文档内容
专题 5.4 复数【七大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)............................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)....................................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)............................................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:28)..............................................................................................................................................10
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28)..................................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)..........................................................................................................................................13
1(cid:52)(cid:30)(cid:13)
(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:56)(cid:21)(cid:57)(cid:58) (cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:61)
2022(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:81)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2
(cid:21)(cid:65)5(cid:60)(cid:52)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65)5(cid:60)
2023(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65)
(1)(cid:62)(cid:63)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30) 5(cid:60) (cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:31)(cid:88)(cid:53)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:31)
(cid:13) 2023(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)1(cid:21)(cid:65) (cid:91)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:92)(cid:93).(cid:94)(cid:95)(cid:38)(cid:79)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:59)(cid:96)(cid:97)
(2)(cid:15)(cid:64)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:68)(cid:13)(cid:47)(cid:48) 5(cid:60) (cid:98)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:99)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:25)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:105)(cid:105)
(cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:15)(cid:64)(cid:71)(cid:72) 2024(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65) (cid:106)(cid:107)(cid:20)(cid:21)(cid:52)(cid:108)(cid:109)(cid:21)(cid:31)(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:100)(cid:65)(cid:25)(cid:100)(cid:89)
(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:73)(cid:41) 5(cid:60) (cid:90)(cid:52)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:16)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:117)(cid:54)(cid:25)(cid:100)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)
(3)(cid:74)(cid:75)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:65) 2024(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)1(cid:21)(cid:65) (cid:33)(cid:52)(cid:36)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:107)(cid:21).(cid:121)
(cid:76)(cid:64)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:52)(cid:78)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:38) 5(cid:60) (cid:122)(cid:123)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:13)(cid:124)(cid:125)(cid:106)(cid:107)(cid:20)(cid:21)(cid:52)(cid:108)(cid:109)(cid:21)
(cid:39)(cid:40)(cid:41) 2024 (cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:84)(cid:82)(cid:85)(cid:17)(cid:13)(cid:86)(cid:10) (cid:110)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:65)(cid:101)(cid:102)(cid:120)(cid:107).
(cid:83)1(cid:21)(cid:65)5(cid:60)(cid:52)(cid:85)(cid:15)(cid:13)(cid:86)(cid:10)(cid:83)
1(cid:21)(cid:65)5(cid:60)
(cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)
1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:110)(cid:133)a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:13)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:70)(cid:137)i(cid:135)(cid:136)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139).(cid:80)(cid:140)(cid:30)(cid:13)(cid:141)(cid:142)(cid:31)(cid:143)(cid:144)C={a+bi|a,b(cid:134)R}(cid:135)
(cid:136)(cid:30)(cid:13)(cid:143).(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:50)(cid:51) +1=0(cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:148)(cid:149)(cid:64)x=i(cid:76).
(2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:47)(cid:48)
(cid:30)(cid:13)(cid:62)(cid:150)(cid:27)(cid:151)(cid:152)z(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:153)z=a+bi(a,b(cid:134)R).(cid:106)(cid:154)(cid:115)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:123)(cid:159)(cid:65)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:160)(cid:149)a,b(cid:134)R(cid:65)(cid:70)(cid:137)(cid:31)a(cid:49)b(cid:60)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:138)(cid:163).
(3)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:60)(cid:164)
(cid:99)(cid:119)(cid:30)(cid:13)a+bi(cid:65)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)b=0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:169)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)a=b=0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:162)(cid:13)0(cid:169)(cid:165)b≠0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:135)(cid:136)(cid:138)
(cid:13)(cid:169)(cid:165)a=0(cid:166)b≠0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:135)(cid:136)(cid:170)(cid:138)(cid:13).
(cid:171)(cid:172)(cid:65)(cid:162)(cid:13)(cid:143)R(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:31)(cid:56)(cid:173)(cid:143)(cid:65)(cid:153)R C.
(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:174)(cid:106)(cid:60)(cid:164)(cid:133)(cid:175)(cid:10)
(cid:30)(cid:13) .
2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)
(cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C={a+bi|a,b(cid:134)R}(cid:137)(cid:176)(cid:177)(cid:71)(cid:72)(cid:13)a+bi(cid:65)c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:178)(cid:104)(cid:10)a+bi(cid:49)c+di(cid:42)(cid:43)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)
a=c(cid:166)b=d(cid:65)(cid:153)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:162)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:138)(cid:163)(cid:49)(cid:138)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:159)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:179)(cid:42)(cid:43).
(cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(1)(cid:30)(cid:180)(cid:181)
(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:65)(cid:174)(cid:184)(cid:30)(cid:13)z=a+bi (cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(a,b)(cid:65)(cid:186)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(a,b) (cid:180)(cid:181)
(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:31)(cid:53)(cid:65)(cid:191)(cid:106)(cid:30)(cid:13)(cid:143)(cid:49)(cid:180)(cid:181)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:31)(cid:53)(cid:143)(cid:92)(cid:192)(cid:174)(cid:106)(cid:193)(cid:194)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:3)(cid:190).
(cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)(cid:65)(cid:53)Z(cid:31)(cid:197)(cid:188)(cid:189)(cid:87)a(cid:65)(cid:198)(cid:188)(cid:189)(cid:87)b(cid:65)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:174)(cid:27)(cid:53)Z(a,b)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:145)(cid:72)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:97)
(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:65)x(cid:199)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:199)(cid:65)y(cid:199)(cid:135)(cid:136)(cid:138)(cid:199).
(2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)——(cid:49)(cid:53)(cid:99)(cid:195)
(cid:200)(cid:201)(cid:174)(cid:128)(cid:65)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:149)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:203)(cid:93)(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:53)(cid:204)(cid:168)(cid:99)(cid:195)(cid:169)(cid:205)(cid:63)(cid:97)(cid:65)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:53)(cid:65)(cid:149)(cid:203)(cid:93)
(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:204)(cid:168)(cid:99)(cid:195).(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:31)(cid:13)(cid:204)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:53)(cid:87)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:65)(cid:153)(cid:30)(cid:13)z=a+bi (cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)
(cid:53)Z(a,b)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:93)(cid:206)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).
(3) (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)——(cid:49)(cid:207)(cid:208)(cid:99)(cid:195)
(cid:147)(cid:180)(cid:181)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:65)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:160)(cid:174)(cid:106)(cid:27)(cid:93)(cid:72)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(cid:97)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:186)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:93)(cid:93)
(cid:99)(cid:195)(cid:31).(cid:145)(cid:146)(cid:148)(cid:174)(cid:106)(cid:27)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:97)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13).
(cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)(cid:65)(cid:209)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:53)Z(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:65)(cid:210)(cid:211)OZ(cid:65)(cid:171)(cid:172)(cid:207)(cid:208) (cid:200)(cid:53)Z(cid:203)(cid:93)(cid:212)(cid:104)(cid:169)(cid:205)(cid:63)(cid:97)(cid:65)(cid:53)
Z((cid:42)(cid:99)(cid:119)(cid:213)(cid:53)(cid:97)(cid:158))(cid:214)(cid:174)(cid:106)(cid:200)(cid:207)(cid:208) (cid:203)(cid:93)(cid:212)(cid:104).
(cid:215)(cid:216)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:31)(cid:13)(cid:49)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:106)(cid:213)(cid:53)(cid:217)(cid:218)(cid:53)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:87)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)((cid:162)(cid:13)0(cid:49)(cid:219)(cid:207)(cid:208)(cid:99)(cid:195))(cid:65)(cid:153)(cid:30)(cid:13)z=a+bi
(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208) (cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:220)(cid:93)(cid:206)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)
(cid:207)(cid:208) (cid:31)(cid:44)r(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:31)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:99)(cid:223)(cid:65)(cid:224)(cid:155)|z|(cid:221)|a+bi|.(cid:133)(cid:225)b=0(cid:65)(cid:226)(cid:227)z=a+bi(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:162)(cid:13)a(cid:65)(cid:168)
(cid:31)(cid:44)(cid:43)(cid:119)|a|((cid:148)(cid:87)a(cid:31)(cid:222)(cid:99)(cid:223)).(cid:200)(cid:44)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:174)(cid:128)(cid:65)|z|=|a+bi|=r= (r 0,r(cid:134)R).
3(cid:129)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)
(1)(cid:104)(cid:41)
(cid:93)(cid:230)(cid:231)(cid:65)(cid:165)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:65)(cid:138)(cid:163)(cid:232)(cid:217)(cid:42)(cid:205)(cid:13)(cid:159)(cid:65)(cid:145)(cid:145)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:135)(cid:136)(cid:232)(cid:217)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13).(cid:138)(cid:163)(cid:115)(cid:43)(cid:119)0
(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:214)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:27) (cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:153)(cid:233)z=a+bi(cid:65)(cid:35) =a-bi.(cid:156)(cid:161)(cid:231)(cid:65)(cid:162)(cid:13)a(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:234)(cid:87)a
(cid:235)(cid:236).
(2)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:232)(cid:217)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:3)(cid:119)(cid:162)(cid:199)(cid:99)(cid:237)((cid:133)(cid:196)).(cid:156)(cid:161)(cid:231)(cid:65)(cid:162)(cid:13)(cid:204)(cid:168)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:147)(cid:30)
(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:238)(cid:144)(cid:65)(cid:166)(cid:147)(cid:162)(cid:199)(cid:201).
(3)(cid:239)(cid:240)
(cid:241) =z.
(cid:242)(cid:162)(cid:13)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:168)(cid:235)(cid:236)(cid:65)(cid:153)z= z(cid:134)R(cid:65)(cid:243)(cid:27)(cid:145)(cid:72)(cid:239)(cid:240)(cid:174)(cid:244)(cid:123)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:217)(cid:162)(cid:13).
4(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(1)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:44)|z|(cid:148)(cid:87)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)Z(a,b)(cid:245)(cid:188)(cid:189)(cid:213)(cid:53)(cid:31)(cid:246)(cid:247)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)
(cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).
(2)(cid:30)(cid:13)z(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:217)Z(cid:65)r(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:72)(cid:116)(cid:119)0(cid:31)(cid:150)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)|z|=r(cid:31)(cid:53)Z(cid:252)(cid:142)(cid:31)(cid:143)(cid:144)(cid:87)(cid:106)
(cid:213)(cid:53)(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)r(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:253)(cid:65)|z|r(cid:47)(cid:48)(cid:253)(cid:31)(cid:257)(cid:163).
(cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:77)(cid:258)(cid:258)(cid:35)(cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d R)(cid:87)(cid:176)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:226)(cid:227) + =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:258)(cid:35)
(cid:164)(cid:101)(cid:162)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:178)(cid:104)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:87)(cid:77)(cid:258)(cid:31)(cid:259)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:153)(cid:132)(cid:248)(cid:249)(c+di)+(x+yi)=a+bi(cid:31)(cid:30)(cid:13)
x+yi(x,y(cid:134)R)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:78)(cid:260)(cid:30)(cid:13)c+di(c,d(cid:134)R)(cid:31)(cid:261)(cid:65)(cid:224)(cid:155)(a+bi)-(c+di).
(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:65)(cid:149)c+x=a(cid:65)d+y=b(cid:65)(cid:215)(cid:216)x=a-c(cid:65)y=b-d(cid:65)(cid:191)(cid:106)x+yi=(a-c)+(b-d)i(cid:65)(cid:153)(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.(cid:145)(cid:148)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:258)(cid:35).
(3)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:258)(cid:35)
(cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:87)(cid:176)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:168)(cid:131)(cid:31)(cid:263)(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(cid:174)(cid:106)(cid:98)(cid:264)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:262)(cid:65)(cid:164)(cid:265)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:266)(cid:267)(cid:111)(cid:42)(cid:262)(cid:65)(cid:268)(cid:54)(cid:147)(cid:191)(cid:184)(cid:31)(cid:269)(cid:225)(cid:137)(cid:132) (cid:270)(cid:142)-1(cid:65)(cid:271)(cid:166)(cid:132)(cid:162)(cid:163)(cid:49)
(cid:138)(cid:163)(cid:60)(cid:161)(cid:144)(cid:271)(cid:153)(cid:174).
