文档内容
专题 2.3 幂函数与二次函数【七大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)........................................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:28)....................................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)............................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:55)(cid:37)(cid:54)(cid:21)(cid:28)..........................................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:21)(cid:28)......................................................................................................................14
1(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)
(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:48) (cid:62)(cid:21)(cid:63)(cid:64) (cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:52)
(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:32)(cid:90)(cid:61)(cid:31)
(cid:13)(cid:68)(cid:91)(cid:92)(cid:80)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:90)(cid:61)(cid:32)(cid:98)
(1)(cid:67)(cid:51)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:68)(cid:69) (cid:99)(cid:68)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:25)(cid:32)(cid:100)(cid:60)(cid:101)(cid:102)(cid:68)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:80)
(cid:70)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:36)(cid:110)(cid:74)(cid:111)(cid:25)(cid:112)(cid:68)
2020(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:10)(cid:84)7(cid:21)(cid:68)5(cid:66)
(2)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32) (cid:88)(cid:42)(cid:113)(cid:59)(cid:76)(cid:13)(cid:31)(cid:13)(cid:114)(cid:46)(cid:25)(cid:112)(cid:68)(cid:115)(cid:116)(cid:35)(cid:36)
2024(cid:80)(cid:85)(cid:86)(cid:83)(cid:10)(cid:84)2(cid:21)(cid:68)5(cid:66)
(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:59)(cid:76) (cid:113)(cid:76)(cid:30)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:51)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:78)(cid:25)(cid:118)(cid:68)(cid:119)(cid:61)
(cid:77)(cid:43)(cid:42)(cid:55)(cid:37)(cid:78)(cid:79) (cid:120)(cid:121)(cid:91)(cid:20)(cid:122)(cid:21)(cid:59)(cid:123)(cid:124)(cid:21)(cid:93)(cid:68)(cid:125)(cid:126)(cid:36)(cid:127)(cid:128)
(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:88)(cid:42)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:114)(cid:46)(cid:68)(cid:25)(cid:112)(cid:49)
(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44).
(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:60)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)(cid:21)(cid:135)(cid:136)(cid:28)
1.(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:106)(cid:53)(cid:87) ( (cid:137)R)(cid:68)(cid:129)(cid:93)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:13) (cid:68)(cid:143)(cid:144)(cid:138)(cid:145)(cid:140)(cid:141)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:33)(cid:129)(cid:51)(cid:52)(cid:53).
2.(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(cid:91)(cid:151)(cid:152)(0,1)(cid:153)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:93)(cid:113)(cid:13)(cid:154)(cid:38)(cid:68)(cid:31)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:155)(cid:104)x(cid:156)((cid:157)(cid:158)(cid:159)“(cid:113)(cid:38)(cid:40)(cid:161)”),(cid:91)(cid:151)(cid:152)(1,+ )(cid:153)(cid:68)(cid:30)(cid:31)
(cid:13)(cid:93)(cid:113)(cid:13)(cid:154)(cid:38)(cid:68)(cid:31)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:154)(cid:163)(cid:164)x(cid:156).
3.(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:38)(cid:39)
(cid:91)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:165)(cid:68)(cid:166)(cid:167)(cid:114)(cid:46)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:168)(cid:60)(cid:68)(cid:20)(cid:122)(cid:169)(cid:170)(cid:32)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:171)(cid:172)(cid:129)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:173)(cid:174)(cid:35)(cid:36)(cid:68)(cid:175)(cid:150)(cid:69)(cid:70)(cid:176)
(cid:141)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:177)(cid:43)(cid:44)(cid:87)(cid:51)(cid:21)(cid:32)(cid:3)(cid:178).(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:60)2 (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:179)(cid:118)(cid:28)
1(cid:180)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:32)(cid:48)(cid:118)
(1)(cid:140)(cid:181)(cid:53)(cid:118)(cid:10)(cid:182)(cid:131)(cid:183)(cid:60)(cid:184)(cid:185)(cid:68)(cid:20)(cid:27)(cid:140)(cid:181)(cid:53).
(2)(cid:186)(cid:60)(cid:53)(cid:118)(cid:10)(cid:182)(cid:131)(cid:186)(cid:60)(cid:184)(cid:185)(cid:59)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:187)(cid:55)(cid:38)(cid:73)(cid:39)(cid:79)(cid:37)(cid:68)(cid:20)(cid:27)(cid:186)(cid:60)(cid:53).
(3)(cid:188)(cid:60)(cid:53)(cid:118)(cid:10)(cid:182)(cid:131)(cid:42)x(cid:156)(cid:189)(cid:190)(cid:60)(cid:184)(cid:185)(cid:68)(cid:20)(cid:27)(cid:188)(cid:60)(cid:53).
(cid:22)(cid:131)(cid:132)(cid:60)3 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:28)
1(cid:180)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)
(1)(cid:191)(cid:192)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:47)(cid:103)“(cid:183)(cid:60)(cid:140)(cid:193)(cid:140)(cid:194)(cid:195)”(cid:173)(cid:174)(cid:66)(cid:52)(cid:68)“(cid:183)(cid:60)”(cid:93)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:60)(cid:87)(cid:186)(cid:60)(cid:68)(cid:196)(cid:189)(cid:141)(cid:60)(cid:87)(cid:40)(cid:41)(cid:153)
(cid:3)(cid:197)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:76)(cid:77)(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:60)(cid:68)(cid:88)(cid:198)(cid:42)x(cid:156)(cid:32)(cid:190)(cid:60)(cid:128)“(cid:140)(cid:193)”(cid:87)(cid:113)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:199)(cid:146)(cid:200)(cid:193)(cid:128)“(cid:140)(cid:194)(cid:195)”(cid:87)(cid:113)(cid:201)(cid:14)(cid:193)(cid:32)(cid:194)(cid:195)(cid:179)
(cid:202).
(2)(cid:48)(cid:51)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:139)(cid:3)(cid:32)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:54)(cid:21)(cid:68)(cid:149)(cid:171)(cid:172)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:168)(cid:203)(cid:68)(cid:66)(cid:52)(cid:117)(cid:78)(cid:3)(cid:204)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:146)(cid:147).
2(cid:180)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:42)(cid:55)(cid:37)
(cid:205)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:55)(cid:37)(cid:54)(cid:21)(cid:32)(cid:51)(cid:118)(cid:10)(cid:206)(cid:207)“(cid:183)(cid:60)(cid:140)(cid:156)”(cid:13)(cid:106)(cid:114)(cid:46)(cid:68)(cid:183)(cid:60)(cid:87)(cid:113)(cid:151)(cid:152)(cid:189)(cid:141)(cid:208)(cid:60)(cid:177)(cid:93)(cid:60)(cid:68)(cid:140)
(cid:156)(cid:113)(cid:32)(cid:87)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:209)(cid:96)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:210)(cid:66)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:32)(cid:214)(cid:215)(cid:48)(cid:51).
3(cid:180)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:21)
(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:142)(cid:13)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:140)(cid:181)(cid:139)(cid:189)(cid:141)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:10)(cid:140)(cid:87)(cid:66)(cid:164)(cid:142)(cid:13)(cid:128)(cid:49)(cid:87)(cid:117)(cid:66)(cid:164)(cid:142)(cid:13)(cid:68)(cid:200)(cid:219)(cid:171)(cid:172)(cid:197)(cid:31)(cid:13)
(cid:40)(cid:41)(cid:48)(cid:55)(cid:37).(cid:199)(cid:189)(cid:141)(cid:214)(cid:218)(cid:68)(cid:55)(cid:220)(cid:94)(cid:87)(cid:221)(cid:16)(cid:159)(cid:48)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:55)(cid:37)(cid:54)(cid:21).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)1(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:223)·(cid:224)(cid:225)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:223)(cid:229)(cid:31)(cid:13)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180) = 1 B(cid:180) =2 C(cid:180) =2 2 D(cid:180) =
3
𝑥 −1
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) 𝑦 (cid:218)(cid:28)𝑥 (cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33) 𝑦 (cid:34)(cid:149)(cid:231)(cid:232)(cid:176)(cid:20)(cid:233). 𝑦 𝑥 𝑦 −𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34),(cid:106)(cid:237) = (cid:68) R(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:68)
𝛼
1 𝑦 𝑥 𝛼∈
(cid:76)A(cid:68) = = (cid:68)(cid:239)A(cid:240)(cid:150)(cid:128)B(cid:68)C(cid:68)D(cid:241)(cid:117)(cid:242)(cid:46).
3
−3
(cid:239)(cid:20)(cid:10) 𝑦 A(cid:180)𝑥 𝑥
(cid:22)(cid:243)(cid:53)1-1(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)·(cid:250)(cid:93)(cid:79)(cid:223)(cid:229)(cid:114)(cid:213)(cid:240)(cid:150)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:140)(cid:33)(cid:235)(cid:251)(cid:60)
1
B(cid:180) =1,3, (cid:165)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:13) = (cid:87)(cid:252)(cid:31)(cid:13)
2
𝛼
𝛼 𝑦 𝑥
C(cid:180)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:253)(cid:120)(cid:121)(cid:91)(cid:84)(cid:254)(cid:41)(cid:255)
D(cid:180) =2 2(cid:256)(cid:87)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:257)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:13)
𝑦 𝑥【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:51)(cid:10)幂函数图象不一定过原点，例如 = ，函数的图象不经过原点，故A不正确；
−1
(cid:170) =1,3, 1 (cid:165)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:13) = (cid:68) = 3(cid:68) = 1 2= (cid:91) 𝑦 (cid:33)(cid:34) 𝑥 (cid:258)(cid:101)(cid:241)(cid:159)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:239)B(cid:240)(cid:150)(cid:128)
2
(cid:230)(cid:31)𝛼 (cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:210)(cid:30)(cid:31)(cid:13)𝑦(cid:91)(cid:84)𝑥(cid:140)(cid:41)𝑦 (cid:255)𝑥(cid:241)(cid:139)𝑦(cid:40)(cid:41)𝑥(cid:149)(cid:131)(cid:68)𝑥(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:117)(cid:253)(cid:120)(cid:121)(cid:91)(cid:84)(cid:254)(cid:41)(cid:255)(cid:68)故C不正确；
函数 =2 2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如 = ( R)(cid:68)(cid:239)D(cid:117)(cid:240)(cid:150).
𝛼
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑦 B. 𝑥 𝑦 𝑥 𝛼∈
(cid:22)(cid:243)(cid:53)1-2(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:250)(cid:93)(cid:79)(cid:223)(cid:229)(cid:31)(cid:13)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:263)(cid:91)( ,0)(cid:87)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180) = 1 B(cid:180) = 3+1 C(cid:180) = D − (cid:180) ∞ = | |
−2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) 𝑦 (cid:218)(cid:28)𝑥 (cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:264) 𝑦 (cid:265)(cid:177) 𝑥 (cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:149)(cid:266)(cid:20)(cid:233)C 𝑦 (cid:240)(cid:150) 𝑥 . 𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:264)(cid:265)(cid:149)(cid:267)(cid:268)(cid:269)B(cid:59)D(cid:20)(cid:233)(cid:68)
1
(cid:270) = (cid:91)( ,0)(cid:87)(cid:271)(cid:31)(cid:13)(cid:68) = (cid:91)( ,0)(cid:87)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68)
−2
(cid:239) 𝑦 (cid:20)(cid:10)𝑥 C. −∞ 𝑦 𝑥 −∞
(cid:22)(cid:243)(cid:53)1-3(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:272)(cid:246)(cid:273)(cid:274)·(cid:250)(cid:93)(cid:79)(cid:121)(cid:139)(cid:223)(cid:229)(cid:31)(cid:13)(cid:10) = 3(cid:128) =4 2(cid:128) = 5+1(cid:128) =
( )2(cid:128) = (cid:68)(cid:129)(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:141)(cid:13)(cid:159)(cid:73) (cid:79) ①𝑦 𝑥 ②𝑦 𝑥 ③𝑦 𝑥 ④𝑦
𝑥−1A(cid:180)4⑤𝑦 𝑥 B(cid:180)3 C(cid:180)2 D(cid:180)1
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:197)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140)(cid:181)(cid:275)(cid:276)(cid:53)(cid:159)(cid:10) = ,( 0)(cid:128)
𝛼
(cid:277)(cid:140)(cid:76)(cid:35)(cid:149)(cid:131)(cid:21)(cid:278)(cid:93)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:139) = 3(cid:128)𝑦 𝑥= 𝛼(cid:279)≠(cid:189)(cid:141).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)C. ①𝑦 𝑥 ⑤𝑦 𝑥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)2(cid:28)(cid:73)2023·(cid:153)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:140)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131) (cid:68) R(cid:68)(cid:284)“ > ”(cid:87)“ 3> 3”(cid:32)(cid:73) (cid:79).
A(cid:180)(cid:285)(cid:66)(cid:286)(cid:166)(cid:61)(cid:146)(cid:147) 𝑎 𝑏∈ B(cid:180)(cid:166)(cid:61)𝑎(cid:286)𝑏(cid:285)(cid:66)(cid:146)𝑎(cid:147) 𝑏
C(cid:180)(cid:285)(cid:61)(cid:146)(cid:147) D(cid:180)(cid:256)(cid:286)(cid:285)(cid:66)(cid:287)(cid:286)(cid:166)(cid:61)(cid:146)(cid:147)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)
(cid:200)(cid:219)(cid:209)(cid:96)(cid:285)(cid:66)(cid:43)(cid:177)(cid:166)(cid:61)(cid:43)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:231)(cid:232)(cid:148)(cid:149).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13) = 3(cid:91)R(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)
(cid:289)(cid:267) > 3> 3(cid:68) 𝑦 𝑥
(cid:148)“ 𝑎> ”𝑏(cid:87)⇔“𝑎 3>𝑏 3”(cid:32)(cid:285)(cid:61)(cid:146)(cid:147).
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏(cid:239)(cid:20)(cid:10)C.
