid:246)(0,+ 𝑓) −B𝑥(cid:246)(1,+ ) C(cid:246)( ,0) D(cid:246)( ,1)
∞ (∞) −∞ −∞
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )= ln (cid:73)(cid:41)(cid:42)(cid:21)(cid:200)(cid:249) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:30)(cid:57)(cid:58) (e ) ( +1)e >0
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
𝑔 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑔 𝑥 ∞ 𝑓 − 𝑥
(e )
(cid:210)(cid:137)(cid:16)(cid:167) lne >1(cid:73)(cid:250) (e )> (1)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56).
e𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 𝑥
− 𝑔 𝑔
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:225) ( )= ( ) ln (cid:73)(cid:187) ( )= ( ) ( ) 1 = ( ) ( ) (cid:246)
𝑓 𝑥 𝑥𝑓 ′ 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 𝑥𝑓 ′ 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 −𝑥
′
𝑔 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥
( )
(cid:182)(cid:167) ( ) > >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( ) ( ) >0(cid:73)
𝑓 𝑥
′ ′
(cid:252)(cid:253) 𝑓 ( 𝑥 ) − >0 𝑥(cid:73) − (cid:252) 1 (cid:253) 0, ( 𝑥 )(cid:125)(0,+ 𝑥 ) 𝑓 (cid:193)(cid:35)𝑥 − (cid:36) 𝑓 (cid:168)𝑥(cid:169) − (cid:246) 𝑥
′
𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ∞ (e )
(cid:30)(cid:57)(cid:58) (e ) ( +1)e >0(cid:210)(cid:137)(cid:16)(cid:167) lne >1(cid:73)
e𝑥
𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥
𝑓 − 𝑥 −
(e ) (1)
(cid:280) (e )= lne (cid:73)(cid:201) (1)= ln1=1(cid:73)
e𝑥 1
𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓
𝑔 − 𝑔 −
(cid:250) (e )> (1)(cid:73)(cid:252)(cid:253)e >1(cid:73)(cid:56)(cid:249) >0(cid:73)
𝑥 𝑥
(cid:250)𝑔(cid:30)(cid:57)(cid:58) 𝑔(e ) ( +1)e >0(cid:34)(cid:56)(cid:165)𝑥(cid:167)(0,+ )(cid:246)
𝑥 𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)A(cid:246)𝑓 − 𝑥 ∞
(cid:90)(cid:38)(cid:35)(cid:20)(cid:21)
1(cid:246)(cid:238)2024·(cid:277)(cid:278)(cid:227)(cid:145)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:33)(cid:13) = 1 2 ln (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:167)(cid:238) (cid:245)
2
𝑦 𝑥 − 𝑥
A(cid:246)( ] B(cid:246)[ ] C(cid:246)[1,+ ) D(cid:246)(0,1]
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)1,(cid:28)1 (cid:180)(cid:249)(cid:247)(cid:33)(cid:13)(cid:34)−(cid:160)1(cid:163),1(cid:164)(cid:73)(cid:183)(cid:248) ( )<0(cid:73)(cid:56)∞(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:250)(cid:210).
′
𝑓 𝑥 1
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)(0,+ )(cid:73) ( )= (cid:73)(cid:248) ( )<0(cid:73)(cid:56)(cid:249)(cid:10)0< <1(cid:73)
′ ′
(cid:88)(cid:98)(cid:90)(cid:208)(cid:371)(cid:61)(cid:30)(cid:173) 𝑓 (cid:174)𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)∞ (0,1 𝑓 ](cid:193)𝑥(cid:35)(cid:36) 𝑥 (cid:168) − (cid:170)𝑥 . 𝑓 𝑥 𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)D. 𝑓 𝑥
2(cid:246)(cid:238)2024·(cid:193)(cid:256)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:125)(cid:39)(cid:40) (cid:193)(cid:73) ( )>0(cid:111)(cid:33)(cid:13) = ( )(cid:125)(cid:372)(cid:39)(cid:40)(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:34)(cid:238) (cid:245)(cid:197)(cid:198)
′
A(cid:246)(cid:196)(cid:67)(cid:30)(cid:373)(cid:62) 𝐼 𝑓 𝑥 B(cid:246)(cid:373)𝑦(cid:62)(cid:30)𝑓(cid:196)𝑥(cid:67)C(cid:246)(cid:196)(cid:62) D(cid:246)(cid:374)(cid:30)(cid:196)(cid:67)(cid:363)(cid:30)(cid:373)(cid:62)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28) = ( )(cid:125)(cid:372)(cid:39)(cid:40)(cid:260)(cid:261)(cid:169) ( ) 0,(cid:20)(cid:247)(cid:144)(cid:375).
′
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)𝑦=𝑓(𝑥)(cid:125)(cid:372)(cid:39)(cid:40)(cid:260)(cid:261)(cid:169)⇔𝑓(𝑥)≥0(cid:73)(cid:250) = ( )(cid:210)(cid:81)(cid:85)(cid:125)(cid:372)(cid:39)(cid:40)(cid:114)(cid:209)(cid:125)(cid:45)(cid:13)(cid:167)0(cid:34)(cid:66)(cid:120)(cid:73)
′
(cid:52)(cid:340) ( )= 3𝑦(cid:125)R𝑓(cid:193)𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:201) (0⇔)=𝑓 0𝑥(cid:73)≥ 𝑦 𝑓 𝑥
′
(cid:254) (𝑓)𝑥>0(cid:111)𝑥(cid:33)(cid:13) = ( )(cid:125)(cid:372)(cid:39)(cid:40)𝑓(cid:260)(cid:261)(cid:169)(cid:34)(cid:196)(cid:67)(cid:30)(cid:373)(cid:62)(cid:197)(cid:198).
′
(cid:254)𝑓(cid:20)(cid:10)𝑥 A. 𝑦 𝑓 𝑥
7 2 2
3(cid:246)(cid:238)2024·(cid:376)(cid:334)(cid:377)(cid:378)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155) =ln (cid:73) =cos (cid:73) = (cid:73)(cid:187) (cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:49)(cid:167)(cid:238) (cid:245)
5 5 5
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎,𝑏,𝑐
A(cid:246) > > B(cid:246) > > C(cid:246) > > D(cid:246) > >
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)𝑎 (cid:190)𝑏(cid:28)(cid:82)𝑐(cid:27)(cid:287)(cid:286)(cid:379)(cid:380)𝑏(cid:7)(cid:58)𝑐(cid:10)𝑎ln(1+ ) (cid:52)𝑐(cid:53) 𝑏(cid:73)𝑎(cid:183)(cid:276)(cid:94)(cid:381)(cid:33)(cid:13) 𝑐=c𝑎os (cid:34)𝑏(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:52)(cid:53) .
𝑥 ≤𝑥 𝑎,𝑐 2 𝑦 𝑥 2 1 𝑐,𝑏2
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)ln(1+ ) (cid:73)(cid:220) =0(cid:148)(cid:57)(cid:9)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:155) < (cid:73) 0< < < (cid:73) cos >cos = > (cid:73)
5 3 2 5 3 2 5
π π π
𝑥 ≤𝑥 𝑥 𝑎 𝑐 ∵ ∴
< .
(cid:254)∴(cid:20)𝑐 (cid:10)𝑏B.
