专题5.4复数七大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》专题练系列（共189个题型）

专题 5.4 复数【七大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)............................................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)....................................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28)....................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28)............................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:28)................................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28)....................................................................................................................................8 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)............................................................................................................................................9 1(cid:52)(cid:30)(cid:13) (cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:56)(cid:21)(cid:57)(cid:58) (cid:25)(cid:59)(cid:60)(cid:61) 2022(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:81)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2 (cid:21)(cid:65)5(cid:60)(cid:52)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65)5(cid:60) 2023(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65) (1)(cid:62)(cid:63)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30) 5(cid:60) (cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:31)(cid:88)(cid:53)(cid:89)(cid:90)(cid:65)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:31) (cid:13) 2023(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)1(cid:21)(cid:65) (cid:91)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:92)(cid:93).(cid:94)(cid:95)(cid:38)(cid:79)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:59)(cid:96)(cid:97) (2)(cid:15)(cid:64)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:68)(cid:13)(cid:47)(cid:48) 5(cid:60) (cid:98)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:99)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:25)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:105)(cid:105) (cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:15)(cid:64)(cid:71)(cid:72) 2024(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:82)(cid:10)(cid:83)2(cid:21)(cid:65) (cid:106)(cid:107)(cid:20)(cid:21)(cid:52)(cid:108)(cid:109)(cid:21)(cid:31)(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:100)(cid:65)(cid:25)(cid:100)(cid:89) (cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:73)(cid:41) 5(cid:60) (cid:90)(cid:52)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:16)(cid:115)(cid:116)(cid:65)(cid:117)(cid:54)(cid:25)(cid:100)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32) (3)(cid:74)(cid:75)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:65) 2024(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:82)(cid:10)(cid:83)1(cid:21)(cid:65) (cid:33)(cid:52)(cid:36)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:107)(cid:21).(cid:121) (cid:76)(cid:64)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:52)(cid:78)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:38) 5(cid:60) (cid:122)(cid:123)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:13)(cid:124)(cid:125)(cid:106)(cid:107)(cid:20)(cid:21)(cid:52)(cid:108)(cid:109)(cid:21) (cid:39)(cid:40)(cid:41) 2024 (cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:84)(cid:82)(cid:85)(cid:17)(cid:13)(cid:86)(cid:10) (cid:110)(cid:111)(cid:126)(cid:127)(cid:65)(cid:101)(cid:102)(cid:120)(cid:107). (cid:83)1(cid:21)(cid:65)5(cid:60)(cid:52)(cid:85)(cid:15)(cid:13)(cid:86)(cid:10)(cid:83) 1(cid:21)(cid:65)5(cid:60) (cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28) 1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:110)(cid:133)a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:13)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:70)(cid:137)i(cid:135)(cid:136)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139).(cid:80)(cid:140)(cid:30)(cid:13)(cid:141)(cid:142)(cid:31)(cid:143)(cid:144)C={a+bi|a,b(cid:134)R}(cid:135) (cid:136)(cid:30)(cid:13)(cid:143).(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:50)(cid:51) +1=0(cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:148)(cid:149)(cid:64)x=i(cid:76). (2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:47)(cid:48) (cid:30)(cid:13)(cid:62)(cid:150)(cid:27)(cid:151)(cid:152)z(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:153)z=a+bi(a,b(cid:134)R).(cid:106)(cid:154)(cid:115)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:123)(cid:159)(cid:65)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:160)(cid:149)a,b(cid:134)R(cid:65)(cid:70)(cid:137)(cid:31)a(cid:49)b(cid:60)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:138)(cid:163). (3)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:60)(cid:164) (cid:99)(cid:119)(cid:30)(cid:13)a+bi(cid:65)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)b=0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:169)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)a=b=0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:162)(cid:13)0(cid:169)(cid:165)b≠0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:135)(cid:136)(cid:138) (cid:13)(cid:169)(cid:165)a=0(cid:166)b≠0(cid:159)(cid:65)(cid:168)(cid:135)(cid:136)(cid:170)(cid:138)(cid:13). (cid:171)(cid:172)(cid:65)(cid:162)(cid:13)(cid:143)R(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:31)(cid:56)(cid:173)(cid:143)(cid:65)(cid:153)R C. (cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:174)(cid:106)(cid:60)(cid:164)(cid:133)(cid:175)(cid:10) (cid:30)(cid:13) . 