7
(cid:22)(cid:243)(cid:53)2-1(cid:28)(cid:73)2024·(cid:290)(cid:291)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131) =log 5 10(cid:68) =log 4 8(cid:68) =4 6 (cid:68)(cid:284)a(cid:59)b(cid:59)c(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:159)
𝑏−
(cid:73) (cid:79) 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:180) > > B(cid:180) > >
C(cid:180)𝑎> 𝑏> 𝑐 D(cid:180)𝑏>𝑐 >𝑎
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) 𝑐 (cid:218)(cid:28) 𝑏 (cid:16) 𝑎 (cid:157) =1+log 5 2(cid:68) = 1+log 5 5 𝑐 = 3 2 𝑎 (cid:68)(cid:289) 𝑏 (cid:267) < (cid:68)(cid:295)(cid:16)(cid:157) =4 1 3 (cid:68) 3= 4 1 3 3 > 3 2 3 = 3(cid:68)
(cid:239)(cid:149)(cid:266)(cid:120)(cid:234)(cid:296). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28) =log (5×2)=log 5+log 2=1+log 2(cid:68)
5 5 5 5
∵𝑎 1 3
=log (4×2)=log 4+log 2=1+ = 1+log 5= (cid:68) < (cid:68)
4 4 4 2 5 2
𝑏 =4 3 2 7 6=4 1 3 (cid:68) 3= 4 1 3 3 =4> 3 3 = 3(cid:68) ∴𝑎 𝑏
2
−
(cid:263)𝑐 = 3(cid:91)R(cid:153)∵(cid:159)𝑐 (cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68) > (cid:68)(cid:148) >𝑏 > (cid:68)
(cid:239)(cid:20)𝑦 (cid:10)𝑥C(cid:180) ∴𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎
(cid:22)(cid:243)(cid:53)2-2(cid:28)(cid:73)2024·(cid:81)(cid:246)(cid:297)(cid:298)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) = (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:235)(cid:60) (cid:180)(cid:299) = (20.3)(cid:68)
𝑛
= (0.32)(cid:68) = (log 0.3)(cid:68)(cid:284) (cid:68) (cid:68) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:87)𝑓(cid:73)(𝑥 ) (cid:79)(𝑚−1)𝑥 (𝑚,8) 𝑎 𝑓
2
𝑏 𝑓A(cid:180) < 𝑐< 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 B(cid:180) < <
C(cid:180)𝑏<𝑐<𝑎 D(cid:180)𝑎<𝑐<𝑏
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)𝑎(cid:218)(cid:28)𝑏(cid:209)𝑐(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:120)(cid:31)(cid:13) (cid:51)(cid:52)𝑐(cid:53)(cid:68)𝑏(cid:295)𝑎(cid:300)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:270)(cid:266)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:13) =( ) (cid:32)𝑓(cid:40)(𝑥(cid:41))(cid:235)(cid:60)( )(cid:68)(cid:284) =1(cid:68)(cid:263) =8(cid:68)
𝑛 𝑛
(cid:197)(cid:87)(cid:266) =2(cid:68) =3(cid:68)(cid:31)𝑓((cid:13)𝑥) 𝑚=−13(cid:68)𝑥 (cid:31)(cid:13) (cid:87)R𝑚(cid:153),8(cid:32)(cid:252)(cid:31)𝑚(cid:13)−(cid:68)1 𝑚
(cid:270)log 0𝑚.3<0<𝑛0.32<1<2𝑓0(.3𝑥(cid:68)) (cid:284)𝑥(cid:139) log 0𝑓.(3𝑥))< 0.32)< 20.3)(cid:68)
2 2
(cid:289)(cid:267) < < . 𝑓( 𝑓( 𝑓(
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑐 D𝑏. 𝑎
(cid:22)(cid:243)(cid:53)2-3(cid:28)(cid:73)2023·(cid:224)(cid:225)(cid:301)(cid:302)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131) (cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:170)0 2(cid:165)(cid:68) = 2(cid:68)(cid:170) >2(cid:165)(cid:68)
=| | (cid:68)(cid:284)(cid:73) (cid:79) 𝑓(𝑥) ≤𝑥≤ 𝑓(𝑥) 2𝑥−𝑥 𝑥
𝑓(𝑥)A(cid:180)𝑥−3( −126)> (20.3)> (30.3) B(cid:180) (20.3)> (30.3)> ( 26)
C(cid:180)−𝑓(− 26)>𝑓(30.3)>𝑓(20.3) D(cid:180)𝑓(30.3)>𝑓(20.3)>−𝑓(− 26)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)−(cid:218)𝑓(cid:28)−(cid:300)(cid:27)(cid:21)(cid:304)𝑓(cid:146)(cid:147)(cid:48)(cid:266)𝑓 ( )(cid:91)[1,3](cid:153)(cid:74)(cid:75)𝑓(cid:43)(cid:68)(cid:300)(cid:27)𝑓 (cid:159)(cid:303)−(cid:31)𝑓(cid:13)−(cid:48)(cid:266) ( 26) (cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:68)
(cid:295)(cid:300)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:36)30.3,20.3(cid:32)𝑓(cid:38)𝑥(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:68)(cid:173)(cid:270)(cid:266)(cid:305) (30.3)𝑓(𝑥()20.3) ( 26−)(cid:183)𝑓(cid:306)−(cid:152)(cid:32)(cid:38),𝑓((cid:39)1)(cid:3)(cid:204).
𝑓 ,𝑓 ,−𝑓 −(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:170)0 2(cid:165)(cid:68) ( )= 2(cid:68)
(cid:284) ( )(cid:91)(0,1)(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)≤(cid:252)𝑥(cid:68)≤(cid:91)[1,2]𝑓(cid:153)𝑥(cid:74)(cid:75)(cid:288)2𝑥(cid:271)−𝑥(cid:68)
(cid:170)𝑓>𝑥2(cid:165)(cid:68) ( )=| | (cid:68)
(cid:284)𝑥( )(cid:91)(2,3𝑓)(cid:153)𝑥(cid:74)(cid:75)𝑥(cid:288)−3(cid:271)−(cid:68)1(cid:91)[3,+ )(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252).
(cid:263)𝑓(𝑥2)=0=| | (cid:68)(cid:289)(cid:267) ( )(cid:91)∞(0,1)(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)
(cid:91)𝑓[1,3](cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)2−(cid:271)3(cid:68)−(cid:91)1 (3,+ 𝑓)𝑥(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252).
(cid:143)(cid:159) ( 26)= ( 26)> ∞(5)=1= (cid:68)1<20.3<30.3<3(cid:68)
(cid:284) (1−)𝑓>−(20.3)>𝑓 (30.3) 𝑓 𝑓(1)
(cid:289)𝑓(cid:267) ( 𝑓 26)> 𝑓(20.3)> (30.3).
−𝑓 − 𝑓 𝑓
(cid:239)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:222)3(cid:28)(cid:73)2024·(cid:224)(cid:245)(cid:307)(cid:274)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:308)(cid:192)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )= (cid:170) =2,3, (cid:165)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:309)(cid:310)(cid:31)(cid:13)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:101)(cid:159)
2
𝛼
(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:263)(cid:91)(0,+ )(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:284) =(cid:73) (cid:79) 𝑓 𝑥 𝑥 𝛼 ,−1
∞ 𝛼 1
A(cid:180)2 B(cid:180)3 C(cid:180) D(cid:180)-1
2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:266)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:21)(cid:311)(cid:149)(cid:266) >0(cid:263) (cid:159)(cid:303)(cid:13)(cid:68)
(cid:289)(cid:267) =3. 𝛼 𝛼
(cid:239)(cid:20)𝛼(cid:10)B.
(cid:22)(cid:243)(cid:53)3-1(cid:28)(cid:73)2023·(cid:254)(cid:312)(cid:245)(cid:285)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )= ( Z)(cid:68)(cid:223)(cid:229)(cid:313)(cid:57)(cid:159)“ ( )(cid:87)R(cid:153)(cid:32)(cid:314)(cid:31)
𝑚
𝑛
(cid:13)”(cid:32)(cid:285)(cid:66)(cid:146)(cid:147)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑚,𝑛∈ 𝑓 𝑥
A(cid:180) = =1 B(cid:180) = =2
C(cid:180)𝑚=−3,=𝑛 3 D(cid:180)𝑚=1,𝑛=3
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)𝑚(cid:218)(cid:28)2(cid:209),𝑛(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:285)(cid:66)(cid:146)(cid:147)(cid:32)𝑚(cid:33)(cid:34)1(cid:173),𝑛(cid:174)(cid:231)(cid:232)(cid:148)(cid:149).
1
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:170) = =1(cid:165)(cid:68) ( )= = (cid:68)
3
−3
𝑚 −3,𝑛 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥1 1 1
(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13) ( )= (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:258)( ,0) (0,+ )(cid:68)(cid:3)(cid:197)(cid:251)(cid:60)(cid:76)(cid:77)(cid:68)(cid:263) ( )= = = ( )(cid:68)
3 ( )3 3
𝑓 𝑥 𝑥 −∞ ∪ ∞ 𝑓 −𝑥 −𝑥 −𝑥 −𝑓 𝑥
1
(cid:289)(cid:267) ( )= (cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:117)(cid:46)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:239)A(cid:315)(cid:316)(cid:128)
3
𝑓 𝑥 𝑥
1
(cid:170) = =2(cid:165)(cid:68) ( )= 2= (cid:68)(cid:143)(cid:159) ( )= (cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:258)[0,+ )(cid:68)(cid:117)(cid:3)(cid:197)(cid:251)(cid:60)(cid:76)(cid:77)(cid:68)
(cid:289)𝑚(cid:267) ( 1 ) ,𝑛= (cid:159)(cid:286)𝑓(cid:303)𝑥(cid:286)(cid:314)𝑥(cid:31)(cid:13)(cid:68)𝑥(cid:117)(cid:46)(cid:21)(cid:311)𝑓 (cid:68)𝑥 (cid:239)B𝑥(cid:315)(cid:316)(cid:128) ∞
𝑓 𝑥 𝑥 3
(cid:170) = =3(cid:165)(cid:68) ( )= 2=3 2(cid:68)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:159)R(cid:68)(cid:3)(cid:197)(cid:251)(cid:60)(cid:76)(cid:77)(cid:68)(cid:263) ( )=3 ( )2=3 2= ( )(cid:68)
𝑚 2,𝑛 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 −𝑥 −𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
3
(cid:289)(cid:267) ( )= 2 (cid:159)(cid:314)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:242)(cid:46)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:239)C(cid:240)(cid:150)(cid:128)
𝑓 𝑥 𝑥 1 1 1
(cid:170) = =3(cid:165)(cid:68) ( )= 3 (cid:68)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:159)R(cid:68)(cid:3)(cid:197)(cid:251)(cid:60)(cid:76)(cid:77)(cid:68)(cid:263) ( )=( )3= 3= ( )(cid:68)
𝑚 1,𝑛 1 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 −𝑥 −𝑥 −𝑥 −𝑓 𝑥
(cid:289)(cid:267) ( )= 3 (cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:117)(cid:46)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:239)D(cid:315)(cid:316).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑓 𝑥C. 𝑥
(cid:22)(cid:243)(cid:53)3-2(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:183)(cid:153)·(cid:153)(cid:280)(cid:282)(cid:260)(cid:23)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:237)(cid:40)(cid:289)(cid:317)(cid:87)(cid:31)(cid:13) = (cid:73) (cid:241)(cid:159)(cid:240)(cid:318)(cid:13)(cid:263) (cid:319)(cid:44)(cid:79)(cid:32)
𝑚
𝑛
(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:284)(cid:73) (cid:79) 𝑦 𝑥 𝑚,𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:180) (cid:87)(cid:303)(cid:13)(cid:263) <1
𝑚
𝑚,𝑛 𝑛
B(cid:180) (cid:87)(cid:314)(cid:13)(cid:68) (cid:87)(cid:303)(cid:13)(cid:68)(cid:263) <1
𝑚
𝑚 𝑛 𝑛
C(cid:180) (cid:87)(cid:314)(cid:13)(cid:68) (cid:87)(cid:303)(cid:13)(cid:68)(cid:263) >1
𝑚
𝑚 𝑛 𝑛
D(cid:180) (cid:87)(cid:303)(cid:13)(cid:68)(cid:263) >1
𝑚
𝑚,𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:210)0< <1(cid:165)(cid:189)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:99)(cid:320)(cid:3)(cid:204)(cid:149)(cid:131) <1(cid:128)(cid:230)(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:131) = (cid:159)(cid:314)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:173)(cid:270)
𝑚
𝑚 𝑛
(cid:150)(cid:33) (cid:32)(cid:168)(cid:203). 𝑥 𝑛 𝑦 𝑥
𝑚,𝑛
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:43)(cid:44)(cid:149)(cid:131)(cid:10) = (cid:42) = (cid:56)(cid:235)(cid:60)(1,1)(cid:68)(cid:148)(cid:91)(cid:84)(cid:140)(cid:41)(cid:255)(cid:32)(cid:190)(cid:60)(cid:159)(1,1)(cid:68)
𝑚
𝑛
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥(cid:170)0< <1(cid:165)(cid:68) > (cid:68)(cid:284) <1(cid:128)
𝑚
𝑛 𝑚
𝑥 𝑥 𝑥 𝑛
(cid:257) = (cid:40)(cid:41)(cid:3)(cid:197) (cid:156)(cid:76)(cid:77)(cid:68) = (cid:159)(cid:314)(cid:31)(cid:13)(cid:68) ( ) = ( ) = = (cid:68)
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚
(cid:257) 𝑦 (cid:319) 𝑥 (cid:44)(cid:68) (cid:159) 𝑦 (cid:314)(cid:13)(cid:68) (cid:159) ∴ (cid:303) 𝑦 (cid:13). 𝑥 ∴ −𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥
(cid:239)𝑚(cid:20),(cid:10)𝑛 B. ∴𝑚 𝑛
(cid:22)(cid:243)(cid:53)3-3(cid:28)(cid:73)2023·(cid:259)(cid:260)(cid:321)(cid:322)·(cid:183)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) ( )= 3+( ) 2+ + (cid:91)[ +3](cid:153)(cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)
(cid:284)(cid:117)(cid:78)(cid:53) +1)+ ( + + )>0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:324)𝑓(cid:325)𝑥(cid:73) 𝑥(cid:79) 𝑎−2 𝑥 2𝑥 𝑏 −2𝑐−1,𝑐
A(cid:180)( 𝑓(2𝑥 ] 𝑓 B 𝑎 (cid:180)( 𝑏 𝑐 ] C(cid:180) 5 ,2 D(cid:180)( ]
2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)−(cid:218)2(cid:28),4(cid:209)(cid:96)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:303)(cid:314)−3(cid:43),5(cid:48)(cid:120)(cid:142)(cid:13) (cid:59) (cid:59) (cid:32)−(cid:37)(cid:68)(cid:103)(cid:270)(cid:266)(cid:305)(cid:31)(cid:13)(cid:51)(cid:52)−(cid:53)2,2(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:68)(cid:295)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:74)(cid:75)
(cid:43)(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:42)(cid:303)(cid:314)(cid:43)(cid:326)(cid:31)(cid:13)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:221)𝑎(cid:16)(cid:159)𝑏(cid:327)(cid:243)𝑐 (cid:328)(cid:32)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:148)(cid:149).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13) ( )= 3+( ) 2+ + (cid:91)[ +3](cid:153)(cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13),
(cid:289)(cid:267) + +3=0𝑓(cid:68)𝑥(cid:51)(cid:266)𝑥=2(cid:68)𝑎−(cid:257)2 (𝑥 )2=𝑥 𝑏( )(cid:68)−2𝑐−1,𝑐
(cid:148) −32+𝑐−(1 )𝑐 2 + = 𝑐3 ( )𝑓2−𝑥 −(cid:68)𝑓 𝑥
−𝑥 𝑎−2 𝑥 −2𝑥 𝑏 −𝑥2(− 𝑎−)2=𝑥0−2𝑥−𝑏 =2
(cid:289)(cid:267)2( ) 2+ =0(cid:68)(cid:51)(cid:266) (cid:68)(cid:51)(cid:266) (cid:68)
=0 =0
𝑎−2 𝑎