4(cid:246)(cid:238)2024·(cid:382)(cid:383)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) = >0)(cid:73) (cid:167)(cid:71)(cid:13)(cid:73) (cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:167) (cid:73)(cid:125)(cid:384)(cid:90)(cid:78)(cid:381)(cid:385)(cid:105)
𝛼
′
(cid:49)(cid:87)(cid:73) (cid:44) (cid:34)(cid:54)(cid:339)(cid:46)(cid:47)(cid:30)(cid:210)(cid:81)(cid:111)𝑓((cid:238)𝑥) (cid:245)𝑥 (𝑥 𝛼 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
′
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
A(cid:246) B(cid:246)
C(cid:246) D(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:180)(cid:367)(cid:93)(cid:235)(cid:99)(cid:360)(cid:386)(cid:275)(cid:249)A(cid:89)(cid:387)(cid:70)(cid:73)(cid:172)(cid:212)B, C, D(cid:89)(cid:73)(cid:367)(cid:93)(cid:46)(cid:47)(cid:79)(cid:388)(cid:67)(cid:68)(cid:210)(cid:249) >1(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:186)(cid:33)(cid:13)
(cid:46)(cid:47)(cid:389)(cid:61)(cid:34)(cid:390)(cid:391)(cid:353)(cid:354)C(cid:89). 𝛼
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276) = ,(cid:210)(cid:249) ( )=
𝛼 ′ 𝛼−1
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓 𝑥 𝛼𝑥 1
(cid:172)(cid:212)A(cid:73)(cid:220) = (cid:148)(cid:73)(cid:125)(cid:107)(cid:90)(cid:47)(cid:392)(cid:193) = (cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:172)(cid:50) ( )= = (cid:46)(cid:47)(cid:125)(cid:107)(cid:277)(cid:47)(cid:392)(cid:201)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:254)A
2
−1 ′ −2
(cid:89)(cid:387)(cid:70)(cid:130) 𝛼 −1 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑥 −𝑥(cid:172)(cid:212)B,C,D,(cid:125)(cid:107)(cid:90)(cid:47)(cid:392)(cid:193) ( )(cid:44) (cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:145)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:254) >0(cid:201) >0(cid:73)(cid:187) >1.
′
(cid:280)(cid:276) ( )= ( )(cid:210)(cid:249) =𝑓 𝑥>1(cid:73)𝑓((cid:250)𝑥) = (cid:44) ( ∞)= (cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:389)(cid:61)𝛼(cid:393)(cid:385)(cid:105)(cid:50)𝛼−(cid:54)1(cid:212)1(cid:73)(cid:313)(cid:314)𝛼 C(cid:89)(cid:30)(cid:387)(cid:70)(cid:73)
′ 𝛼 ′ 𝛼−1
B, D𝑓(cid:89)𝑥(cid:394)(cid:387)𝑓(cid:70).𝑥 𝑥 𝛼 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓 𝑥 𝛼𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)C.
1
5(cid:246)(cid:238)2024·(cid:240)(cid:366)(cid:395)(cid:308)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:177)(cid:33)(cid:13) ( )= sin cos (cid:125)(0, )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:187) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111)(cid:238) (cid:245)
2
A(cid:246)( ] B(cid:246)[ + ) 𝑓 𝑥 C(cid:246)( 2𝑥− ,1 𝑎 ] 𝑥 π D(cid:246)[1,+ ) 𝑎
−∞,−1 −1, ∞ −∞ ∞1
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:180)(cid:43)(cid:247)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:396)(cid:397)(cid:230)(cid:303)(cid:21)(cid:213)(cid:197)(cid:198)(cid:137)(cid:16)(cid:167) (cid:125)(0,1](cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:130)(cid:183)(cid:59)(cid:60)(cid:33)
𝑓 𝑥 𝑎≥2𝑡−𝑡
1
(cid:13) = (cid:73)(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:43)(cid:247)(cid:304)(cid:54)(cid:99)(cid:250)(cid:210)(cid:56)(cid:144).
𝑦 2𝑡−𝑡
1
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167)(cid:33)(cid:13) ( )= sin cos (cid:125)(0, )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
2
(cid:252)(cid:253) ( )=cos + si 𝑓 n 𝑥 0(cid:125)(0 2 , 𝑥 ) − (cid:193) 𝑎 (cid:203)(cid:227) 𝑥 (cid:291)(cid:73)(cid:250)π sin2 + sin 0(cid:125)(0, )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291).
′
(cid:248)t=𝑓sin𝑥 (0,2𝑥)(cid:73)𝑎 𝑥≥ π 1−2 𝑥 𝑎 𝑥≥ π
(cid:187) (0𝑥,1,𝑥](cid:73)∈ π
𝑡∈ 1
(cid:252)(cid:253) (cid:125)(0,1](cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291).
𝑎≥2𝑡−𝑡
1
(cid:280)(cid:182)(cid:167) = (cid:125)(0,1](cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
(cid:252)(cid:253)(cid:220)
𝑦
=1
2
(cid:148)
𝑡−𝑡
=1(cid:73)
max
(cid:254) 1𝑡. 𝑦
(cid:254)𝑎(cid:20)≥(cid:10)D.
6(cid:246)(cid:238)2024·(cid:240)(cid:316)(cid:345)(cid:398)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) (cid:34)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:73)(cid:201) (2)= (cid:73)(cid:172)(cid:199)(cid:200) (cid:73) + <0(cid:73)(cid:187)
′
(cid:30)(cid:57)(cid:58)( +1) ( +1)> 2(cid:34)(cid:56)(cid:165)(cid:111)𝑓(cid:238)(𝑥 ) (cid:245) 𝑓 −1 𝑥∈𝑅 𝑓(𝑥) 𝑥𝑓(𝑥)
A(cid:246)(𝑥 ,1)𝑓 𝑥 B(cid:246)−( ,2) C(cid:246)(1,+ ) D(cid:246)(2,+ )
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−(cid:190)∞(cid:28)(cid:225) ( )= ( −)(cid:73)∞(cid:276) = + ∞<0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73) (cid:125)R(cid:193)∞(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:276)( +1) ( +1)
′ ′
> 2(cid:210)(cid:249) +𝑔1)𝑥>g(𝑥2𝑓)(cid:73)𝑥(cid:276)(cid:35)(cid:36)𝑔(cid:37)(𝑥(cid:56)) (cid:30)𝑓(cid:57)(𝑥(cid:58)) (cid:250)𝑥(cid:210)𝑓.(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:56)−(cid:144)(cid:93)(cid:251)𝑔(cid:28)(𝑥(cid:225) ( )= ( )(cid:73)(cid:187) (2)= = (cid:73)
(cid:172)(cid:199)(cid:200) (cid:73)𝑔 𝑥 +𝑥𝑓 𝑥 <0𝑔(cid:73) 2𝑓(=2) −2+ <0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:250) (cid:125)R(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
′ ′ ′
(cid:276)∵( +1)𝑥(∈𝑅+1𝑓)(>𝑥) 2(cid:210)𝑥𝑓(cid:249)(𝑥) +1)∴>𝑔g((𝑥2))(cid:73)𝑓(𝑥)+1𝑥<𝑓2(𝑥(cid:73))(cid:56)(cid:249) <1(cid:73)(cid:250)(cid:56)𝑔((cid:165)𝑥)(cid:167)( ,1).
