专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系八大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

专题 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)........................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:28)................................................................................................5 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15)(cid:28)................................................................................................................................................6 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:53)(cid:31)(cid:46)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................................................7 (cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:28)....................................................................................................................................9 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:28)..............................................................................................................................10 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28)..................................................................................11 1(cid:43)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:25)(cid:40)(cid:65)(cid:66) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:50)(cid:71) (1)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:79)(cid:80) (cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3) (cid:81)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32) 2022(cid:100)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:101)(cid:10)(cid:102)9(cid:21)(cid:77) (cid:63)(cid:104)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:105)(cid:40)(cid:106)(cid:107).(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:100)(cid:32)(cid:24)(cid:25) (cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:77)(cid:84)(cid:85) 5(cid:50) (cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:77)(cid:114)(cid:65)(cid:50)(cid:115)(cid:75)(cid:31)(cid:116)(cid:117)(cid:25)(cid:118)(cid:77)(cid:95) (cid:86)(cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:55)(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:32) 2022(cid:100)(cid:83)(cid:103)(cid:101)(cid:10)(cid:102) 15(cid:21)(cid:77)5 (cid:104)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:67)(cid:120) (cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:32)(cid:49)(cid:87) (cid:50) (cid:56)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:94)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (2)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:94) 2023(cid:100)(cid:83)(cid:103)(cid:101)(cid:10)(cid:102) 15(cid:21)(cid:77)5 (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:46)(cid:21)(cid:122)(cid:124)(cid:125)(cid:20)(cid:126)(cid:21)(cid:43)(cid:127)(cid:51)(cid:21)(cid:32)(cid:128) (cid:95)(cid:91)(cid:49)(cid:15)(cid:77)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:27)(cid:49)(cid:15) (cid:50) (cid:129)(cid:25)(cid:118)(cid:77)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133). (cid:89)(cid:99)(cid:46)(cid:21) (cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28) 1(cid:135)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:33)(cid:136)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:94)2(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:38)(cid:39) (1)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:37)(cid:138)(cid:139)(cid:140) (cid:141)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:10)(cid:142)(cid:143)(cid:78)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31). (cid:148)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)2(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83)(cid:32)(cid:115)(cid:91)(cid:40)(cid:78)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106). (cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:142)(cid:159)(cid:40)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42). (cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)4(cid:10)(cid:30)(cid:117)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117). (2)(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:32)(cid:164)(cid:27) (cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:10)(cid:141)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122)(cid:148)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:155)(cid:156)(cid:122)(cid:154)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:31).