(cid:289)(cid:267) ( 𝑎 ) −=2 𝑥3+ 2𝑏 (cid:68) [ ](cid:68)2𝑏 𝑏
(cid:230) =𝑓 𝑥3(cid:42) 𝑥= 2(cid:91)𝑥 (cid:33)𝑥(cid:34)∈(cid:258)−[5,5 ](cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:289)(cid:267) ( )(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:258)[ ](cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)
(cid:284)𝑦(cid:117)(cid:78)𝑥(cid:53) 𝑦 +2𝑥1)+ ( +−5+,5 )>0(cid:68)(cid:148) ( +1)𝑓+𝑥 (4)>0(cid:68)(cid:78)−(cid:329)5,5(cid:197) ( +1)> ( )(cid:68)
(cid:289)(cid:267) 𝑓(+2𝑥1> 𝑓 (cid:68) 𝑎 (cid:51)(cid:266) 𝑏 5𝑐 < 2(cid:68)(cid:148) 𝑓 (cid:117) 2𝑥 (cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51) 𝑓 (cid:323)(cid:159) 5 ,2 . 𝑓 2𝑥 𝑓 −4
+1 5 2 2
2𝑥 −4
(cid:239)(cid:20)(cid:10)−C5.≤2𝑥 ≤ − 𝑥≤ −
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)4(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:330)(cid:225)(cid:331)(cid:33)·(cid:250)(cid:332)(cid:79)(cid:333)(cid:120)(cid:140)(cid:141)(cid:334)(cid:165)(cid:335)(cid:139)(cid:223)(cid:229)(cid:254)(cid:141)(cid:43)(cid:44)(cid:93)(cid:32)(cid:183)(cid:141)(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:10)
=
2 +3(cid:187)2 2 +1(cid:187)4 2 +3(cid:187)2 2 𝑓(𝑥)+3 (cid:180)
𝑥 −4(cid:32)𝑥(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159)𝑥 −4(cid:128)𝑥 (cid:32)𝑥(cid:140)−(cid:50)8𝑥(cid:233)(cid:204)(cid:13)(cid:159)𝑥 −(cid:128)4𝑥 =3(cid:128) = +2)(cid:180)
①(cid:22)(cid:51)𝑓((cid:21)𝑥)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:49)−1(cid:50)(cid:31)②(cid:13)𝑓(cid:32)(𝑥(cid:168)) (cid:203)(cid:68)(cid:237)(cid:186)(cid:60)(cid:59)(cid:76)−(cid:77)4(cid:156)③(cid:299)(cid:31)𝑓(0(cid:13))(cid:32)(cid:51)(cid:52)④(cid:53)𝑓(cid:148)(𝑥(cid:149))(cid:48)(cid:51)𝑓(−. 𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:84)(cid:140)(cid:336)(cid:65)(cid:337)(cid:10) (cid:335)(cid:139) (cid:183)(cid:141)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:230) (cid:149)(cid:299) = 2 + 0)(cid:68)(cid:284)(cid:209)(cid:96)
𝑓(𝑥) ①②③ ②③ 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 −4𝑥 3(𝑎≠ ①
(cid:149)(cid:266)(cid:10) = (cid:68)(cid:51)(cid:266) =1(cid:68)(cid:289)(cid:267) = 2 +3(cid:180)
12𝑎−16
(cid:84)(cid:49)(cid:336)(cid:65)4(cid:337)𝑎(cid:10) −1 (cid:335)(cid:139) 𝑎 (cid:183)(cid:141)(cid:43) 𝑓 (cid:44) (𝑥 (cid:68) ) (cid:230) 𝑥 −4𝑥 (cid:149)(cid:299) = 2 >0)(cid:68)(cid:284)(cid:209)(cid:96) (cid:149)(cid:266)(cid:10)
𝑓(𝑥) ①②④ ①④ 𝑓(𝑥) 𝑎(𝑥−1) −1(𝑎 ②= (cid:68)(cid:51)(cid:266) =2(cid:68)(cid:289)(cid:267) =2 2 =2 2 +1(cid:180)
−(cid:84)2(cid:183)𝑎(cid:336)(cid:65)−4(cid:337)(cid:10) 𝑎(cid:335)(cid:139) 𝑓((cid:183)𝑥)(cid:141)(cid:43)((cid:44)𝑥−(cid:68)1(cid:230)) −1 (cid:149)𝑥(cid:299)−4𝑥 = 2 >0)(cid:68)(cid:284)(cid:209)(cid:96) (cid:149)(cid:266)(cid:10)
= =𝑓3((cid:68)𝑥)(cid:51)(cid:266)(cid:10)①③=④4(cid:68)(cid:289)(cid:267) =4①④ 2 𝑓=(𝑥4) 2𝑎(𝑥−+13)(cid:180)−1(𝑎 ③
𝑓(0) 𝑎−1 𝑎 𝑓(𝑥) (𝑥−1) −1 𝑥 −8𝑥
(cid:84)(cid:254)(cid:336)(cid:65)(cid:337)(cid:10) (cid:335)(cid:139) (cid:183)(cid:141)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:230) (cid:149)(cid:299) = 2 + 0)(cid:68)(cid:284)(cid:209)(cid:96) (cid:149)(cid:266)(cid:10)
−4
=1(cid:68)(cid:51)(cid:266) = 𝑓 2 (𝑥 (cid:68) ) (cid:289)(cid:267)②③ = ④ 2 2 +3(cid:180)②③ 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 −4𝑥 3(𝑎≠ ④ −2𝑎
(cid:239)(cid:234)(cid:296)(cid:159)(cid:10)𝑎2 +3(cid:187)𝑓2(𝑥)2 𝑥+−14(cid:187)𝑥4 2 +3(cid:187)2 2 +3.(cid:73)(cid:117)(cid:338)(cid:140)(cid:79).
(cid:22)(cid:243)(cid:53)4-1(cid:28)𝑥(cid:73)−240𝑥23(cid:24)(cid:183)·𝑥(cid:290)−(cid:291)4·𝑥(cid:26)(cid:21)(cid:72)(cid:228)𝑥(cid:79)−(cid:182)8𝑥(cid:131)(cid:49)(cid:50)(cid:31)𝑥(cid:13)−4(𝑥)(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:188)(cid:60)(cid:66)(cid:339)(cid:87)0(cid:177)5(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:194)(cid:195)(cid:202)(cid:153)(cid:68)(cid:263)
( )(cid:91)(cid:151)(cid:152)[ ](cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159)12(cid:68)(cid:284)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)𝑓(cid:159)𝑥 ( )=2 2 (cid:180)
𝑓(cid:22)𝑥(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)−(cid:209)1,4(cid:96)(cid:31)(cid:13)(cid:168)(cid:203)(cid:299) ( )= ( 𝑓),𝑥( >0)(cid:340)(cid:220)(cid:231)(cid:232)𝑓(cid:341)𝑥(cid:48)(cid:51) (𝑥 −)1=0𝑥 = =2(cid:103)(cid:270)(cid:51)(cid:266)(cid:31)(cid:13)
(cid:51)(cid:52)(cid:53). 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑥−5 𝑎 𝑓 −1 6𝑎 12,𝑎
5
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:299) ( )= ( ),( >0)(cid:129)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:159)(cid:200)(cid:193) = (cid:68)(cid:257) ( )(cid:91)(cid:151)(cid:152)[ ](cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159)12(cid:68)
2
(cid:289)(cid:267) ( )= 𝑓 =𝑥 𝑎 = 𝑥 2𝑥(cid:68)−(cid:289)5 (cid:267)𝑎 ( )=2 2－ 𝑥 𝑓 𝑥 −1,4
(cid:239)(cid:234)𝑓(cid:296)−(cid:159)1(cid:10) (6𝑎)=2122,𝑎 𝑓 𝑥 𝑥 10𝑥.
(cid:22)(cid:243)(cid:53)4-2(cid:28)𝑓(cid:73)𝑥23-24𝑥(cid:24)−(cid:140)10(cid:153)𝑥.·(cid:23)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:346)·(cid:250)(cid:93)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13) = 2+ + > R)(cid:68)
=1(cid:68)(cid:76)(cid:347)(cid:311) R(cid:68) = (cid:68)(cid:263) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:180)(cid:284) 𝑓( (cid:49) 𝑥) (cid:50)(cid:31) 𝑎𝑥 (cid:13) 𝑏𝑥 (cid:32)(cid:348) 𝑐 (cid:318) (𝑎 (cid:51)(cid:52) 0, (cid:53) 𝑎,𝑏 (cid:159) ,𝑐 ∈ = 1 2
4
𝑓(1) 𝑥∈ 𝑓(𝑥−2) 𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥)≥𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥
1 5
+ + (cid:180)
2 4
𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96) = (cid:266)(cid:305) = (cid:68)(cid:114)(cid:46) =1(cid:266)(cid:120) = (cid:68)(cid:209)(cid:96) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:48)(cid:120) (cid:32)
(cid:37)(cid:68)(cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:120)(cid:31)(cid:13)𝑓(cid:51)(𝑥(cid:52)−(cid:53)2)(cid:180) 𝑓(−𝑥) 𝑏 2𝑎 𝑓(1) 𝑐 1−3𝑎 𝑓(𝑥)≥𝑥 𝑎
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28) (cid:76)(cid:347)(cid:311) (cid:68) = (cid:68)
∵ 𝑥∈𝑅 𝑓(𝑥−2) 𝑓(−𝑥)
(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:159) = = (cid:68)
2
−2
∴ 𝑥 −1
= (cid:68)
∴𝑏 2=𝑎1(cid:68)
∵𝑓(+1) + =1(cid:68)
∴𝑎= 𝑏 𝑐(cid:68)
(cid:257)∴(cid:76)𝑐 (cid:347)1(cid:311)−3𝑎 R(cid:68) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
2+ 𝑥∈+ 𝑓(𝑥)≥𝑥 (cid:68)(cid:148) 2+ + 0(cid:91)R(cid:153)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
∴𝑎𝑥>0(cid:68)2𝑎𝑥 (1−3𝑎)≥𝑥 𝑎𝑥 (2𝑎−1)𝑥 (1−3𝑎)≥
∵𝑎= 2 =16 2 +1= 2 0(cid:68)
∴Δ 1(2𝑎−1) −4𝑎(1−3𝑎) 𝑎 −8𝑎 (4𝑎−1) ≤
= (cid:68)
4
∴𝑎
= 1 (cid:68) = 5 (cid:68)(cid:148)(cid:31)(cid:13) = 1 2+ 1 + 5 (cid:68)
2 4 4 2 4
∴𝑏 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥
(cid:239)(cid:234)(cid:296)(cid:159)(cid:10) = 1 2+ 1 + 5 (cid:180)
4 2 4
(cid:22)(cid:243)(cid:53)4-3(cid:28) 𝑓( (cid:73) 𝑥) 23-24 𝑥 (cid:24)(cid:140) 𝑥 (cid:153)·(cid:349)(cid:81)(cid:350)(cid:351)·(cid:194)(cid:11)(cid:25)(cid:352)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13) ( )= 2+ + (cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:87) =1(cid:68)(cid:263)(cid:117)
(cid:78)(cid:53) ( ) (cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159)[1,3](cid:68)(cid:284) ( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:87) ( )= 2 𝑓+𝑥3 𝑎(cid:180)𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:22)(cid:51)𝑓(cid:21)𝑥(cid:214)(cid:218)≤(cid:28)2𝑥(cid:230)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:266)(cid:140)𝑓(cid:353)𝑥(cid:49)(cid:50)(cid:179)(cid:236)(cid:32)(cid:189)𝑓 (cid:209)𝑥 (cid:68)(cid:230)(cid:354)𝑥(cid:276)−(cid:33)2𝑥(cid:15)(cid:266)(cid:189)(cid:141)(cid:3)(cid:204)(cid:53)(cid:68)(cid:257)(cid:230)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:266)(cid:140)(cid:3)(cid:204)(cid:53)(cid:68)
(cid:114)(cid:46)(cid:355)(cid:108)(cid:149)(cid:48)(cid:266) (cid:68)(cid:266)(cid:31)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:51)𝑎(cid:10),𝑏,𝑐 (cid:159) 2+ + 0(cid:68)(cid:129)(cid:51)(cid:323)(cid:159)[1,3](cid:68)(cid:284)
𝑓(𝑥)≤2𝑥 𝑎𝑥 (𝑏−2)𝑥 𝑐≤
=1+3
(cid:68) >0(cid:68)(cid:257)(cid:31)(cid:13) (cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:87) =1(cid:68)(cid:284) =1(cid:68)
𝑏−=2 1×3
− 𝑎 𝑏
𝑐
𝑎 𝑓(𝑥) 𝑥 −2𝑎
𝑎
(cid:189)(cid:306)(cid:114)(cid:46)(cid:51)(cid:266) = = =3(cid:68)
(cid:289)(cid:267) = 2𝑎 1+,𝑏3. −2,𝑐
(cid:239)(cid:234)𝑓(cid:296)(𝑥(cid:159))(cid:10)𝑥2−2𝑥+3.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:49)𝑥(cid:50)−2(cid:31)𝑥(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)5(cid:28)(cid:73)2020·(cid:259)(cid:260)·(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:21)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13) = 2+ + (cid:32)(cid:40)(cid:356)(cid:237)(cid:40)(cid:289)(cid:317)(cid:68)(cid:284)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2+ + >0
(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:87)(cid:73) (cid:79) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
A(cid:180)( ) B(cid:180)( ) (1,+ ) C(cid:180)[ ] D(cid:180)( ] [1,+ )
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)−(cid:218)2(cid:28),1(cid:357)(cid:21)(cid:149)(cid:209)(cid:96)(cid:40)−(cid:356)∞(cid:266),−(cid:120)2(cid:114)∪(cid:358). ∞ −2,1 −∞,−2 ∪ ∞
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:114)(cid:46)(cid:40)(cid:356)(cid:127)(cid:131)(cid:68)
(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2+ + >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)( )(cid:68)
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑎A𝑥. 𝑏𝑥 𝑐 −2,1
(cid:22)(cid:243)(cid:53)5-1(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:224)(cid:245)(cid:359)(cid:360)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2+ + >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) < < 1 (cid:68)(cid:284)(cid:31)(cid:13)
2
= 2 (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:361)(cid:159)(cid:73) (cid:79) 𝑐𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥∣−1 𝑥
𝑦 𝑎𝑥 −𝑏𝑥−𝑐A(cid:180) B(cid:180)
C(cid:180) D(cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:362)(cid:363)(cid:209)(cid:96)(cid:140)(cid:353)(cid:49)(cid:50)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:42)(cid:76)(cid:47)(cid:179)(cid:236)(cid:32)(cid:3)(cid:204)(cid:68)(cid:48)(cid:51) (cid:32)(cid:3)(cid:204)(cid:68)(cid:295)(cid:364)(cid:365)(cid:31)(cid:13) = 2 (cid:68)
(cid:148)(cid:149)(cid:66)(cid:52)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41). 𝑎,𝑏,𝑐 𝑦 𝑎𝑥 −𝑏𝑥−𝑐
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159) 2+ + >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) < < 1 (cid:68)(cid:289)(cid:267)(cid:179)(cid:236) 2+ + =0(cid:32)(cid:189)(cid:209)(cid:66)(cid:339)(cid:159) 1 (cid:177) (cid:68)
2 2
𝑐𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥∣−1 𝑥 𝑐𝑥 𝑎𝑥 𝑏 −1
1
+ =
(cid:263) <0(cid:68)(cid:284) 2 (cid:68) = 1 = 1 (cid:68)
× 1 = 𝑎 2 2
−1 2 −𝑐
𝑐 𝑏 𝑎 𝑐,𝑏 − 𝑐
−1 𝑐
(cid:239)(cid:31)(cid:13) = 2 = 2+ = ( +2)( )(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:194)(cid:195)(cid:202)(cid:223)(cid:68)(cid:263)(cid:42) (cid:156)(cid:32)(cid:190)(cid:60)(cid:184)(cid:185)(cid:159)(1,0)(cid:177)( )(cid:68)
2 2 2
𝑐 𝑐 𝑐
(cid:239)A(cid:20)(cid:233) 𝑦 (cid:32)(cid:40) 𝑎𝑥 (cid:41) − (cid:242) 𝑏𝑥 (cid:46) − . 𝑐 𝑥 𝑥−𝑐 𝑥 𝑥−1 𝑥 −2,0
(cid:239)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:22)(cid:243)(cid:53)5-2(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:49)(cid:223)·(cid:225)(cid:366)(cid:367)(cid:368)·(cid:250)(cid:332)(cid:79)(cid:309)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2 >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) < < 1 }(cid:68)(cid:284)(cid:31)(cid:13) = 2
2
𝑎𝑥 −𝑥−𝑐 {𝑥|−1 𝑥 𝑦 𝑐𝑥
(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:267)(cid:159)(cid:73) (cid:79)
−𝑥−𝑎
A(cid:180) B(cid:180)
C(cid:180) D(cid:180)(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:230)(cid:21)(cid:149)(cid:266) (cid:177) 1 (cid:87)(cid:179)(cid:236) 2 =0(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:209)(cid:68)(cid:48)(cid:120) (cid:68)(cid:295)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:266)(cid:120).