(cid:254)(cid:20)𝑥(cid:10)A.𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥 ∴𝑥 𝑥 −∞
7(cid:246)(cid:238)2024·(cid:114)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:294)(cid:402)(cid:235)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= 2 cos (cid:73)(cid:187) ln2 (cid:73) ln3 (cid:73) ln5 (cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:49)(cid:167)
2 3 5
𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑓 𝑓 − 𝑓 −(cid:238) (cid:245)
A(cid:246) ln5 < ln3 < ln2 B(cid:246) ln2 < ln5 < ln3
5 3 2 2 5 3
𝑓 − 𝑓 − 𝑓 𝑓 𝑓 − 𝑓 −
C(cid:246) ln5 < ln2 < ln3 D(cid:246) ln3 < ln5 < ln2
5 2 3 3 5 2
𝑓 − 𝑓 𝑓 − 𝑓 − 𝑓 − 𝑓
【解题思路】先判断函数 ( )= 2 cos 的奇偶性，利用导数判断函数 ( )的单调性，令 ( )= ln , >3，
𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑥
ln3 ln4 1n5
利用导数判断 ( )的单调性，从而可得1> > > >0，进而可得比较函数值的大小．
3 4 5
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28) 𝑔 𝑥 ( )= 2 cos (cid:73)
( )=( ∵)2𝑓 𝑥cos(𝑥 −)= 𝑥2 cos = ( )(cid:73) ( )(cid:111)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
∴𝑓( −)𝑥= +−𝑥sin−(cid:73) −𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑓 𝑥 ∴𝑓 𝑥
′
(cid:220)𝑓 0𝑥< 2<𝑥1(cid:148)(cid:73)𝑥 ( )>0(cid:73)(cid:254)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125)(0,1)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′
𝑥 ln 𝑓 𝑥 ln𝑓 𝑥
(cid:248) ( )= , >3(cid:73)(cid:187) ( )= <0(cid:73)
2
𝑥 1− 𝑥
′
(cid:250) 𝑔 (cid:33)(cid:13)𝑥 ( 𝑥 )(cid:125) 𝑥 (3,+ )(cid:193) 𝑔 (cid:35)𝑥(cid:36)(cid:168)(cid:170)𝑥 (cid:73)(cid:254) (3)> (4)> (5)(cid:73)
𝑔ln𝑥3 ln4 1∞n5 ln4 1n2𝑔 𝑔 𝑔
(cid:250)(cid:210)1> > > >0(cid:73)(cid:147) = (cid:73)
3 4 5 4 2
(cid:252)(cid:253) ln3 > ln2 > ln5 (cid:73)
3 2 5
𝑓 𝑓 𝑓
ln5 < ln2 < ln3 (cid:246)
5 2 3
(cid:254) ∴𝑓 (cid:20)−(cid:10)C(cid:246) 𝑓 𝑓 −
8(cid:246)(cid:238)2024·(cid:282)(cid:403)(cid:404)(cid:278)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:160)(cid:163)(cid:125)R(cid:193)(cid:34)(cid:268)(cid:33)(cid:13) (cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:111)(cid:90)(cid:197)(cid:405)(cid:406)(cid:30)(cid:97)(cid:34)(cid:285)(cid:286)(cid:73) (cid:111) (cid:34)(cid:45)
′
(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:220) >0(cid:148)(cid:73) + >0(cid:73)(cid:201) =2(cid:73)(cid:187)𝑓((cid:30)𝑥)(cid:57)(cid:58) +1)3 +1)>16(cid:34)(cid:56)(cid:165)𝑓(cid:167)(𝑥(cid:238)) 𝑓(cid:245)(𝑥)
′
A(cid:246)(1𝑥,+ ) 3𝑓(𝑥) 𝑥𝑓(𝑥) 𝑓(2B)(cid:246) (2(𝑥,+ ) 𝑓(𝑥
C(cid:246) ,1∞) D(cid:246)(−∞,−2)∪(1,+∞)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(−(cid:190)∞(cid:28)(cid:41)(cid:42) +1)3 ( +1)>16(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(−(cid:367)∞(cid:93),−3(cid:43))(cid:45)∪(cid:407)(cid:134)(cid:82)∞(cid:27)(cid:265)(cid:155)(cid:197)(cid:198)(cid:210)(cid:155)(cid:203)(cid:167)(cid:184)(cid:13)(cid:73)(cid:252)(cid:253)(cid:210)(cid:155) ( )
= 3 ( )(cid:125) >0(cid:148)((cid:111)𝑥 (cid:35)(cid:36)(cid:168)𝑓(cid:169)𝑥 (cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:183)(cid:69)(cid:70)(cid:265)(cid:155)(cid:197)(cid:198)(cid:280)(cid:210)(cid:155) ( )= 3 ( )(cid:111)(cid:269)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:294)(cid:268)(cid:269)(cid:37)𝑔 𝑥
(cid:56)(cid:30)𝑥(cid:57)𝑓 (cid:58)𝑥 (cid:250)(cid:210)𝑥 . 𝑔 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248) ( )= 3 ( )(cid:73)(cid:187) ( )=3 2 ( )+ 3 ( )= 2 ( )+ ( ) (cid:73)
′ ′ ′
(cid:182)(cid:167)(cid:220) >0(cid:148)(cid:73)𝑔 𝑥( )+𝑥 𝑓 (𝑥 )>0𝑔(cid:73)(cid:252)𝑥 (cid:253) (𝑥)𝑓(cid:125)𝑥(0,+𝑥 𝑓)(cid:193)𝑥(cid:35)(cid:36)𝑥(cid:168)3(cid:169)𝑓(cid:73)𝑥 𝑥𝑓 𝑥
′
(cid:280) ( )(cid:167)𝑥 (cid:268)(cid:33)(cid:13)(cid:73)3𝑓(cid:201)𝑥(cid:46)(cid:47)𝑥(cid:405)𝑓(cid:406)𝑥(cid:30)(cid:97)(cid:73)(cid:252)(cid:253)𝑔(𝑥)(cid:167)(cid:269)(cid:33)(cid:13)∞(cid:73)
(cid:276)𝑓( 𝑥+1)3 ( +1)>23 (2)(cid:73)(cid:249)| +1|>𝑔2𝑥(cid:73)(cid:56)(cid:249) < (cid:223) >1.
𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 −3 𝑥(cid:254)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:178)(cid:38)(cid:88)(cid:20)(cid:21)
9(cid:246)(cid:238)2024·(cid:358)(cid:331)(cid:408)(cid:409)·(cid:90)(cid:241)(cid:245)(cid:177) ( )= 1 3+ 1 2+ +1(cid:111)(cid:39)(cid:40)( +4)(cid:193)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:187)(cid:71)(cid:13) (cid:34)(cid:99)
3 2
(cid:210)(cid:253)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 − 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑚−1,𝑚 𝑚
A(cid:246) B(cid:246) C(cid:246)3 D(cid:246)4
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)−4(cid:190)(cid:28)(cid:43)(cid:45)(cid:73)(cid:67)(cid:68)(cid:45)−(cid:33)3(cid:13)(cid:34)(cid:184)(cid:185)(cid:249)(cid:264)(cid:322)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:183)(cid:276)(cid:265)(cid:155)(cid:290)(cid:291)(cid:3)(cid:212) (cid:34)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:410)(cid:73)(cid:56)(cid:247)(cid:250)(cid:210)(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:21)(cid:200)(cid:73) ( )= 2+ +2= ( )( +1)(cid:73) 𝑚
′
(cid:248) ( )>0(cid:73)(cid:56)(cid:249) <𝑓 <𝑥 2(cid:73)−(cid:248)𝑥 (𝑥)<0(cid:73)−(cid:56)(cid:249)𝑥−2<𝑥 (cid:223) >2(cid:73)
′ ′
(cid:252)𝑓(cid:253)𝑥( )(cid:125) (cid:193)−1(cid:35)(cid:36)𝑥(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:125)𝑓( 𝑥 )(cid:73)(2,+𝑥 )−(cid:193)1(cid:35)(cid:36)𝑥 (cid:168)(cid:170)(cid:73)
(cid:177)(cid:33) 𝑓 (cid:13) 𝑥 ( ) ( = −1,21) 3+ 1 2+ +1(cid:125) − (cid:39) ∞ (cid:40) ,− ( 1 + ∞ 4)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:73)
3 2
𝑓 𝑥 − 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑚−1,𝑚
(cid:187) +4 (cid:223) 2(cid:223) (cid:73)(cid:56)(cid:249) (cid:223) 3(cid:223) (cid:73)
+4 2
𝑚−1≥−1
𝑚 ≤−1 𝑚−1≥ 𝑚≤−5 𝑚≥ 𝑚∈∅
(cid:250) (cid:223) 3. 𝑚 ≤
(cid:254)𝑚(cid:20)(cid:10)≤C−D5. 𝑚≥
10(cid:246)(cid:238)2024·(cid:333)(cid:345)(cid:6)(cid:300)·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155) ( )(cid:167)(0,+ )(cid:193)(cid:34)(cid:210)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:201)( +1) ( )> ( )(cid:73)(cid:187)(cid:266)(cid:267)(cid:30)(cid:57)(cid:58)
′
(cid:90)(cid:160)(cid:227)(cid:291)(cid:34)(cid:111)(cid:238) (cid:245) 𝑓 𝑥 ∞ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
A(cid:246) (4)< (3)B(cid:246) (4)> (3) C(cid:246) (3)< (2) D(cid:246) (3)> (2)
3𝑓 4𝑓 4𝑓 ( 5)𝑓 3𝑓 4𝑓 3𝑓 4𝑓
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:180)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )= (cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:96)(cid:97)(cid:372)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:130)(cid:183)(cid:82)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:250)(cid:210)(cid:96)(cid:97)(cid:411)(cid:208)(cid:20)(cid:89).