(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)2(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:55)(cid:42)(cid:104)(cid:168)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:40)(cid:104)(cid:168)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:122)(cid:148)(cid:27)(cid:55)(cid:42)(cid:169)(cid:170)(cid:30)(cid:31). (cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:122)(cid:148)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:122)(cid:154)(cid:166)(cid:167)(cid:42)(cid:41)(cid:40). (cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)4(cid:10)(cid:141)(cid:56)(cid:121)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:30)(cid:117). (3)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)1(cid:94)2(cid:32)(cid:137)(cid:91)(cid:38)(cid:39) (cid:38)(cid:39) (cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175) (cid:176)(cid:128)(cid:174)(cid:175) (cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175) (cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42) (cid:40)A a a(cid:60)A(cid:41)(cid:31)(cid:136) (cid:38)(cid:39)1 (cid:179)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30) (cid:31). (cid:30)(cid:31)∉ α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95). (cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147) a ∩ b=P a(cid:60)b(cid:41)(cid:31)(cid:136) (cid:38)(cid:39)2 (cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31). (cid:30)(cid:31)α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95). (cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147) (cid:55)(cid:42)a//b (cid:55)(cid:42)a,b(cid:41) (cid:38)(cid:39)3 (cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31). (cid:31)(cid:136)(cid:30)(cid:31)α,(cid:146)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:95). 2(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:15) (1)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:10)(cid:149)(cid:150)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:183)(cid:98)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:184)(cid:162)(cid:185). (2)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:10)(cid:149)(cid:176)(1)(2)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:186)AOB(cid:60)(cid:186)A'O'B'(cid:59)(cid:77)OA(cid:187)O'A'(cid:77)OB(cid:187)O'B'(cid:77)(cid:188)(cid:186)AOB=(cid:186)A'O'B' (cid:184)(cid:186)AOB+(cid:186)A'O'B'= . (cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)2 (cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:166)(cid:167)(cid:75)(cid:189)(cid:28) 1(cid:135)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:166)(cid:167) (1)(cid:166)(cid:167)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:189)(cid:10)(cid:190)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:173)(cid:191)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:193)(cid:32)(cid:42)((cid:184)(cid:40))(cid:78)(cid:153)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106). (2)(cid:166)(cid:167)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:75)(cid:189)(cid:10)(cid:190)(cid:194)(cid:115)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:195)(cid:196)(cid:40)(cid:197)(cid:78)(cid:153)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:83). (3)(cid:166)(cid:167)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:32)(cid:124)(cid:27)(cid:75)(cid:189)(cid:104)(cid:10)(cid:190)(cid:166)(cid:138)(cid:59)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)(cid:77)(cid:192)(cid:166)(cid:138)(cid:195)(cid:55)(cid:42)(cid:178)(cid:142)(cid:159)(cid:40). (cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)3 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28) 1(cid:135)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21) (cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:115)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:200)?(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:200)? (1)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:115)(cid:201)(cid:70)(cid:128)(cid:10) (cid:141)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:137)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(1)(cid:122) (cid:148)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:90)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(2).