2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43) (cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C={a+bi|a,b(cid:134)R}(cid:137)(cid:176)(cid:177)(cid:71)(cid:72)(cid:13)a+bi(cid:65)c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:178)(cid:104)(cid:10)a+bi(cid:49)c+di(cid:42)(cid:43)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165) a=c(cid:166)b=d(cid:65)(cid:153)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:162)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:52)(cid:138)(cid:163)(cid:49)(cid:138)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:159)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:179)(cid:42)(cid:43). (cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28) 1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (1)(cid:30)(cid:180)(cid:181) (cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:65)(cid:174)(cid:184)(cid:30)(cid:13)z=a+bi (cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(a,b)(cid:65)(cid:186)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(a,b) (cid:180)(cid:181) (cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:31)(cid:53)(cid:65)(cid:191)(cid:106)(cid:30)(cid:13)(cid:143)(cid:49)(cid:180)(cid:181)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:31)(cid:53)(cid:143)(cid:92)(cid:192)(cid:174)(cid:106)(cid:193)(cid:194)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:3)(cid:190). (cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)(cid:65)(cid:53)Z(cid:31)(cid:197)(cid:188)(cid:189)(cid:87)a(cid:65)(cid:198)(cid:188)(cid:189)(cid:87)b(cid:65)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:174)(cid:27)(cid:53)Z(a,b)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:145)(cid:72)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:97) (cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:65)x(cid:199)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:199)(cid:65)y(cid:199)(cid:135)(cid:136)(cid:138)(cid:199). (2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)——(cid:49)(cid:53)(cid:99)(cid:195) (cid:200)(cid:201)(cid:174)(cid:128)(cid:65)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:149)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:203)(cid:93)(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:53)(cid:204)(cid:168)(cid:99)(cid:195)(cid:169)(cid:205)(cid:63)(cid:97)(cid:65)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:53)(cid:65)(cid:149)(cid:203)(cid:93) (cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:204)(cid:168)(cid:99)(cid:195).(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:31)(cid:13)(cid:204)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:53)(cid:87)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:65)(cid:153)(cid:30)(cid:13)z=a+bi (cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31) (cid:53)Z(a,b)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:93)(cid:206)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41). (3) (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)——(cid:49)(cid:207)(cid:208)(cid:99)(cid:195) (cid:147)(cid:180)(cid:181)(cid:187)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:137)(cid:65)(cid:202)(cid:93)(cid:72)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:160)(cid:174)(cid:106)(cid:27)(cid:93)(cid:72)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(cid:97)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:186)(cid:149)(cid:185)(cid:162)(cid:13)(cid:99)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:93)(cid:93) (cid:99)(cid:195)(cid:31).(cid:145)(cid:146)(cid:148)(cid:174)(cid:106)(cid:27)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:97)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13). (cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)(cid:65)(cid:209)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:31)(cid:53)Z(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:65)(cid:210)(cid:211)OZ(cid:65)(cid:171)(cid:172)(cid:207)(cid:208) (cid:200)(cid:53)Z(cid:203)(cid:93)(cid:212)(cid:104)(cid:169)(cid:205)(cid:63)(cid:97)(cid:65)(cid:53) Z((cid:42)(cid:99)(cid:119)(cid:213)(cid:53)(cid:97)(cid:158))(cid:214)(cid:174)(cid:106)(cid:200)(cid:207)(cid:208) (cid:203)(cid:93)(cid:212)(cid:104). (cid:215)(cid:216)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:143)C(cid:137)(cid:31)(cid:13)(cid:49)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:106)(cid:213)(cid:53)(cid:217)(cid:218)(cid:53)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:87)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)((cid:162)(cid:13)0(cid:49)(cid:219)(cid:207)(cid:208)(cid:99)(cid:195))(cid:65)(cid:153)(cid:30)(cid:13)z=a+bi (cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208) (cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:220)(cid:93)(cid:206)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44) (cid:207)(cid:208) (cid:31)(cid:44)r(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:31)(cid:44)(cid:221)(cid:222)(cid:99)(cid:223)(cid:65)(cid:224)(cid:155)|z|(cid:221)|a+bi|.(cid:133)(cid:225)b=0(cid:65)(cid:226)(cid:227)z=a+bi(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:162)(cid:13)a(cid:65)(cid:168) (cid:31)(cid:44)(cid:43)(cid:119)|a|((cid:148)(cid:87)a(cid:31)(cid:222)(cid:99)(cid:223)).(cid:200)(cid:44)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:174)(cid:128)(cid:65)|z|=|a+bi|=r= (r 0,r(cid:134)R). 3(cid:129)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13) (1)(cid:104)(cid:41) (cid:93)(cid:230)(cid:231)(cid:65)(cid:165)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:65)(cid:138)(cid:163)(cid:232)(cid:217)(cid:42)(cid:205)(cid:13)(cid:159)(cid:65)(cid:145)(cid:145)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:135)(cid:136)(cid:232)(cid:217)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13).