(4)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:258)(cid:35)
(a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d(cid:134)R(cid:65)(cid:166)
c+di≠0).
(cid:200)(cid:216)(cid:174)(cid:273)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:272)((cid:272)(cid:13)(cid:115)(cid:217)0)(cid:65)(cid:191)(cid:184)(cid:31)(cid:274)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:212)(cid:104)(cid:31)(cid:30)(cid:13).
2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:258)(cid:52)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:65)(cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:35) =(a,b)(cid:65) =(c,d).
(cid:106) (cid:65) (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:275)(cid:276)(cid:217)(cid:277)(cid:278)(cid:155)(cid:180)(cid:279)(cid:34)(cid:278)(cid:110) ((cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48))(cid:65)(cid:35)(cid:200)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:174)(cid:184) =
+ =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(cid:65)(cid:153)z=(a+c)+(b+d)i(cid:65)(cid:153)(cid:99)(cid:46)(cid:275)OZ(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:148)(cid:87)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(a+c)+(b+d)i(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)
(cid:208).
(2)(cid:30)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:60)(cid:161)(cid:87) (cid:65) (cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:145)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:261)
- (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:87) - (cid:65)(cid:153)(cid:207)(cid:208) .
(cid:133)(cid:225)(cid:155) = (cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:53)Z(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:148)(cid:87) - ((cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)).
(cid:145)(cid:158)(cid:123)(cid:71)(cid:72)(cid:207)(cid:208) (cid:49) (cid:31)(cid:261) (cid:148)(cid:87)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(a-c)+(b-d)i(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208).(cid:215)(cid:216)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:174)(cid:106)(cid:280)(cid:281)(cid:207)
(cid:208)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:97)(cid:282)(cid:279)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).3(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:150)(cid:27)(cid:283)(cid:284)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:150)(cid:273)(cid:36)(cid:37)(cid:285)(cid:269)(cid:286)
(cid:241) (cid:169)
(cid:242) (cid:169)
(cid:287) (cid:169)
(cid:288) (cid:169)
(cid:289) .
(2)(cid:150)(cid:27)(cid:7)(cid:111)
(cid:169)
(cid:169)
.
(cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)4 (cid:30)(cid:13)(cid:149)(cid:3)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:28)
1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:149)(cid:3)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)
(1)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:65)(cid:70)(cid:137)a(cid:65)b(cid:60)(cid:161)(cid:87)(cid:168)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:204)(cid:138)(cid:163).(cid:233)z(cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:138)(cid:163)b=0(cid:65)(cid:49)(cid:162)(cid:163)a(cid:293)(cid:3)(cid:169)
(cid:233)z(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:138)(cid:163)b(cid:294)0(cid:65)(cid:49)(cid:162)(cid:163)a(cid:293)(cid:3)(cid:169)(cid:233)z(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)a=0(cid:166)b(cid:294)0.
(2)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:44)(cid:224)(cid:155) (cid:221) (cid:65)(cid:153) .
(3)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:217) (cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:153) (cid:65)(cid:233) (cid:65)
(cid:35) .
2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)
(1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:164)(cid:265)(cid:119)(cid:266)(cid:267)(cid:111)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:169)
(2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:3)(cid:295)(cid:87)(cid:60)(cid:173)(cid:60)(cid:152)(cid:296)(cid:262)(cid:106)(cid:60)(cid:152)(cid:31)(cid:228)(cid:297)(cid:30)(cid:13).
3(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)
(cid:200)(cid:119)(cid:30)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:92)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:190)(cid:65)(cid:215)(cid:216)(cid:64)(cid:21)(cid:159)(cid:174)(cid:36)(cid:27)(cid:13)(cid:110)(cid:269)(cid:144)(cid:31)(cid:50)(cid:258)(cid:65)(cid:132)(cid:30)(cid:13)(cid:52)(cid:207)(cid:208)
(cid:49)(cid:64)(cid:61)(cid:38)(cid:39)(cid:298)(cid:190)(cid:147)(cid:93)(cid:218)(cid:65)(cid:299)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:300)(cid:301)(cid:77)(cid:187)(cid:302).
4(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)
(1)(cid:99)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:303)(cid:304)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:158)(cid:65)(cid:55)(cid:182)(cid:7)(cid:111)(cid:52)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:52)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:31)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:149)(cid:114)(cid:16)(cid:65)(cid:234)(cid:172)(cid:311)(cid:27).
(2)(cid:99)(cid:30)(cid:190)(cid:13)((cid:312)(cid:313)(cid:149)(cid:93)(cid:72)(cid:190)(cid:13)(cid:217)(cid:138)(cid:13))(cid:50)(cid:51)(cid:65)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:307)(cid:314)(cid:182)(cid:31)(cid:308)(cid:309)(cid:315)(cid:260)(cid:76)(cid:65)(cid:70)(cid:316)(cid:234)(cid:311)(cid:27).
(cid:22)(cid:50)(cid:258)(cid:283)(cid:284)(cid:49)(cid:317)(cid:269)(cid:28)1(cid:129)(1±i)2=±2i(cid:169) (cid:169) .
2(cid:129) .
3(cid:129) .
4(cid:129)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:31)(cid:196)(cid:110)
(1)a(cid:319)|z|(cid:319)b(cid:47)(cid:48)(cid:106)(cid:213)(cid:53)O(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)(cid:106)a(cid:204)b(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:71)(cid:253)(cid:191)(cid:320)(cid:31)(cid:253)(cid:321)(cid:169)
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)(cid:47)(cid:48)(cid:106)(a,b)(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)r(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:253).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)
(cid:22)(cid:322)1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:323)(cid:324)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) =i( +2i)(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)2 B(cid:129) 𝑧 −1C(cid:129)2i 𝑧 D(cid:129) i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:187)(cid:211)(cid:58)(cid:37)(cid:174)(cid:184) =−1 i(cid:65)(cid:327)(cid:27)(cid:138)(cid:163)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:153)(cid:174). −
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:119) =i( +𝑧 2i−)=2− i+2i2= i(cid:65)(cid:191)(cid:106) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217) .
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B. 𝑧 −1 − −2− 𝑧 −1
(cid:22)(cid:114)(cid:111)1-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:333)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +( +i2) i( )(cid:47)(cid:48)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)1 B(cid:129) C𝑧(cid:129)1𝑚(cid:221)−1 𝑚 ⋅D(cid:129)𝑚2∈𝑅 𝑚
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:21)(cid:40)(cid:269)(cid:144)(cid:30)(cid:13)−(cid:31)1(cid:42)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:334)(cid:111)(cid:55)(cid:64)(cid:153)(cid:174).−1
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) = 2 +( +i2) i= 2 +( ) i(cid:65)
𝑧 𝑚 −1 2𝑚 =0⋅ 𝑚 −1 𝑚−1 ⋅
(cid:233)(cid:30)(cid:13) (cid:47)(cid:48)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:64)(cid:184) = .
0
𝑚 −1
𝑧 𝑚 −1
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B. 𝑚−1≠
(cid:22)(cid:114)(cid:111)1-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:338)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) =i+2i2+3i3(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)2i B(cid:129) i 𝑧 C(cid:129)2 𝑧 D(cid:129)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)i(cid:31)(cid:262)−(cid:50)2 (cid:36)(cid:37)(cid:178)(cid:339)(cid:340)(cid:30)(cid:13)(cid:16)(cid:120)(cid:65)(cid:153)(cid:184)(cid:70)(cid:138)(cid:163). −2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200) =i+2i2+3i3(cid:174)(cid:184)(cid:10) = i(cid:65)(cid:329) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217) .
(cid:329)(cid:20):D(cid:129) 𝑧 𝑧 −2−2 𝑧 −2
(cid:22)(cid:114)(cid:111)1-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +6+( 2 )i(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:223)(cid:217)
(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑚 −7𝑚 𝑚 −36 𝑚
A(cid:129)±6 B(cid:129)1(cid:221)6 C(cid:129) D(cid:129)1
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:162)(cid:163)(cid:217)(cid:219)(cid:65)(cid:138)(cid:163)(cid:115)(cid:217)(cid:219)(cid:334)(cid:111)(cid:58)(cid:37). −6
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:174)(cid:184)(cid:10) 2 +6=0(cid:166) 2 0(cid:65)(cid:35) =1.
𝑚 −7𝑚 𝑚 −36≠ 𝑚(cid:329)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:322)2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:342)(cid:345)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = i(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86)
𝑧
𝑧 2− 𝑧−𝑧
1 1 1 1
A(cid:129) +i B(cid:129) i C(cid:129) +i D(cid:129) i
2 2 2 2
− − − −
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:204)(cid:272)(cid:258)(cid:258)(cid:35)(cid:282)(cid:279)(cid:58)(cid:37)(cid:65)(cid:184)(cid:245)(cid:346)(cid:347).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) = i(cid:65)(cid:191)(cid:106) =2+i(cid:65)
2𝑧i 2− 2 i (2𝑧i)i 2i 1
(cid:191)(cid:106) = = = = = +i(cid:129)
i (2 i) i ( i)i 2 2
𝑧 + + + ⋅ −1+
(cid:329)(cid:20) 𝑧 (cid:10) −𝑧 A(cid:129) 2−− + −2 −2 ⋅ −
(1 i)3
(cid:22)(cid:114)(cid:111)2-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:348)(cid:349)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:65) =(cid:85) (cid:86)
( i)2
+
1−
A(cid:129)1+i B(cid:129) i C(cid:129) +i D(cid:129) i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:262)(cid:258)(cid:52)(cid:272)1(cid:258)−(cid:36)(cid:37)(cid:16)(cid:120)(cid:153)(cid:174). −1 −1−
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) (1 i)3 = (1 i)2(1 i) = 2i(1 i) = i.
( i)2 i i
+ + + +
(cid:329)(cid:20)(cid:10)D. 1− −2 −2 −1−
i
(cid:22)(cid:114)(cid:111)2-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:342)(cid:350)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) =3+i(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86)
𝑧−
𝑧 𝑧−1
3 3
A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129)3 D(cid:129)
5 5
−3 −
i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:68)(cid:13)(cid:110)(cid:111)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:16)(cid:120) (cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:307)(cid:314).
𝑧−
𝑧−1
i 3 3( i) 6 3 i 3
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) =3+i(cid:65)(cid:191)(cid:106) = = = i(cid:65)(cid:191)(cid:106) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217) (cid:129)
2 i (2 i)( i) 5 5 5
𝑧− 2− 𝑧−
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B. 𝑧 𝑧−1 + + 2− − 𝑧−1 −
(cid:22)(cid:114)(cid:111)2-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:324)(cid:351)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = +5( +1)i(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:70)(cid:137) (cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:65)(cid:35)
i5
=
i
𝑎+
(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑎−1 𝑎 𝑎∈𝑅 1−𝑎
A(cid:129)i B(cid:129) i C(cid:129)1 D(cid:129)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:264)(cid:352)−(cid:13)(cid:65)(cid:269)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64). −1
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200) = +5( +1)i(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:174)(cid:128) =1(cid:65)(cid:191)(cid:106) i5 = 1 i = (1 i)2 =i(cid:65)
i i 2
𝑎+ + +
(cid:329)(cid:20)(cid:10)A. 𝑧 𝑎−1 𝑎 𝑎 1−𝑎 1−(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:322)3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:353)(cid:342)(cid:201)(cid:354)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:65)(cid:30)(cid:13) = (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119)(cid:85) (cid:86)
2 i
A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:355) 𝑧 (cid:356) +
C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:355)(cid:356)
2 1
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:258)(cid:35)(cid:65)(cid:184)(cid:245) = i(cid:65)(cid:269)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
5 5
𝑧 −
1 i 2 1
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:258)(cid:35)(cid:65)(cid:174)(cid:184)(cid:30)(cid:13) = = = i(cid:65)
2 i (2 i)( i) 5 5
2−
𝑧 + + 2− −
2 1
(cid:30)(cid:13) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)( )(cid:139)(cid:119)(cid:83)(cid:34)(cid:355)(cid:356).