(2)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:204)(cid:201)(cid:70)(cid:128)(cid:10) (cid:141)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:90)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)8(1)(cid:122) (cid:148)(cid:202)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:102)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:163)(cid:171)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:205)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(2)(cid:122) (cid:154)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:205)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(3)(cid:122) (cid:160)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:161)(cid:95)(cid:40)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:206)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(4)(cid:122) (cid:207)(cid:202)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:146)(cid:137)(cid:144)(cid:171)(cid:42)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:203)(cid:77)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:208)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(5). (cid:22)(cid:134)(cid:81)(cid:40)4 (cid:51)(cid:52)(cid:40)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28) 1(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (1)(cid:137)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:209)(cid:158)(cid:210)(cid:143)(cid:161)(cid:78)(cid:211)(cid:212)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:32)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:213)(cid:214)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42).(cid:136)(cid:104)(cid:77)(cid:51)(cid:52)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:137)(cid:201)(cid:10) (2)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:216)(cid:189) (cid:217)(cid:88)(cid:139)(cid:140)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)a,b(cid:143)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:218)(cid:40)(cid:77)(cid:164)(cid:176)(cid:203)(cid:77)(cid:219)(cid:124)(cid:27)(cid:95)(cid:91)(cid:184)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:220)(cid:221)(cid:77)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140). 2(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:137)(cid:201)(cid:77)(cid:222)(cid:76)(cid:149)(cid:223)(cid:10) (cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140) (cid:177)(cid:9)(cid:139)(cid:140) (cid:7)(cid:41)(cid:40) (cid:55)(cid:42)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:106) (cid:145)(cid:224)(cid:13)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40) (cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171) (cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117) (cid:225)(cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40) 3(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (1)(cid:115)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:52)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:125)(cid:223)(cid:115)(cid:201)(cid:77)(cid:222)(cid:76)(cid:149)(cid:223)(cid:10) (cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:176)(cid:128)(cid:139)(cid:140) (cid:177)(cid:9)(cid:139)(cid:140) (cid:7)(cid:41)(cid:40) (cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:117) (cid:225)(cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40) (cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:171) (cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42) (2)(cid:115)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63) (cid:30)(cid:117)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:216)(cid:189)(cid:226)(cid:227) (cid:216)(cid:115)(cid:91)(cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:203)(cid:77)(cid:65)(cid:4)(cid:228)(cid:229)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:117)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:32)(cid:183)(cid:98)(cid:181)(cid:30)(cid:117). 