(cid:138)(cid:163)(cid:115)(cid:43)(cid:119)0 (cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:214)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:27) (cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:153)(cid:233)z=a+bi(cid:65)(cid:35) =a-bi.(cid:156)(cid:161)(cid:231)(cid:65)(cid:162)(cid:13)a(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:234)(cid:87)a (cid:235)(cid:236). (2)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:232)(cid:217)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:3)(cid:119)(cid:162)(cid:199)(cid:99)(cid:237)((cid:133)(cid:196)).(cid:156)(cid:161)(cid:231)(cid:65)(cid:162)(cid:13)(cid:204)(cid:168)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:147)(cid:30) (cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:238)(cid:144)(cid:65)(cid:166)(cid:147)(cid:162)(cid:199)(cid:201). (3)(cid:239)(cid:240) (cid:241) =z. (cid:242)(cid:162)(cid:13)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:87)(cid:168)(cid:235)(cid:236)(cid:65)(cid:153)z= z(cid:134)R(cid:65)(cid:243)(cid:27)(cid:145)(cid:72)(cid:239)(cid:240)(cid:174)(cid:244)(cid:123)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:217)(cid:162)(cid:13). 4(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (1)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:44)|z|(cid:148)(cid:87)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)Z(a,b)(cid:245)(cid:188)(cid:189)(cid:213)(cid:53)(cid:31)(cid:246)(cid:247)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:44)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41). (2)(cid:30)(cid:13)z(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:217)Z(cid:65)r(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:72)(cid:116)(cid:119)0(cid:31)(cid:150)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)|z|=r(cid:31)(cid:53)Z(cid:252)(cid:142)(cid:31)(cid:143)(cid:144)(cid:87)(cid:106) (cid:213)(cid:53)(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)r(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:253)(cid:65)|z|r(cid:47)(cid:48)(cid:253)(cid:31)(cid:257)(cid:163). (cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:28) 1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) (1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:77)(cid:258)(cid:258)(cid:35)(cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d R)(cid:87)(cid:176)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:226)(cid:227) + =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:258)(cid:35) (cid:164)(cid:101)(cid:162)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:178)(cid:104)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:87)(cid:77)(cid:258)(cid:31)(cid:259)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:153)(cid:132)(cid:248)(cid:249)(c+di)+(x+yi)=a+bi(cid:31)(cid:30)(cid:13) x+yi(x,y(cid:134)R)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:13)a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:78)(cid:260)(cid:30)(cid:13)c+di(c,d(cid:134)R)(cid:31)(cid:261)(cid:65)(cid:224)(cid:155)(a+bi)-(c+di). (cid:182)(cid:183)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:104)(cid:41)(cid:65)(cid:149)c+x=a(cid:65)d+y=b(cid:65)(cid:215)(cid:216)x=a-c(cid:65)y=b-d(cid:65)(cid:191)(cid:106)x+yi=(a-c)+(b-d)i(cid:65)(cid:153)(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.(cid:145)(cid:148)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:258)(cid:35). (3)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:258)(cid:35) (cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:87)(cid:176)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:168)(cid:131)(cid:31)(cid:263)(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. (cid:174)(cid:106)(cid:98)(cid:264)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:262)(cid:65)(cid:164)(cid:265)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:266)(cid:267)(cid:111)(cid:42)(cid:262)(cid:65)(cid:268)(cid:54)(cid:147)(cid:191)(cid:184)(cid:31)(cid:269)(cid:225)(cid:137)(cid:132) (cid:270)(cid:142)-1(cid:65)(cid:271)(cid:166)(cid:132)(cid:162)(cid:163)(cid:49) (cid:138)(cid:163)(cid:60)(cid:161)(cid:144)(cid:271)(cid:153)(cid:174). (4)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:258)(cid:35) (a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d(cid:134)R(cid:65)(cid:166) c+di≠0). (cid:200)(cid:216)(cid:174)(cid:273)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:42)(cid:272)((cid:272)(cid:13)(cid:115)(cid:217)0)(cid:65)(cid:191)(cid:184)(cid:31)(cid:274)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:212)(cid:104)(cid:31)(cid:30)(cid:13). 2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:258)(cid:52)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (1)(cid:30)(cid:13)(cid:77)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:65)(cid:209) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:35) =(a,b)(cid:65) =(c,d). (cid:106) (cid:65) (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:275)(cid:276)(cid:217)(cid:277)(cid:278)(cid:155)(cid:180)(cid:279)(cid:34)(cid:278)(cid:110) ((cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48))(cid:65)(cid:35)(cid:200)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:31)(cid:188)(cid:189)(cid:36)(cid:37)(cid:65)(cid:174)(cid:184) = + =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(cid:65)(cid:153)z=(a+c)+(b+d)i(cid:65)(cid:153)(cid:99)(cid:46)(cid:275)OZ(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:148)(cid:87)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(a+c)+(b+d)i(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207) (cid:208). (2)(cid:30)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13) =a+bi(cid:65) =c+di(a,b,c,d(cid:134)R)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:60)(cid:161)(cid:87) (cid:65) (cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:145)(cid:71)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:261) - (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208)(cid:87) - (cid:65)(cid:153)(cid:207)(cid:208) . (cid:133)(cid:225)(cid:155) = (cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:53)Z(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:148)(cid:87) - ((cid:133)(cid:196)(cid:191)(cid:48)). (cid:145)(cid:158)(cid:123)(cid:71)(cid:72)(cid:207)(cid:208) (cid:49) (cid:31)(cid:261) (cid:148)(cid:87)(cid:49)(cid:30)(cid:13)(a-c)+(b-d)i(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:207)(cid:208).