2
−1 𝑎𝑥 −𝑥−𝑐 𝑎,𝑐
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:21)(cid:149)(cid:266) (cid:177) 1 (cid:87)(cid:179)(cid:236) 2 =0(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:209)(cid:68)(cid:263) <0(cid:68)
2
−1 𝑎𝑥 −𝑥−𝑐 𝑎
1 1
+ =
2 (cid:68)(cid:51)(cid:266) = = (cid:68)
1
× =
−1 2 𝑎
∴ 𝑐 𝑎 −2,𝑐 −1
(cid:284) − = 1 2 −𝑎 = 2 +2= ( +2)( )(cid:68)
(cid:284)𝑦(cid:31)(cid:13)𝑐(cid:40)𝑥(cid:41)−𝑥(cid:194)−(cid:195)𝑎(cid:202)−(cid:223)𝑥(cid:68)−(cid:42)𝑥 (cid:156)(cid:190)(cid:197)−(𝑥 )，𝑥(−1,10).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)C. 𝑥 −2,0
(cid:22)(cid:243)(cid:53)5-3(cid:28)(cid:73)2024(cid:24)(cid:140)·(cid:290)(cid:291)·(cid:26)(cid:21)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2 + >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159){ | 2< <1},(cid:284)(cid:31)(cid:13) = 2+ +
(cid:32)(cid:40)(cid:356)(cid:38)(cid:361)(cid:159)(cid:73) (cid:79) 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 𝑐 𝑥 − 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
A(cid:180) B(cid:180)
C(cid:180) D(cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:149)(cid:266)(cid:179)(cid:236) 2 + =0(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:209)(cid:159) = (cid:177) =1(cid:68)(cid:263) <0(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:179)(cid:236)(cid:209)(cid:42)(cid:204)
(cid:13)(cid:32)(cid:3)(cid:204)(cid:266)(cid:305) (cid:59) (cid:59) (cid:32)(cid:3)(cid:204)(cid:68)(cid:295)(cid:114)𝑎(cid:46)𝑥 −(cid:49)𝑏(cid:50)𝑥(cid:31)𝑐(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:231)(cid:232)(cid:148)(cid:149)𝑥 (cid:180)−2 𝑥 𝑎
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:209)𝑎 (cid:96)𝑏(cid:21)(cid:311)𝑐 (cid:68) 2 + >0(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) < <1}(cid:68)(cid:284)(cid:179)(cid:236) 2 + =0(cid:32)(cid:189)(cid:141)(cid:209)(cid:159) =
(cid:177) =1(cid:68)(cid:263) <0. 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 𝑐 {𝑥|−2 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 𝑐 𝑥 −2
𝑥 2+𝑎1=
=
(cid:284)(cid:139) ( 2)×1=𝑏 (cid:68)(cid:243)(cid:106)(cid:149)(cid:266) (cid:68)
= 2
− 𝑎
<0 𝑐 𝑏 −𝑎
− 𝑎 𝑐 − 𝑎
(cid:239)(cid:31)(cid:13) = 𝑎 2+ + = 2 = ( )( +1)(cid:87)(cid:194)(cid:195)(cid:202)(cid:223)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:263)(cid:42) (cid:156)(cid:32)(cid:190)(cid:60)(cid:184)(cid:185)(cid:159)
(cid:177)𝑦 (2𝑎,0𝑥). 𝑏𝑥 𝑐 𝑎𝑥 −𝑎𝑥−2𝑎 𝑎 𝑥−2 𝑥 𝑥
((cid:76)−(cid:369)1,0(cid:254))(cid:141)(cid:20)(cid:233)(cid:68)(cid:138)(cid:139)C(cid:242)(cid:46).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)C(cid:180)(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:55)(cid:37)(cid:54)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)6(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:49)(cid:223)·(cid:85)(cid:86)(cid:330)(cid:246)·(cid:250)(cid:332)(cid:79)(cid:223)(cid:370)(cid:3)(cid:197)(cid:31)(cid:13) ( )= 2+ +4(cid:32)(cid:371)(cid:118)(cid:240)(cid:150)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180) ( )>0(cid:56)(cid:57)(cid:58) B(cid:180) ( )(cid:55)𝑓(cid:38)𝑥(cid:37)(cid:87)𝑥5 3𝑥
C(cid:180)𝑓(𝑥)(cid:42)y(cid:156)(cid:372)(cid:190)(cid:60) D(cid:180)𝑓(𝑥)(cid:373)(cid:139)(cid:55)(cid:39)(cid:37)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)𝑓(cid:218)𝑥(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:231)(cid:232)(cid:176)(cid:20)(cid:233)𝑓.𝑥
2
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:31)(cid:13) = 2+ +4= + 3 + 7 7 (cid:68)
2 4 4
(cid:76)(cid:197)A(cid:68) >0(cid:56)𝑓((cid:57)𝑥)(cid:58)(cid:68)𝑥A(cid:240)3𝑥(cid:150)(cid:128) 𝑥 ≥
𝑓(𝑥) 3 7
(cid:76)(cid:197)BD(cid:68)(cid:170) = (cid:165)(cid:68) ( )(cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159) (cid:68)(cid:372)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:68)BD(cid:94)(cid:87)(cid:315)(cid:316)(cid:128),
2 4
(cid:76)(cid:197)C(cid:68)(cid:170) 𝑥 =0(cid:165) − (cid:68) = 𝑓 4(cid:68)𝑥 (cid:148) ( )(cid:42) (cid:156)(cid:139)(cid:190)(cid:60)(cid:68)C(cid:315)(cid:316).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)A. 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:243)(cid:53)6-1(cid:28)(cid:73)2024(cid:24)(cid:183)·(cid:290)(cid:291)·(cid:26)(cid:21)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:299)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13) = 2+ +2(cid:91)R(cid:153)(cid:139)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:68)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159)
( )(cid:68)(cid:170) ( )(cid:198)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:165)(cid:68) =(cid:73) (cid:79) 𝑓(𝑥) (𝑎−2)𝑥 3𝑎𝑥
𝑚 𝑎 𝑚 𝑎 𝑎 1
A(cid:180)0 B(cid:180)1 C(cid:180) D(cid:180) 2
2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:48)(cid:120) ( )(cid:68)(cid:340)(cid:220)(cid:300)(cid:27)(cid:374)(cid:357)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:148)(cid:266).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28) = 2+ +𝑚2(cid:91)𝑎 R(cid:153)(cid:139)(cid:55)(cid:38)(cid:37) ( )(cid:68)
∵𝑓(𝑥) (𝑎−2)𝑥 3𝑎𝑥 2𝑚 𝑎
<0(cid:263)(cid:170) = (cid:165)(cid:68) (cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159) (cid:68)
3𝑎 8(𝑎−2)−9𝑎
∴𝑎−2 𝑥 −2(𝑎−2) 𝑓(𝑥) 4(𝑎−2)
(cid:148) >0(cid:263) ( ) = 9 2 = 9 + 9 2 × 9 =2(cid:68)
4 4
𝑎 9(2−𝑎)
2−𝑎 𝑚 𝑎 2−4(𝑎−2) (2−𝑎) 2−𝑎−7≥ 2−𝑎−7
9
(cid:170)(cid:263)(cid:375)(cid:170) = (cid:165)(cid:68)(cid:148) =0(cid:165)(cid:68) ( )(cid:139)(cid:55)(cid:39)(cid:37)2(cid:68)
4
9(2−𝑎)
(cid:239)(cid:20)(cid:10)A(cid:180) 2−𝑎 𝑎 𝑚 𝑎
(cid:22)(cid:243)(cid:53)6-2(cid:28)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:90)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)(cid:228)(cid:79) ( )=2017 2 +2019× [ +2].(cid:284)(cid:170)
(cid:243)(cid:16)(cid:165)(cid:68) (cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159)(cid:73) (cid:79) 𝑓 𝑥 𝑥 −2018𝑥 2020,𝑥∈ 𝑡,𝑡
max min
𝑡 A(cid:180)20𝑓2(0𝑥) −𝑓(𝑥B)(cid:180)2019 C(cid:180)2018 D(cid:180)2017
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:177)(cid:151)(cid:152)(cid:32)(cid:99)(cid:320)(cid:3)(cid:204)(cid:76) (cid:32)(cid:37)(cid:173)(cid:174)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:103)(cid:270)(cid:48)(cid:120) (cid:68)(cid:380)(cid:270)(cid:48)(cid:120)(cid:129)(cid:55)(cid:39)
max min
(cid:37)(cid:148)(cid:149). 𝑡 𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:31)(cid:13) ( )=2017 2 +2019×2020,(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:159) = 1009 (cid:68)
2017
𝑓 𝑥 𝑥 −2018𝑥 𝑥
1009
(cid:170) (cid:68) (cid:91) +2](cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)
2017
𝑡≥ 𝑓(𝑥) [𝑡,𝑡(cid:289)(cid:267) = +
max min
=20𝑓1(7𝑥) +−2)𝑓2(𝑥) 𝑓+(𝑡2)+2)2−0𝑓1(9𝑡)× 2+ ×2020
= (𝑡+4032−2061085(0𝑡(cid:128) 2020−2017𝑡 2018𝑡−2019
4034𝑡 1009 ≥ 3025
(cid:170) +2 (cid:68)(cid:148) (cid:165)(cid:68) (cid:91) +2](cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)
2017 2017
𝑡 ≤ 𝑡≤− 𝑓(𝑥) [𝑡,𝑡
= +2)
max min
𝑓=(𝑥) −𝑓(𝑥) 𝑓2(0𝑡1)−8(cid:128)𝑓(𝑡
−40103049𝑡−4032≥ 1008 1009 3026 1009
(cid:170) < < +1(cid:68)(cid:148) < < (cid:165)(cid:68)(cid:144)(cid:165) < +2< +2
2017 2017 2017 2017 2017
𝑡 𝑡 − 𝑡 𝑡
1009 3026 1009
= + )> )(cid:68)
max min 2017 2017 2017
𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥) 𝑓(𝑡 2)−𝑓( 𝑓( )−𝑓(
(cid:372)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:128)
1009 3025 1008
(cid:170) +1 < +2(cid:68)(cid:148) < (cid:165)(cid:68)
2017 2017 2017
𝑡 ≤ 𝑡 −1009 𝑡≤− 1008 1009
= ) )
max min 2017 2017 2017
𝑓=(𝑥2)017−(cid:68)𝑓(𝑥) 𝑓(𝑡)−𝑓( ≥𝑓(− )−𝑓(
(cid:45)(cid:153)(cid:131)(cid:68) (cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159)2017(cid:68)
max min
(cid:239)(cid:20)(cid:10)D.𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥)
(cid:22)(cid:243)(cid:53)6-3(cid:28)(cid:73)21-22(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:349)(cid:81)(cid:381)(cid:382)·(cid:250)(cid:332)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) ( )= 2+ (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:159)(cid:151)(cid:152)[m(cid:68)n](cid:68)(cid:129)(cid:93)
(cid:68)(cid:309)f(cid:73)x(cid:79)(cid:32)(cid:37)(cid:258)(cid:159)[-4(cid:68)4](cid:68)(cid:284) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)𝑓(cid:217)𝑥(cid:87)(cid:73)𝑎 𝑥 (cid:79)2𝑥
𝑎,𝑚,𝑛A(cid:180)∈𝑅[4(cid:68)4 2] B(cid:180)[2 2(cid:68)8 2] 𝑛−𝑚C(cid:180)[4(cid:68)8 2] D(cid:180)[4 2(cid:68)8]
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:363)(cid:212)(cid:213) =0(cid:68)(cid:295)(cid:114)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:66)(cid:52) >0(cid:165)(cid:68) (cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:42)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:68)(cid:334)(cid:15)(cid:149)(cid:266)
<0(cid:165)(cid:32)(cid:65)(cid:337)(cid:148)(cid:149)(cid:266)𝑎(cid:51). 𝑎 𝑛−𝑚
(cid:22)𝑎 (cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:309) =0(cid:68) = (cid:68)(cid:31)(cid:13)(cid:159)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68) (cid:165)(cid:68)(cid:284) = = = =4(cid:68)(cid:289)(cid:267)
= =𝑎 4(cid:68) 𝑓(𝑥) 2𝑥 𝑥∈[𝑚,𝑛] 𝑓(𝑚) 2𝑚 −4,𝑓(𝑛) 2𝑛
𝑛(cid:170)−𝑚>0(cid:165)2−(cid:68)(−(cid:383)2(cid:40)) (cid:237)(cid:223)(cid:68)
𝑎1
(cid:159)(cid:384) (cid:198)(cid:55)(cid:38)(cid:68)(cid:47)(cid:384) (cid:385)(cid:328)(cid:38)(cid:68) (cid:385)(cid:328)(cid:39)(cid:68)(cid:144)(cid:165) = (cid:68)
4
𝑛−𝑚=4 2+ 𝑛 =4 𝑚 𝑎
(cid:230) (cid:68)
=4 2+ =4
𝑓(𝑛) 𝑎𝑚 2𝑚
(cid:148) 𝑓(2𝑚+) ⇒ =0𝑎(cid:68)𝑛 2𝑛
𝑎𝑥 2𝑥−4 2 4
(cid:289)(cid:267) + = = (cid:68)
𝑚 𝑛 −𝑎,𝑚𝑛 −𝑎
(cid:289)(cid:267) = ( + )2 = 4 + 16=8 2(cid:68)(cid:148) 8 2(cid:68)
2
𝑛−𝑚 𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛 𝑎 𝑎 𝑛−𝑚≤
1 1
(cid:170) < (cid:165)(cid:68)(cid:148)0< < (cid:165)(cid:68)(cid:144)(cid:165) (cid:91)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:334)(cid:386)(cid:165) (cid:55)(cid:39)(cid:68)(cid:230)(cid:201)(cid:14)(cid:193)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:43)(cid:68)(cid:117)(cid:387)(cid:299) (cid:94)(cid:91)(cid:76)
4
(cid:77)(cid:156)
−𝑎(cid:388)(cid:386) −
(cid:68)
4 𝑎 𝑚,𝑛 𝑛−𝑚 𝑛,𝑚
(cid:284)(cid:230) = 2+ = = 2+ = (cid:68)
(cid:51)(cid:266)
𝑓(
=
𝑛) 𝑎𝑛4 2𝑛
=
4,𝑓(𝑚) 𝑎
(cid:68)
𝑚 2𝑚 −4
−2+ +16𝑎 −2+ 4−16𝑎
𝑛 = 4 2𝑎 ,𝑚 = 2 1 𝑎 = 8 8 =4(cid:68)
1 2 1
+16𝑎− 4−16𝑎 +4𝑎− 1−4𝑎 +4𝑎+ 2 1−4𝑎
(cid:170) ∴ (cid:263) 𝑛− (cid:375) 𝑚 (cid:170)1+ 2=𝑎 ,(cid:148) =0𝑎(cid:165)(cid:198)(cid:78)(cid:9)(cid:68)+4(cid:389)𝑎+ >1−04𝑎(cid:68) ≥ (cid:78)(cid:9)(cid:198)(cid:117)(cid:305)(cid:68)
>4(cid:68)4𝑎 1−4𝑎 𝑎 𝑎
∴𝑛−𝑚 1 1
<0(cid:165)(cid:68)(cid:334)(cid:15)(cid:68)(cid:170) = (cid:165)(cid:68) =8 2(cid:68)(cid:170) > (cid:165)(cid:68)( ) >4(cid:68)
4 max 4 min
𝑎 𝑎 − (𝑛−𝑚) 𝑎 − 𝑛−𝑚
(cid:45)(cid:153)(cid:68) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)[4,8 2](cid:68)
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑛C−. 𝑚
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:222)7(cid:28)(cid:73)2024·(cid:390)(cid:262)(cid:391)(cid:259)·(cid:49)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:170) >0(cid:165)(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:10) 2 +16>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)
(cid:73) (cid:79) 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 𝑚
A(cid:180)( ) B(cid:180)( ,8] C(cid:180)( ,8) D(cid:180)(8,+ )
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) − (cid:218) 8 (cid:28) ,8 (cid:363)(cid:230) 2 + − 1 ∞ 6>0(cid:266) < + 16 (cid:68)(cid:230) −∞ (cid:374)(cid:357)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:266) + 16 8(cid:68) ∞ (cid:239) <8.