4(cid:135)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48) (1)(cid:49)(cid:87)(cid:10)(cid:230)(cid:134)a(cid:77)b(cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:178)(cid:142)(cid:51)(cid:52)(cid:211)(cid:228)(cid:95)(cid:40)O(cid:164)(cid:55)(cid:42)a'//a(cid:77)b'//b(cid:77)(cid:210)a'(cid:60)b'(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:213)(cid:214) (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)a(cid:60)b(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)((cid:184)(cid:231)(cid:48)). (2)(cid:232)(cid:233)(cid:10) . (cid:22)(cid:75)(cid:189)(cid:226)(cid:227)(cid:60)(cid:234)(cid:235)(cid:28) 1(cid:135)(cid:166)(cid:167)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:60)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:197)(cid:236)(cid:27)(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)3. 2(cid:135)(cid:115)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:238)(cid:235)(cid:237)(cid:95)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:106)(cid:48)(cid:203)(cid:77)(cid:107)(cid:133)(cid:239)(cid:240)(cid:153)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:32)(cid:106)(cid:48)(cid:241)(cid:97)(cid:47)(cid:136)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:57) (cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:77)(cid:242)(cid:241)(cid:97)(cid:47)(cid:136)(cid:138)(cid:185)(cid:48). (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28) (cid:22)(cid:243)1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:250)(cid:86)(cid:223)(cid:251)(cid:90)(cid:91)(cid:235)(cid:39)(cid:10) (cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122) ①(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122) ②(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:122) ③(cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31). (cid:138)④(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:235)(cid:39)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:217)(cid:44) (cid:45)A(cid:135)1 B(cid:135)2 C(cid:135)3 D(cid:135)4 (cid:22)(cid:253)(cid:129)1-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:254)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:137)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) C(cid:135)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) D(cid:135)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:165)(cid:49)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) (cid:22)(cid:253)(cid:129)1-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:137)(cid:223)·(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:167)·(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:264) = (cid:77) (cid:146) (cid:77)(cid:188) 𝛼 𝛽 B(cid:135)(cid:264)𝛼A(cid:77)∩𝛽B(cid:77)C𝑙 (cid:104)𝐴(cid:30)∈(cid:31)𝛼 (cid:106)𝐴(cid:143)∈𝛽(cid:41)(cid:42)(cid:137)𝐴(cid:40)∈(cid:77)𝑙 (cid:77) (cid:77)(cid:188) C(cid:135)(cid:264)(cid:55)(cid:42) (cid:77)(cid:55)(cid:42)𝛼 (cid:77)(cid:188)a(cid:60)b(cid:217)𝐴(cid:54)∈(cid:31)𝛽 (cid:55)𝐵(cid:42)∈𝛽 𝐶∉𝛽 D(cid:135)(cid:264)A(cid:77)B𝑎(cid:104)⊂𝛼(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)𝑏(cid:32)⊂(cid:40)𝛽(cid:77) (cid:146) (cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:22)(cid:253)(cid:129)1-3(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:265)(cid:256)(cid:266)𝐴(cid:267)∈·(cid:258)𝛼(cid:259)𝐵(cid:260)∈(cid:261)𝛼(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)𝐴𝐵(cid:252)⊂(cid:165)𝛼(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:142)(cid:137)(cid:91)(cid:40)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:197)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:143)(cid:95)(cid:49)(cid:41)(cid:31) C(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128)(cid:217)(cid:30)(cid:31)(cid:176)(cid:128) D(cid:135)(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:7)(cid:41)(cid:40)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:144)(cid:142)(cid:159)(cid:40)(cid:32)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:42) (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:42)(cid:41)(cid:40)(cid:46)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:243)2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:268)(cid:269)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)(cid:55)(cid:42) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:171)(cid:40)(cid:217) (cid:217)(cid:42)(cid:259) 1 1 1 1 1 1 1 (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:235)(cid:39)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45)𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝑀,𝑂 