1
𝑓 𝑥
ℎ 𝑥 𝑥+
( )
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:225) ( )= (cid:73) (0,+ ).
1
𝑓 𝑥
ℎ 𝑥 𝑥+ 𝑥∈ ∞
( 1) ( ) ( )
(cid:187) ( )= .
( ′ 1)2
𝑥+ 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
′
(cid:182) ℎ (cid:167)( 𝑥 +1) ( 𝑥+ )> ( )(cid:252)(cid:253) ( )>0(cid:73)
′ ′
𝑥 𝑓 𝑥( ) 𝑓 𝑥 ℎ 𝑥
(cid:187)(cid:33)(cid:13) ( )= (cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
1
𝑓 𝑥
ℎ 𝑥 𝑥+ ∞
(4) (3)
(cid:252)(cid:253) (4)> (3)(cid:73)(cid:250) > (cid:73) (4)> (3)(cid:130)
5 4
𝑓 𝑓
ℎ ℎ 4𝑓 5𝑓
(3) (2)
(3)> (2)(cid:73)(cid:250) > (cid:73) (3)> (2)(cid:130)(cid:147)A(cid:296)(cid:230)(cid:159)(cid:160)(cid:130)(cid:254)BD(cid:184)(cid:159)(cid:73)AC(cid:412)(cid:413).
4 3
𝑓 𝑓
ℎ ℎ 3𝑓 4𝑓
(cid:254)(cid:20)(cid:10)BD.
11(cid:246)(cid:238)2024·(cid:239)(cid:240)(cid:414)(cid:308)·(cid:90)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155) ( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:34)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73) (0)=1(cid:73) (1)=0(cid:73) ( )+ ( )
( ) ( ) 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 2−𝑥
=0(cid:73) >0(cid:73)(cid:187)(cid:266)(cid:267)(cid:415)(cid:230)(cid:184)(cid:159)(cid:34)(cid:111)(cid:238) (cid:245)
𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
𝑥−1A(cid:246) (2)=1
𝑓 1
B(cid:246) (3)> (cid:238)e(cid:167)(cid:355)(cid:314)(cid:172)(cid:13)(cid:34)(cid:356)(cid:13)(cid:73)e 2.71828 (cid:245)
e
𝑓 ≈ ⋅⋅⋅
C(cid:246)(cid:209)(cid:125) R(cid:73) ( )<0
0 0
D(cid:246)(cid:177) 𝑥 (∈0,1)(cid:73)𝑓(cid:187)𝑥 ( ) (0,1)
0 0
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)𝑥(cid:28)∈(cid:276)(cid:322)(cid:33)(cid:13)(cid:294)𝑓(cid:45)𝑥(cid:33)(cid:13)∈(cid:34)(cid:172)(cid:416)(cid:37)(cid:96)(cid:97)A(cid:130)(cid:248) ( )=e ( )(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:21)(cid:225)(cid:197)(cid:198)(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:262)(cid:210)(cid:96)(cid:97)
𝑥
B(cid:73)C(cid:73)D. ℎ 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:182)(cid:167) ( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:34)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:111)(cid:160)(cid:163)(cid:164)(cid:167)R(cid:34)(cid:210)(cid:45)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
(cid:182)(cid:167) ( )+ ( )𝑔=𝑥0(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:34)(cid:46)(cid:417)(cid:3)𝑓(cid:212)𝑥(cid:61)(1,0)(cid:172)(cid:416)(cid:73) 𝑓 𝑥
(cid:252)(cid:253)𝑔(𝑥)=𝑔(2−𝑥)+ (cid:73)(cid:147) (1𝑔)𝑥= (1)+ =0(cid:73)(cid:254) ( )= ( )(cid:73)
(cid:252)(cid:253)𝑓(𝑥)(cid:34)(cid:46)𝑓(cid:417)2−(cid:3)𝑥(cid:212) 𝐶=1(cid:172)𝑓(cid:416)(cid:73) 𝑓 𝐶⇒𝐶 𝑓 𝑥 𝑓 2−𝑥
𝑓(𝑥) ( ) 𝑥
(cid:182)(cid:167) >0(cid:73)(cid:254) >1(cid:148)(cid:73) ( )+ ( )>0(cid:73)
𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
(cid:252)(cid:253) ( 𝑥− ) 1 + ( )>0(cid:73) 𝑥 (cid:225) ( )= 𝑓 e 𝑥 ( 𝑔 )(cid:73)𝑥
𝑥
′
(cid:254) >𝑓1𝑥(cid:148)(cid:73)𝑓 (𝑥)=e (ℎ)+𝑥 ( )𝑓>𝑥0(cid:73)(cid:254) ( )(cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:167)(cid:169)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
𝑥
′ ′
(cid:384)(cid:15)𝑥 ( )(cid:125)(ℎ 𝑥,1)(cid:193)(cid:167)𝑓(cid:170)𝑥(cid:33)(cid:13)𝑓(cid:73)𝑥 ℎ 𝑥 ∞
(cid:172)(cid:212)ℎA𝑥(cid:73)(cid:182)(cid:167)−∞( )= ( )(cid:73)(cid:254) (0)=1= (2)(cid:73)(cid:254)A(cid:184)(cid:159)(cid:130)
(cid:172)(cid:212)B(cid:73) (3) 𝑓 = 𝑥 e3 (3 𝑓 ) 2 > −𝑥 =e 𝑓 2 (2)=e2 𝑓 (cid:73)(cid:254) (3)> 1 (cid:73)(cid:254)B(cid:184)(cid:159)(cid:130)
e
ℎ 𝑓 ℎ(2) 𝑓 𝑓
(cid:172)(cid:212)C(cid:73)(cid:220) >1(cid:148)(cid:73) ( )> (1)=e (1)=0(cid:130)
(cid:220) <1(cid:148)(cid:73)𝑥 ( )> (ℎ1)𝑥=0(cid:73)ℎ(cid:147) =1𝑓(cid:148)(cid:73) (1)=0(cid:73)
(cid:254)𝑥( ) 0(cid:203)ℎ(cid:227)𝑥(cid:291)(cid:73)ℎ(cid:254)C(cid:412)(cid:413)(cid:130)𝑥 ℎ
(cid:172)(cid:212)ℎ 𝑥D(cid:73)≥(cid:220)0< <1(cid:148)(cid:73) ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)
(0)=e0 (0)=𝑥1(cid:73) (1)=ℎ 0𝑥(cid:73) (cid:252)(cid:253) ( ) (0,1)(cid:73)
(cid:254)ℎ 0< <𝑓1(cid:148)(cid:73)e (ℎ) (0,1)(cid:73)(cid:147)e ℎ>𝑥1(cid:73)∈(cid:254) ( ) (0,1)(cid:73)(cid:254)D(cid:184)(cid:159)(cid:130)
𝑥 𝑥
(cid:254)(cid:20)(cid:10)𝑥ABD. 𝑓 𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ∈
(cid:94)(cid:38)(cid:142)(cid:143)(cid:21)
1 5
12(cid:246)(cid:238)2024·(cid:333)(cid:334)(cid:418)(cid:414)·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:177) = (cid:73) =tan (cid:73) =ln (cid:73)(cid:187)a(cid:73)b(cid:73)c(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:49)(cid:111) < < (cid:238)(cid:419)(cid:27)
3 9 4
π
𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏
“<”(cid:405)(cid:420)(cid:245)(cid:246)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:421)(cid:160)(cid:197)(cid:198)(cid:73)(cid:59)(cid:60)(cid:33)(cid:13) ( )=tan ( )=ln( +1) (0,1)(cid:73)(cid:183)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:250)
(cid:210). 𝑓 𝑥 𝑥−𝑥,𝑔 𝑥 𝑥 −𝑥,𝑥∈(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248)(cid:33)(cid:13) ( )=tan (cid:73) (0,1)(cid:73)(cid:249) ( )= cos2 sin ( sin ) = 1 >0(cid:73)