𝑥 −𝑚𝑥 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ≥ 𝑚
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:170) >0(cid:165)(cid:68)(cid:230) 2 +16>0(cid:266) < + 16 (cid:68)
𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 𝑚 𝑥 𝑥
(cid:143) >0(cid:68)(cid:239) + 16 2 × 16=8(cid:68)(cid:170)(cid:263)(cid:375)(cid:170) = 16 (cid:148) =4(cid:165)(cid:78)(cid:9)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
𝑥 𝑥 𝑥 ≥ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
16
(cid:143)(cid:170) >0(cid:165)(cid:68) < + (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:266) <8(cid:68)
(cid:239)(cid:20) 𝑥 (cid:10)C. 𝑚 𝑥 𝑥 𝑚
(cid:22)(cid:243)(cid:53)7-1(cid:28)(cid:73)2023·(cid:390)(cid:262)(cid:391)(cid:259)·(cid:49)(cid:283)(cid:79)(cid:309)(cid:76)(cid:347)(cid:311)(cid:32) (0,+ ), 2 +1>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:284)m(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)
𝑥∈ ∞ 𝑥 −𝑚𝑥(cid:73) (cid:79)
A(cid:180) B(cid:180)(2,+ ) C(cid:180) ,2) D(cid:180) ,2]
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(−(cid:218)2(cid:28),2(cid:243)) (cid:106)(cid:304)(cid:33)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:68)∞(cid:66)(cid:164)(cid:142)(cid:13)(cid:68)(cid:300)(cid:27)(cid:241)(−(cid:37)∞(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:48)(cid:120)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:383)(−(cid:234)∞.
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28) (0,+ ), 2 +1> < + 1 (cid:68)(cid:270)(cid:170) >0(cid:165)(cid:68) + 1 2 1=2(cid:68)(cid:170)(cid:263)(cid:375)(cid:170) = 1 (cid:68)
(cid:148) =1(cid:165)(cid:198)(cid:78)
∀
(cid:9)
𝑥
(cid:68)
∈ ∞ 𝑥 −𝑚𝑥 0⇔𝑚 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥≥ 𝑥⋅𝑥 𝑥 𝑥
(cid:284)𝑥 <2(cid:68)(cid:289)(cid:267)m(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87) ,2).
(cid:239)𝑚(cid:20)(cid:10)C. (−∞
(cid:22)(cid:243)(cid:53)7-2(cid:28)(cid:73)2023·(cid:390)(cid:262)(cid:38)(cid:393)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:394)(cid:21)“ > 2+ +1<0”(cid:159)(cid:395)(cid:394)(cid:21)(cid:68)(cid:284)(cid:394)(cid:21)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:285)(cid:66)(cid:117)(cid:166)(cid:61)
(cid:146)(cid:147)(cid:87)(cid:73) (cid:79) ∃𝑥 0,𝑎𝑥 𝑥
1
A(cid:180) B(cid:180) 0 C(cid:180) 1 D(cid:180) <1
4
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) 𝑎 (cid:218) ≥ (cid:28) − (cid:300)(cid:27)(cid:146)(cid:147)(cid:131)(cid:68) 𝑎 (cid:76) ≥ >0(cid:68) 2+ +1 𝑎≥ 0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:103)(cid:270)(cid:48)(cid:120) 𝑎 (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:68)(cid:295)(cid:209)(cid:96)(cid:20)(cid:233)(cid:148)(cid:149)(cid:266)
(cid:120)(cid:114)(cid:358). ∀𝑥 𝑎𝑥 𝑥 ≥ 𝑎
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:394)(cid:21)“ > 2+ +1<0”(cid:159)(cid:395)(cid:394)(cid:21)(cid:68)(cid:289)(cid:267)(cid:68)(cid:76) >0(cid:68) 2+ +1 0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
(cid:170) =0(cid:165)(cid:68) 2+ +1=∃𝑥 +01,𝑎>𝑥0(cid:91)𝑥 (0,+ )(cid:153)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:289)(cid:267) =∀𝑥0(cid:324)(cid:325)(cid:146)𝑎(cid:147)𝑥 (cid:68)𝑥 ≥
(cid:170)
𝑎
>0(cid:165)(cid:68)
𝑎
(cid:396)
𝑥 𝑥
= 2+
𝑥
+1(cid:68)(cid:76)(cid:77)
𝑥∈
(cid:156) =
∞1
<0(cid:68)(cid:263) =1
𝑎
>0(cid:68)(cid:289)(cid:267)(cid:68)(cid:170) (0,+ )(cid:165)(cid:68) 2+ +1>0
(cid:56)
𝑎
(cid:57)(cid:58)(cid:68)
ℎ(𝑥) 𝑎𝑥 𝑥 𝑥 −2𝑎 ℎ(0) 𝑥∈ ∞ 𝑎𝑥 𝑥
(cid:170) <0(cid:165)(cid:68)(cid:397)(cid:340)(cid:139) 2+ +1 0(cid:117)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
(cid:239)𝑎(cid:76) >0(cid:68) 2+𝑎𝑥+1𝑥 0(cid:56)≥(cid:57)(cid:58)(cid:165)(cid:68) 0(cid:68)(cid:289)(cid:267)(cid:284)(cid:394)(cid:21)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:285)(cid:66)(cid:117)(cid:166)(cid:61)(cid:146)(cid:147)(cid:87)(cid:20)(cid:233)C.
(cid:239)(cid:20)∀(cid:10)𝑥C. 𝑎𝑥 𝑥 ≥ 𝑎≥
(cid:22)(cid:243)(cid:53)7-3(cid:28)(cid:73)2024·(cid:81)(cid:246)(cid:398)(cid:81)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:372)(cid:213) (cid:198)(cid:399)(cid:37)(cid:165)(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2 +4>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:284) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)
(cid:87)(cid:73) (cid:79) 𝑥 𝑥 −2𝑘𝑥 𝑘
A(cid:180)( ) B(cid:180)( ) C(cid:180)( ) D(cid:180)( )
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)−(cid:218)∞(cid:28),−(cid:230)2(cid:21)(cid:131)4 2 −<∞,0−(cid:68)4(cid:295)(cid:51)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:148)(cid:149)−(cid:266)4(cid:234),4(cid:296). −2,2
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:51)(cid:10)(cid:143)(cid:159)𝑘(cid:372)−(cid:213)16(cid:198)(cid:399)(cid:37)(cid:165)(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2 +4>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
(cid:289)(cid:267)(cid:68)4 2 <0(cid:68)(cid:51)(cid:266) 𝑥< <2(cid:68) 𝑥 −2𝑘𝑥
(cid:289)(cid:267)(cid:68) (cid:32)𝑘 −(cid:198)1(cid:37)6(cid:216)(cid:217)(cid:87)( −2) 𝑘
(cid:239)(cid:20)(cid:10)𝑘D. −2,2(cid:140)(cid:59)(cid:74)(cid:20)(cid:21)
1(cid:180)(cid:73)2024·(cid:400)(cid:260)(cid:400)(cid:382)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:309)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )=( 2 ) (cid:91)(0,+ )(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:37)(cid:159)
2𝑚−3
(cid:73) (cid:79) 𝑓 𝑥 𝑚 −𝑚−1 𝑥 ∞ 𝑚
A(cid:180)2 B(cid:180)1 C(cid:180) D(cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:68)(cid:300)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:177)(cid:43)(cid:44)−(cid:68)1(cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:120)(cid:114)(cid:358). −2
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )=( 2 ) (cid:91)(0,+ )(cid:153)(cid:87)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68)
2𝑚−3
2 =1 𝑓 𝑥 𝑚 −𝑚−1 𝑥 ∞
(cid:289)(cid:267) (cid:68)(cid:51)(cid:266) =2.
>0
𝑚 −𝑚−1
𝑚
(cid:239)(cid:20)(cid:10)A2𝑚. −3
2(cid:180)(cid:73)2023·(cid:224)(cid:245)(cid:307)(cid:274)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:237)(cid:40)(cid:68)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) = = = (cid:91)(0,+ )(cid:153)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:66)(cid:339)(cid:87)(cid:223)(cid:401)(cid:68)(cid:402)
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:403)(cid:153)(cid:404)(cid:68)(cid:405)(cid:406)(cid:153)(cid:404)(cid:68)(cid:284)(cid:73) (cid:79) 𝑦 𝑥 ,𝑦 𝑥 ,𝑦 𝑥 ∞
A(cid:180) < < B(cid:180) < <
C(cid:180)c𝑐0(cid:68)(cid:268)(cid:269)C(cid:68)D(cid:128)(cid:257)(cid:230) < (cid:149)(cid:266) > 2(cid:347)(cid:311)(cid:32)
(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:284) >0𝑓(cid:68)(2𝑥)<02(cid:68)𝑓((cid:268)𝑥)(cid:269)𝑥B(cid:68)(cid:148)(cid:149)(cid:266)𝑓((cid:120)0)(cid:234)(cid:296). 𝑓(2𝑥) 2𝑓(𝑥) 𝑐 2𝑎𝑥 𝑥∈𝑅
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)𝑐(cid:28)(cid:143)(cid:159)(cid:76)2𝑎(cid:347)(cid:311)(cid:32) (cid:68)(cid:139) < (cid:68)(cid:396) =0(cid:68)(cid:284) < (cid:68)
(cid:289)(cid:267) >0(cid:68)(cid:268)(cid:269)C(cid:68)D(cid:128)𝑥(cid:148)∈𝑅(0)=𝑓(>2𝑥0)(cid:68)2𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(0) 2𝑓(0)
(cid:299)(cid:49)𝑓(cid:50)(0(cid:31))(cid:13) = 2+ + 𝑓( 0)𝑐(cid:68)
(cid:289)(cid:267) =𝑓(𝑥) 2+𝑎𝑥 +𝑏𝑥 (cid:68)𝑐 𝑎≠ = 2+ + (cid:68)
(cid:230) 𝑓(2𝑥<) 4𝑎𝑥(cid:149)(cid:266)2𝑏𝑥 2+𝑐 2𝑓+(𝑥)<2𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+2𝑐(cid:68)(cid:284) 2 <0(cid:68)
(cid:289)𝑓(cid:267)(2𝑥>) 2𝑓2(cid:347)(𝑥)(cid:311)(cid:32) 4𝑎𝑥(cid:56)(cid:57)2𝑏(cid:58)𝑥(cid:68)(cid:284)𝑐 2>𝑎0𝑥(cid:68) 2𝑏<𝑥0(cid:68)2(cid:239)𝑐 (cid:268)(cid:269)2𝑎B𝑥. −𝑐
(cid:239)(cid:20)𝑐(cid:10)A2.𝑎𝑥 𝑥∈𝑅 𝑐 2𝑎
4(cid:180)(cid:73)2024·(cid:349)(cid:81)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:309)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2+( ) +2>0(cid:32)(cid:51)(cid:159)(cid:290)(cid:409)(cid:392)(cid:13)(cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180)2 18 𝑘𝑥 𝑘B−(cid:180)6 𝑥 < < 𝑘
C(cid:180)2<≤𝑘<≤18 D(cid:180)−01<8 <𝑘2 −2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)𝑘(cid:28)(cid:66)(cid:211)(cid:212)(cid:213) =0(cid:42) 0(cid:189)(cid:336)(cid:65)(cid:337)(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:49)𝑘(cid:50)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:21)(cid:32)(cid:51)(cid:410)(cid:179)(cid:118)(cid:148)(cid:149)(cid:266)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:170) =0(cid:165)𝑘(cid:68)(cid:117)(cid:78)𝑘(cid:53)≠ 2+( ) +2>0(cid:149)(cid:16)(cid:159) +2>0(cid:68)(cid:397)(cid:340)(cid:117)(cid:46)(cid:21)(cid:311)(cid:128)
(cid:170) 0(cid:165)(cid:68)(cid:143)(cid:159)𝑘 2+( ) +𝑘2𝑥>0(cid:32)𝑘(cid:51)−(cid:159)6 𝑥(cid:290)(cid:409)(cid:392)(cid:13)(cid:68) −6𝑥
𝑘≠ >𝑘𝑥0 𝑘−6 𝑥
(cid:289)(cid:267) (cid:68)(cid:51)(cid:266)2< <18(cid:128)
=( )2 ×2<0
𝑘
𝑘
(cid:45)(cid:153)(cid:10)Δ2<𝑘−<618−.4𝑘
(cid:239)(cid:20)(cid:10)C. 𝑘
5(cid:180)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:349)(cid:81)·(cid:74)(cid:353)(cid:294)(cid:352)(cid:79)(cid:299)(cid:31)(cid:13) = 2+ +2(cid:91)(cid:151)(cid:152) ,3](cid:153)(cid:87)(cid:271)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13)a(cid:32)
(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)(cid:73) (cid:79) 𝑓(𝑥) 𝑥 2(4−𝑎)𝑥 (−∞
A(cid:180) B(cid:180) 7 C(cid:180) 3 D(cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)𝑎≥(cid:218)−(cid:28)7(cid:209)(cid:96)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:230)𝑎(cid:76)≥(cid:77)(cid:156) 3(cid:48)(cid:51). 𝑎≥ 𝑎≤−7
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:51)(cid:10)(cid:31)(cid:13) = 2+𝑎−4≥ +2(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:179)(cid:236)(cid:159)(cid:10) = (cid:68)
(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13) = 2+ 𝑓(𝑥) +𝑥 2(cid:91)2(cid:151)(4(cid:152)−𝑎)𝑥 ,3](cid:153)(cid:87)(cid:271)(cid:31)(cid:13)(cid:68) 𝑥 𝑎−4
(cid:289)(cid:267) 𝑓(𝑥3)(cid:68)(cid:51)𝑥(cid:266) 2(47−(cid:68)𝑎)𝑥 (−∞
(cid:239)(cid:20)𝑎(cid:10)−B4.≥ 𝑎≥
1 1
6(cid:180)(cid:73)2023·(cid:254)(cid:312)(cid:411)(cid:382)·(cid:140)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:60)(2, 8 )(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:13) = (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:68)(cid:299) = log 2 3)(cid:68) = ln3)(cid:68) = 3 2
𝛼 −
)(cid:68)(cid:284)a(cid:68)b(cid:68)c(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:159)(cid:73)(cid:412)(cid:412)(cid:79) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎 𝑓( 𝑏 𝑓( 𝑐 𝑓(A(cid:180)b(cid:413)a(cid:413)c B(cid:180)a(cid:413)b(cid:413)c C(cid:180)b(cid:413)c(cid:413)a D(cid:180)a(cid:413)c(cid:413)b
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:362)(cid:363)(cid:209)(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:289)(cid:235)(cid:32)(cid:60)(cid:48)(cid:51)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:341)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:13)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:68)(cid:340)(cid:220)(cid:414)(cid:235)(cid:327)(cid:243)(cid:328)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:114)
(cid:46)(cid:31)(cid:13)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:13)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:204)(cid:148)(cid:149)
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )= (cid:415)(cid:235)(cid:60) 2, 1 (cid:68)(cid:149)(cid:266)(cid:10)2 = 1 (cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:10) = .