1 1 𝐵 𝐷A(cid:135) (cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42) B(cid:135) (cid:90)(cid:40)(cid:54)(cid:143)(cid:41)(cid:31) 1 C(cid:135)𝐴,𝑀,𝑂 (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) D(cid:135)𝑀,𝑂,𝐴 ,𝐵(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) 1 1 (cid:22)(cid:253)(cid:129)2𝐵-1,𝐵(cid:28),(cid:44)𝑂,𝑀23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:270)(cid:271)·(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:45)(cid:223)(cid:251)𝐵(cid:20),𝐷(cid:272),𝐶(cid:59),𝑀(cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:104)(cid:57)(cid:78)(cid:273)(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:153)(cid:90)(cid:91)(cid:40) (cid:143)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135)(cid:22)(cid:253)(cid:129)2-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:155)(cid:274)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:77)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:181)(cid:128)ABCD(cid:59)(cid:77)E(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:217)AB(cid:77)AD(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) , (cid:50) (cid:182)(cid:78) (cid:77)CD(cid:83)(cid:77)(cid:146) : = : =1:2.(cid:188)(cid:223)(cid:31)(cid:110)(cid:91)(cid:254)(cid:189)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:91)(cid:13)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝐺𝐻 𝐵𝐶 𝐵𝐺𝐺𝐶 𝐷𝐻𝐻𝐶 E(cid:77)F(cid:77)G(cid:77)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122) // (cid:264)(cid:55)(cid:42)EG(cid:60)(cid:55)(cid:42)FH(cid:171)(cid:136)(cid:40)P(cid:77)(cid:188)P(cid:77)A(cid:77)C(cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:135) ① A(cid:135)0 B(cid:135)1②𝐸𝐺 𝐹𝐻;③ C(cid:135)2 D(cid:135)3 (cid:22)(cid:253)(cid:129)2-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:275)(cid:256)(cid:276)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:137)(cid:273)(cid:277) (cid:59)(cid:77) (cid:77) = = (cid:77)E(cid:43) 1 1 1 1 F(cid:43)G(cid:43)H(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:43) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:254)(cid:189)𝐴𝐵(cid:59)𝐶−(cid:262)𝐴(cid:263)𝐵(cid:32)𝐶(cid:104)(cid:44) 𝐴(cid:45)𝐶⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐴 1 1 𝐴𝐵 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐶 A(cid:135) 1 B(cid:135)E𝐴(cid:43)𝐶F⊥(cid:43)𝐺G𝐻(cid:43)H(cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) C(cid:135)(cid:278) =2(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:137)(cid:273)(cid:277)(cid:57)(cid:279)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:280)(cid:74)(cid:217)1+ 3+2 5 1 D(cid:135) 𝐵(cid:43)𝐶 (cid:43) (cid:137)(cid:42)𝐸(cid:41)𝐹𝐶(cid:40) 1 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3𝐸 𝐹(cid:47)(cid:48)𝐺𝐻(cid:49)(cid:15)𝐴𝐴(cid:28) (cid:22)(cid:243)3(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:281)(cid:191)(cid:164)(cid:282)(cid:45)(cid:250)(cid:86)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:10) (cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:60)(cid:283)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:122) ①(cid:149)(cid:150)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:283)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:50)(cid:182)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:284)(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:285)(cid:48)((cid:184)(cid:55)(cid:48))(cid:163)(cid:47)(cid:122) ②(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:94)(cid:283)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:32)(cid:115)(cid:181)(cid:50)(cid:182)(cid:286)(cid:55)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47)(cid:184)(cid:162)(cid:185)(cid:135) ③(cid:138)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:119)(cid:21)(cid:145)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)0(cid:91) B(cid:135)1(cid:91) C(cid:135)2(cid:91) D(cid:135)3(cid:91) (cid:22)(cid:253)(cid:129)3-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:244)(cid:245)·(cid:281)(cid:191)(cid:164)(cid:282)(cid:45)(cid:230)(cid:134) // (cid:77) // (cid:77) =30°(cid:77)(cid:188) =(cid:44) (cid:45) A(cid:135)30° B(cid:135)3𝐴0𝐵°(cid:184)1𝑃5𝑄0° 𝐵𝐶 𝑄𝑅 