cos2 cos2
𝑥− 𝑥⋅ − 𝑥
′
𝑓 𝑥 𝑥−𝑥 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 −1 𝑥−1
(cid:250)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125)(0,1)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73) ( )> (0)=0(cid:73)(cid:187) >0(cid:73)
9
π
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑓
1
(cid:250) =tan > > = (cid:73)
9 9 3
π π
𝑏 𝑎
1
(cid:248)(cid:33)(cid:13) ( )=ln( +1) (0,1)(cid:73)(cid:249) ( )= <0(cid:73)
1
′
𝑔 𝑥 𝑥 −𝑥,𝑥∈ 𝑔 𝑥 𝑥+ −1
(cid:250)(cid:250)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125)(0,1)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73) ( )< (0)=0(cid:73)(cid:187) 1 <0(cid:73)
4
𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔
5 1 1
(cid:250) =ln < < =
4 4 3
𝑐 𝑎
(cid:252)(cid:253)a(cid:73)b(cid:73)c(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:49)(cid:111) < <
(cid:254)(cid:144)(cid:375)(cid:167)(cid:10) < < . 𝑐 𝑎 𝑏
13(cid:246)(cid:238)2024·𝑐(cid:277)(cid:278)𝑎·(cid:241)𝑏(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= 2+( )e +5(cid:125)(cid:39)(cid:40)( +2)(cid:193)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:187)m(cid:34)
𝑥
(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111) 2 . 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥−2 −2𝑥 3𝑚−1,𝑚
3
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:41)−(cid:42)1,(cid:21)(cid:200)(cid:210)(cid:155) = ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)( +2)(cid:129)(cid:255)(cid:9)(cid:204)(cid:61)(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:255)(cid:9)(cid:204)(cid:61)(cid:44)(cid:421)(cid:160)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:3)(cid:49)(cid:43)
(cid:56)(cid:250)(cid:210). 𝑦 𝑓′ 𝑥 3𝑚−1,𝑚
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:21)(cid:200)(cid:155) ( )=( )e + =(e +2)( )(cid:73)
𝑥 𝑥
(cid:182)(cid:167) ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)( 𝑓′ 𝑥+2)(cid:193)𝑥(cid:30)−1(cid:35)(cid:36)(cid:73)2(cid:250)𝑥−2= ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)𝑥−(1 +2)(cid:129)(cid:255)(cid:9)(cid:204)(cid:61)(cid:73)(cid:280)e +2>0(cid:73)(cid:252)(cid:253)
𝑥
( )𝑓=𝑥 =1(cid:73)3𝑚−(1),𝑚> >1(cid:73) ( )<𝑦 𝑓′<𝑥1(cid:73) 3𝑚−1,𝑚
(cid:252)𝑓′(cid:253)𝑥 =01⇒(cid:125)𝑥(cid:39)(cid:40)( 𝑓′ 𝑥 0+⇒2𝑥)(cid:114)(cid:73) 𝑓′ 𝑥 0⇒𝑥
(cid:252)(cid:253) 𝑥 <1 (cid:73) 3 (cid:56) 𝑚 (cid:249) −1,𝑚 < < 2 (cid:73)(cid:250)m(cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:111) 2 .
+2>1 3 3
3𝑚−1
−1 𝑚 −1,
(cid:254)(cid:144)(cid:375)𝑚(cid:167)(cid:10) 2 .
3
−1,
14(cid:246)(cid:238)2024·(cid:23)(cid:422)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:225)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:125) (cid:193)(cid:209)(cid:125)(cid:45)(cid:13) ( )(cid:73)(cid:172)(cid:212)(cid:199)(cid:200)(cid:34)(cid:71)(cid:13) (cid:73)(cid:129) ( ) ( )+ =0(cid:73)(cid:220)
′
( ,0](cid:148)(cid:73) ( )+1< .(cid:177)𝑓(𝑥2+𝑅) ( ) 𝑓 𝑥 +2(cid:73)(cid:187)(cid:71)(cid:13) (cid:34)(cid:98)𝑥(cid:99)(cid:100)(cid:101)𝑓 (cid:111)𝑥 − 𝑓( −𝑥 2]𝑥 .
′
𝑥(cid:22)∈(cid:56)(cid:21)−∞(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:59)𝑓(cid:60)𝑥(cid:33)(cid:13) ( 2)𝑥= (𝑓) 2𝑚+−(cid:73)𝑓(cid:41)−(cid:42)𝑚(cid:21)≤(cid:200)2(cid:294)𝑚(cid:45)(cid:13)(cid:43)(cid:249)(cid:33)(cid:13)𝑚( )(cid:125)( ,0](cid:193)(cid:35)−(cid:36)∞(cid:168),−(cid:170)1(cid:73)(cid:183)(cid:276) ( )
= ( )(cid:73)(cid:249)(cid:264) ( )(cid:167)(cid:269)𝑔(cid:33)𝑥(cid:13)(cid:73)(cid:69)𝑓 𝑥(cid:70)−(cid:172)𝑥(cid:416)(cid:37)𝑥(cid:249)(cid:264) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)𝑔(cid:169)𝑥(cid:73)(cid:215)−(cid:30)∞(cid:57)(cid:58) (2+ ) ( )𝑔 −𝑥
𝑔 𝑥+2(cid:73)(cid:137)𝑔(cid:16)𝑥(cid:167) (2+ ) ( )(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)𝑔(cid:56)𝑥. ∞ 𝑓 𝑚 −𝑓 −𝑚
(cid:22)≤(cid:56)2𝑚(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:248)(cid:33)(cid:13)𝑔 ( )𝑥= ≤(𝑔)−𝑚2+ (cid:73)
(cid:182)(cid:167) ( ,0](cid:73)(cid:148)𝑔(𝑥)+1𝑓<𝑥 −(cid:73)𝑥 (cid:252)(cid:253)𝑥 ( )= ( ) +1<0(cid:73)
′ ′ ′
(cid:252)(cid:253)𝑥(cid:33)∈(cid:13)−(∞)(cid:125) (𝑓 𝑥,0](cid:193)(cid:35)2(cid:36)𝑥(cid:168)(cid:170)(cid:73)𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −2𝑥
𝑔 𝑥 𝑥∈ −∞(cid:280)(cid:182)(cid:167) ( ) ( )= ( ) 2+ ( ) 2 = ( ) ( )+ =0(cid:73)
(cid:252)(cid:253)(cid:33)𝑔(cid:13)𝑥(−𝑔)−=𝑥 ( )𝑓(cid:73)𝑥(cid:252)−(cid:253)𝑥 ( 𝑥)−(cid:167)[(cid:269)𝑓 −(cid:33)𝑥(cid:13)−(cid:73)(−𝑥) −𝑥] 𝑓 𝑥 −𝑓 −𝑥 2𝑥
(cid:41)(cid:42)(cid:269)(cid:33)𝑔(cid:13)(cid:34)−𝑥(cid:172)(cid:416)𝑔(cid:37)𝑥(cid:73)(cid:210)(cid:249) (𝑔)𝑥(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
(cid:177) (2+ ) ( ) +𝑔2𝑥 ∞
(cid:187)𝑓(2+𝑚)−+𝑓(2−+𝑚 ≤)22𝑚(2+ ) ( ) ( )2+( ) +2(cid:73)
(cid:152)𝑔(cid:15)(cid:249) (𝑚2+ ) 𝑚( −)(cid:73)(cid:252)𝑚(cid:253)−|2𝑔+−𝑚| −|−𝑚|(cid:73) −𝑚 ≤2𝑚
(cid:186)(cid:423)(cid:424)(cid:229)𝑔 (cid:210)(cid:249)𝑚2≤+𝑔 −+𝑚4 2(cid:73)(cid:56)(cid:249)𝑚 ≤ −𝑚(cid:73)(cid:250)(cid:71)(cid:13) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:167) .