5 5
𝑧 ,−
(cid:329)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:114)(cid:111)3-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:238)(cid:357)·(cid:303)(cid:44)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) =( )+( )i( )(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) + (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:201)(cid:31)(cid:99)
(cid:195)(cid:53)(cid:31)(cid:139)(cid:358)(cid:147)(cid:85) (cid:86) 𝑧 2−𝑎 2𝑎−1 𝑎∈𝑅 𝑧 𝑎
A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356)(cid:89) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:355)(cid:356)(cid:89)
C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356)(cid:89) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:355)(cid:356)(cid:89)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)根据纯虚数的定义解出 ，利用复数的几何意义求解．
𝑎 =0
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) 复数 = + i R)为纯虚数， , =2，
0
2−𝑎
∵ 𝑧 (2−𝑎) (2𝑎−1)(𝑎∈ ∴ ∴𝑎
复数 + =3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一2象𝑎−限1．≠
故选𝑧：A𝑎．
(cid:22)(cid:114)(cid:111)3-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:359)(cid:360)(cid:353)(cid:361)(cid:361)(cid:362)(cid:363)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89) (cid:45)(cid:53)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:60)(cid:161)(cid:217) i i,3+i(cid:65)(cid:233)(cid:34)(cid:278)
(cid:110) (cid:217)(cid:180)(cid:279)(cid:34)(cid:278)(cid:110)(cid:65)(cid:35)(cid:53) (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:217)(cid:85) (cid:86) 𝐴,𝐵,𝐶 1−,2−
𝐴𝐵A𝐶(cid:129)𝐷2 B(cid:129)2+𝐷i C(cid:129)1 D(cid:129)1+i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:243)(cid:27)(cid:207)(cid:208)(cid:42)(cid:43)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:128) (cid:45)(cid:53)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:217) (cid:65)
(cid:209)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:53) 𝐴,(cid:65)𝐵,𝐶(cid:35) =(1,0), 𝐴( 1=,−1),𝐵(2,−1)(cid:65),𝐶(3,1)
𝐷(𝑥,𝑦) 𝐴𝐵 𝐷𝐶 (3−𝑥,1−𝑦) =1 =2
(cid:364)(cid:34)(cid:278)(cid:110) (cid:87)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:180)(cid:279)(cid:34)(cid:278)(cid:110)(cid:65)(cid:35) = (cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:64)(cid:184) (cid:65)(cid:35) (cid:129)
=0 =1
3−𝑥 𝑥
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐷(2,1)
(cid:329)(cid:20):B(cid:129) 1−𝑦 𝑦
(cid:22)(cid:114)(cid:111)3-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:80)(cid:81)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = i(cid:65) = i(cid:85) R(cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:129)(cid:233) (cid:65) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)
1 2 1 2
(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:53)O(cid:217)(cid:213)(cid:53)(cid:65)𝑧(cid:166) 2− 𝑧 (cid:65)(cid:35)𝑎−2=(cid:85)𝑎 ∈ (cid:86) 𝑧 𝑧
1 2 1 2
A(cid:129)1 𝑍 B𝑍(cid:129)(cid:365)1 𝑂C𝑍(cid:129)⊥4𝑂𝑍 𝑎 D(cid:129)(cid:365)4(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:174)(cid:184) =( )(cid:65) =( )(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:243)(cid:27)(cid:207)(cid:208)(cid:366)(cid:187)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:36)(cid:37)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
1 2
𝑂𝑍 2,−1 𝑂𝑍 𝑎,−2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:65)(cid:184) =( )(cid:65) =( )(cid:129)(cid:215)(cid:217) (cid:65)
1 2 1 2
𝑂𝑍 2,−1 𝑂𝑍 𝑎,−2 𝑂𝑍 ⊥𝑂𝑍
(cid:191)(cid:106) = +( )×( )=0(cid:65)(cid:64)(cid:184) = (cid:129)
1 2
(cid:329)(cid:20)𝑂 :B 𝑍(cid:129)⋅𝑂𝑍 2𝑎 −1 −2 𝑎 −1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:322)4(cid:28)(cid:85)2023·(cid:80)(cid:81)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i3= i( )(cid:65)(cid:35) + (cid:31)(cid:223)(cid:217)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) B(cid:129)0 𝑎−𝑏 𝑎,𝑏C∈(cid:129)𝑅1 𝑎 𝑏 D(cid:129)2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)−(cid:200)1(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:367)(cid:54)(cid:250)(cid:251)(cid:174)(cid:184) (cid:31)(cid:223).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217)i3= i( )(cid:65)(cid:191)(cid:106)𝑎,𝑏 i= i(cid:65)
(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:367)(cid:54)𝑎(cid:250)−(cid:251)𝑏(cid:184)𝑎,𝑏=∈𝑅 =1(cid:65)(cid:191)−(cid:106) 𝑎+−𝑏 =1.
(cid:329)(cid:20)(cid:10)C. 𝑎 0,𝑏 𝑎 𝑏
i
(cid:22)(cid:114)(cid:111)4-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:368)(cid:330)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = i(cid:65) R(cid:65)(cid:35) + =(cid:85) (cid:86)
1 i
𝑥+𝑦
A(cid:129)2 B(cid:129)3 + C(cid:129) 2 4 − 𝑥,𝑦∈ 𝑥 D 𝑦 (cid:129)5
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:250)(cid:251)(cid:184)(cid:264) + i=(1+i)( i)(cid:65)(cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:174)(cid:184)(cid:264) + i=3+i(cid:65)(cid:172)(cid:154)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:264)
+ (cid:31)(cid:223)(cid:129) 𝑥 𝑦 2− 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 i
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:64)(cid:10) = i(cid:65) + i=(1+i)( i)=3+i(cid:65)
1 i
𝑥+𝑦
=3(cid:65) =1 ∵ (cid:65)+ + 2− =4 ∴ . 𝑥 𝑦 2−
(cid:329)∴(cid:20)𝑥 (cid:10)C. 𝑦 ∴𝑥 𝑦
(cid:22)(cid:114)(cid:111)4-2(cid:28)(cid:85)2023·(cid:89)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:372)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:209) +i)+ = i(cid:65)(cid:70)(cid:137)a(cid:65)b(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) = = B(cid:129) = =1 𝑎(1C(cid:129) =𝑏 −=1 D(cid:129) = =
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)𝑎(cid:243)(cid:27)−(cid:30)1,𝑏(cid:13)(cid:42)−(cid:43)1(cid:153)(cid:174)𝑎(cid:55)(cid:264)−(cid:269)1,𝑏(cid:225). 𝑎 1,𝑏 𝑎 1,𝑏 −1
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) +i)+ = i(cid:65)(cid:153) + + i= i(cid:65)
= 𝑎(1 = 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎 −
(cid:35) (cid:65)(cid:153) (cid:65)
+ =0 =1
𝑎 −1 𝑎 −1
(cid:329)(cid:20)𝑎(cid:10)B𝑏. 𝑏
(cid:22)(cid:114)(cid:111)4-3(cid:28)(cid:85)2023·(cid:323)(cid:349)(cid:373)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:65) (cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:233)( + i)+2=( i)+ i(cid:65)(cid:35)
+ =(cid:85) (cid:86) 𝑥,𝑦 𝑥 𝑦 3−4 2𝑦
𝑥 𝑦A(cid:129)2 B(cid:129)3 C(cid:129)4 D(cid:129)5(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:174)(cid:334)(cid:264)(cid:50)(cid:51)(cid:252)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)( + i)+2=( +2)+ i=( i)+ i=3+( )i(cid:65)
+2=3 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 3−4 2𝑦 2𝑦−4
(cid:191)(cid:106) (cid:65)(cid:64)(cid:184) = =4(cid:65)(cid:191)(cid:106) + =5.
=
𝑥
𝑥 1,𝑦 𝑥 𝑦
(cid:329)(cid:20)(cid:10)𝑦D.2𝑦−4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:28)
i
(cid:22)(cid:322)5(cid:28)(cid:85)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:374)(cid:375)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = (cid:65) (cid:47)(cid:48)z(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86)
i
𝑧 1− 𝑧 𝑧
A(cid:129) 2 B(cid:129) 1 C(cid:129) 2 D(cid:129) 2
4 2 2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:55)(cid:264) (cid:65)(cid:327)(cid:243)(cid:27)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:69)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:64)(cid:153)(cid:184).
i i(1 i) i 𝑧 1 1 1 1
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) = = = = + i(cid:65)(cid:215)(cid:216) = i(cid:65)
i i)(1 i) 2 2 2 2 2
⋅ + −1+
𝑧 1− (1− + − 𝑧 − −
(cid:191)(cid:106)| |= 1 ) 2 + 1 ) 2 = 2.
2 2 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10) 𝑧 C. (− (−
(cid:22)(cid:114)(cid:111)5-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:348)(cid:324)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = i(cid:65)(cid:35)| i |=(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) 2 B(cid:129)5 𝑧C(cid:129)35−42 𝑧⋅ −𝑧 D(cid:129)7 2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:200)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:204)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:16)(cid:120) i (cid:65)(cid:327)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:376)(cid:7)(cid:111)(cid:55)(cid:64)(cid:153)(cid:174).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) = i(cid:65)(cid:191)(cid:106) =3+4i(cid:65) 𝑧⋅ −𝑧
i =( 𝑧i)i 3(−34+4i)=3𝑧i i2 i= i+1(cid:65)
𝑧(cid:191)⋅(cid:106)−|𝑧 i 3−|=4 | −i+1|= 12+−142=−3−2.4 −
(cid:329)(cid:20)(cid:10)𝑧A⋅ .−𝑧 −
i
(cid:22)(cid:114)(cid:111)5-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:342)(cid:350)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) (cid:65)(cid:233) = (cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86)
2i
𝑎+
𝑎∈𝑅 𝑧 −1 |𝑧|
1
A(cid:129) 2 B(cid:129)2 C(cid:129)1 D(cid:129)
2
i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:377)(cid:99) = (cid:16)(cid:120)(cid:65)(cid:172)(cid:154)(cid:200)(cid:70)(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:55)(cid:264) (cid:65)(cid:94)(cid:186)(cid:174)(cid:55)(cid:264) .
2i
𝑎+
𝑧 −1 𝑎 |𝑧|
i i)(2i 1) 1)i
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) = = = (cid:65)
2i (2i i 1)
𝑎+ (𝑎+ + 𝑎−2+(2𝑎+
(cid:233) (cid:217)(cid:170)(cid:138) 𝑧 (cid:13)(cid:65)−(cid:35)1 − = 1) 0 (2 (cid:166) + +1 − 0 5(cid:65)(cid:153) =2.