8 8
𝛼 𝛼
(cid:148) ( )= (cid:68)(cid:127)(cid:131) ( )= 𝑓 𝑥 (cid:91) 𝑥 (0,+ )(cid:153)(cid:159)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:31)(cid:13). 𝛼 −3
−3 −3
𝑓 𝑥 𝑥 lg3 lg3𝑓 𝑥 𝑥 𝑥∈ ∞
(cid:230)(cid:197)log 3= > =ln3(cid:68)(cid:149)(cid:266)(cid:10) (log 3)< (ln3)(cid:68)(cid:148) < (cid:128)
2 lg2 lge 2
𝑓 𝑓 𝑎 𝑏
1 1
(cid:257)(cid:143)(cid:159)ln3>lne=1(cid:68)0<3 2<1(cid:68)(cid:149)(cid:266)(cid:10) (ln3)< 3 2 (cid:68)(cid:148) < (cid:128)
− −
(cid:45)(cid:153)(cid:289)(cid:278)(cid:10) < < . 𝑓 𝑓 𝑏 𝑐
(cid:239)(cid:20)(cid:10)B. 𝑎 𝑏 𝑐
7(cid:180)(cid:73)2023·(cid:330)(cid:245)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:235) 1 , 2 (cid:68) ( , )(cid:68) ( , )(cid:73) < (cid:79)(cid:87)(cid:31)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:153)
1 1 2 2 1 2
2 4
(cid:32)(cid:347)(cid:311)(cid:117)(cid:334)(cid:189)(cid:60)(cid:68)(cid:284)(cid:223)(cid:229)(cid:114)(cid:213)(cid:93)(cid:240)(cid:150)(cid:32)(cid:87)
𝑓
(cid:73)
𝑥
(cid:79)
𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥
A(cid:180) ( )> ( ) B(cid:180) ( )< ( )
1 1 2 2 1 2 2 1
C(cid:180) 𝑥( 𝑓 1 )𝑥 > ( 2 )𝑥 𝑓 𝑥 D(cid:180) 𝑥(𝑓 1 )𝑥 < ( 2 )𝑥 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
( )
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:230)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:289)(cid:235)(cid:32)(cid:60)(cid:48)(cid:120)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)(cid:66)(cid:339)(cid:416)(cid:417) = (cid:59) = ( )(cid:68)(cid:114)(cid:46)(cid:129)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:231)(cid:232)(cid:176)(cid:233)(cid:240)(cid:316).
𝑓 𝑥
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥3𝑓 𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:299)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )= (cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:235) 1 , 2 (cid:68)(cid:284)( 1 ) = 2=( 1 )2(cid:68)(cid:148) = 3 (cid:68)
2 4 2 𝛼 4 2 2
𝛼
3 𝑓 𝑥 𝑥 𝛼
(cid:289)(cid:267) ( )= 2 (cid:263) (0,+ )(cid:68)
= 𝑓 ( )𝑥 = 1 2 𝑥 (cid:159)(cid:252) 𝑥 (cid:31) ∈ (cid:13)(cid:68)0 ∞ < 1 < 2 (cid:68)(cid:239)(cid:139) ( 1 ) < ( 2 ) .
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2
𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
5
= ( )= 2 (cid:159)(cid:252)(cid:31)(cid:13)(cid:68)0< 1 < 2 (cid:68)(cid:239)(cid:139) 1 ( 1 )< 2 ( 2 ).
(cid:289)𝑦 (cid:267)𝑥A𝑓(cid:59)𝑥B(cid:59)𝑥C(cid:315)(cid:68)D(cid:76). 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥
(cid:239)(cid:20)(cid:10)D.
8(cid:180)(cid:73)2023·(cid:81)(cid:246)(cid:245)(cid:367)·(cid:49)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) = 3+ 2+ + (cid:32)(cid:183)(cid:141)(cid:188)(cid:60)(cid:66)(cid:339)(cid:159)1(cid:68) , (0< < )(cid:68)(cid:309)
1 2 1 2
(cid:31)(cid:13) +1)(cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:284) (cid:32)(cid:198)(cid:37)𝑓(cid:216)(𝑥(cid:217)) (cid:159)𝑥(cid:73) 𝑎 (cid:79)𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
A𝑓(cid:180)(𝑥[0,1] B(cid:180)(𝑓0(,21)) C(cid:180)(0,2) D(cid:180)[0,2]
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:300)(cid:27) (1)=0(cid:68)(cid:48)(cid:266) (cid:32)(cid:275)(cid:276)(cid:53)(cid:68)(cid:230)(cid:31)(cid:13) +1)(cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:289)(cid:267) ( )(cid:3)(cid:197)(1,0)(cid:76)(cid:77)(cid:68)(cid:149)(cid:48)(cid:266)
= (cid:68)(cid:300)(cid:27)(cid:49)(cid:50)𝑓(cid:31)(cid:13)(cid:188)(cid:60)(cid:66)(cid:418)(cid:32)𝑐(cid:131)(cid:132)(cid:68)(cid:48)(cid:266) (cid:324)(cid:325)(cid:32)𝑓(cid:117)(𝑥(cid:78)(cid:53)(cid:419)(cid:68)(cid:48)(cid:120) (cid:32)(cid:216)(cid:217)𝑓(cid:68)𝑥(cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:266) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217).
𝑎(cid:22)(cid:51)−(cid:234)3(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:230) (1)=1+ + + =0(cid:68)(cid:266) 𝑏= ( + +1). 𝑏 𝑓(2)
𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 − 𝑎 𝑏(cid:289)(cid:267) ( )= 3+ 2+ ( + +1) =( ) 2+( +1) + + +1 (cid:68)
(cid:76)(cid:197)𝑓(cid:31)𝑥(cid:13) (𝑥)=𝑎𝑥2+(𝑏𝑥+−1𝑎) +𝑏 + +1(cid:68)𝑥−(cid:129)1(cid:194)𝑥(cid:195)(cid:202)(cid:153)𝑎(cid:68) 𝑥 𝑎 𝑏
(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13)𝑔 𝑥+1𝑥)(cid:159)(cid:303)(cid:31)𝑎 (cid:13)(cid:68)𝑥(cid:289)(cid:267)𝑎 ( 𝑏)(cid:3)(cid:197)(1,0)(cid:76)(cid:77)(cid:68)
(cid:129)(cid:189)(cid:141)(cid:188)𝑓(cid:60)(𝑥 , (cid:68)(cid:284)0< <1<𝑓 𝑥(cid:68)(cid:263)
1 2 1 2
1𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:263)(cid:324)(cid:325) =1(cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:10) = (cid:68)
2
𝑎+
− 𝑎 −3 (0)= + +1>0
(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:188)(cid:60)(cid:66)(cid:418)(cid:32)(cid:131)(cid:132)(cid:139) (cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:10)2< <3
(1)= + +3<0
𝑔 −3 𝑏
𝑏
(2)=8+ + + =8+ +𝑔 −6 𝑏= + +7= + (0,1)(cid:68)
(cid:239)𝑓 (cid:20)(cid:10)B. 4𝑎 2𝑏 𝑐 4𝑎 2𝑏−𝑎−𝑏−1 3𝑎 𝑏 −2 𝑏∈
(cid:49)(cid:59)(cid:420)(cid:20)(cid:21)
9(cid:180)(cid:73)2024·(cid:290)(cid:291)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:223)(cid:229)(cid:31)(cid:13)(cid:93)(cid:256)(cid:87)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:257)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:153)(cid:32)(cid:271)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:87)(cid:73) (cid:79)
A(cid:180) ( )= 5 B(cid:180) ( )=2
𝑥
𝑓 𝑥 1−3𝑥 𝑓 𝑥 1
C(cid:180) ( )= D(cid:180) ( )= 3
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)𝑓 (cid:218)𝑥 (cid:28)(cid:230)𝑥 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:200)(cid:219)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:303)(cid:314)(cid:43)(cid:42)(cid:74)𝑓(cid:75)𝑥(cid:43)(cid:148)−(cid:149)2𝑥(cid:266)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:76)(cid:197)A(cid:68) ( )= 5(cid:87)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:91)(cid:129)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)(cid:239)A(cid:240)(cid:150)(cid:128)
(cid:76)(cid:197)B(cid:68) ( )=2 (cid:87)(cid:91)𝑓(cid:129)𝑥(cid:33)(cid:34)(cid:258)−3(cid:153)𝑥(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:32)(cid:113)(cid:13)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:239)B(cid:315)(cid:316)(cid:128)
𝑥
𝑓 𝑥 1
(cid:76)(cid:197)C(cid:68) ( )= (1)=1(cid:68)(cid:239) ( )= (cid:91)(cid:129)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:153)(cid:117)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)(cid:239)C(cid:315)(cid:316)(cid:128)
𝑓 −1 −1,𝑓 𝑓 𝑥 𝑥
1
(cid:76)(cid:197)D(cid:68) ( )= 3 (cid:87)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:91)(cid:129)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)(cid:239)D(cid:315)(cid:316).
(cid:239)(cid:20)(cid:10)AD𝑓.𝑥 −2𝑥
10(cid:180)(cid:73)2023·(cid:81)(cid:82)(cid:393)(cid:244)(cid:421)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:309)(cid:76)(cid:197)(cid:347)(cid:311)(cid:392)(cid:13)x(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53)( ) 2 ( ) <0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13)a
(cid:149)(cid:313)(cid:87)(cid:73) (cid:79) 𝑎−1 𝑥 −2 𝑎−1 𝑥−4
A(cid:180) B(cid:180)0 C(cid:180) D(cid:180)1
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)−(cid:218)2(cid:28)(cid:362)(cid:363)(cid:170) =1(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:159) <0(cid:56)(cid:57)(cid:58)−(cid:68)4(cid:239)(cid:324)(cid:325)(cid:21)(cid:311)(cid:128)(cid:129)(cid:50) 1(cid:68)(cid:54)(cid:21)(cid:243)(cid:159)(cid:67)(cid:140)(cid:353)(cid:49)(cid:50)(cid:117)(cid:78)(cid:53)
𝑎 <0 −4 𝑎≠
(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:21)(cid:68)(cid:284)(cid:170)(cid:263)(cid:375)(cid:170) (cid:68)(cid:51)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:419)(cid:148)(cid:149).
<0
𝑎−1
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:170) =1(cid:165)(cid:68)(cid:117)Δ(cid:78)(cid:53)(cid:159) <0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:239)(cid:324)(cid:325)(cid:21)(cid:311)(cid:128)
𝑎 <0 −4
(cid:170) 1(cid:165)(cid:68)(cid:61)(cid:324)(cid:325) (cid:68)
<0
𝑎−1
(cid:270) 𝑎≠ =4( )2+16( Δ )=4( )( +3)(cid:68)
(cid:289)Δ(cid:267)(cid:51)(cid:266)𝑎−1< <1(cid:128)𝑎−1 𝑎−1 𝑎
−3 𝑎(cid:45)(cid:153)(cid:68)(cid:392)(cid:13)a(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87)( ](cid:128)
(cid:289)(cid:267)(cid:76)(cid:35)(cid:20)(cid:233)(cid:266)(cid:68)(cid:392)(cid:13)a(cid:149)(cid:313)−(cid:87)3,1 (cid:68)0(cid:68)1.
(cid:239)(cid:20)(cid:10)ABD. −2
11(cid:180)(cid:73)2024·(cid:81)(cid:82)(cid:82)(cid:382)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) = +1(cid:68)(cid:299) = (cid:68) = ( )
1
( > N )(cid:180)(cid:263)(cid:3)(cid:197) (cid:32)(cid:31)(cid:13) = 2+
𝑓(𝑥) 𝑥
( N )(cid:180)
𝑔
(cid:284)
(𝑥
(cid:73)
) 𝑓
(cid:79)
(𝑥) 𝑔𝑛(𝑥) 𝑓 𝑔𝑛−1(𝑥)
𝑛=1
∗ ∗
𝑛 1,𝑛∈ 𝑥 𝑦 𝑥 𝑔𝑖(𝑥) 𝑛∈
A(cid:180) = + (cid:187) = +1 𝑖
𝑔𝑛(𝑥)2 𝑥 𝑛 𝑔𝑛(2𝑥) 𝑛𝑥
B(cid:180) = + +
4 2
𝑛 +2𝑛 𝑛
C(cid:180)𝑦(cid:170) 2(cid:165)(cid:68)(cid:422)𝑥(cid:91)(cid:3)(cid:197) (cid:32)(cid:31)(cid:13) (cid:91)(cid:151)(cid:152) (cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159)6(cid:68) =0
D(cid:180)(cid:170)𝑛≤>2(cid:165)(cid:68)(cid:422)(cid:91)(cid:3)(cid:197)𝑥(cid:32)(cid:31)(cid:13)𝑦(cid:91)(cid:151)(cid:152)(−∞,−1](cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:159)6(cid:68)𝑛=4
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)𝑛(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:68)(cid:423)𝑥(cid:249)(cid:424)(cid:15)(cid:148)𝑦(cid:149)(cid:231)(cid:232)(A−(cid:68)∞,(cid:209)−1(cid:96)] A(cid:210)(cid:48)(cid:177)(cid:7)(cid:53)(cid:16)(cid:157)𝑛(cid:148)(cid:149)(cid:231)(cid:232)B(cid:68)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:76)
(cid:77)(cid:156)(cid:66)(cid:339)(cid:48)(cid:120)(cid:31)(cid:13)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:68)(cid:425)(cid:58)(cid:179)(cid:236)(cid:48)(cid:51)(cid:240)(cid:318)(cid:13) (cid:149)(cid:231)(cid:232)CD.