(cid:254)(cid:144)(cid:375)(cid:167)(cid:10) 𝑚 4𝑚. ≤𝑚 𝑚≤−1 𝑚 (−∞,−1]
(cid:277)(cid:38)(cid:56)(cid:144)(cid:21)(−∞,−1]
e
15(cid:246)(cid:238)2024·(cid:382)(cid:383)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )= .
𝑥
(1)(cid:220) =1(cid:148)(cid:73)(cid:43) ( )(cid:125)(cid:61)( (0)) 𝑓 (cid:192)𝑥(cid:34)(cid:287)𝑥(cid:286)+𝑎(cid:229)(cid:251)(cid:130)
(2)(cid:177)𝑎( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)(𝑓0,𝑥+ )(cid:193)(cid:35)0,𝑓(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:43)(cid:71)(cid:13)a(cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101).
𝑓 𝑥 ∞ e
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:276) =1(cid:249)(cid:264) ( )= (cid:73)(cid:183)(cid:82)(cid:27)(cid:45)(cid:13)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:200)(cid:163)(cid:43)(cid:56)(cid:130)
𝑥1
e ( 𝑎 ) 𝑓 𝑥 𝑥+
(cid:238)2(cid:245)(cid:43)(cid:45) ( )= (cid:73)(cid:41)(cid:42) ( )(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:276) ( ) 0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:43)(cid:56).
𝑥 2
𝑥+𝑎−1
′ ′
𝑓 𝑥 (𝑥+𝑎) 𝑓 𝑥 ∞ 𝑓 𝑥 ≥
e
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:56)(cid:10)(cid:220) =1(cid:148)(cid:73) ( )= (cid:73)
𝑥1
e ( 1) e e 𝑎 𝑓 𝑥 𝑥+
( )= = (cid:73)
𝑥 1)2 𝑥 1𝑥)2
𝑥+ − 𝑥
′
𝑓 (cid:187)𝑥 (0)=1 (𝑥 (cid:73) + (0)= (𝑥 0 + (cid:73)
′
(cid:252)𝑓(cid:253)(cid:220) =1(cid:148)𝑓(cid:73) ( )(cid:125)(cid:61)( (0))(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:229)(cid:251)(cid:167) =1.
𝑎 e ( 𝑓 𝑥 ) 0,𝑓 𝑦
(cid:238)2(cid:245) ( )= (cid:73)
𝑥 2
𝑥+𝑎−1
′
(cid:182)(cid:167) 𝑓 ( ) 𝑥(cid:125)(cid:39)(cid:40) (𝑥 ( + 0 𝑎 , ) + )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
𝑓 𝑥 e ( )∞
(cid:252)(cid:253) ( )= 0(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
𝑥 2
𝑥+𝑎−1
′
(cid:250) + 𝑓 𝑥 0 (𝑥 (cid:125) +𝑎 (cid:39) ) (cid:40) ≥ (0,+ )(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)∞(cid:73)
(cid:252)𝑥(cid:253) 𝑎−1≥(cid:125)(cid:39)(cid:40)(0,+ ∞)(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
(cid:182)(cid:167)𝑎(cid:220)≥1−(0𝑥,+ )(cid:148)(cid:73) ∞ ( ,1)(cid:73)
(cid:252)(cid:253) 𝑥1∈(cid:73)(cid:250)a∞(cid:34)(cid:98)(cid:99)1(cid:100)−(cid:101)𝑥∈(cid:111)[−1,∞+ ).
16(cid:246)𝑎(cid:238)≥23-24(cid:24)(cid:94)(cid:193)·(cid:334)(cid:350)·(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:428)(cid:245)∞(cid:265)(cid:155)R(cid:193)(cid:210)(cid:45)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:340)(cid:46)(cid:252)(cid:341)(cid:73)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)( 2 ) ( )
′
>0. 𝑓 𝑥 𝑥 −2𝑥−3 𝑓 𝑥(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:67)(cid:68)(cid:46)(cid:417)(cid:247)(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:16)(cid:102)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:56)(cid:247)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:56)(cid:165).
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:276)(cid:21)(cid:200)(cid:127)(cid:46)(cid:249)(cid:73)
(cid:125) ( )(cid:87)(cid:73)
(cid:220)𝑓 𝑥( )(cid:73)(1,+ )(cid:148)(cid:73) ( )>0(cid:73)
′
(cid:220)𝑥∈(−∞,−)(cid:148)1 (cid:73) ( )<∞0. 𝑓 𝑥
′
𝑥∈ −1,1 𝑓 𝑥 ( )>0 ( )<0
(cid:187)( 2 ) ( )> (cid:223) .
2 >0 2 <0
′ ′
′ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:56) 𝑥(cid:249)−2(cid:73)𝑥−<3 𝑓 𝑥(cid:223) > 0⇔ 3(cid:73)𝑥(cid:56)−2𝑥(cid:249)−(cid:73)3 < ① <1𝑥(cid:73)−2𝑥−3 ②
(cid:297)①(cid:193)(cid:73)(cid:30)(cid:57)𝑥(cid:58)−(12 𝑥 ) ( ②)>0(cid:34)−(cid:56)1(cid:165)(cid:167)𝑥( ) ( ) (3,+ ).
′
𝑥 −2𝑥−3 𝑓 𝑥 −∞,−1 ∪ −1,1 ∪ ∞
17(cid:246)(cid:238)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:240)(cid:325)(cid:326)(cid:327)·(cid:94)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) ( )=ln
1
𝑥−1
(1)(cid:43) ( )(cid:125)( (1))(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:130) 𝑓 𝑥 𝑥−𝑥+
𝑓 𝑥 20231,𝑓 1
(2)(cid:52)(cid:53)ln (cid:44) (cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:263)(cid:415)(cid:320)(cid:15)(cid:276).
2024 4047
−
2 1 1
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:43)(cid:249) ( )= >0(cid:73)(cid:249)(cid:264) (1)= (cid:73)(cid:201) (1)=0(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:45)(cid:13)(cid:34)(cid:76)(cid:77)(cid:200)(cid:163)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:43)(cid:56)(cid:130)
1)2 2
𝑥 +
′ ′
𝑓 𝑥 𝑥(𝑥+ ,𝑥 𝑓 𝑓
2023
(cid:238)2(cid:245)(cid:43)(cid:249) ( )>0(cid:73)(cid:249)(cid:264) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:69)(cid:70) (1)=0(cid:73)(cid:249)(cid:264)ln < (cid:250)(cid:210)(cid:249)(cid:264)ln <
1 2024
𝑥−1
′
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ∞ 𝑓 𝑥 𝑥+ −
1
.