(cid:35)𝑧= i =1. 𝑎−2 2𝑎 ≠ 𝑎
(cid:329)𝑧(cid:20)(cid:10)−C.,|𝑧|
(cid:22)(cid:114)(cid:111)5-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:338)(cid:378)(cid:379)(cid:380)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) , , (cid:65)(cid:233) , (cid:296)(cid:159)(cid:248)(cid:249) =1(cid:204) = i|(cid:65)
1 2 1 2 1 2
𝑧 𝑧 𝑧 ≠𝑧 𝑧 𝑧 |𝑧| |𝑧−1| |𝑧−(cid:35)| |(cid:217)(cid:85) (cid:86)
1 2
𝑧A−(cid:129)𝑧1 B(cid:129) 3 C(cid:129)2 D(cid:129)2 3
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:209) = + i( R)(cid:65)(cid:182)(cid:183) =1(cid:204) = i|(cid:55)(cid:264)(cid:381)(cid:53)(cid:188)(cid:189)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:264) , (cid:65)(cid:327)(cid:58)(cid:37)(cid:70)(cid:44)(cid:153)
1 2
(cid:174). 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥,𝑦∈ |𝑧| |𝑧−1| |𝑧− 𝑧 𝑧
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:209) = + i( R)(cid:65)(cid:35) =( )+ i(cid:65) i= +( )i(cid:65)
(cid:200) =1(cid:204)𝑧 𝑥 =𝑦 𝑥i,|𝑦(cid:65)∈ 𝑧−1 𝑥−1 𝑦 𝑧− 𝑥 𝑦−1
(cid:191)|(cid:106)𝑧| 2+ 2|𝑧=−11(cid:166)| (|𝑧−)2+ 2=( )2+ 2(cid:65)
𝑥 𝑦 𝑥−1 𝑦 = 𝑦2−1 = 𝑥 2
(cid:153) 2+ 2=1(cid:166) = (cid:65)(cid:64)(cid:184) 2 (cid:221) 2 (cid:65)
= 2 = 2
𝑥 2 𝑥 − 2
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
𝑦 𝑦 −
(cid:191)(cid:106) = 2+ 2i(cid:52) = 2 2i(cid:85)(cid:221) = 2 2i(cid:52) = 2+ 2i(cid:86)(cid:65)
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
𝑧 𝑧 − − 𝑧 − − 𝑧
(cid:35) = 2+ 2i 2 2i = 2+ 2i(cid:85)(cid:221) = 2 2i(cid:86)(cid:65)
1 2 1 2
2 2 2 2
𝑧 −𝑧 − − − 𝑧 −𝑧 − −
(cid:191)(cid:106)| |= ( 2) 2 +( 2) 2 =2.
1 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)𝑧C−.𝑧
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28)
(cid:22)(cid:322)6(cid:28)(cid:85)2024·(cid:89)(cid:369)(cid:370)(cid:382)(cid:383)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cos +i sin =cos +i sin (cid:85)(cid:70)(cid:137)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)
𝑛
𝑥 ⋅ 𝑥) (𝑛𝑥) ⋅ (𝑛𝑥) 2
(cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81)(cid:13)(cid:11)(cid:387)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:85)1667-1754(cid:86)(cid:388)(cid:127)(cid:31)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cid:174)(cid:128)(cid:65)(cid:30)(cid:13) cos +i sin (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)
3 3
π π
(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119)(cid:85) (cid:86) ⋅
A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:355)(cid:356) C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:355)(cid:356)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:200)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cid:16)(cid:120)(cid:269)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:174)(cid:184)(cid:264)(cid:346)(cid:347).
2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) cos +i sin =cos +i sin = 1 + 3i(cid:65)
3 3 3 3 2 2
π π 2π 2π
⋅ ⋅ −
(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:217) 1 , 3 (cid:65)(cid:147)(cid:83)(cid:303)(cid:355)(cid:356).
2 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B. −
(cid:22)(cid:114)(cid:111)6-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:389)(cid:378)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cos +isin =cos +isin (cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81)
𝑛
(cid:13)(cid:11)(cid:387)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:85)1667(cid:365)1754(cid:86)(cid:388)(cid:127)(cid:31)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111) 𝑥 (cid:174)(cid:128)(cid:65) 𝑥) (cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) 𝑛𝑥 =cos 𝑛2𝑥 +i sin 2 (cid:65)(cid:35) 4(cid:31)(cid:223)(cid:87)
3 3
π π
𝜔 ⋅ 𝜔
(cid:85) (cid:86)
1
A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129) D(cid:129)
−𝜔 𝜔 𝜔 𝜔(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:243)(cid:27)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cid:69)(cid:45)(cid:46)(cid:390)(cid:13)(cid:31)(cid:156)(cid:157)(cid:223)(cid:65)(cid:269)(cid:144)(cid:45)(cid:46)(cid:390)(cid:13)(cid:31)(cid:391)(cid:392)(cid:7)(cid:111)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:124)(cid:21)(cid:40)(cid:128)(cid:65) =cos 2 +i sin 2 = 1 + 3i(cid:65)
3 3 2 2
π π
(cid:200)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:7)(cid:111)(cid:65)(cid:184) 4
𝜔
=(cos 2 +i
⋅
sin 2 )
4−
=cos +i sin =cos +i sin = cos +i
3 3 3 3 3 3 3
π π 8π 8π π π π
𝜔 ⋅ ⋅ 3π− ⋅ 3π− − ⋅
sin = 1 + 3i(cid:65)
3 2 2
π
(cid:191)(cid:106)
4−
= .
(cid:329)(cid:20)𝜔(cid:10)C. 𝜔
(cid:22)(cid:114)(cid:111)6-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:359)(cid:360)(cid:353)(cid:362)(cid:363)(cid:393)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) = + i R,i(cid:87)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139))(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:53)(cid:217) (cid:65)(cid:209)
=| | (cid:87)(cid:106) (cid:199)(cid:31)(cid:394)(cid:395)(cid:255)(cid:199)(cid:217)(cid:396)(cid:278)(cid:65)(cid:106) (cid:191)(cid:147)𝑧 (cid:31)𝑎(cid:397)(cid:275)𝑏(cid:217)(𝑎(cid:398),𝑏(cid:278)∈(cid:31)(cid:46)(cid:65)(cid:35) = + i= (cos +isin )𝑍(cid:65)(cid:132)
𝑟(cos𝑂+𝑍 ,i𝜃sin )(cid:135)𝑥(cid:136)(cid:30)(cid:13) + i(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:65)𝑂𝑍(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:174)(cid:106)(cid:282)(cid:279)𝑧(cid:30)(cid:13)𝑎 (cid:31)𝑏(cid:399)(cid:13)𝑟(cid:36)(cid:37)(cid:65)𝜃 𝜃 𝑟
(co 𝜃 s +isi 𝜃 n )] = ( 𝑎 cos 𝑏 +isin )( N*)(cid:65)(cid:322)(cid:133)(cid:10) 1 + 3i 3 = cos 2 +isin 2 3 =cos2 +isin2
2 2 3 3
𝑛 𝑛 π π
[𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝑛𝜃 𝑛4𝜃 𝑛∈ − π π
=1(cid:65)(1+i)4= 2 cos +isin =4( + )= (cid:65)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)(cid:10) 3=1+i(cid:65)(cid:35) (cid:174)(cid:309)(cid:177)(cid:223)(cid:217)
4 4
π π
(cid:85) (cid:86) cosπ isinπ −4 𝑧 𝑧 𝑧
A(cid:129) 2 cos +isin B(cid:129) 2 cos 3 +isin 3
12 12 4 4
π π π π
C(cid:129)6 2 cos 5 +isin 5 D(cid:129)6 2 cos 17 +isin 17
4 4 12 12
π π π π
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:69)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:174)(cid:184) =6 2 cos + +isin + Z(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:184)
3 12 3 12
2𝑘π π 2𝑘π π
𝑧 ,𝑘∈
(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:209) = (cos +isin )(cid:65)
(cid:35) 3=1+i 𝑧 = 2 𝑟 cos 𝜃 +isin 𝜃 = 3(cos +isin )(cid:65)
4 4
π π
𝑧 𝑟 3𝜃 3𝜃
(cid:191)(cid:106) =6 2(cid:65) = + Z(cid:65)(cid:153) = + Z(cid:65)
4 3 12
π 2𝑘π π
𝑟 3𝜃 2𝑘π ,𝑘∈ 𝜃 ,𝑘∈
(cid:191)(cid:106) =6 2 cos + +isin + Z
3 12 3 12
2𝑘π π 2𝑘π π
𝑧 ,𝑘∈
(cid:329) =2(cid:159)(cid:65) = 17 (cid:65)(cid:329) (cid:174)(cid:177)6 2 cos 17 +isin 17 (cid:65)
12 12 12
π π π
𝑘 𝜃 𝑧
(cid:329)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:114)(cid:111)6-3(cid:28)(cid:85)2023·(cid:323)(cid:324)(cid:400)(cid:401)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:176)(cid:40)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13) = + i(cid:160)(cid:174)(cid:106)(cid:47)(cid:48)(cid:142)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:65)(cid:153) + i=
(cos +isin )(cid:129)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:104)(cid:15)(cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81)(cid:13)(cid:11)(cid:387)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:85)166𝑧7(cid:365)𝑎1754𝑏(cid:79)(cid:86)(cid:402)(cid:194)(cid:31)(cid:65)(cid:399)(cid:31)(cid:87)(cid:10)(cid:209)(cid:71)(cid:72)𝑎 (cid:30)𝑏(cid:13) 𝑟=
1 1
(cos
𝜃
+isin
𝜃
)(cid:65) = (cos +isin )(cid:65)(cid:35) = [cos( + )+isin( + )](cid:65)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) =
𝑧1
+
𝑟3
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
𝜃 𝜃 𝑧 𝑟 𝜃 𝜃 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑧i(cid:65)(cid:35) 2023+ 2+ =(cid:85) (cid:86)
A 𝑧 (cid:129) 1 𝑧 𝑧 B(cid:129) 1 + 3i C(cid:129) 1 3i D(cid:129)1
2 2 2 2 2
−
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:340) = 1 + 3i(cid:16)(cid:217)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:104)(cid:15)(cid:174)(cid:55)(cid:184) 2023, 2(cid:31)(cid:223)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:184)(cid:346)(cid:347).
2 2
𝑧 𝑧 𝑧
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:174)(cid:184) = 1 + 3i=cos +isin (cid:65)
2 2 3 3
π π
𝑧
(cid:329) 2023=cos +isin =cos(674 + )+isin(674 + )=cos +isin (cid:65)
3 3 3 3 3 3
2023π 2023π π π π π
𝑧 π π
(cid:191)(cid:106) 2023+ 2+ =cos +isin +cos +isin +cos isin
3 3 3 3 3 3
π π 2π 2π π π
𝑧 𝑧 𝑧 −
= 1 + 3i.
2 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)
(cid:22)(cid:322)7(cid:28)(cid:85)2024·(cid:338)(cid:342)(cid:344)(cid:403)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)2+i(cid:87)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:50)(cid:51) 2+ =0(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:182)(cid:65)(cid:35) + =(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129)1 𝑥 𝑝𝑥−𝑞 D(cid:129)9 𝑝 𝑞
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)−(cid:182)9(cid:183)(cid:138)(cid:182)(cid:142)(cid:99)(cid:213)(cid:15)−1 i(cid:214)(cid:87)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:50)(cid:51) 2+ =0(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:182)(cid:65)(cid:327)(cid:200)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:58)(cid:37)(cid:174)(cid:184).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217)2+i(cid:87)(cid:162)(cid:190)(cid:13)2(cid:50)−(cid:51) 2+ =0(cid:31)𝑥(cid:93)(cid:72)𝑝(cid:30)𝑥−(cid:13)𝑞(cid:182)(cid:65)
(cid:35) i(cid:214)(cid:87)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:50)(cid:51) 2+ 𝑥=0(cid:31)𝑝𝑥(cid:93)−(cid:72)𝑞 (cid:30)(cid:13)(cid:182)(cid:65)
2− =2+i+ 𝑥i 𝑝𝑥−𝑞 =
(cid:191)(cid:106) (cid:65)(cid:64)(cid:184) (cid:65)
=(2+i)( i) =
−𝑝 2− 𝑝 −4
(cid:191)(cid:106) −+𝑞 = . 2− 𝑞 −5
(cid:329)(cid:20)(cid:10)𝑝 A.𝑞 −9
(cid:22)(cid:114)(cid:111)7-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:359)(cid:360)(cid:353)(cid:116)(cid:357)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:404)(cid:405)(cid:89)(cid:50)(cid:51) 2 +2=0(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:182)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:35)
1 2
| +2 |=(cid:85) (cid:86) 𝑥 −2𝑥 𝑥 𝑥
1 2
𝑥 A(cid:129)𝑥1 B(cid:129) 5 C(cid:129) 7 D(cid:129) 10
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:377)(cid:55)(cid:264)(cid:71)(cid:30)(cid:13)(cid:182)(cid:65)(cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:77)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:69)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:7)(cid:111)(cid:153)(cid:174)(cid:184)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:21)(cid:40)(cid:174)(cid:184)( )2= =i2(cid:65)
=±i(cid:65)(cid:153) =1±𝑥i(cid:65)−1 −1
(cid:165)∴𝑥−=1 i(cid:65) =𝑥 1+i(cid:159)(cid:65) +2 =3+i(cid:65)
1 2 1 2
𝑥| +12− |=𝑥 12+32= 𝑥10(cid:65)𝑥
1 2
(cid:165)∴ 𝑥 =1+𝑥 i(cid:65) = i(cid:159)(cid:65) +2 = i(cid:65)
1 2 1 2
𝑥| +2 |=𝑥 121+−32= 𝑥10(cid:65)𝑥 3−
1 2
∴ 𝑥 𝑥(cid:406)(cid:201)(cid:65)| +2 |= 10.