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159) = = +1(cid:68) =𝑛 ( )(cid:68)(cid:289)(cid:267) = +1)= +2(cid:68)
1 2
= +2)=𝑔 (+𝑥)3(cid:68)𝑓(cid:346)(𝑥(cid:50))(cid:211)𝑥(cid:424)(cid:68)(cid:149)(cid:266)𝑔𝑛(𝑥) =𝑓 𝑔+𝑛−1((cid:68)𝑥)(cid:239)A(cid:240)(cid:150)𝑔(cid:128)(𝑥) 𝑓(𝑥 𝑥
3
(cid:230) 𝑔 ( A 𝑥) (cid:20)(cid:233) 𝑓( (cid:131) 𝑥 (cid:68) = 2 𝑥 + = 2+ 𝑔 + 𝑛( 1 𝑥 + ) 𝑥 +2 𝑛 +…+ + = 2+ + (1 ) = 2 + + 2 (cid:68)
𝑛=1
+
2
𝑛 ⋅𝑛 𝑛 +
4
2𝑛 𝑛
2
(cid:239)B(cid:240)(cid:150)(cid:128)
𝑦 𝑥
𝑖
𝑔𝑖(𝑥) 𝑥 (𝑥 𝑥 𝑥 𝑛) 𝑥 𝑛𝑥 𝑥
2
2
(cid:170) 2(cid:165)(cid:68) = + + (cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156) = (cid:68)
4 2 2
𝑛 +2𝑛 𝑛 𝑛
(cid:289)(cid:267) 𝑛≤ (cid:91)(cid:151)(cid:152) 𝑦 (cid:153)(cid:74) 𝑥 (cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)(cid:239)(cid:170) = 𝑥 − (cid:165) ≥ (cid:68) −1 = 2 2 4 = 2 2 =6(cid:68)(cid:179)(cid:236)(cid:372)(cid:318)(cid:13)(cid:51)(cid:68)(cid:239)C(cid:315)(cid:316)(cid:128)
min 4 2
𝑛 −2𝑛+ 𝑛 −𝑛+
𝑦 (−∞,−1] 2 𝑥 −1 𝑦
2
(cid:170) >2(cid:165)(cid:68) = + + (cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:156) = < (cid:68)
4 2 2
𝑛 +2𝑛 𝑛 𝑛
𝑛 𝑦 𝑥2 𝑥 − −1∈(−∞,−1]
(cid:289)(cid:267)(cid:170) = (cid:165)(cid:68) = =6(cid:68)(cid:51)(cid:266) =4(cid:68)(cid:239)D(cid:240)(cid:150).
2 min 4
𝑛 𝑛 +2𝑛
𝑥 − 𝑦 𝑛
(cid:239)(cid:20)(cid:10)ABD.
(cid:183)(cid:59)(cid:123)(cid:124)(cid:21)
2
12(cid:180)(cid:73)2024·(cid:225)(cid:366)(cid:426)(cid:376)·(cid:140)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) = (0< <1)(cid:91)(cid:151)(cid:152) (cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)(cid:284) (cid:32)(cid:140)(cid:141)(cid:198)(cid:37)(cid:159)
3
𝛼
𝑓(𝑥) 𝑥 𝛼 (−1,0) 𝛼
(cid:73)(cid:117)(cid:338)(cid:140)(cid:79) (cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:209)(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:303)(cid:314)(cid:43)(cid:148)(cid:149)(cid:266)(cid:51).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:143)(cid:159) = (0< <1)(cid:91)(0,+ )(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:257) (cid:91)(cid:151)(cid:152) (cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)
𝛼
𝑓(𝑥) 𝑥 𝛼 2 ∞ 𝑓(𝑥) (−1,0)
(cid:289)(cid:267) (cid:149)(cid:267)(cid:159)(cid:314)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:117)(cid:387)(cid:198) = (cid:68)
3
𝑓(𝑥) 𝛼2
(cid:144)(cid:165) = 3=3 2(cid:68)(cid:31)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:159) R(cid:68)
𝑓(𝑥) 𝑥 2 𝑥 𝑥∈ 2
(cid:263) =( )3=3 ( )2= (cid:68)(cid:239) = 3 (cid:159)(cid:314)(cid:31)(cid:13)(cid:68)
(cid:324)𝑓(cid:325)(−(cid:91)𝑥(cid:151)) (cid:152)−𝑥 (cid:153)(cid:74)−(cid:75)𝑥(cid:288)(cid:271). 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥
(2−1,0)
(cid:239)(cid:234)(cid:296)(cid:159)(cid:10) (cid:73)(cid:117)(cid:338)(cid:140)(cid:79).
3
13(cid:180)(cid:73)2024·(cid:254)(cid:312)(cid:297)(cid:427)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) = + >0(cid:68)(cid:263) 1)(cid:32)(cid:40)(cid:356)(cid:56)(cid:235)(cid:33)(cid:60)P(cid:68)(cid:263)P(cid:91)(cid:30)(cid:31)
(cid:13) (cid:32)(cid:40)(cid:356)(cid:153)(cid:68)(cid:284) = (cid:180) 𝑦 𝑎(𝑥−4) 2(𝑎 𝑎≠
(cid:22)𝑓(cid:51)(𝑥(cid:21))(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:414)(cid:235)(cid:42)𝑓(cid:243)(𝑥(cid:328))(cid:372)(cid:3)(cid:266)𝑥(cid:305)(cid:33)(cid:60)(cid:68)(cid:299)(cid:120) (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:68)(cid:48)(cid:51)(cid:243)(cid:328)(cid:148)(cid:149).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:170) =4时， (cid:32)(cid:37)(cid:42) (cid:372)(cid:3)(cid:68)(cid:263) 𝑓 = (𝑥 2 )(cid:68)(cid:239) 4，2)(cid:68)(cid:299) =
𝑚
𝑥 𝑦 𝑎 𝑦 𝑃( 𝑓(𝑥) 𝑥
1 1
(cid:326) 4，2)(cid:364)(cid:365) (cid:68)(cid:51)(cid:266) = (cid:68)(cid:239) = 2
2
(cid:239)𝑃(cid:234)((cid:296)(cid:159)(cid:10) .𝑓(𝑥) 𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥
14(cid:180)(cid:73)2024·(cid:330)𝑥(cid:245)·(cid:283)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:31)(cid:13) ( )=| 2 +7|(cid:91)[ ]( >1)(cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159) (cid:68)(cid:91)[ ](cid:153)(cid:32)
(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159) (cid:68)(cid:309) (cid:68)(cid:284)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37) 𝑓 (cid:216) 𝑥 (cid:217)(cid:87) 𝑥 −6𝑥 3, 3 1 (cid:180) ,𝑚 𝑚 𝐴 𝑚,2𝑚−1
2
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214) 𝐵 (cid:218)(cid:28)(cid:383) 𝐴 (cid:120) ≥2𝐵 (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:68) 𝑚 (cid:66)1< 5(cid:177) > 3 5 −(cid:189)(cid:336)(cid:65)(cid:337)(cid:212)(cid:213)(cid:31)(cid:13) (cid:91)[ ]( >1)(cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:177)(cid:91)
[ ](cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)𝑓(cid:37)(𝑥(cid:68)) (cid:229)(cid:120)(cid:3)(cid:204)(cid:68)(cid:51)(cid:117)𝑚(cid:78)≤(cid:53)(cid:148)𝑚(cid:149)(cid:266)(cid:305)(cid:234)(cid:296). 𝑓(𝑥) 1,𝑚 𝑚
(cid:22)𝑚(cid:51),2𝑚(cid:234)−(cid:235)1(cid:236)(cid:28)(cid:230)(cid:31)(cid:13) ( )=| 2 +7|=|( )2 |(cid:68)(cid:383)(cid:120) (cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:237)(cid:223)(cid:10)
𝑓 𝑥 𝑥 −6𝑥 𝑥−3 −2 𝑓(𝑥)
(cid:230)(cid:21)(cid:266)(cid:10) = = =2(cid:68)
(cid:170)1< 𝑓(51(cid:165)) (cid:68)𝑓(cid:31)(3(cid:13)) (𝑓()5=)| 2 +7|(cid:91)[ ]( >1)(cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159)2(cid:68)(cid:148) =2(cid:68)
(cid:61)(cid:384) 𝑚≤ (cid:68)(cid:284) 1𝑓(cid:68)𝑥(cid:396) 𝑥 =−61𝑥(cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:10)1,𝑚= 𝑚 3(cid:68) =2(cid:68) =4(cid:68) 𝐴=3+ 3(cid:68)
1 2 3 4
𝐴≥2𝐵 𝐵≤ 𝑓(𝑥) 𝑥 3− 𝑥 𝑥 𝑥(cid:230)(cid:40)(cid:149)(cid:266)(cid:68)(cid:61)(cid:384)(cid:31)(cid:13) ( )=| 2 +7|(cid:91)[ ](cid:153)(cid:32)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:159) (cid:68)(cid:263) 1(cid:68)
3 𝑓 𝑥 𝑥4−6𝑥 𝑚,2𝑚−1 3 𝐵 𝐵≤
(cid:284) (cid:68)(cid:187) (cid:68)(cid:51)(cid:266)(cid:10) 3 .
2 3+ 3 2
𝑚≥3− 𝑚≥
3− ≤𝑚≤
(cid:170) 2𝑚>−5(cid:165)1≤(cid:68) 2𝑚−1≤
𝑚
(cid:230)(cid:40)(cid:68) ( )=| 2 +7|(cid:91)[ ]( >1)(cid:153)(cid:55)(cid:38)(cid:37) = = 2 +7>0(cid:68)
(cid:91)[ 𝑓 𝑥 ](cid:153)𝑥(cid:74)−(cid:75)6(cid:288)𝑥(cid:252)(cid:68)(cid:55)(cid:38)1,𝑚(cid:37) 𝑚= > 𝐴( )𝑓=(𝑚)>0𝑚(cid:68)−6𝑚
𝑚,2𝑚(cid:117)−(cid:149)1(cid:313)(cid:57)(cid:58)(cid:68) 𝐵 𝑓(2𝑚−1) 𝑓 𝑚 𝐴
𝐴 (cid:45) ≥ (cid:153) 2 (cid:68) 𝐵 (cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87) 3, 3 (cid:68)
2
𝑚 3−
(cid:239)(cid:234)(cid:296)(cid:159)(cid:10) 3, 3 .
2
(cid:254)(cid:59)(cid:51)(cid:234)(cid:21) 3−
15(cid:180)(cid:73)2024·(cid:259)(cid:260)·(cid:49)(cid:283)(cid:79)(cid:182)(cid:131) ( )(cid:87)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:263) (1)= (0)= (3)=4(cid:180)
(1)(cid:48) ( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:128) 𝑓 𝑥 𝑓 4,𝑓 1,𝑓
(2)(cid:309)𝑓 𝑥[ ](cid:68)(cid:48)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:55)(cid:39)(cid:37)(cid:177)(cid:55)(cid:38)(cid:37)(cid:180)
(cid:22)(cid:51)(cid:21)𝑥∈(cid:214)(cid:218)−1(cid:28),5(cid:73)1(cid:79)(cid:299)(cid:49)(cid:50)𝑓 𝑥(cid:31)(cid:13)(cid:159) ( )= 2+ + 0(cid:68)(cid:209)(cid:96)(cid:21)(cid:311)(cid:68)(cid:229)(cid:120)(cid:179)(cid:236)(cid:419)(cid:68)(cid:48)(cid:266) (cid:32)(cid:37)(cid:68)(cid:148)(cid:149)
(cid:48)(cid:51)(cid:128) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐,𝑎≠ 𝑎,𝑏,𝑐
(cid:73)2(cid:79)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:48)(cid:266)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:151)(cid:152)(cid:68)(cid:173)(cid:270)(cid:48)(cid:266)(cid:129)(cid:55)(cid:37).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:73)1(cid:79)(cid:51)(cid:10)(cid:299)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:159)𝑓(𝑥)= 2+ + 0(cid:68)
𝑓 𝑥+ 𝑎+𝑥 =𝑏4𝑥 𝑐,𝑎≠
(cid:143)(cid:159) (1)= (0)= (3)=4(cid:68)(cid:149)(cid:266) =1 (cid:68)(cid:51)(cid:266) = = =1(cid:68)
𝑎+𝑏 +𝑐 =4
𝑓 4,𝑓 1,𝑓 𝑐 𝑎 −1,𝑏 4,𝑐
(cid:289)(cid:267)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53) ( )= 2+ 9+𝑎1(cid:180)3𝑏 𝑐
(cid:73)2(cid:79)(cid:51)(cid:10)𝑓(cid:31)𝑥(cid:13) ( )= 𝑓 𝑥2+ −+𝑥1(cid:68)4(cid:194)𝑥 (cid:195)(cid:202)(cid:223)(cid:68)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:179)(cid:236)(cid:159) =2(cid:68)
(cid:148)(cid:31)(cid:13) ( )= 𝑓 2𝑥+ −+𝑥1(cid:91)4[𝑥 ](cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:91)[2,5](cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)𝑥(cid:68)
(cid:289)(cid:267) 𝑓 𝑥 =−𝑥( )4=𝑥 (5)=−1,2(cid:68) = (2)=5(cid:180)
min max
16(cid:180)𝑓(cid:73)(𝑥2)023·(cid:259)(cid:260)𝑓 ·−(cid:140)1(cid:283)(cid:79)𝑓(cid:182)(cid:131)(cid:49)−(cid:50)4(cid:31)(cid:13)𝑓(𝑥)( )(cid:324)(cid:325)𝑓 = (cid:68)(cid:186)(cid:60)(cid:159) .
𝑓 𝑥 𝑓(0) −1 (1,−2)(1)(cid:48)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:128)
(2)(cid:309)(cid:31)(cid:13)𝑓(𝑥)(cid:91)(cid:151)(cid:152) (cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:48)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217).