(cid:215)(cid:216)(cid:65)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:174)(cid:106)(cid:280)(cid:281)(cid:207) (cid:208)(cid:31)(cid:78)(cid:258)(cid:97)(cid:282)(cid:279)(cid:65)(cid:145)(cid:87)(cid:30)(cid:13)(cid:78)(cid:258)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41).3(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:150)(cid:27)(cid:283)(cid:284) (1)(cid:30)(cid:13)(cid:150)(cid:273)(cid:36)(cid:37)(cid:285)(cid:269)(cid:286) (cid:241) (cid:169) (cid:242) (cid:169) (cid:287) (cid:169) (cid:288) (cid:169) (cid:289) . (2)(cid:150)(cid:27)(cid:7)(cid:111) (cid:169) (cid:169) . (cid:22)(cid:128)(cid:67)(cid:53)4 (cid:30)(cid:13)(cid:149)(cid:3)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292)(cid:28) 1(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:31)(cid:149)(cid:3)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292) (1)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:65)(cid:70)(cid:137)a(cid:65)b(cid:60)(cid:161)(cid:87)(cid:168)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:204)(cid:138)(cid:163).(cid:233)z(cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:138)(cid:163)b=0(cid:65)(cid:49)(cid:162)(cid:163)a(cid:293)(cid:3)(cid:169) (cid:233)z(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:138)(cid:163)b(cid:294)0(cid:65)(cid:49)(cid:162)(cid:163)a(cid:293)(cid:3)(cid:169)(cid:233)z(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:165)a=0(cid:166)b(cid:294)0. (2)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:44)(cid:224)(cid:155) (cid:221) (cid:65)(cid:153) . (3)(cid:30)(cid:13)z=a+bi(a,b(cid:134)R)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:217) (cid:65)(cid:35) (cid:65)(cid:153) (cid:65)(cid:233) (cid:65) (cid:35) . 2(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292) (1)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:164)(cid:265)(cid:119)(cid:266)(cid:267)(cid:111)(cid:31)(cid:262)(cid:258)(cid:36)(cid:37)(cid:169) (2)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:272)(cid:258)(cid:3)(cid:295)(cid:87)(cid:60)(cid:173)(cid:60)(cid:152)(cid:296)(cid:262)(cid:106)(cid:60)(cid:152)(cid:31)(cid:228)(cid:297)(cid:30)(cid:13). 3(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292) (cid:200)(cid:119)(cid:30)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:92)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:93)(cid:93)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:3)(cid:190)(cid:65)(cid:215)(cid:216)(cid:64)(cid:21)(cid:159)(cid:174)(cid:36)(cid:27)(cid:13)(cid:110)(cid:269)(cid:144)(cid:31)(cid:50)(cid:258)(cid:65)(cid:132)(cid:30)(cid:13)(cid:52)(cid:207)(cid:208) (cid:49)(cid:64)(cid:61)(cid:38)(cid:39)(cid:298)(cid:190)(cid:147)(cid:93)(cid:218)(cid:65)(cid:299)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:64)(cid:300)(cid:301)(cid:77)(cid:187)(cid:302). 4(cid:129)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:31)(cid:64)(cid:21)(cid:291)(cid:292) (1)(cid:99)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:303)(cid:304)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:158)(cid:65)(cid:55)(cid:182)(cid:7)(cid:111)(cid:52)(cid:305)(cid:306)(cid:104)(cid:15)(cid:52)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:31)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:149)(cid:114)(cid:16)(cid:65)(cid:234)(cid:172)(cid:311)(cid:27). (2)(cid:99)(cid:30)(cid:190)(cid:13)((cid:312)(cid:313)(cid:149)(cid:93)(cid:72)(cid:190)(cid:13)(cid:217)(cid:138)(cid:13))(cid:50)(cid:51)(cid:65)(cid:307)(cid:161)(cid:111)(cid:307)(cid:314)(cid:182)(cid:31)(cid:308)(cid:309)(cid:315)(cid:260)(cid:76)(cid:65)(cid:70)(cid:316)(cid:234)(cid:311)(cid:27). (cid:22)(cid:50)(cid:258)(cid:283)(cid:284)(cid:49)(cid:317)(cid:269)(cid:28)1(cid:129)(1±i)2=±2i(cid:169) (cid:169) . 2(cid:129) . 3(cid:129) . 4(cid:129)(cid:30)(cid:13)z(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:31)(cid:196)(cid:110) (1)a(cid:319)|z|(cid:319)b(cid:47)(cid:48)(cid:106)(cid:213)(cid:53)O(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)(cid:106)a(cid:204)b(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:71)(cid:253)(cid:191)(cid:320)(cid:31)(cid:253)(cid:321)(cid:169) (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)(cid:47)(cid:48)(cid:106)(a,b)(cid:217)(cid:253)(cid:254)(cid:65)r(cid:217)(cid:255)(cid:256)(cid:31)(cid:253). (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28) (cid:22)(cid:322)1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:323)(cid:324)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) =i( +2i)(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86) A(cid:129)2 B(cid:129) 𝑧 −1C(cid:129)2i 𝑧 D(cid:129) i (cid:22)(cid:114)(cid:111)1-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:327)(cid:328)(cid:329)−(cid:330)1·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +( +i2) i( − )(cid:47)(cid:48)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86) A(cid:129)1 B(cid:129) C𝑧(cid:129)1𝑚(cid:221)−1 𝑚 ⋅D(cid:129)𝑚2∈𝑅 𝑚 (cid:22)(cid:114)(cid:111)1-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:331)(cid:332)(cid:333)−(cid:334)1·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) =i+2i2+−31i3(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86) A(cid:129)2i B(cid:129) i 𝑧 C(cid:129)2 𝑧 