1 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)D𝑥. 𝑥
(cid:22)(cid:114)(cid:111)7-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:80)(cid:81)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)1+2i(cid:87)(cid:50)(cid:51) 2+ +5= (cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:182)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)(cid:365)2 B(cid:129)2 C(cid:129)i 𝑥 𝑚𝑥 D0(cid:129)(𝑚(cid:365)∈1𝑅) 𝑚
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:258)(cid:93):(cid:340)(cid:30)(cid:13)(cid:68)(cid:407)(cid:303)(cid:304)(cid:50)(cid:51)(cid:65)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:55)(cid:64)(cid:169)(cid:258)(cid:303)(cid:10)(cid:243)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:50)(cid:258)1(cid:10)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:128)(1+2i)2+ +2i)+5=0(cid:65)(cid:153)2+ +(4+ i=0(cid:65)(cid:64)(cid:184) = .
(cid:50)(cid:258)2(cid:10)(cid:182)(cid:183)(cid:138)(cid:182)(cid:142)(cid:99)(cid:128)1(cid:365)2i(cid:214)(cid:87)(cid:50)(cid:51)𝑚((cid:31)1(cid:182)(cid:65)(cid:200)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:184)(1+𝑚2i)+ 2𝑚i))= (cid:65)(cid:191)(cid:106)𝑚 =−2 .
(cid:329)(cid:20):A. (1−2 −𝑚 𝑚 −2
(cid:22)(cid:114)(cid:111)7-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:408)(cid:353)(cid:409)(cid:410)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:50)(cid:51) 2+i +1=0(cid:85)(cid:70)(cid:137)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:31)(cid:71)(cid:182)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65)
1
(cid:65)(cid:35)(cid:149)(cid:85) (cid:86) 𝑥 𝑥 𝑧
2
𝑧 A(cid:129) 2= 2>0 B(cid:129) + = C(cid:129)|1+ |=|1+ | D(cid:129) 1 2 =i
1 2 1 2 1 2 1 2
𝑧1𝑧2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28) 𝑧 (cid:209)(cid:50) 𝑧 (cid:51) 2+i +1 𝑧 =0(cid:31) 𝑧 (cid:182)(cid:217) 𝑧 𝑧 = + i(cid:65)(cid:340)(cid:70)𝑧(cid:68)(cid:407)(cid:50)(cid:51)(cid:137)𝑧(cid:31)x(cid:137) 𝑧 (cid:65) + (cid:182) 𝑧 (cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:250)(cid:251)(cid:65)(cid:141)(cid:411)(cid:50)(cid:51)
(cid:252)(cid:65)(cid:64)(cid:264) , .(cid:35)(cid:71)𝑥(cid:182) 𝑥, (cid:128)(cid:412)(cid:76)(cid:65)(cid:327)(cid:413)𝑧(cid:267)(cid:68)𝑎(cid:407)(cid:414)𝑏(cid:244)(cid:153)(cid:174).
1 2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)𝑎(cid:209)𝑏(cid:50)(cid:51) 2+𝑧i 𝑧+1=0(cid:31)(cid:182)(cid:217) = + i( )(cid:65)
(cid:68)(cid:407)(cid:50)(cid:51)(cid:65) +𝑥i)2+𝑥i + i)+1=𝑧0,(cid:415)𝑎(cid:15)(cid:184)𝑏(𝑎2,𝑏∈2𝐑 +1)+ + i=0(cid:65)
2 2 (𝑎+1𝑏=0 (𝑎 𝑏 =0 𝑎 −𝑏 −𝑏 (𝑎 2𝑎𝑏)
(cid:329) (cid:65)(cid:35) (cid:65)
+ =0 = ± 5
𝑎 2
𝑎 −𝑏 −𝑏 −1
(cid:115)(cid:416)(cid:417)𝑎 = 2𝑎𝑏 5i,(cid:65) = 𝑏 5i(cid:65)
1 2
2 2
−1+ −1−
𝑧 𝑧
(cid:99)(cid:119)A(cid:10)(cid:215)(cid:217) 2= 5 , 2= 3 5(cid:65)(cid:153) 2 2(cid:65)(cid:329)A(cid:418)(cid:419)(cid:169)
1 2 1 2
2 2
−3 +
𝑧 𝑧 − 𝑧 ≠𝑧
(cid:99)(cid:119)B(cid:10) + = i =1(cid:65)(cid:329)B(cid:418)(cid:419).
1 2 1 2
𝑧 𝑧 |− ≠𝑧 𝑧 | 2
(cid:99)(cid:119)C:|1+ |= 1+ 5i = 1+( 5) = 5,
1
2 2 2
−1+ −1+ 5−
| 𝑧 | 2
|1+ |= 1+ 5i = 1+( 5) = 5 5(cid:65)
2
2 2 2
−1− −1− +
(cid:215)(cid:216)(cid:65)𝑧 |1+ | |1+ |,(cid:329)C(cid:418)(cid:419).
1 2
(cid:99)(cid:119)D(cid:10)
1𝑧2
=
≠1
=i,
𝑧
(cid:329)D(cid:420)(cid:212).
𝑧1𝑧2 i
(cid:329)(cid:20):D. 𝑧 +𝑧 −
(cid:93)(cid:52)(cid:107)(cid:20)(cid:21)1(cid:129)(cid:85)2024·(cid:324)(cid:351)(cid:116)(cid:421)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)( i)2(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13) =(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)0 B(cid:129)1 𝑚− C(cid:129) 𝑚 D(cid:129)±1
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:68)(cid:13)(cid:110)(cid:111)(cid:31)(cid:262)(cid:50)(cid:36)(cid:37)(cid:16)(cid:120)( i)−2(cid:65)1 (cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:162)(cid:163)(cid:217)0(cid:65)(cid:138)(cid:163)(cid:115)(cid:217)0(cid:184)(cid:245)(cid:50)(cid:51)(cid:85)(cid:115)(cid:43)(cid:111)(cid:86)(cid:252)(cid:65)
(cid:64)(cid:184)(cid:153)(cid:174). 𝑚−
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217)( i)2= 2 i+i2= 2 i(cid:65)
𝑚− 𝑚 −22𝑚 =0 𝑚 −1−2𝑚
(cid:364)( i)2(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:191)(cid:106) (cid:65)(cid:64)(cid:184) =±1.
0
𝑚 −1
𝑚− 𝑚
(cid:329)(cid:20)(cid:10)D. −2𝑚≠
2(cid:129)(cid:85)2024·(cid:23)(cid:422)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)| +2i|=| |(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) i B(cid:129)i 𝑧 𝑧 𝑧C(cid:129) 𝑧 D(cid:129)1
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)−(cid:209) = + i(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:44)(cid:376)(cid:7)(cid:111)(cid:334)(cid:264)(cid:50)(cid:51)(cid:65)(cid:55)−1(cid:264) = (cid:65)(cid:184)(cid:245)(cid:346)(cid:347).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:209)𝑧=𝑎+𝑏i(cid:166) R(cid:65)(cid:35) +2i= + i+2i=𝑏 +−1( +2)i(cid:65)
(cid:215)(cid:217)| +2i|𝑧=|𝑎|(cid:65)𝑏(cid:191)(cid:106)𝑎,𝑏2+∈( +2𝑧)2= 2𝑎+ 2𝑏,(cid:64)(cid:184)(cid:10)𝑎= 𝑏(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217) .
(cid:329)(cid:20)(cid:10)𝑧C. 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 −1 𝑧 −1
10i
3(cid:129)(cid:85)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:342)(cid:350)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = (cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86)
3i
A(cid:129) 5 B(cid:129) 10 𝑧 1− C(cid:129)5 𝑧 D(cid:129)10
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:21)(cid:40)(cid:65)(cid:269)(cid:144)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:31)(cid:58)(cid:37)(cid:50)(cid:258)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
10
10i |10i| 10
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:30)(cid:13) = (cid:65)(cid:174)(cid:184)| |= = = =5.
3i | 3i| 12 3)2 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)C. 𝑧 1− 𝑧 1− +(−
4(cid:129)(cid:85)2024·(cid:408)(cid:353)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13)z(cid:248)(cid:249) +2 =3+i(cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139))(cid:65)(cid:35)z(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119)
(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧
A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:355)(cid:356) C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:355)(cid:356)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:258)(cid:35)(cid:55)(cid:264)z(cid:65)(cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:68)(cid:13)(cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:184)(cid:264)z(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:65)(cid:282)(cid:186)(cid:55)(cid:64)(cid:129)
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:209) = + i,( R)(cid:65)(cid:35) = i(cid:65)
(cid:35) + i+2𝑧( 𝑎i)=𝑏3𝑎+,𝑏i(cid:65)∈(cid:153) 𝑧i=𝑎3−+𝑏i(cid:65)(cid:191)(cid:106) =3(cid:65) = (cid:65)
(cid:64)𝑎(cid:184) 𝑏=1(cid:65)𝑎−=𝑏 (cid:65)(cid:329) = 3i(cid:65)𝑎−(cid:99)𝑏(cid:195)(cid:31)(cid:53)( )(cid:147)3(cid:83)𝑎(cid:34)(cid:355)(cid:356)−(cid:129)𝑏 −1
(cid:329)(cid:20)𝑎(cid:10)D(cid:129) 𝑏 −1 𝑧 1− 1,−1
5(cid:129)(cid:85)2024·(cid:408)(cid:353)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = 3i(cid:65)(cid:35)| 2 |=(cid:85) (cid:86)
2
−1+
𝑧 𝑧 −1A(cid:129)1 B(cid:129) 3 C(cid:129)2 D(cid:129) 3
2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:52)(cid:78)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:204)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:58)(cid:37)(cid:184)(cid:245)(cid:269)(cid:225).
2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:184) 2 =( 3i) = 3i = 3i(cid:65)
2 4 2
−1+ 1−2 −3 −3−
𝑧 −21 2 −1 −1
(cid:35)| 2 |= 3 + 3 = 3(cid:65)
2 2
(cid:346)(cid:20)𝑧(cid:10)−1B. − −
6(cid:129)(cid:85)2024·(cid:34)(cid:333)(cid:89)(cid:353)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249) 2 +4=0(cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) 3 B(cid:129)2 𝑧 𝑧C(cid:129)−2𝑧5 𝑧 D(cid:129) 2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:106)(cid:69)(cid:30)(cid:13)(cid:44)(cid:31)(cid:58)(cid:37)(cid:7)(cid:111)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:215)(cid:217) 2 +4= 2+3=0(cid:65)
(cid:191)(cid:106) 2=𝑧 −2=𝑧3i2(cid:65) (𝑧−1)
(cid:64)(cid:184)(𝑧=−11)± 3−i(cid:65)3
(cid:191)(cid:106)𝑧 = 1+3=2.
(cid:329)(cid:20)(cid:10)|𝑧|B.