4047
2 1
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:56)(cid:10)(cid:182)(cid:167)(cid:33)(cid:13) ( )=ln (cid:73)(cid:210)(cid:249) ( )= >0(cid:73)
1 1)2
𝑥−1 𝑥 +
′
𝑓 𝑥 𝑥−𝑥+ 𝑓 𝑥 𝑥(𝑥+ ,𝑥
1
(cid:210)(cid:249) (1)= (cid:73)(cid:201) (1)=0(cid:73)
2
′
𝑓 𝑓
1 1 1
(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)( (1))(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:229)(cid:251)(cid:167) = ( )(cid:73)(cid:250) = .
2 2 2
𝑓 𝑥 1,𝑓 2 𝑦 1 −0 𝑥−1 𝑦 𝑥−
(cid:238)2(cid:245)(cid:56)(cid:10)(cid:276) >0(cid:73)(cid:210)(cid:249) ( )= >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
1)2
𝑥 +
′
𝑥 𝑓 𝑥 𝑥(𝑥+ 𝑓 𝑥 ∞
(cid:280)(cid:276) (1)=0(cid:73)(cid:252)(cid:253) (0,1)(cid:148)(cid:73) ( )<0(cid:73)(cid:250)ln < (cid:125) (0,1)(cid:193)(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)
1
𝑥−1
𝑓 2023 𝑥∈ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥∈
2023 1 2023 1
(cid:252)(cid:253)ln <2024 = (cid:73)(cid:250)ln < .
2024 2023 1 4047 2024 4047
2024−1
18(cid:246)(cid:238)2024·(cid:284)(cid:331)+(cid:429)(cid:430) − ·(cid:178)(cid:241)(cid:245)(cid:265)(cid:155)(cid:33)(cid:13) − =ln + 2 + +1.
(1)(cid:319)(cid:320)(cid:285)(cid:286) = ( )(cid:125) =1(cid:192)(cid:34)(cid:287)(cid:286)(cid:93)𝑓(cid:322)(𝑥(cid:61)) (cid:130) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑥 𝑎
𝑦 𝑓 𝑥 𝑥(2)(cid:135)(cid:136) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:130)
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)𝑓(cid:190)𝑥 (cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:210)(cid:43)(cid:249)(cid:287)(cid:61)(cid:167) (cid:73)(cid:310)(cid:311) = (cid:73)(cid:187)(cid:287)(cid:286)(cid:229)(cid:251)(cid:167) = (cid:73)(cid:187)(cid:203)(cid:93)(cid:322)(cid:61)(cid:130)
(cid:238)2(cid:245)(cid:179)(cid:180)(cid:43)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)(cid:45)(cid:13)(cid:73)(cid:220) (=1,20𝑎(cid:148))(cid:73) 𝑘>02(cid:294)𝑎 <0(cid:73)(cid:210)(cid:249)𝑦( )(cid:34)2𝑎(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:130)(cid:220) 0(cid:148)(cid:73)(cid:248) ( )= 2
′ ′
+1(cid:73)(cid:220) >0(cid:148)𝑓(cid:276)𝑥 ( )= 2𝑎 +1(cid:34)(cid:96)𝑓((cid:189)𝑥)(cid:58) 0𝑓(cid:294)(𝑥)>0(cid:73)(cid:135)(cid:136)(cid:247)𝑓 (cid:33)𝑥 (cid:13) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:39)𝑎(cid:40)≠(cid:130)(cid:220) <0(cid:148)𝑡(cid:73)𝑥 ( )2𝑎𝑥
−=𝑥 2 +𝑎 1(cid:34)(cid:96)(cid:189)𝑡(cid:58)𝑥 >20𝑎(cid:73)𝑥(cid:135)−(cid:136)𝑥(cid:247)(cid:33)(cid:13) ( )(cid:34)Δ(cid:35)≤(cid:36)(cid:39)Δ(cid:40). 𝑓 𝑥 𝑎 𝑡 𝑥
2𝑎𝑥 −𝑥 Δ 1 𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:276)(cid:21)(cid:225)(cid:249) = + >0)(cid:73)(cid:252)(cid:253) (1)=1+ = (cid:73)
′ ′
(cid:280)(cid:182)(cid:167) = + +1= 𝑓(𝑥 (cid:73) ) (cid:252)(cid:253)𝑥 (cid:287) 2𝑎 (cid:61) 𝑥 (cid:167) −1(𝑥 (cid:73)(cid:310)(cid:311) = 𝑓 (cid:73) 2𝑎−1 2𝑎
(cid:252)(cid:253)(cid:287)𝑓(cid:286)(1(cid:229))(cid:251)(cid:167)𝑎−1 𝑎= 2𝑎 (cid:73)(cid:250) = ((cid:203)1,(cid:93)2𝑎(cid:322)) (cid:61)(cid:246) 𝑘 2𝑎
(cid:238)2(cid:245)(cid:276)(cid:238)1(cid:245)(cid:249)
𝑦−2𝑎
=
2𝑎2(𝑥−11)
>0
𝑦
)(cid:73)
2𝑎𝑥
2𝑎𝑥 −𝑥+
′
𝑓(𝑥) 𝑥 (𝑥
1
(cid:220) =0(cid:148)(cid:73) = (cid:73)
−𝑥+
′
𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥
(cid:220) (0,1)(cid:148)(cid:73) >0(cid:73) (cid:125)(0,1)(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′
(cid:220)𝑥∈(1,+ )(cid:148)𝑓(cid:73)(𝑥) <0𝑓(cid:73)(𝑥) (cid:125)(1,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)
′
(cid:220)𝑥∈ 0(cid:148)(cid:73)∞(cid:248) ( )𝑓=(𝑥) 2 +𝑓(1𝑥(cid:73)) (cid:187) = ∞ (cid:73)
𝑎≠ 𝑡 𝑥 2𝑎𝑥 −𝑥 1 Δ 1−8𝑎
(cid:220) >0(cid:201) = 0(cid:148)(cid:73)(cid:250) (cid:148)(cid:73) 0(cid:73) (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
8
′
𝑎 Δ 1−8𝑎≤ 𝑎≥ 𝑓(𝑥)≥ 𝑓(𝑥) ∞
1
(cid:220)0< < (cid:148)(cid:73) = >0(cid:73)
8
𝑎 Δ 1−8𝑎
(cid:276) ( )= 2 +1>0(cid:73)(cid:187)0< < (cid:73)(cid:223) >1 (cid:73)(cid:187) >0(cid:73)
1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎
′
𝑡 𝑥 2𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 4𝑎 𝑥 4𝑎 𝑓(𝑥)
(cid:252)(cid:253) (cid:125) 0, (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:130)
1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎
𝑓(𝑥) 4𝑎 4𝑎 ∞
(cid:276) ( )= 2 +1<0(cid:73)(cid:187) < <1 (cid:73)(cid:187) <0(cid:73)
1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎
′
𝑡 𝑥 2𝑎𝑥 −𝑥 4𝑎 𝑥 4𝑎 𝑓(𝑥)
(cid:252)(cid:253) (cid:125) ,1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)
1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎
(cid:220) < 𝑓 0 ( (cid:148) 𝑥) (cid:73) =4𝑎 >04(cid:73)𝑎 (cid:187) ( )= 2 +1(cid:167)(cid:431)(cid:432)(cid:433)(cid:266)(cid:34)(cid:178)(cid:95)(cid:33)(cid:13)(cid:73)
(cid:172)
𝑎
(cid:416)(cid:288) =
Δ1
<
1
0
−
(cid:73)
8𝑎
(0)=1(cid:73)
𝑡 𝑥1
=
2𝑎𝑥 1−𝑥
>1(cid:73)
𝑥 4𝑎 𝑡 𝑡 4𝑎 1−8𝑎
(cid:276) ( )= 2 +1>0(cid:73)(cid:187)0< <1 (cid:73)(cid:187) >0(cid:73)(cid:252)(cid:253) (cid:125) 0,1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
+ 1−8𝑎 + 1−8𝑎
′
𝑡 𝑥 2𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 4𝑎 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 4𝑎
(cid:276) ( )= 2 +1<0(cid:73)(cid:187) >1 (cid:73)(cid:187) <0(cid:73)(cid:252)(cid:253) (cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:130)
+ 1−8𝑎 + 1−8𝑎
′
(cid:297) 𝑡 (cid:193)𝑥(cid:10)(cid:220) 2𝑎 = 𝑥 0 − (cid:148) 𝑥 (cid:73) (cid:125)(0,1 𝑥 )(cid:193)(cid:35)(cid:36)4𝑎(cid:168)(cid:169)(cid:73) 𝑓(𝑥 (cid:125) ) (1,+ )(cid:193) 𝑓 (cid:35) (𝑥 (cid:36) ) (cid:168)(cid:170)(cid:130)4𝑎 ∞
1 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) ∞
(cid:220) (cid:148)(cid:73) (cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:130)
8
𝑎≥ 𝑓(𝑥) ∞(cid:220)0< < 1 (cid:148)(cid:73) (cid:125) 0, (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73) (cid:125) ,1 (cid:193)
8
1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎 1− 1−8𝑎 + 1−8𝑎
(cid:35)(cid:36)(cid:168) 𝑎 (cid:170)(cid:130) 𝑓(𝑥) 4𝑎 4𝑎 ∞ 𝑓(𝑥) 4𝑎 4𝑎
(cid:220) <0(cid:148)(cid:73) (cid:125) 1 ,+ (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73) (cid:125) 0,1 (cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169).