D(cid:129) (cid:22)(cid:114)(cid:111)1-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:337)−(cid:338)2·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +6+( −22 )i(cid:87)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:223)(cid:217) (cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑚 −7𝑚 𝑚 −36 𝑚 A(cid:129)±6 B(cid:129)1(cid:221)6 C(cid:129) D(cid:129)1 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28) −6 (cid:22)(cid:322)2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:336)(cid:339)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = i(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 2− 𝑧−𝑧 1 1 1 1 A(cid:129) +i B(cid:129) i C(cid:129) +i D(cid:129) i 2 2 2 2 − − − − (1 i)3 (cid:22)(cid:114)(cid:111)2-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:340)(cid:341)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:65) =(cid:85) (cid:86) ( i)2 + 1− A(cid:129)1+i B(cid:129) i C(cid:129) +i D(cid:129) i 1− −1 i −1− (cid:22)(cid:114)(cid:111)2-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:336)(cid:342)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) =3+i(cid:65)(cid:35) (cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86) 𝑧− 𝑧 𝑧−1 3 3 A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129)3 D(cid:129) 5 5 −3 − (cid:22)(cid:114)(cid:111)2-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:324)(cid:343)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = +5( +1)i(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:70)(cid:137) (cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:65)(cid:35) i5 = i 𝑎+ (cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑎−1 𝑎 𝑎∈𝑅 1−𝑎 A(cid:129)i B(cid:129) i C(cid:129)1 D(cid:129) − −1(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:28) 1 (cid:22)(cid:322)3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:344)(cid:336)(cid:201)(cid:345)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:65)(cid:30)(cid:13) = (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119)(cid:85) (cid:86) 2 i A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:346)(cid:347) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:346) 𝑧 (cid:347) + C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:346)(cid:347) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:346)(cid:347) (cid:22)(cid:114)(cid:111)3-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:238)(cid:348)·(cid:303)(cid:44)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) =( )+( )i( )(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) + (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:201)(cid:31)(cid:99) (cid:195)(cid:53)(cid:31)(cid:139)(cid:349)(cid:147)(cid:85) (cid:86) 𝑧 2−𝑎 2𝑎−1 𝑎∈𝑅 𝑧 𝑎 A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:346)(cid:347)(cid:89) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:346)(cid:347)(cid:89) C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:346)(cid:347)(cid:89) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:346)(cid:347)(cid:89) (cid:22)(cid:114)(cid:111)3-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:350)(cid:351)(cid:344)(cid:352)(cid:352)(cid:353)(cid:354)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89) (cid:45)(cid:53)(cid:191)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:60)(cid:161)(cid:217) i i,3+i(cid:65)(cid:233)(cid:34)(cid:278) (cid:110) (cid:217)(cid:180)(cid:279)(cid:34)(cid:278)(cid:110)(cid:65)(cid:35)(cid:53) (cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:217)(cid:85) (cid:86) 𝐴,𝐵,𝐶 1−,2− 𝐴𝐵A𝐶(cid:129)𝐷2 B(cid:129)2+𝐷i C(cid:129)1 D(cid:129)1+i (cid:22)(cid:114)(cid:111)3-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:80)(cid:81)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = i(cid:65) = i(cid:85) R(cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:129)(cid:233) (cid:65) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181) 1 2 1 2 (cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:53)O(cid:217)(cid:213)(cid:53)(cid:65)𝑧(cid:166) 2− 𝑧 (cid:65)(cid:35)𝑎−2=(cid:85)𝑎 ∈ (cid:86) 𝑧 𝑧 1 2 1 2 A(cid:129)1 𝑍 B𝑍(cid:129)(cid:355)1 𝑂C𝑍(cid:129)⊥4𝑂𝑍 𝑎 D(cid:129)(cid:355)4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:28) (cid:22)(cid:322)4(cid:28)(cid:85)2023·(cid:80)(cid:81)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i3= i( )(cid:65)(cid:35) + (cid:31)(cid:223)(cid:217)(cid:85) (cid:86) A(cid:129) B(cid:129)0 𝑎−𝑏 𝑎,𝑏C∈(cid:129)𝑅1 𝑎 𝑏 D(cid:129)2 −1 i (cid:22)(cid:114)(cid:111)4-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:356)(cid:327)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = i(cid:65) R(cid:65)(cid:35) + =(cid:85) (cid:86) 1 i 𝑥+𝑦 A(cid:129)2 B(cid:129)3 + C(cid:129) 2 4 − 𝑥,𝑦∈ 𝑥 D 𝑦 (cid:129)5 (cid:22)(cid:114)(cid:111)4-2(cid:28)(cid:85)2023·(cid:89)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:209) +i)+ = i(cid:65)(cid:70)(cid:137)a(cid:65)b(cid:87)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:85) (cid:86) A(cid:129) = = B(cid:129) = =1 𝑎(1C(cid:129) =𝑏 −=1 D(cid:129) = = (cid:22)(cid:114)(cid:111)4𝑎-3(cid:28)−(cid:85)1,2𝑏023−·(cid:323)1(cid:341)(cid:361)𝑎(cid:338)·(cid:44)−1(cid:325),𝑏(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)i(cid:217)𝑎(cid:138)(cid:13)1(cid:107),𝑏(cid:139)(cid:65) (cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)𝑎(cid:233)(1,𝑏+ i−)1+2=( i)+ i(cid:65)(cid:35) + =(cid:85) (cid:86) 𝑥,𝑦 𝑥 𝑦 3−4 2𝑦 𝑥 𝑦A(cid:129)2 B(cid:129)3 C(cid:129)4 D(cid:129)5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:44)(cid:28) i (cid:22)(cid:322)5(cid:28)(cid:85)2024·(cid:323)(cid:324)(cid:362)(cid:363)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = (cid:65) (cid:47)(cid:48)z(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86) i 𝑧 1− 𝑧 𝑧 A(cid:129) 2 B(cid:129) 1 C(cid:129) 2 D(cid:129) 2 4 2 2 (cid:22)(cid:114)(cid:111)5-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:340)(cid:324)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = i(cid:65)(cid:35)| i |=(cid:85) (cid:86) 𝑧 3−4 𝑧⋅ −𝑧A(cid:129) 2 B(cid:129)5 C(cid:129)5 2 D(cid:129)7 2 i (cid:22)(cid:114)(cid:111)5-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:336)(cid:342)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) (cid:65)(cid:233) = (cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86) 2i 𝑎+ 𝑎∈𝑅 𝑧 −1 |𝑧| 1 A(cid:129) 2 B(cid:129)2 C(cid:129)1 D(cid:129) 2 (cid:22)(cid:114)(cid:111)5-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:334)(cid:364)(cid:365)(cid:366)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) , , (cid:65)(cid:233) , (cid:296)(cid:159)(cid:248)(cid:249) =1(cid:204) = i|(cid:65) 1 2 1 2 1 2 (cid:35)| |(cid:217)(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 𝑧 ≠𝑧 𝑧 𝑧 |𝑧| |𝑧−1| |𝑧− 1 2 𝑧A−(cid:129)𝑧1 B(cid:129) 3 C(cid:129)2 D(cid:129)2 3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28) (cid:22)(cid:322)6(cid:28)(cid:85)2024·(cid:89)(cid:357)(cid:358)(cid:367)(cid:368)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:7)(cid:111)(cos +i sin =cos +i sin (cid:85)(cid:70)(cid:137)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86) 𝑛 𝑥 ⋅ 𝑥) (𝑛𝑥) ⋅ (𝑛𝑥) 2 (cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81)(cid:13)(cid:11)(cid:372)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:85)1667-1754(cid:86)(cid:373)(cid:127)(cid:31)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:7)(cid:111)(cid:174)(cid:128)(cid:65)(cid:30)(cid:13) cos +i sin (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:191)(cid:99) 3 3 π π (cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119)(cid:85) (cid:86) ⋅ A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:346)(cid:347) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:346)(cid:347) C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:346)(cid:347) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:346)(cid:347) (cid:22)(cid:114)(cid:111)6-1(cid:28)(cid:85)2024·(cid:374)(cid:364)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:7)(cid:111)(cos +isin =cos +isin (cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81) 𝑛 (cid:13)(cid:11)(cid:372)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:85)1667(cid:355)1754(cid:86)(cid:373)(cid:127)(cid:31)(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:7)(cid:111) 𝑥 (cid:174)(cid:128)(cid:65) 𝑥) (cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) 𝑛𝑥 =cos 𝑛2𝑥 +i sin 2 (cid:65)(cid:35) 4(cid:31)(cid:223)(cid:87) 3 3 π π 𝜔 ⋅ 𝜔 (cid:85) (cid:86) 1 A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129) D(cid:129) (cid:22)(cid:114)(cid:111)6 − -2 𝜔 (cid:28)(cid:85)2024·(cid:350)(cid:351)(cid:344)𝜔(cid:353)(cid:354)(cid:375)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) = 𝜔 + i R,i(cid:87)(cid:138)(cid:13)(cid:107) 𝜔 (cid:139))(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:53)(cid:217) (cid:65)(cid:209) =| | (cid:87)(cid:106) (cid:199)(cid:31)(cid:376)(cid:377)(cid:255)(cid:199)(cid:217)(cid:378)(cid:278)(cid:65)(cid:106) (cid:191)(cid:147)𝑧 (cid:31)𝑎(cid:379)(cid:275)𝑏(cid:217)(𝑎(cid:380),𝑏(cid:278)∈(cid:31)(cid:46)(cid:65)(cid:35) = + i= (cos +isin )𝑍(cid:65)(cid:132) 𝑟(cos𝑂+𝑍 ,i𝜃sin )(cid:135)𝑥(cid:136)(cid:30)(cid:13) + i(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:65)𝑂𝑍(cid:243)(cid:27)(cid:30)(cid:13)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:174)(cid:106)(cid:282)(cid:279)𝑧(cid:30)(cid:13)𝑎 (cid:31)𝑏(cid:381)(cid:13)𝑟(cid:36)(cid:37)(cid:65)𝜃 𝜃 𝑟 (co 𝜃 s +isi 𝜃 n )] = ( 𝑎 cos 𝑏 +isin )( N*)(cid:65)(cid:322)(cid:133)(cid:10) 1 + 3i 3 = cos 2 +isin 2 3 =cos2 +isin2 2 2 3 3 𝑛 𝑛 π π [𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝑛𝜃 𝑛4𝜃 𝑛∈ − π π =1(cid:65)(1+i)4= 2 cos +isin =4( + )= (cid:65)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)(cid:10) 3=1+i(cid:65)(cid:35) (cid:174)(cid:309)(cid:177)(cid:223)(cid:217) 4 4 π π (cid:85) (cid:86) cosπ isinπ −4 𝑧 𝑧 𝑧 A(cid:129) 2 cos +isin B(cid:129) 2 cos 3 +isin 3 12 12 4 4 π π π π C(cid:129)6 2 cos 5 +isin 5 D(cid:129)6 2 cos 17 +isin 17 4 4 12 12 π π π π (cid:22)(cid:114)(cid:111)6-3(cid:28)(cid:85)2023·(cid:323)(cid:324)(cid:382)(cid:383)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:176)(cid:40)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13) = + i(cid:160)(cid:174)(cid:106)(cid:47)(cid:48)(cid:142)(cid:45)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:65)(cid:153) + i= (cos +isin )(cid:129)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:104)(cid:15)(cid:87)(cid:200)(cid:258)(cid:81)(cid:13)(cid:11)(cid:372)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:85)166𝑧7(cid:355)𝑎1754𝑏(cid:79)(cid:86)(cid:384)(cid:194)(cid:31)(cid:65)(cid:381)(cid:31)(cid:87)(cid:10)(cid:209)(cid:71)(cid:72)𝑎 (cid:30)𝑏(cid:13) 𝑟= 1 1 (cos 𝜃 +isin 𝜃 )(cid:65) = (cos +isin )(cid:65)(cid:35) = [cos( + )+isin( + )](cid:65)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 𝑧1 + 𝑟3 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 𝜃 𝜃 𝑧 𝑟 𝜃 𝜃 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑧i(cid:65)(cid:35) 2023+ 2+ =(cid:85) (cid:86) A 𝑧 (cid:129) 1 𝑧 𝑧 B(cid:129) 1 + 3i C(cid:129) 1 3i D(cid:129)1 2 2 2 2 2 − (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:13)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28) (cid:22)(cid:322)7(cid:28)(cid:85)2024·(cid:334)(cid:336)(cid:338)(cid:385)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)2+i(cid:87)(cid:162)(cid:190)(cid:13)(cid:50)(cid:51) 2+ =0(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:13)(cid:182)(cid:65)(cid:35) + =(cid:85) (cid:86) A(cid:129) B(cid:129) C(cid:129)1 𝑥 𝑝𝑥−𝑞 D(cid:129)9 𝑝 𝑞 (cid:22)(cid:114)(cid:111)7−-19(cid:28)(cid:85)2024·(cid:350)(cid:351)(cid:344)−(cid:116)1(cid:348)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:147)(cid:30)(cid:13)(cid:386)(cid:387)(cid:89)(cid:50)(cid:51) 