7(cid:129)(cid:85)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:350)(cid:423)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)( 3 i) i= 3(cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13) =(cid:85) (cid:86)
A(cid:129) 1 3i B(cid:129) 1 + 3i 𝑧 C(cid:129) 3−1 i 𝑧− D(cid:129) 𝑧3+ 1 i 𝑧
2 2 2 2 2 2 2 2
− −
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:16)(cid:120)(cid:30)(cid:13) (cid:65)(cid:200)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:64)(cid:10)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:65) = 3 i = ( 3𝑧i) 2 = 1 + 3i(cid:65)
3 i ( 3 i)( 3 i) 2 2
+ +
(cid:35)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13) = 𝑧 1 3i. − − +
2 2
𝑧 𝑧 −
(cid:329)(cid:20)(cid:10)A.
8(cid:129)(cid:85)2024·(cid:34)(cid:333)(cid:424)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)ei =cos +isin (cid:132)(cid:427)(cid:172)(cid:99)(cid:13)(cid:31)(cid:428)(cid:13)e(cid:65)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)i(cid:65)cos (cid:204)sin (cid:298)
𝜃
(cid:190)(cid:147)(cid:93)(cid:218)(cid:65)(cid:367)(cid:60)(cid:140)(cid:127)(cid:76)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:204)(cid:429)(cid:430)(cid:65)(cid:431)(cid:432)(cid:217)“(cid:13)(cid:11)𝜃(cid:137)(cid:31)(cid:433)𝜃(cid:434)”.(cid:35)e +1=(cid:85) (cid:86) 𝜃 𝜃
iπ
A(cid:129) B(cid:129)0 C(cid:129)1 D(cid:129)i
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)−1(cid:132) = (cid:68)(cid:407)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)(cid:153)(cid:174)(cid:435)
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)e 𝜃+1π= + +1= +1=0.
iπ
(cid:329)(cid:20)(cid:10)B. cosπ isinπ −1
(cid:303)(cid:52)(cid:266)(cid:20)(cid:21)
9(cid:129)(cid:85)2024·(cid:353)(cid:436)(cid:293)(cid:437)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:209) , (cid:217)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:175)(cid:334)(cid:269)(cid:286)(cid:420)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86)
1 2
𝑧 𝑧A(cid:129)| |=| || | B(cid:129) + = +
1 2 1 2 1 2 1 2
C(cid:129)(cid:233)𝑧|𝑧 |=|𝑧 |(cid:65)𝑧(cid:35) 2= 2 D(cid:129)𝑧“ <𝑧 (cid:438)𝑧(cid:87)“ 𝑧 <0(cid:438)(cid:31)(cid:367)(cid:60)(cid:115)(cid:91)(cid:54)(cid:250)(cid:251)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:209)𝑧 =𝑧+ i, 𝑧= 𝑧+ i )(cid:65)(cid:99)(cid:119)𝑧 A(cid:10)𝑧(cid:182)(cid:183)(cid:262)𝑧(cid:258)−(cid:36)𝑧(cid:37)(cid:269)(cid:144)(cid:44)(cid:376)(cid:7)(cid:111)(cid:60)(cid:61)(cid:307)(cid:314)(cid:169)(cid:99)(cid:119)B(cid:10)(cid:182)
1 2
(cid:183)(cid:77)(cid:258)(cid:36)(cid:37)𝑧(cid:269)(cid:144)(cid:228)𝑎 (cid:229)𝑏(cid:30)𝑧(cid:13)(cid:60)𝑐(cid:61)(cid:307)𝑑(cid:314)(𝑎(cid:169),𝑏(cid:99),𝑐,(cid:119)𝑑∈C𝑅(cid:10)(cid:439)(cid:205)(cid:322)(cid:158)(cid:123)(cid:153)(cid:174)(cid:169)(cid:99)(cid:119)D(cid:10)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:269)(cid:144)(cid:367)(cid:60)(cid:91)(cid:54)(cid:250)(cid:251)
(cid:60)(cid:61)(cid:307)(cid:314).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:209) = + i, = + i )(cid:65)
1 2
(cid:99)(cid:119)(cid:20)(cid:267)A(cid:10)𝑧 (cid:215)(cid:217)𝑎 𝑏 𝑧= 𝑐+ 𝑑i (𝑎,+𝑏,𝑐,i𝑑)∈=𝑅 + + i(cid:65)
1 2
𝑧 𝑧 (𝑎 𝑏)(𝑐 𝑑 (𝑎𝑐−𝑏𝑑) (𝑎𝑑 𝑏𝑐)
(cid:191)(cid:106)| |= 2+ + 2= 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2(cid:65)
1 2
𝑧 𝑧 (𝑎𝑐−𝑏𝑑) (𝑎𝑑 𝑏𝑐) 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐
(cid:166)| || |= 2+ 2 2+ 2= 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2(cid:65)(cid:191)(cid:106)| |=| || |(cid:65)(cid:329)A(cid:420)(cid:212)(cid:169)
1 2 1 2 1 2
(cid:99)(cid:119)𝑧(cid:20)𝑧(cid:267)B(cid:10)(cid:215)𝑎 (cid:217)𝑏 +𝑐 =𝑑( + 𝑎)+𝑐( +𝑏 𝑑)i, 𝑎=𝑑 i𝑏, 𝑐= i(cid:65)𝑧 𝑧 𝑧 𝑧
1 2 1 2
(cid:35) + =( + )𝑧 ( 𝑧+ )i,𝑎 +𝑐 =𝑏( +𝑑 )𝑧( +𝑎−)𝑏i(cid:65)𝑧 𝑐−𝑑
1 2 1 2
(cid:191)𝑧(cid:106) 𝑧+ =𝑎 +𝑐 −(cid:65)𝑏 (cid:329)𝑑B(cid:420)𝑧 (cid:212)(cid:169)𝑧 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑑
1 2 1 2
(cid:99)(cid:119)𝑧(cid:20)(cid:267)𝑧C(cid:10)(cid:233)𝑧| |𝑧=| |(cid:65)(cid:322)(cid:133) =1+i, = i(cid:65)(cid:248)(cid:249)| |=| |= 2(cid:65)
1 2 1 2 1 2
(cid:440) 2=(1+i)2=𝑧2i(cid:65) 2𝑧=( i)2𝑧= i(cid:65)(cid:153)𝑧 2 1−2(cid:65)(cid:329)C(cid:418)𝑧 (cid:419)(cid:169)𝑧
1 2 1 2
(cid:99)(cid:119)𝑧 (cid:20)(cid:267)D(cid:10)(cid:233) < 𝑧(cid:65)(cid:35)1−, (cid:160)(cid:87)−(cid:162)2(cid:13)(cid:65)(cid:166)𝑧 ≠𝑧 <0(cid:65)(cid:153)(cid:367)(cid:60)(cid:239)(cid:115)(cid:142)(cid:194)(cid:169)
1 2 1 2 1 2
(cid:233) <0(cid:65)(cid:322)𝑧(cid:133) 𝑧=1+𝑧i, 𝑧=2+i(cid:65)(cid:166) 𝑧 −=𝑧 <0(cid:65)
1 2 1 2 1 2
(cid:440)𝑧 −, 𝑧(cid:115)(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:293)𝑧(cid:258)(cid:101)(cid:102)(cid:116)𝑧(cid:285)(cid:65)(cid:153)(cid:91)(cid:54)(cid:239)𝑧(cid:115)−(cid:142)𝑧(cid:194)(cid:169)−1
1 2
(cid:406)𝑧(cid:201)(cid:191)𝑧 (cid:441)(cid:10)“ < (cid:438)(cid:87)“ <0(cid:438)(cid:31)(cid:367)(cid:60)(cid:115)(cid:91)(cid:54)(cid:250)(cid:251)(cid:65)(cid:329)D(cid:420)(cid:212)(cid:129)
1 2 1 2
(cid:329)(cid:20)(cid:10)ABD.𝑧 𝑧 𝑧 −𝑧
10(cid:129)(cid:85)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:442)(cid:410)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +( +1)i( )(cid:65)(cid:35)(cid:175)(cid:334)(cid:443)(cid:21)(cid:420)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86)
A(cid:129)(cid:233) (cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =±1 𝑧 𝑚 −1 𝑚 𝑚∈𝐑
B(cid:129)(cid:233)𝑧(cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =𝑚0
C(cid:129)(cid:233)𝑧(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)𝑧(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:187)(cid:275) = (cid:201)(cid:65)(cid:35) =
D(cid:129) (cid:147)𝑧(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:115)(cid:174)(cid:309)(cid:147)𝑦(cid:83)(cid:45)2(cid:355)𝑥(cid:356) 𝑚 −1
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)𝑧(cid:444)(cid:377)(cid:184)(cid:245)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:138)(cid:163)(cid:65)(cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:164)(cid:29)(cid:55)(cid:264)(cid:352)(cid:13)(cid:31)(cid:223)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:307)(cid:314)A(cid:52)B(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:307)(cid:314)C(cid:52)D.
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:30)(cid:13) = 2 +( +1)i( )(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:217) 2 (cid:65)(cid:138)(cid:163)(cid:217) +1(cid:65)
(cid:30)(cid:13) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)𝑧(cid:89)(cid:99)𝑚(cid:195)−(cid:31)1(cid:53)(cid:31)𝑚(cid:188)(cid:189)(cid:217)(𝑚∈2𝑅 +1)(cid:65)𝑚 −1 𝑚
𝑧 𝑚 −1,𝑚2 =0
(cid:99)(cid:119)A(cid:10)(cid:233) (cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:64)(cid:184) =1(cid:65)(cid:329)A(cid:418)(cid:419)(cid:169)
+1 0
𝑚 −1
𝑧 𝑚
(cid:99)(cid:119)B(cid:10)(cid:233) (cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35) +𝑚1=0≠(cid:65)(cid:64)(cid:184) = (cid:65)(cid:35) =0(cid:65)(cid:329)B(cid:420)(cid:212)(cid:169)
(cid:99)(cid:119)C(cid:10)(cid:233)𝑧(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)𝑚(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:187)(cid:275) 𝑚= −(cid:201)1(cid:65) 𝑧
𝑧 𝑦 32𝑥
(cid:191)(cid:106) +1=2( 2 )(cid:65)(cid:64)(cid:184) = (cid:221) = (cid:65)(cid:329)C(cid:418)(cid:419)(cid:169)
2
𝑚 2𝑚 −<10 𝑚 <−1<1𝑚
(cid:99)(cid:119)D(cid:10)(cid:417) (cid:65)(cid:153) (cid:65)(cid:115)(cid:43)(cid:111)(cid:252)(cid:293)(cid:64)(cid:65)
+1<0 <
𝑚 −1 −1 𝑚
(cid:191)(cid:106) (cid:147)(cid:30)(cid:180)𝑚(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:115)(cid:174)𝑚(cid:309)(cid:147)−(cid:83)1(cid:45)(cid:355)(cid:356)(cid:65)(cid:329)D(cid:420)(cid:212).
(cid:329)(cid:20)𝑧(cid:10)BD.