+ 1−8𝑎 + 1−8𝑎
19 𝑎 (cid:246)(cid:238)2024 𝑓 ·(cid:284) (𝑥 (cid:331) ) ·(cid:178)(cid:241)4(cid:245)𝑎 (cid:265)(cid:155)(cid:33)∞(cid:13) ( )= 2 e 𝑓(𝑥) ln (cid:246) 4𝑎
𝑥
1 𝑓 𝑥 𝑎 𝑥 −𝑥− 𝑥
(1)(cid:220) = (cid:148)(cid:73)(cid:43) ( )(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)(cid:130)
e
(2)(cid:220) 𝑎 >0(cid:148)(cid:73) ( 𝑓 ) 𝑥 (cid:73)(cid:43) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:246)
𝑎 𝑓 𝑥 ≥2−𝑎1 𝑎 1
(cid:22)(cid:56)(cid:21)(cid:139)(cid:190)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:220) = (cid:148)(cid:73) ( )= e ln >0(cid:73)(cid:43)(cid:45)(cid:249) ( )= ( e )(cid:73)(cid:248) ( )= e
e
𝑥−1 ′ 𝑥+ 𝑥−1 𝑥−1
(cid:73)(cid:43) ( )(cid:159)(cid:160) ( )(cid:34) 𝑎 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:44) 𝑓 (cid:98)𝑥(cid:99)(cid:73) 𝑥 (cid:118)(cid:147)(cid:159) −𝑥 (cid:160) − ( 𝑥, ) 𝑥 (cid:34)(cid:204)(cid:61)(cid:73)(cid:249)(cid:33) 𝑓 (cid:13)(cid:34)𝑥 (cid:35)(cid:36) 𝑥 (cid:39)(cid:40)𝑥 (cid:130) −1 𝑔 𝑥 𝑥
′ ′
−(cid:238)12(cid:245)(cid:43)𝑔 (𝑥)(cid:73)(cid:159)𝑔(cid:160)𝑥(cid:33)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:118)(cid:147)(cid:159)(cid:160)(cid:33)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:34)(cid:304)(cid:99)(cid:73)(cid:250)(cid:210)(cid:249) (cid:34)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:246)
′
𝑓 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑎
(cid:22)(cid:56)(cid:144)(cid:93)(cid:251)(cid:28)(cid:238)1(cid:245)(cid:220) = (cid:148)(cid:73) ( )= e ln >0(cid:73)
e
𝑥−1
𝑎 𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥− 𝑥,𝑥
1 1
(cid:187) ( )=( +1)e = ( e )(cid:73)
′ 𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1
(cid:225) 𝑓 ( 𝑥 )= e 𝑥 (cid:73)(cid:187) −1− ( 𝑥 )=( 𝑥 + 𝑥 1)e −1 >0(cid:203)(cid:227)(cid:291)(cid:73)(cid:280) (1)=e0 =0(cid:73)
𝑥−1 ′ 𝑥−1
(cid:252)(cid:253)𝑔 (cid:220)𝑥 𝑥(0,1)−(cid:148)1(cid:73) (𝑔)<𝑥 0(cid:73)𝑥( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170)(cid:73)(cid:220) (1,+𝑔 )(cid:148)(cid:73) −(1)>0(cid:73) ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
′ ′
(cid:252)(cid:253) (𝑥)∈(cid:34)(cid:170)(cid:39)(cid:40)(cid:167)𝑓(0,𝑥1)(cid:73)(cid:169)(cid:39)𝑓(cid:40)𝑥(cid:167)(1,+ )(cid:130) 𝑥∈ ∞ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:238)2(cid:245) 𝑓 𝑥 ( )= 2( +1)e 1 = 1 ( 2 e ∞ )(cid:73)
′ 𝑥 𝑥+ 𝑥
(cid:225) ( 𝑓 )=𝑥 2 e 𝑎 𝑥(cid:73)(cid:187) ( − ) 1 = −𝑥2( 𝑥 +1 𝑎 )e𝑥 >−01(cid:73)(cid:252)(cid:253) ( )(cid:125)(0,+ )(cid:193)(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
𝑥 𝑥
(cid:280) ℎ ( 𝑥 0)= 𝑎 𝑥 < − 0(cid:73) 1 1 ℎ = 𝑥 e 1 2 𝑎 > 𝑥 0(cid:73) ℎ 𝑥 ∞
2
𝑎
(cid:252) ℎ (cid:253)(cid:209)(cid:125) − 0 1 0, 1 ℎ (cid:73) 𝑎 (cid:305)(cid:249) ( − 0 1 )=0(cid:73)(cid:250) 2 0 e 0 =0(cid:73)
2
𝑥
(cid:220) (0, 𝑥 )(cid:148) ∈ (cid:73) 𝑎 ( )<0(cid:73) ℎ ( 𝑥 )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:170) 𝑎 (cid:73) 𝑥 −1
0
′
(cid:220)𝑥∈( 𝑥,+ )(cid:148)𝑓(cid:73)𝑥 ( )>0𝑓(cid:73)𝑥 ( )(cid:35)(cid:36)(cid:168)(cid:169)(cid:73)
0
′
(cid:220)𝑥∈= 𝑥(cid:148)(cid:73)∞( )(cid:98)(cid:249)𝑓 (cid:434)𝑥(cid:55)(cid:99)(cid:73)𝑓(cid:363)𝑥(cid:111)(cid:304)(cid:55)(cid:99)(cid:73)
0
(cid:252)(cid:253)𝑥 (𝑥) (𝑓 0 𝑥)= 2 0 e 0 0 ln 0 = ln( 0 e 0)=1+2ln (cid:73)
𝑥 𝑥
(cid:252)(cid:253)𝑓1+𝑥2≥ln𝑓 𝑥 𝑎(cid:73)𝑥(cid:250) +−2𝑥ln− 𝑥 01(cid:73)− 𝑥 𝑎
(cid:225) ( )= +𝑎≥2ln2−𝑎 (cid:73)(cid:275)𝑎(cid:155) ( )𝑎(cid:35)−1(cid:36)≥(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:201) (1)=0(cid:73)
(cid:252)𝐹(cid:253)𝑎( )𝑎 (1)(cid:73)𝑎−(cid:56)1(cid:249) 1𝐹(cid:73)𝑎 𝐹
(cid:297)(cid:193)𝐹(cid:73)𝑎 ≥1𝐹. 𝑎≥
𝑎≥