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)𝑓(cid:28)𝑥 (cid:73)1(cid:79)(cid:230)[𝑎(cid:49)−(cid:50)1,4(cid:31)](cid:13) ( )(cid:186)(cid:60)(cid:159) (cid:149)𝑎 (cid:299) = 2 (cid:68)(cid:230) = (cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:120)a(cid:68)(cid:284)(cid:48)(cid:120)
( )(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53). 𝑓 𝑥 (1,−2) 𝑓(𝑥) 𝑎(𝑥−1) −2 𝑓(0) −1
𝑓(cid:73)𝑥2(cid:79)(cid:209)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:32)(cid:194)(cid:195)(cid:177)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:148)(cid:149)(cid:48)(cid:266)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:73)1(cid:79)(cid:299)𝑓 𝑥 = 2 (cid:68) 𝑎
(cid:284)(cid:230) = (cid:266)(cid:10) 𝑓(𝑥=) 𝑎(cid:68)(𝑥−1) −2
=𝑓(10(cid:68)) −1 𝑎−2 −1
∴𝑎 = 2 = 2 .
(cid:73)∴2𝑓(cid:79)(𝑥(cid:230)) (cid:73)(1𝑥(cid:79)−1(cid:131)) −2 =𝑥 2−2𝑥−1 (cid:68)(cid:194)(cid:195)(cid:202)(cid:153)(cid:68)(cid:76)(cid:77)(cid:156)(cid:159) =1(cid:68)
(cid:284)(cid:309)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:91)(cid:151)𝑓((cid:152)𝑥) 𝑥 −2(cid:153)𝑥−(cid:74)1(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68) 𝑥
𝑓 𝑥<4 [𝑎−1,4]
(cid:145)(cid:324)(cid:325) (cid:68)
1
𝑎−1
2 𝑎<−51(cid:68)≥
∴(cid:392)(cid:13)≤𝑎a(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:159)[2,5).
∴17(cid:180)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:223)·(cid:153)(cid:280)·(cid:250)(cid:93)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )= 2 ( Z)(cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:263)(cid:91)(cid:151)(cid:152)(0,+ )(cid:153)(cid:87)(cid:428)(cid:429)
𝑚 −2𝑚−3
(cid:271)(cid:31)(cid:13). 𝑓 𝑥 𝑥 𝑚∈ ∞
(1)(cid:48)(cid:31)(cid:13) = ( )(cid:32)(cid:275)(cid:276)(cid:53)(cid:128)
(2)(cid:76)(cid:347)(cid:311)(cid:392) 𝑦 (cid:13) 𝑓 𝑥 1 ,1 (cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53) ( ) +4 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:48)(cid:392)(cid:13)t(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217).
2
𝑥
【解题思路】（ 𝑥∈ 1）根据在区间( 𝑓 0, 𝑥 + ≤ ) 𝑡 上是严格减函数可得 2 <0，解不等式可得整数 的值，检
验是否符合奇函数即可； ∞ 𝑚 −2𝑚−3 𝑚
1 1
（2）对任意实数 [ ,1]，不等式 4 恒成立，而 = 4 在[ ,1]上为减函数，由此可得解．
2 2
−3 𝑥 −3 𝑥
𝑥∈ 𝑡≥𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑥 −
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:73)1(cid:79)依题意 为奇函数，在区间(0,+ )上是严格减函数，
可得 2 <0，解得𝑓(𝑥<) <3， ∞
由于𝑚 −Z2,𝑚故−3=0，1，2，−1 𝑚
当 𝑚=0∈和 =𝑚2(cid:165)(cid:68) 2 = ，此时 = (cid:159)(cid:303)(cid:31)(cid:13)(cid:68)(cid:242)(cid:46)(cid:61)(cid:48)(cid:68)
−3
当𝑚=1时，𝑚 2 𝑚 −=2𝑚−(cid:68)3(cid:144)(cid:165)−3 = 𝑓(𝑥(cid:159))(cid:314)(cid:31)𝑥 (cid:13)(cid:68)(cid:117)(cid:242)(cid:46)(cid:61)(cid:48)(cid:68)
−4
𝑚 = ；𝑚 −2𝑚−3 −4 𝑓(𝑥) 𝑥
−3
(cid:73)𝑓(𝑥2)(cid:79)不𝑥等式 +4 ，即 4 ，
𝑥 −3 𝑥
𝑓(𝑥)≤𝑡 𝑡≥𝑥 −1
又 = 在(0,+ )上是减函数， =4 在R上为增函数，则 = 4 在[ ,1]上为减函数，
2
−3 𝑥 −3 𝑥
𝑓(𝑥) 𝑥 ∞ 𝑦 𝑔(𝑥) 𝑥 −
1
所以 = )=6，则 6，
max 2
𝑔(𝑥) 𝑔( 𝑡≥
所以实数 的取值范围为[6, + )．
18(cid:180)(cid:73)23-𝑡24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:390)(cid:262)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)∞(cid:228)(cid:79)(cid:182)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13) ( )=( 2+ ) 2 (cid:73) (cid:79)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:258)(cid:159) (cid:68)(cid:263)(cid:91)[0,+ )
𝑚 −7
(cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:180) 𝑓 𝑥 𝑚 2𝑚−2 𝑥 𝑚∈𝑍 𝑅 ∞
(1)(cid:48)m(cid:32)(cid:37)(cid:128)
(2) [1,2](cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53) ( ) +2>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:48)(cid:392)(cid:13)a(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:180)
(cid:22)(cid:51)∀𝑥(cid:21)∈(cid:214)(cid:218)(cid:28)(cid:73)1(cid:79)(cid:209)𝑎(cid:96)𝑓(cid:30)𝑥(cid:31)−(cid:13)3𝑥(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:48)(cid:51)(cid:148)(cid:149).
2
(cid:73)2(cid:79)(cid:362)(cid:363)(cid:209)(cid:96)(cid:21)(cid:311)(cid:221)(cid:16)(cid:159) [1,2](cid:68) > =3 1 1 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:180)(cid:295)(cid:300)(cid:27)(cid:430)(cid:353)(cid:118)(cid:48)(cid:51)(cid:148)(cid:149).
2
3𝑥−2
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(cid:73)1(cid:79) 2+ ∀𝑥∈= 𝑎=1(cid:187)𝑥 = 𝑥(cid:68)−2 𝑥
(cid:257)(cid:143)(cid:159)(cid:31)(cid:13) ( )(cid:91)[0𝑚,+ 2)𝑚(cid:153)−(cid:74)2(cid:75)(cid:288)1⇒(cid:252)𝑚(cid:68) 𝑚 −3
=1(cid:68) ( 𝑓)=𝑥 (cid:73)(cid:431)∞(cid:79)(cid:68)
−6
𝑚= (cid:68)𝑓 𝑥( )=𝑥 2.
𝑚(cid:73)2(cid:79)−3 𝑓[1𝑥,2](cid:68)𝑥 2 +2>0(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)
[ ∀ 1 𝑥 ,2 ∈ ](cid:68) > 𝑎𝑥 = − 3 3𝑥 1 1 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:180)
2
3𝑥−2
(cid:396) ∀𝑥∈ = 1 1 , 𝑎 1 (cid:68) 𝑥 ( )= 𝑥 −2 2(cid:68) 𝑥
2
𝑡 𝑥∈ 𝑔 𝑡 3𝑡−2𝑡
(cid:284) ( )(cid:91)(cid:151)(cid:152) 1 , 3 (cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:252)(cid:68)(cid:91)(cid:151)(cid:152) 3 ,1 (cid:153)(cid:74)(cid:75)(cid:288)(cid:271)(cid:68)
2 4 4
𝑔 𝑡
( ) = 3 = 9 (cid:68)
max 4 8
𝑔 𝑡 𝑔
9
(cid:239) > (cid:180)
8
19 𝑎 (cid:180)(cid:73)23-24(cid:24)(cid:140)(cid:153)·(cid:81)(cid:82)·(cid:226)(cid:227)(cid:72)(cid:228)(cid:79)(cid:299)(cid:31)(cid:13) = 2+ + .
(cid:73)1(cid:79)(cid:309)(cid:3)(cid:197) (cid:32)(cid:117)(cid:78)(cid:53) ( ) (cid:139)(cid:392)(cid:13)(cid:51)(cid:68)𝑓(cid:48)(𝑥(cid:392))(cid:13)𝑎𝑥(cid:32)(cid:198)((cid:37)1−(cid:216)𝑎(cid:217))𝑥(cid:128)𝑎−2
(cid:73)2(cid:79)(cid:309)(cid:117)(cid:78)(cid:53)𝑥 ( ) 𝑓 (cid:76)𝑥 (cid:197)≥(cid:392)−2(cid:13) [ ](cid:165)(cid:56)(cid:57)(cid:58)𝑎 (cid:68)(cid:48)(cid:392)(cid:13) (cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:128)
(cid:73)3(cid:79)(cid:51)(cid:3)(cid:197) (cid:32)𝑓(cid:117)𝑥(cid:78)≥(cid:53)−(cid:10)2 < 𝑎∈ −1,1 . 𝑥
(cid:22)(cid:51)(cid:21)(cid:214)(cid:218)(cid:28)𝑥(1)(cid:326)(cid:304)(cid:33)(cid:32)𝑓(cid:117)(𝑥(cid:78))(cid:53)𝑎(cid:78)−(cid:329)1,(cid:221)(𝑎(cid:16)∈(cid:57)𝑅) 2+ + 0(cid:68)(cid:432) =0(cid:42) 0(cid:341)(cid:114)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)
(cid:212)(cid:213)(cid:422)(cid:91)(cid:392)(cid:13)(cid:384)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:148)(cid:149)(cid:128) 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎≥ 𝑎 𝑎≠
(2)(cid:326)(cid:304)(cid:33)(cid:32)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:78)(cid:329)(cid:221)(cid:16)(cid:57)( 2 + + 0(cid:68)(cid:209)(cid:96)(cid:304)(cid:33)(cid:146)(cid:147)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:50)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:383)(cid:234)(cid:128)
𝑥 −𝑥 1)𝑎 𝑥≥(3)(cid:326)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:16)(cid:159) 2+ <0(cid:68)(cid:66)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:341)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:353)(cid:49)(cid:50)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51)(cid:118)(cid:148)(cid:149)(cid:383)(cid:234).
(cid:22)(cid:51)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:28)(1)𝑎(cid:346)𝑥(cid:21)(cid:311)(1(cid:68)−𝑎()𝑥)−1 (cid:139)(cid:392)(cid:13)(cid:51)(cid:68)(cid:148)(cid:117)(cid:78)(cid:53) 2+ + 0(cid:139)(cid:392)(cid:13)(cid:51)(cid:68)
(cid:170) =0(cid:165)(cid:68) 0(cid:139)(cid:392)(cid:13)(cid:51)𝑓(cid:68)𝑥(cid:284)≥−=20(cid:68) 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎≥
(cid:170)𝑎>0(cid:165)(cid:68)𝑥(cid:198)≥=0(cid:68)(cid:284) 2+ 𝑎 + = >0(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:148) 2+ + 0(cid:139)(cid:392)(cid:13)(cid:51)(cid:68)(cid:197)(cid:87)(cid:266) >0(cid:68)
(cid:170)𝑎<0(cid:165)(cid:68)(cid:49)(cid:50)𝑥 (cid:31)(cid:13) =𝑎𝑥 2+(1−𝑎)𝑥 +𝑎 (cid:32)𝑎(cid:40)(cid:41)(cid:194)(cid:195)(cid:202)(cid:223)(cid:68)𝑎𝑥(cid:61) (1−0𝑎(cid:139))𝑥(cid:51)(cid:68)𝑎(cid:170)≥(cid:263)(cid:375)(cid:170) = 2 𝑎 2
𝑎 1 𝑦 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎 𝑦≥ 𝛥 (1−𝑎) −4𝑎
(cid:68)(cid:103)(cid:270)(cid:266) <0(cid:68)
3
≥0⇔−1≤𝑎≤ −1≤𝑎
(cid:45)(cid:153)(cid:68) (cid:68)
(cid:289)(cid:267)(cid:392)𝑎(cid:13)≥(cid:32)−1(cid:198)(cid:37)(cid:216)(cid:217)(cid:87) (cid:128)
(2)(cid:117)(cid:78)(cid:53)𝑎( ) (cid:76)(cid:197)𝑎(cid:392)≥(cid:13)−1 [ ](cid:165)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:148) 2 + + 0(cid:68)
(cid:397)(cid:340) 2 𝑓+𝑥1>≥0−(cid:68)2(cid:31)(cid:13) 𝑎=∈(−21,1+ + (cid:91) ∀𝑎[ ∈[−]1(cid:153),1(cid:288)],((cid:252)𝑥 (cid:68)−𝑥(cid:103)(cid:270)1(cid:266))𝑎 𝑥≥ 0(cid:68)(cid:148) 2
+ 𝑥 −𝑥 0(cid:68)(cid:51)(cid:266) =1(cid:68)𝑔(𝑎) 𝑥 −𝑥 1)𝑎 𝑥 𝑎∈ −1,1 𝑔(−1)≥ −𝑥
(cid:289)2(cid:267)𝑥(cid:392)−1(cid:13)≥(cid:32)(cid:198)(cid:37)(cid:216)𝑥(cid:217)(cid:87){1}(cid:128)
(3) (cid:117)(cid:78)(cid:53)𝑥 < 2+ <0(cid:68)
(cid:170) =0(cid:165)(cid:68)𝑓(𝑥<) 1(cid:68)𝑎−1⇔𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥−1
𝑎 𝑥 1 1 1
(cid:170) >0(cid:165)(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:149)(cid:16)(cid:159) + <0(cid:68)(cid:270) <0(cid:68)(cid:51)(cid:266) < <1(cid:68)
𝑎 (𝑥 𝑎)(𝑥−1) −𝑎 −𝑎 𝑥
1
(cid:170) <0(cid:165)(cid:68)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:149)(cid:16)(cid:159) + >0(cid:68)
𝑎 (𝑥 𝑎)(𝑥−1)
1
(cid:170) =1(cid:68)(cid:148) = (cid:165)(cid:68) 1(cid:68)
−𝑎 𝑎 −1 𝑥∈𝑅,𝑥≠
1 1
(cid:170) <1(cid:68)(cid:148) < (cid:165)(cid:68) < (cid:187) >1(cid:68)
−𝑎 𝑎 −1 𝑥 −𝑎 𝑥
1 1
(cid:170) >1(cid:68)(cid:148) < <0(cid:165)(cid:68) <1(cid:187) > (cid:68)
(cid:289) − (cid:267)𝑎(cid:68)(cid:170) =0 − (cid:165) 1 (cid:68)(cid:251) 𝑎 (cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32) 𝑥 (cid:51)(cid:323)(cid:159) 𝑥 −𝑎 (cid:68)
𝑎 1 (−∞,1)
(cid:170) >0(cid:165)(cid:68)(cid:251)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) ,1)(cid:68)
𝑎 (−𝑎
1
(cid:170) <0(cid:165)(cid:68)(cid:251)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) ,+ (cid:68)
−1≤𝑎 (−∞,1)∪(−𝑎 ∞)
1
(cid:170) < (cid:165)(cid:68)(cid:251)(cid:117)(cid:78)(cid:53)(cid:32)(cid:51)(cid:323)(cid:159) ) (1,+ .
𝑎 −1 (−∞,−𝑎 ∪ ∞)