11(cid:129)(cid:85)2024·(cid:408)(cid:353)(cid:445)(cid:338)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) , (cid:87)(cid:3)(cid:119) (cid:31)(cid:50)(cid:51) 2+ +1= < < R)(cid:31)(cid:71)(cid:182)(cid:65)(cid:175)
1 2
(cid:334)(cid:158)(cid:258)(cid:137)(cid:420)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 𝑥 𝑥 𝑏𝑥 0(−2 𝑏 2,𝑏∈
A(cid:129) = B(cid:129) 1 R C(cid:129)| |=| |=1 D(cid:129)(cid:233) =1(cid:65)(cid:35) 3= 3=1
1 2 1 2 1 2
𝑧2
𝑧 𝑧 𝑧 ∈ 𝑧 𝑧 𝑏 𝑧 𝑧
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:124)(cid:21)(cid:40)(cid:55)(cid:264)(cid:71)(cid:182)(cid:217)(cid:10) = + 2i, = 2i(cid:65)(cid:327)(cid:124)(cid:304)(cid:307)(cid:314)(cid:20)(cid:267)(cid:129)
1 2 2 2 2 2
𝑏 4−𝑏 𝑏 4−𝑏
𝑧 − 𝑧 − −
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) = 2 <0(cid:65)(cid:35) = ± 2i(cid:65)
2
−𝑏 4−𝑏
Δ 𝑏 −4 𝑥
(cid:115)(cid:416)(cid:209) = + 2i, = 2i(cid:65)
1 2 2 2 2 2
𝑏 4−𝑏 𝑏 4−𝑏
𝑧 − 𝑧 − −
(cid:35) = (cid:65)(cid:329)A(cid:267)(cid:420)(cid:212)(cid:169)
1 2
𝑧 𝑧 2 2
| |=| |= + 2 =1(cid:65)(cid:329)C(cid:267)(cid:420)(cid:212)(cid:169)
1 2
2 2
𝑏 4−𝑏
(cid:186)𝑧 𝑧=1(cid:65) −
1 2
(cid:35) 𝑧 1= ⋅𝑧 2 1 = 2= + 2i 2 = 2 2i(cid:65)
𝑧2 2
𝑧
1 1 2
𝑏 4
2
−𝑏 𝑏
2
−2 𝑏 4
2
−𝑏
𝑧 𝑧 ⋅𝑧 𝑧 − −
(cid:165) 0(cid:159)(cid:65) 1 R(cid:65)(cid:329)B(cid:267)(cid:418)(cid:419)(cid:169)
𝑧2
𝑏≠ 𝑧 ∉
(cid:165) =1(cid:159)(cid:65) = 1 + 3i, = 1 3i(cid:65)
1 2 2 2 2 2
𝑏 𝑧 − 𝑧 − −
2= 1 3i= = (cid:65) 2= = (cid:65) 3= =1(cid:65)(cid:296)(cid:15) 3=1(cid:65)(cid:329)D(cid:267)(cid:420)(cid:212)(cid:65)
1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
𝑧 − − 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧
(cid:329)(cid:20)(cid:10)ACD.
(cid:45)(cid:52)(cid:108)(cid:109)(cid:21)
12(cid:129)(cid:85)2024·(cid:338)(cid:378)(cid:446)(cid:447)·(cid:303)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249) +2)i= (cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) = i .
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:55)(cid:64). 𝑧 (𝑧 2𝑧−1 𝑧 −
1 2i (1 2i)(2 i) 5i
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:448)(cid:128) = = = =i(cid:65)(cid:191)(cid:106) = i.
i i)(2 i) 5
+ + +
𝑧 2− (2− + 𝑧 −(cid:329)(cid:346)(cid:347)(cid:217)(cid:10) i.
13(cid:129)(cid:85)2024·−(cid:201)(cid:449)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:209) = 2 +( )i(cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:65)(cid:233)z(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13)m(cid:31)(cid:223)(cid:217) (cid:129)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:450)(cid:104)(cid:31)(cid:250)(cid:251)(cid:65)𝑧(cid:243)(cid:27)𝑚(cid:170)−(cid:138)1(cid:13)(cid:31)𝑚(cid:104)−(cid:41)1 (cid:334)(cid:111)(cid:58)(cid:37)(cid:153)(cid:184). −1
2 =0
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200) = 2 +( )i(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:184) (cid:65)(cid:64)(cid:184) = (cid:65)
0
𝑚 −1
(cid:191)(cid:106)(cid:162)(cid:13)m 𝑧 (cid:31)(cid:223) 𝑚 (cid:217) −1 . 𝑚−1 𝑚−1≠ 𝑚 −1
(cid:329)(cid:346)(cid:347)(cid:217)(cid:10) . −1
14(cid:129)(cid:85)2024−·(cid:353)1(cid:436)(cid:349)(cid:62)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:30)(cid:13) i(cid:49) +i(cid:60)(cid:161)(cid:47)(cid:48)(cid:207)(cid:208) (cid:49) (cid:65)(cid:224)(cid:47)(cid:48)(cid:207)(cid:208) (cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:217) (cid:65)(cid:35)
= 25 (cid:129) 2−3 −1 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑧
𝑧(cid:22)𝑧(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:182)(cid:183)(cid:21)(cid:40)(cid:65)(cid:200)(cid:207)(cid:208)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:174)(cid:184) = = (cid:65)(cid:327)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:68)(cid:407)(cid:58)(cid:37)(cid:65)(cid:153)(cid:174)(cid:55)(cid:64).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:200)(cid:21)(cid:40)(cid:174)(cid:128)(cid:65) = = 𝑧=𝐴(𝐵 +𝑂i𝐵)−(𝑂𝐴 i)= +4i(cid:65)
(cid:35) = i(cid:65)(cid:191)(cid:106) =𝑧( 𝐴𝐵+4𝑂i)𝐵(−𝑂𝐴 i)=−91+16−=22−53. −3
(cid:329)(cid:346)𝑧 (cid:347)−(cid:217)3−(cid:10)425. 𝑧𝑧 −3 −3−4
(cid:34)(cid:52)(cid:64)(cid:346)(cid:21)
15(cid:129)(cid:85)2024·(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:410)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:162)(cid:13) (cid:177)(cid:454)(cid:227)(cid:223)(cid:159)(cid:65)(cid:30)(cid:13) = +3+ i(cid:87)
(1)(cid:162)(cid:13)(cid:455) 𝑚 𝑧 𝑚 (𝑚−3)
(2)(cid:138)(cid:13)(cid:455)
(3)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:455)
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:85)2(cid:86)(cid:85)3(cid:86)(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:52)(cid:138)(cid:13)(cid:52)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:334)(cid:111)(cid:58)(cid:37)(cid:155)(cid:346).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:30)(cid:13) = +3+ i(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =0(cid:65)(cid:64)(cid:184) =3(cid:65)
(cid:191)(cid:106)(cid:165) =3(cid:159)(cid:65)(cid:30)𝑧(cid:13)(cid:87)𝑚(cid:162)(cid:13). (𝑚−3) 𝑚−3 𝑚
(cid:85)2(cid:86)(cid:30)𝑚(cid:13) = +3+ i(cid:87)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) 0(cid:65)(cid:64)(cid:184) 3(cid:65)
(cid:191)(cid:106)(cid:165) 𝑧R 𝑚 3(cid:159)(cid:65)((cid:30)𝑚−(cid:13)3(cid:87)) (cid:138)(cid:13). 𝑚−3≠ 𝑚≠
𝑚∈ ,𝑚≠ +3=0
(cid:85)3(cid:86)(cid:30)(cid:13) = +3+ i(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:64)(cid:184) = (cid:65)
0
𝑚
𝑧 𝑚 (𝑚−3) 𝑚 −3
(cid:191)(cid:106)(cid:165) = (cid:159)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:13). 𝑚−3≠
16(cid:129)(cid:85) 𝑚 2024· − (cid:348) 3 (cid:349)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 2i.
2
+
𝑧
2
(1)(cid:233)(cid:30)(cid:13)( 2 ) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356)(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13)m(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405)(cid:169)
(2)(cid:233) 2(cid:65) 2 𝑧+−𝑚2(cid:147)−(cid:30)2(cid:180)𝑚(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:60)(cid:161)(cid:217)B(cid:65)C(cid:65)(cid:55)cos (cid:85)(cid:53)O(cid:217)(cid:188)(cid:189)(cid:213)(cid:53)(cid:86).
𝑧 𝑧 𝑧 ∠𝐵𝑂𝐶2
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:16)(cid:120)(cid:184)( 2 ) =( 2 )+2( )i(cid:65)(cid:327)(cid:182)(cid:183)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356)(cid:159)(cid:31)
(cid:162)(cid:163)(cid:138)(cid:163)(cid:31)(cid:420)(cid:395)(cid:55)(cid:64)(cid:404)(cid:405)(cid:153)𝑧−(cid:174)𝑚(cid:169)−2𝑚 𝑚 −4𝑚 1−𝑚
(cid:85)2(cid:86)(cid:58)(cid:37) 2(cid:65) 2 + 2(cid:65)(cid:184)(cid:245)B(cid:65)C(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:65)(cid:327)(cid:27)(cid:207)(cid:208)(cid:31)(cid:13)(cid:208)(cid:263)(cid:7)(cid:111)(cid:55)(cid:64)(cid:153)(cid:174)
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:85) 𝑧 1(cid:86)(cid:215)(cid:217) 𝑧 = 𝑧 2 2i(cid:65)(cid:191)(cid:106)( 2 ) 2 =( +i)2 =( 2 )+2( )i.
2
+
𝑧 𝑧−𝑚 −2𝑚 1−𝑚 −2𝑚 𝑚 −4𝑚 1−𝑚
2
(cid:215)(cid:217)(cid:30)(cid:13)( 2 ) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:45)(cid:355)(cid:356)(cid:65)
2 𝑧<−𝑚0, −2𝑚
(cid:191)(cid:106) (cid:64)(cid:184)1< <4(cid:65)(cid:153)(cid:162)(cid:13)m(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405)(cid:87)(1,4).
<0,
𝑚 −4𝑚
(cid:85)2(cid:86)(cid:200) 1 (cid:21) −𝑚 (cid:174)(cid:128) 2= 2 2i
𝑚2
= 2(1 2i ) =i(cid:65) 2 + 2=1+2i(cid:65)
2 4
+ + −1
(cid:35)(cid:53) (0,1)(cid:65) (𝑧1,2)(cid:65) =(0,1)(cid:65) =(1,2). 𝑧 𝑧
(cid:215)(cid:216) 𝐵 cos 𝐶 = 𝑂𝐵 = 2 =2 𝑂5. 𝐶
| || | 1× 5 5
𝑂𝐵⋅𝑂𝐶
17(cid:129)(cid:85)2 ∠ 02 𝐵 4 𝑂 ·(cid:359) 𝐶 (cid:360)(cid:353)𝑂𝐵(cid:116)𝑂(cid:357)𝐶 ·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = i(cid:85) (cid:86)(cid:65)(cid:166) (1+3i)(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:85) (cid:87) (cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)
(cid:13)(cid:86). 𝑧 𝑚− 𝑚∈𝑅 𝑧⋅ 𝑧 𝑧
2i
(cid:85)1(cid:86)(cid:209)(cid:30)(cid:13) = (cid:65)(cid:55)| |(cid:169)
1 i 1
𝑚+
𝑧 1− 𝑧
(cid:85)2(cid:86)(cid:30)(cid:13) =
i2021
(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356)(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405).
2
𝑎−
𝑧 𝑧 𝑎
1 5
(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:377)(cid:182)(cid:183)(cid:250)(cid:251)(cid:184)(cid:245) = i(cid:65)(cid:282)(cid:186)(cid:184)(cid:245) = + i(cid:65)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:55)(cid:258)(cid:184)(cid:245)(cid:269)(cid:225)(cid:169)
1 2 2
𝑧 3− 𝑧
1
(cid:85)2(cid:86)(cid:200)(cid:83)(cid:93)(cid:290)(cid:184)(cid:245) = + i(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356)(cid:184)(cid:245)(cid:115)(cid:43)(cid:111)(cid:65)(cid:282)(cid:186)(cid:55)(cid:64).
2 10 10
3𝑎+ 𝑎−3
𝑧
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:85)1(cid:86) (1+3i)=( +i)(1+3i)= +( +1)i(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)
=0(cid:65) ∵+𝑧⋅1 0(cid:65)(cid:64)(cid:184)𝑚=3. 𝑚−3 3𝑚
∴𝑚− = 33 2i = 3(3𝑚2i)(1 ≠i) = 1 + 5 i(cid:65) 𝑚 (cid:35)| |= 26.
1 i ( i)(1 i) 2 2 1 2
+ + +
∴(cid:85) 𝑧 2(cid:86)i210−21=( 1 i4− )505+ i=i(cid:65) 𝑧
i ( i)(3⋅ i) 1
(cid:30)(cid:13) = = = + i(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:93)(cid:355)(cid:356)(cid:65)
2 i ( i)(3 i) 10 10
𝑎− 𝑎− + 3𝑎+ 𝑎−3
𝑧 3− 3− +
1
>0(cid:65) >0(cid:65)(cid:64)(cid:184) >3.