2 +2=0(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:182)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) (cid:65)(cid:35) 1 2 | +2 |=(cid:85) (cid:86) 𝑥 −2𝑥 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 A(cid:129)𝑥1 B(cid:129) 5 C(cid:129) 7 D(cid:129) 10 (cid:22)(cid:114)(cid:111)7-2(cid:28)(cid:85)2024·(cid:80)(cid:81)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)1+2i(cid:87)(cid:50)(cid:51) 2+ +5= (cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:182)(cid:65)(cid:35) =(cid:85) (cid:86) A(cid:129)(cid:355)2 B(cid:129)2 C(cid:129)i 𝑥 𝑚𝑥 D0(cid:129)(𝑚(cid:355)∈1𝑅) 𝑚 (cid:22)(cid:114)(cid:111)7-3(cid:28)(cid:85)2024·(cid:388)(cid:344)(cid:389)(cid:390)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:50)(cid:51) 2+i +1=0(cid:85)(cid:70)(cid:137)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:31)(cid:71)(cid:182)(cid:60)(cid:161)(cid:217) (cid:65) 1 (cid:65)(cid:35)(cid:149)(cid:85) (cid:86) 𝑥 𝑥 𝑧 2 𝑧 A(cid:129) 2= 2>0 B(cid:129) + = C(cid:129)|1+ |=|1+ | D(cid:129) 1 2 =i 1 2 1 2 1 2 1 2 𝑧1𝑧2 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 +𝑧 (cid:93)(cid:52)(cid:107)(cid:20)(cid:21) 1(cid:129)(cid:85)2024·(cid:324)(cid:343)(cid:116)(cid:391)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)( i)2(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13) =(cid:85) (cid:86) A(cid:129)0 B(cid:129)1 𝑚− C(cid:129) 𝑚 D(cid:129)±1 2(cid:129)(cid:85)2024·(cid:23)(cid:392)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)| +2i|=| |(cid:65)(cid:35)−1(cid:31)(cid:138)(cid:163)(cid:217)(cid:85) (cid:86) A(cid:129) i B(cid:129)i 𝑧 𝑧 𝑧C(cid:129) 𝑧 D(cid:129)1 − 10i −1 3(cid:129)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:336)(cid:342)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) = (cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86) 3i A(cid:129) 5 B(cid:129) 10 𝑧 1− C(cid:129)5 𝑧 D(cid:129)10 4(cid:129)(cid:85)2024·(cid:388)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13)z(cid:248)(cid:249) +2 =3+i(cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139))(cid:65)(cid:35)z(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:139)(cid:119) (cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 A(cid:129)(cid:83)(cid:93)(cid:346)(cid:347) B(cid:129)(cid:83)(cid:303)(cid:346)(cid:347) C(cid:129)(cid:83)(cid:45)(cid:346)(cid:347) D(cid:129)(cid:83)(cid:34)(cid:346)(cid:347) 5(cid:129)(cid:85)2024·(cid:388)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128) = 3i(cid:65)(cid:35)| 2 |=(cid:85) (cid:86) 2 −1+ 𝑧 𝑧 −1 A(cid:129)1 B(cid:129) 3 C(cid:129)2 D(cid:129) 3 2 6(cid:129)(cid:85)2024·(cid:34)(cid:330)(cid:89)(cid:344)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:233)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249) 2 +4=0(cid:65)(cid:35)| |=(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 −2𝑧 𝑧A(cid:129) 3 B(cid:129)2 C(cid:129) 5 D(cid:129) 2 7(cid:129)(cid:85)2024·(cid:335)(cid:336)(cid:342)(cid:393)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249)( 3 i) i= 3(cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) (cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30)(cid:13) =(cid:85) (cid:86) A(cid:129) 1 3i B(cid:129) 1 + 3i 𝑧 C(cid:129) 3−1 i 𝑧− D(cid:129) 𝑧3+ 1 i 𝑧 2 2 2 2 2 2 2 2 8(cid:129)(cid:85)202 − 4·(cid:34)(cid:330)(cid:394)(cid:338)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:395)(cid:396)(cid:7)(cid:111)ei =cos − +isin (cid:132)(cid:397)(cid:172)(cid:99)(cid:13)(cid:31)(cid:398)(cid:13)e(cid:65)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)i(cid:65)cos (cid:204)sin (cid:298) 𝜃 (cid:190)(cid:147)(cid:93)(cid:218)(cid:65)(cid:399)(cid:60)(cid:140)(cid:127)(cid:76)(cid:13)(cid:11)(cid:31)(cid:204)(cid:400)(cid:401)(cid:65)(cid:402)(cid:403)(cid:217)“(cid:13)(cid:11)𝜃(cid:137)(cid:31)(cid:404)𝜃(cid:405)”.(cid:35)e +1=(cid:85) (cid:86) 𝜃 𝜃 iπ A(cid:129) B(cid:129)0 C(cid:129)1 D(cid:129)i (cid:303)(cid:52)(cid:266)(cid:20)−1(cid:21) 9(cid:129)(cid:85)2024·(cid:344)(cid:406)(cid:293)(cid:407)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:209) , (cid:217)(cid:30)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:175)(cid:408)(cid:269)(cid:286)(cid:409)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86) 1 2 A(cid:129)| |=| || | 𝑧 𝑧 B(cid:129) + = + 1 2 1 2 1 2 1 2 C(cid:129)(cid:233)𝑧|𝑧 |=|𝑧 |(cid:65)𝑧(cid:35) 2= 2 D(cid:129)𝑧“ <𝑧 (cid:410)𝑧(cid:87)“ 𝑧 <0(cid:410)(cid:31)(cid:399)(cid:60)(cid:115)(cid:91)(cid:54)(cid:250)(cid:251) 1 2 1 2 1 2 1 2 10(cid:129)(cid:85)202𝑧4·(cid:323)(cid:324)𝑧(cid:411)(cid:390)·(cid:45)𝑧(cid:44)(cid:86)𝑧(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 +𝑧( +𝑧1)i( 𝑧 −)𝑧(cid:65)(cid:35)(cid:175)(cid:408)(cid:412)(cid:21)(cid:409)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86) A(cid:129)(cid:233) (cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =±1 𝑧 𝑚 −1 𝑚 𝑚∈𝐑 B(cid:129)(cid:233)𝑧(cid:217)(cid:162)(cid:13)(cid:65)(cid:35) =𝑚0 C(cid:129)(cid:233)𝑧(cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)𝑧(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:187)(cid:275) = (cid:201)(cid:65)(cid:35) = D(cid:129) (cid:147)𝑧(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:115)(cid:174)(cid:309)(cid:147)𝑦(cid:83)(cid:45)2(cid:346)𝑥(cid:347) 𝑚 −1 11(cid:129)(cid:85)20𝑧24·(cid:388)(cid:344)(cid:413)(cid:334)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) , (cid:87)(cid:3)(cid:119) (cid:31)(cid:50)(cid:51) 2+ +1= < < R)(cid:31)(cid:71)(cid:182)(cid:65)(cid:175) 1 2 (cid:408)(cid:158)(cid:258)(cid:137)(cid:409)(cid:212)(cid:31)(cid:87)(cid:85) (cid:86) 𝑧 𝑧 𝑥 𝑥 𝑏𝑥 0(−2 𝑏 2,𝑏∈ A(cid:129) = B(cid:129) 1 R C(cid:129)| |=| |=1 D(cid:129)(cid:233) =1(cid:65)(cid:35) 3= 3=1 1 2 1 2 1 2 𝑧2 (cid:45)(cid:52)(cid:108)(cid:109) 𝑧 (cid:21) 𝑧 𝑧 ∈ 𝑧 𝑧 𝑏 𝑧 𝑧 12(cid:129)(cid:85)2024·(cid:334)(cid:364)(cid:414)(cid:415)·(cid:303)(cid:44)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) (cid:248)(cid:249) +2)i= (cid:65)(cid:35)(cid:30)(cid:13) = . 