10 10
3𝑎+ 𝑎−3
∴(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405)(cid:87)(3,+ 𝑎 ).
1∴8(cid:129)(cid:85)𝑎2024·(cid:201)(cid:449)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)∞(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:3)(cid:119) (cid:31)(cid:50)(cid:51) 2 =0( )(cid:31)(cid:138)(cid:13)(cid:182)(cid:217) (cid:52) .
1 2
(cid:85)1(cid:86)(cid:55)| |+| |(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405)(cid:169) 𝑥 𝑥 −3𝑎𝑥−3𝑎 𝑎∈𝑅 𝑥 𝑥
1 2
(cid:85)2(cid:86)(cid:233)|𝑥 |𝑥=1(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:223).
1 2
𝑥 −𝑥 𝑎(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:200)(cid:21)(cid:40)| |=| |(cid:65)(cid:94)(cid:186)| |+| |=2| |(cid:65)(cid:200)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:174)(cid:184)2| |=2 =2 (cid:65)(cid:182)
1 2 1 2 1 1 1 1 1 2
(cid:183)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:184)(cid:264) (cid:31)(cid:404)(cid:405)(cid:65)𝑥(cid:94)(cid:186)(cid:184)𝑥 (cid:264)(cid:346)(cid:347). 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:85)2(cid:86)(cid:340)| 𝑎|=1(cid:180)(cid:50)(cid:65)(cid:340)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:68)(cid:407)(cid:65)(cid:269)(cid:144)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:184)(cid:264) (cid:31)(cid:404)(cid:405)(cid:65)(cid:174)(cid:184)(cid:346)(cid:347).
1 2
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28) 𝑥 (cid:200) − (cid:21) 𝑥 (cid:40)(cid:128)(cid:65) =9 2+ <0(cid:65)(cid:35) 4 < <0(cid:65) + 𝑎 = (cid:65) =
3 1 2 1 2
𝛥 𝑎 12𝑎 − 𝑎 𝑥 𝑥 3𝑎 𝑥 ⋅𝑥 −3𝑎
(cid:85)1(cid:86)| |=| |(cid:65)| |+| |=2| |=2 =2 =2
1 2 1 2 1 1 1 1 2
4𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −3𝑎
(cid:215)(cid:217) < <0(cid:65)(cid:191)(cid:106)0<2 <4(cid:65)(cid:329)| |+| |(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:404)(cid:405)(cid:87)(0,4).
3 1 2
(cid:85)2(cid:86) − 1=| 𝑎 |2=|( − )23 | 𝑎=|( + 𝑥 )2 𝑥 |=|9 2+ |
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:215)(cid:217)9 2+𝑥 −𝑥<0(cid:65)(cid:191)(cid:106)𝑥 −19𝑥 2+ 𝑥= 𝑥(cid:65) −4𝑥 𝑥 𝑎 12𝑎
(cid:191)(cid:106) 𝑎 = 212 ± 𝑎 3. 𝑎 12𝑎 −1
3 3
𝑎 −
19(cid:129)(cid:85)2024·(cid:359)(cid:360)(cid:353)(cid:116)(cid:357)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:425)(cid:426)(cid:85)1707-1783(cid:86)(cid:65)(cid:316)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:456)(cid:201)(cid:457)(cid:266)(cid:458)(cid:31)(cid:13)(cid:11)(cid:387)(cid:92)(cid:93)(cid:65)(cid:316)(cid:388)(cid:127)(cid:271)(cid:244)
(cid:123)(cid:76)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)ei =cos +isin (cid:65)(cid:94)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:45)(cid:46)(cid:390)(cid:13)(cid:204)(cid:399)(cid:13)(cid:390)(cid:13)(cid:31)(cid:3)(cid:190)(cid:65)(cid:233)(cid:340)(cid:70)(cid:137)(cid:31) (cid:177)(cid:155) (cid:148)(cid:184)(cid:245)(cid:76)(cid:425)(cid:426)
𝜃
(cid:459)(cid:43)(cid:111)e +1=0(cid:65)(cid:168)(cid:87)𝜃(cid:417)(cid:460)(cid:461)𝜃(cid:462)(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:7)(cid:111)(cid:65)(cid:168)(cid:340)(cid:13)(cid:11)(cid:463)(cid:457)(cid:238)(cid:54)(cid:31)(cid:38)(cid:72)(cid:208)(cid:298)(cid:190)(cid:218)(cid:97)(cid:65)𝜃(cid:71)(cid:72)(cid:464)π(cid:465)(cid:13)——(cid:427)(cid:172)
iπ
(cid:99)(cid:13)(cid:31)(cid:428)(cid:13)e(cid:65)(cid:253)(cid:466)(cid:467) (cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:107)(cid:139)——(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)i(cid:204)(cid:427)(cid:172)(cid:13)(cid:107)(cid:139)1(cid:65)(cid:106)(cid:69)(cid:431)(cid:237)(cid:217)(cid:460)(cid:164)(cid:468)(cid:116)(cid:388)(cid:127)(cid:92)(cid:93)(cid:31)0(cid:65)(cid:13)(cid:11)
(cid:387)(cid:469)(cid:470)(cid:168)(cid:87)“(cid:201)(cid:471)(cid:402)(cid:411)(cid:31)π (cid:7)(cid:111)”(cid:65)(cid:472)(cid:473)(cid:182)(cid:183)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)(cid:10)ei =cos +isin (cid:65)(cid:64)(cid:300)(cid:106)(cid:175)(cid:290)(cid:21)(cid:10)
𝜃
𝜃 𝜃
(1)(cid:340)(cid:30)(cid:13)e3 i+e (cid:47)(cid:48)(cid:142) + i(cid:85) (cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:31)(cid:110)(cid:111)(cid:169)
π
πi
(2)(cid:55)|e2 i+e i|( )(cid:31)(cid:457) 𝑎 (cid:116)(cid:223) 𝑏 (cid:169) 𝑎,𝑏∈𝑅
π
𝜃
(3)(cid:233) =1(cid:65)(cid:35)𝜃∈ = 𝑅 ( = )(cid:65)(cid:145)(cid:463) =cos +isin ( = )(cid:65)(cid:237) (cid:217)1(cid:31)(cid:93)(cid:72) (cid:304)(cid:107)
𝑛 2𝑘π 2𝑘π
𝑧 𝑧 𝑧𝑘 𝑘 0,1,2,⋯,𝑛−1 𝑧𝑘 𝑛 𝑛 𝑘 0,1,2,⋯,𝑛−1 𝑧𝑘 𝑛
(cid:139)(cid:182)(cid:65)(cid:120)(cid:237)(cid:107)(cid:139)(cid:182)(cid:129)(cid:164)(cid:101)(cid:194)(cid:50)(cid:261)(cid:7)(cid:111)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:174)(cid:106)(cid:474)(cid:184) 5 =( )( 4+ 3+ 2+ 1+1)(cid:65)(cid:30)(cid:13) =e 2 5 i(cid:65)
π
( )= 2+ +2(cid:65)(cid:55) ( ) ( 2) ( 3) ( 4)(cid:31)(cid:223)(cid:129) 𝑥 −1 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑧
𝐻(cid:22)(cid:60)𝑥 (cid:61)(cid:28)𝑥(cid:85)1𝑥(cid:86)(cid:182)(cid:183)(cid:425)𝐻(cid:426)(cid:7)𝑧 (cid:111)𝐻(cid:187)𝑧 (cid:211)𝐻(cid:174)𝑧(cid:184)(cid:64)𝐻(cid:169)𝑧
(cid:85)2(cid:86)(cid:200)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)(cid:174)(cid:244)(cid:123)|e2 i+e i| 2(cid:65)(cid:271)(cid:184)(cid:245)|e2 i+e2 i|=2(cid:65)(cid:145)(cid:153)(cid:184)(cid:269)(cid:225)(cid:169)
π π π
𝜃
(cid:85)3(cid:86)(cid:182)(cid:183)(cid:107)(cid:139)(cid:182)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:65)(cid:68)(cid:407)(cid:16)(cid:120)≤(cid:153)(cid:174).
(cid:22)(cid:328)(cid:64)(cid:28)(cid:85)1(cid:86)(cid:200)(cid:425)(cid:426)(cid:7)(cid:111)(cid:149)
e3 i+e = cos +isin +( + )= 1 + 3i +( )= 1 + 3i.
π 3 3 2 2 2 2
πi π π
| co|sπ isinπ −1 −
(cid:85)2(cid:86)(cid:200)(cid:119)|e2 i|= cos +isin =1(cid:65)|e i|=|cos +isin |=1(cid:65)(cid:329)|e2 i+e i| |e2 i|+|e i|=1+1=2(cid:65)
π 2 2 π π
π π 𝜃 𝜃 𝜃
𝜃 𝜃 ≤
(cid:186)(cid:165) =
2
(cid:159)(cid:65)(cid:149)|e
π 2
i+e i|=|e
π 2
i+e
π 2
i|=|2e
π 2
i|=2|e
π 2
i|=2.
π
𝜃
𝜃(cid:329)|e2 i+e i|( )(cid:31)(cid:457)(cid:116)(cid:223)(cid:87)2.
π
𝜃
(cid:85)3(cid:86)(cid:200)(cid:119) 5𝜃=∈1𝑅(cid:65)(cid:329)0=( 5 )=( )( 4+ 3+ 2+ +1)(cid:65)(cid:186) 1(cid:65)(cid:191)(cid:106) 4+ 3+ 2+ +1=0.
(cid:329) ( ) ( 𝑧2) ( 3) ( 4) 𝑧 −1 𝑧−1 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧≠ 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧
=𝐻( 𝑧2+𝐻 𝑧+2𝐻)(𝑧 4𝐻+𝑧2+2)( 6+ 3+2)( 8+ 4+2)
=(𝑧2+ 𝑧+2)(𝑧4+ 𝑧2+2)( 𝑧+ 3𝑧+2)( 3𝑧+ 4𝑧+2)(cid:85)(cid:243)(cid:27) 5=1(cid:86)
= 𝑧( 2+𝑧 +2)𝑧( 3+𝑧 4+2)𝑧 𝑧( + 3𝑧+2)𝑧( 4+ 2+2) 𝑧
= ( 𝑧6+2𝑧5+3 𝑧4+2𝑧3+2 2⋅+ 𝑧 +𝑧4)( 7+𝑧2 5+𝑧 2 4+3 3+2 2+ +4)
=(𝑧+2+𝑧3 4+𝑧2 3+𝑧2 2+𝑧 +2𝑧4)( 2+𝑧2+2𝑧4+3𝑧3+2𝑧2+ 𝑧 +42)𝑧(cid:85)(cid:243)(cid:27) 5=1(cid:86)
= (𝑧3 4+2 3𝑧+2 2𝑧+ 𝑧+6)2(2𝑧 4+3𝑧3+3 2+𝑧 +𝑧6) 𝑧 2𝑧 𝑧
=( 4𝑧+ +𝑧4)( 3𝑧+ 23+𝑧4)(cid:85)(cid:243)(cid:27)𝑧 4+𝑧 3+ 𝑧2+ 2+𝑧1=0(cid:86)
= 𝑧7+ 𝑧6+5 4𝑧+5𝑧3+4 2+ +𝑧16 𝑧 𝑧 𝑧
=𝑧2+𝑧+5 4𝑧+5 3𝑧+4 2𝑧+ +4𝑧16(cid:85)(cid:243)(cid:27) 5=1(cid:86)
=5𝑧 4+𝑧 5 3𝑧+5 2𝑧+ 𝑧+164𝑧 𝑧
=1𝑧1(cid:85)(cid:243)(cid:27)𝑧 4+𝑧 3+5𝑧2+ +1=0(cid:86).
(cid:191)(cid:106) ( ) (𝑧2) (𝑧3) 𝑧( 4)𝑧=11.
𝐻 𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 𝑧