13(cid:129)(cid:85)2024·(cid:201)(cid:416)·(cid:45)(cid:44)(cid:86)(cid:209) = 2 +𝑧( (𝑧)i(cid:85)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)2𝑧(cid:107)−1(cid:139)(cid:86)(cid:65)(cid:233)z𝑧(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:65)(cid:35)(cid:162)(cid:13)m(cid:31)(cid:223)(cid:217) (cid:129) 14(cid:129)(cid:85)2024·(cid:344)(cid:406)(cid:341)(cid:62)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)𝑧 (cid:122)𝑚(cid:86)−(cid:30)1(cid:13) 𝑚−i(cid:49)1 +i(cid:60)(cid:161)(cid:47)(cid:48)(cid:207)(cid:208) (cid:49) (cid:65)(cid:224)(cid:47)(cid:48)(cid:207)(cid:208) (cid:31)(cid:30)(cid:13)(cid:217) (cid:65)(cid:35) = (cid:129) 2−3 −1 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑧 𝑧(cid:34)𝑧(cid:52)(cid:64)(cid:417)(cid:21) 15(cid:129)(cid:85)2024·(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:390)·(cid:93)(cid:44)(cid:86)(cid:162)(cid:13) (cid:177)(cid:421)(cid:227)(cid:223)(cid:159)(cid:65)(cid:30)(cid:13) = +3+ i(cid:87) (1)(cid:162)(cid:13)(cid:422) 𝑚 𝑧 𝑚 (𝑚−3) (2)(cid:138)(cid:13)(cid:422) (3)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:422)16(cid:129)(cid:85)2024·(cid:340)(cid:341)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = 2 2i. 2 + 𝑧 2 (1)(cid:233)(cid:30)(cid:13)( 2 ) (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:45)(cid:346)(cid:347)(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13)m(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:386)(cid:387)(cid:169) (2)(cid:233) 2(cid:65) 2 𝑧+−𝑚2(cid:147)−(cid:30)2(cid:180)𝑚(cid:181)(cid:89)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:60)(cid:161)(cid:217)B(cid:65)C(cid:65)(cid:55)cos (cid:85)(cid:53)O(cid:217)(cid:188)(cid:189)(cid:213)(cid:53)(cid:86). 𝑧 𝑧 𝑧 ∠𝐵𝑂𝐶 17(cid:129)(cid:85)2024·(cid:350)(cid:351)(cid:344)(cid:116)(cid:348)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:30)(cid:13) = i(cid:85) (cid:86)(cid:65)(cid:166) (1+3i)(cid:217)(cid:170)(cid:138)(cid:13)(cid:85) (cid:87) (cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:30) (cid:13)(cid:86). 𝑧 𝑚− 𝑚∈𝑅 𝑧⋅ 𝑧 𝑧 2i (cid:85)1(cid:86)(cid:209)(cid:30)(cid:13) = (cid:65)(cid:55)| |(cid:169) 1 i 1 𝑚+ 𝑧 1− 𝑧 (cid:85)2(cid:86)(cid:30)(cid:13) = i2021 (cid:147)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:99)(cid:195)(cid:31)(cid:53)(cid:147)(cid:83)(cid:93)(cid:346)(cid:347)(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:386)(cid:387). 2 𝑎− 𝑧 𝑧 𝑎 18(cid:129)(cid:85)2024·(cid:201)(cid:416)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:326)(cid:128)(cid:3)(cid:119) (cid:31)(cid:50)(cid:51) 2 =0( )(cid:31)(cid:138)(cid:13)(cid:182)(cid:217) (cid:52) . 1 2 (cid:85)1(cid:86)(cid:55)| |+| |(cid:31)(cid:177)(cid:223)(cid:386)(cid:387)(cid:169) 𝑥 𝑥 −3𝑎𝑥−3𝑎 𝑎∈𝑅 𝑥 𝑥 1 2 (cid:85)2(cid:86)(cid:233)|𝑥 |𝑥=1(cid:65)(cid:55)(cid:162)(cid:13) (cid:31)(cid:223). 1 2 𝑥 −𝑥 𝑎 19(cid:129)(cid:85)2024·(cid:350)(cid:351)(cid:344)(cid:116)(cid:348)·(cid:44)(cid:325)(cid:121)(cid:122)(cid:86)(cid:395)(cid:396)(cid:85)1707-1783(cid:86)(cid:65)(cid:316)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:423)(cid:201)(cid:424)(cid:266)(cid:425)(cid:31)(cid:13)(cid:11)(cid:372)(cid:92)(cid:93)(cid:65)(cid:316)(cid:373)(cid:127)(cid:271)(cid:244) (cid:123)(cid:76)(cid:395)(cid:396)(cid:7)(cid:111)ei =cos +isin (cid:65)(cid:94)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:76)(cid:45)(cid:46)(cid:426)(cid:13)(cid:204)(cid:381)(cid:13)(cid:426)(cid:13)(cid:31)(cid:3)(cid:190)(cid:65)(cid:233)(cid:427)(cid:70)(cid:137)(cid:31) (cid:177)(cid:155) (cid:148)(cid:184)(cid:245)(cid:76)(cid:395)(cid:396) 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 π(cid:428)(cid:43)(cid:111)e +1=0(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:432)(cid:31)(cid:93)(cid:72)(cid:7)(cid:111)(cid:65)(cid:168)(cid:427)(cid:13)(cid:11)(cid:433)(cid:424)(cid:238)(cid:54)(cid:31)(cid:38)(cid:72)(cid:208)(cid:298)(cid:190)(cid:218)(cid:97)(cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:434)(cid:435)(cid:13)——(cid:397)(cid:172) iπ (cid:99)(cid:13)(cid:31)(cid:398)(cid:13)e(cid:65)(cid:253)(cid:436)(cid:437) (cid:65)(cid:71)(cid:72)(cid:107)(cid:139)——(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)i(cid:204)(cid:397)(cid:172)(cid:13)(cid:107)(cid:139)1(cid:65)(cid:106)(cid:69)(cid:402)(cid:237)(cid:217)(cid:430)(cid:164)(cid:438)(cid:116)(cid:373)(cid:127)(cid:92)(cid:93)(cid:31)0(cid:65)(cid:13)(cid:11) (cid:372)(cid:439)(cid:440)(cid:168)(cid:87)“(cid:201)(cid:441)(cid:384)(cid:442)(cid:31)π (cid:7)(cid:111)”(cid:65)(cid:443)(cid:444)(cid:182)(cid:183)(cid:395)(cid:396)(cid:7)(cid:111)(cid:10)ei =cos +isin (cid:65)(cid:64)(cid:300)(cid:106)(cid:175)(cid:290)(cid:21)(cid:10) 𝜃 𝜃 𝜃 (1)(cid:427)(cid:30)(cid:13)e3 i+e (cid:47)(cid:48)(cid:142) + i(cid:85) (cid:65)i(cid:217)(cid:138)(cid:13)(cid:107)(cid:139)(cid:86)(cid:31)(cid:110)(cid:111)(cid:169) π πi (2)(cid:55)|e2 i+e i|( )(cid:31)(cid:424) 𝑎 (cid:116)(cid:223) 𝑏 (cid:169) 𝑎,𝑏∈𝑅 π 𝜃 (3)(cid:233) =1(cid:65)(cid:35)𝜃∈ = 𝑅 ( = )(cid:65)(cid:145)(cid:433) =cos +isin ( = )(cid:65)(cid:237) (cid:217)1(cid:31)(cid:93)(cid:72) (cid:304)(cid:107) 𝑛 2𝑘π 2𝑘π 𝑧 𝑧 𝑧𝑘 𝑘 0,1,2,⋯,𝑛−1 𝑧𝑘 𝑛 𝑛 𝑘 0,1,2,⋯,𝑛−1 𝑧𝑘 𝑛 (cid:139)(cid:182)(cid:65)(cid:120)(cid:237)(cid:107)(cid:139)(cid:182)(cid:129)(cid:164)(cid:101)(cid:194)(cid:50)(cid:261)(cid:7)(cid:111)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:174)(cid:106)(cid:445)(cid:184) 5 =( )( 4+ 3+ 2+ 1+1)(cid:65)(cid:30)(cid:13) =e 2 5 i(cid:65) π ( )= 2+ +2(cid:65)(cid:55) ( ) ( 2) ( 3) ( 4)(cid:31)(cid:223)(cid:129) 𝑥 −1 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑧 𝐻 𝑥 𝑥 𝑥 𝐻 𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 𝑧