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅C(cid:135)150° D(cid:135)30°(cid:184)120° (cid:22)(cid:253)(cid:129)3-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:281)(cid:287)(cid:248)(cid:261)(cid:45)(cid:78)(cid:137)(cid:273)(cid:288)P(cid:289)ABC(cid:59)(cid:77)PB BC(cid:77)E(cid:77)D(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:104)AB(cid:77)PA(cid:77)AC (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188) DEF(cid:290)(cid:44) (cid:45) ⊥ A(cid:135)30°∠ B(cid:135)45° C(cid:135)60° D(cid:135)90° (cid:22)(cid:253)(cid:129)3-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:115)(cid:91)(cid:137)(cid:48)(cid:128)(cid:143)(cid:78)(cid:161)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:77)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:181)(cid:115)(cid:115)(cid:183)(cid:98)(cid:30)(cid:117)(cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:115)(cid:91)(cid:137) (cid:48)(cid:128)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:244)(cid:47) B(cid:135)(cid:163)(cid:291) C(cid:135)(cid:292)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:48)(cid:163)(cid:47) D(cid:135)(cid:224)(cid:189)(cid:56)(cid:121) (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:243)4(cid:28)(cid:44)2023·(cid:293)(cid:294)(cid:293)(cid:295)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:162)(cid:163)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58) (cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:188) (cid:143)(cid:241)(cid:97)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)4 B(cid:135)5 C(cid:135)6 D(cid:135)7𝑛 𝑛 (cid:22)(cid:253)(cid:129)4-1(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:123)(cid:83)·(cid:90)(cid:275)(cid:296)(cid:297)·(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)7(cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:32)(cid:140)(cid:228)(cid:176)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135) (cid:22)(cid:253)(cid:129)4-2(cid:28)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:298)(cid:270)·(cid:299)(cid:300)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:32)4(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:301)(cid:302)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:44) (cid:45)(cid:91)(cid:303)(cid:304)(cid:135) A(cid:135)13 B(cid:135)14 C(cid:135)15 D(cid:135)16 (cid:22)(cid:253)(cid:129)4-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:275)(cid:106)(cid:270)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:162)(cid:163)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58) (cid:91)(cid:199)(cid:50)(cid:77)(cid:188) (cid:32)(cid:301)(cid:305)(cid:306)(cid:60)(cid:301)(cid:307)(cid:306)(cid:64) (cid:94)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝑛 𝑛 A(cid:135)11 B(cid:135)12 C(cid:135)13 D(cid:135)14 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:53)(cid:31)(cid:46)(cid:21)(cid:28) (cid:22)(cid:243)5(cid:28)(cid:44)2023·(cid:90)(cid:275)(cid:256)(cid:276)·(cid:95)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:273)(cid:74)(cid:217)2(cid:77)E(cid:77)F(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) 1 1 1 1 1 (cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:279)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:31)(cid:308)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐶 𝐴𝐸𝐹3 9 A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135)9 D(cid:135)18 2 2 (cid:22)(cid:253)(cid:129)5-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:273)(cid:74)(cid:217)2(cid:32)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)E(cid:217)(cid:273)BC(cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) 1 1 1 1 (cid:27)(cid:142)(cid:40) (cid:77)E(cid:77) (cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:188)(cid:53)(cid:31)(cid:280)(cid:74)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 1 𝐴 𝐶 A(cid:135)3 2+2 5 B(cid:135)9 C(cid:135)2 2+2 5 D(cid:135)3 2+2 3 (cid:22)(cid:253)(cid:129)5-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)(cid:309)(cid:310)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:230)(cid:134) , (cid:50)(cid:182)(cid:104)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:273) (cid:94) (cid:32) 1 1 1 1 1 1 (cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:194)(cid:40) , (cid:165)(cid:49)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:279)(cid:53)(cid:31)𝑃(cid:217)𝑄,(cid:44)𝑅 (cid:311)(cid:311)(cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵,𝐵𝐶 𝐶 𝐷 𝑃𝑄,𝑅 𝛽 A(cid:135)(cid:137)(cid:48)(cid:128) B(cid:135)(cid:90)(cid:181)(cid:128) C(cid:135)(cid:204)(cid:181)(cid:128) D(cid:135)(cid:205)(cid:181)(cid:128) (cid:22)(cid:253)(cid:129)5-3(cid:28)(cid:44)2023·(cid:312)(cid:313)(cid:94)(cid:30)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:32)(cid:273)(cid:74)(cid:217)6(cid:77)(cid:40) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:78)(cid:273) (cid:77) 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:83)(cid:77)(cid:146)(cid:314)(cid:315) 1 = 1 = 1 (cid:77)(cid:40) (cid:217)(cid:316)(cid:31) (cid:32)(cid:59) 𝐴 (cid:317) 𝐵 (cid:77) 𝐶𝐷 (cid:142) − (cid:40) 𝐴 𝐵 (cid:77) 𝐶 (cid:77) 𝐷 (cid:164)(cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:188) 𝐸 (cid:30) 𝐹 (cid:31) (cid:53)(cid:252) 𝐷 (cid:75) 𝐴 (cid:76) 𝐷 𝐶 𝐷1𝐸1 𝐷1𝐹1 3 𝐷 𝐴 𝐷 𝐶 𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝑂 𝐸𝐹𝑂 𝐸𝐹𝑂 (cid:57)(cid:279)(cid:32)(cid:53)(cid:31)(cid:31)(cid:308)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶A𝐷(cid:135)−𝐴8 𝐵22𝐶 𝐷 B(cid:135)6 22 C(cid:135)4 22 D(cid:135)2 22(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:56)(cid:49)(cid:28) (cid:22)(cid:243)6(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:223)(cid:176)(cid:77) (cid:104)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:31)(cid:183)(cid:48)(cid:42) (cid:83)(cid:32)(cid:318)(cid:40)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77) 1 1 1 1 1 1 (cid:319)(cid:320)(cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐶 𝐵𝑃 A(cid:135)(cid:55)(cid:42) B(cid:135)(cid:55)(cid:42) C(cid:135)(cid:55)(cid:42) D(cid:135)(cid:55)(cid:42) 1 1 1 (cid:22)(cid:253)(cid:129)6-1(cid:28)𝐷(cid:44)𝐷23-24(cid:24)(cid:95)(cid:223)·(cid:265)(cid:321)𝐵·𝐶(cid:299)(cid:59)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:153)(cid:104)(cid:95)𝐴(cid:91)𝐷(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:322)(cid:323)(cid:176)𝐴(cid:77)𝐶(cid:264)(cid:198)(cid:138)(cid:324)(cid:325)(cid:58)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:223)(cid:251) (cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77)(cid:60)(cid:55)(cid:42) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐷 A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135) (cid:22)(cid:253)(cid:129)6𝐹-2𝐺(cid:28)(cid:44)2024·(cid:297)(cid:294)(cid:326)𝐸(cid:327)𝐻·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:11)(cid:328)(cid:329)(cid:330)𝐸𝐹(cid:281)(cid:83)(cid:161)(cid:11)(cid:158)(cid:50)(cid:284)(cid:331)(cid:332)(cid:252)𝐵𝐶(cid:75)(cid:76)(cid:32)(cid:139)(cid:31)(cid:322)(cid:323)(cid:176)(cid:135)(cid:333)(cid:305)(cid:284)(cid:279)(cid:237) (cid:88)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:139)(cid:31)(cid:322)(cid:323)(cid:176)(cid:77)(cid:188)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77) (cid:43) (cid:43) (cid:43) (cid:153)(cid:90)(cid:144)(cid:42)(cid:259)(cid:57)(cid:78)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:59)(cid:77)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)(cid:145)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐺𝐻 A(cid:135)1(cid:183) B(cid:135)3(cid:183) C(cid:135)5(cid:183) D(cid:135)2(cid:183) (cid:22)(cid:253)(cid:129)6-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:90)(cid:275)(cid:334)(cid:335)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:90)(cid:273)(cid:288) (cid:57)(cid:145)(cid:273)(cid:74)(cid:197)(cid:163)(cid:47)(cid:77) (cid:43) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:43) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:223)(cid:251) (cid:254)(cid:189)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝑁 𝑃𝐴 𝐶𝐷A(cid:135) (cid:60) (cid:104)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) B(cid:135) //(cid:30)(cid:31) C(cid:135)𝑀𝑁//𝑃𝐷 D(cid:135)𝑀𝑁 𝑃𝐵𝐶 (cid:22)(cid:21)(cid:29)7𝑀 𝑁(cid:54)(cid:31)𝐴𝐶(cid:55)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:28) 𝑀𝑁⊥𝑃𝐵 (cid:22)(cid:243)7(cid:28)(cid:44)2024·(cid:23)(cid:336)(cid:337)(cid:338)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:316)(cid:31)(cid:181)(cid:74)(cid:217)2(cid:32)(cid:252)(cid:90)(cid:273)(cid:277) (cid:32)(cid:76)(cid:308)(cid:217)16(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60) 1 1 1 1 (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:339)(cid:306)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐶 1 𝐴 𝐵 A(cid:135)2 5 B(cid:135) 5 C(cid:135) 10 D(cid:135)3 10 5 5 10 10 (cid:22)(cid:253)(cid:129)7-1(cid:28)(cid:44)2024·(cid:255)(cid:256)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77)E(cid:43)F(cid:43)M(cid:43)N(cid:50)(cid:182)(cid:104) 、 、 、 1 1 1 1 1 1 1 (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)EF(cid:60)MN(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:307)(cid:305)(cid:217)𝐴𝐵(cid:44)𝐶 𝐷 −(cid:45)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷𝐷 𝐷 𝐶 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐵 A(cid:135) B(cid:135) C(cid:135) D(cid:135) 6 4 3 2 π π π π (cid:22)(cid:253)(cid:129)7-2(cid:28)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:341)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:55)(cid:137)(cid:273)(cid:277) (cid:59)(cid:77) = = =45°(cid:77)P 1 1 1 1 (cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐷−𝐴 𝐵 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 ,∠𝐴𝐵𝐷 1 1 1 𝐵 𝐷 𝑃𝐵 𝐴𝐷 A(cid:135)30° B(cid:135)45° C(cid:135)60° D(cid:135)90° (cid:22)(cid:253)(cid:129)7-3(cid:28)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:341)(cid:266)(cid:342)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:252)(cid:137)(cid:273)(cid:277) (cid:59)(cid:77) = (cid:77)(cid:40) (cid:104)(cid:42)(cid:259) (cid:83) 1 1 1 1 1 (cid:343)(cid:109) (cid:32)(cid:137)(cid:47)(cid:50)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:339)(cid:306)(cid:217)(cid:44) 𝐴 (cid:45)𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐴𝐵 𝐷 𝐴 𝐴 1 1 1 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶A(cid:135) 5 B(cid:135) 10 C(cid:135) 10 D(cid:135) 5 10 10 20 20 (cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:55)(cid:42)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:3)(cid:63)(cid:28) (cid:22)(cid:243)8(cid:28)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)(cid:74)(cid:344)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:55)(cid:42) (cid:94)(cid:30)(cid:31) (cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:56)(cid:121)(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:264) // // (cid:77)(cid:188) // 𝑎,𝑏B(cid:135)(cid:264)𝛼// // (cid:77)(cid:188) // C(cid:135)(cid:264)𝑎//𝛼,𝑏 𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎 𝑏 D(cid:135)(cid:264)𝑎 𝑏,𝑏//𝛼(cid:77)(cid:188)𝑎 𝛼 (cid:22)(cid:253)(cid:129)8-1𝑎(cid:28)(cid:44)𝛼2,𝑏0⊥24𝛼·(cid:298)(cid:270)(cid:345)𝑎⊥(cid:346)𝑏·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:278)m(cid:77)n(cid:104)(cid:115)(cid:144)𝑎(cid:143)⊥(cid:161)𝑏,𝑏(cid:32)(cid:55)𝛼(cid:42)(cid:77)α𝑎(cid:77)⊥β𝛼(cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:59) (cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:264) (cid:77) (cid:77)(cid:188) B(cid:135)(cid:264)𝛼⊥𝛽(cid:77)𝑚∥𝛼 (cid:77) 𝑚⊥(cid:77)𝛽(cid:188) C(cid:135)(cid:264)𝑚⊥𝛽(cid:77)𝑚⊥𝛼(cid:77)𝑛∥𝛼(cid:77)(cid:188)𝑛∥𝛽 D(cid:135)(cid:264)𝑚⊥𝛼=𝑛⊥(cid:77)𝛽 𝑚(cid:77)∥𝑛 (cid:77)𝛼(cid:188)⊥𝛽 (cid:22)(cid:253)(cid:129)8-2𝛼(cid:28)∩(cid:44)𝛽202𝑚4·(cid:265)𝑛(cid:256)∥·(cid:137)𝛼 (cid:246)𝑛(cid:45)∥(cid:230)𝛽(cid:134) 𝑚(cid:217)∥𝑛(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:217)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:217)(cid:67)(cid:119)(cid:21)(cid:32) (cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑚,𝑛 𝛼,𝛽 A(cid:135)(cid:264) (cid:77) (cid:77) // (cid:77) // (cid:77)(cid:188) // B(cid:135)(cid:264)𝑚/⊂/𝛼(cid:77)𝑛⊂𝛼(cid:77)(cid:188)𝑚 /𝛽/ 𝑛 𝛽 𝛼 𝛽 C(cid:135)(cid:264)𝑚//𝛼(cid:77)𝑛⊂𝛼(cid:77) 𝑚 (cid:77)𝑛(cid:188) // D(cid:135)(cid:264)𝑛//𝑚(cid:77)𝑚⊄𝛼 (cid:77)𝑛⊂𝛼 (cid:77)(cid:188)𝑚 //𝛼 (cid:22)(cid:253)(cid:129)8-3𝛼(cid:28)(cid:44)𝛽202𝑚4·⊂(cid:347)𝛼(cid:256)(cid:348)𝑛(cid:267)⊂·𝛽(cid:246)(cid:247)(cid:248)𝑚(cid:249)(cid:45)𝑛(cid:230)(cid:134) (cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:104)(cid:137)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31).(cid:223)(cid:251)(cid:254)(cid:189) ､ ､ ､ (cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝑚 𝑛 𝛼 𝛽 𝛾 A(cid:135)(cid:264) (cid:77)(cid:188) B(cid:135)(cid:264)𝑚 ∥ 𝛼,𝑚 ∥ 𝛽(cid:77)(cid:188) 𝛼 ∥ 𝛽 C(cid:135)(cid:264)𝑚 ∥ 𝛼,𝑛 (cid:77)∥ (cid:188)𝛼 𝑚 ∥ 𝑛 D(cid:135)(cid:264)𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾 𝛼 ∥(cid:77)𝛾(cid:188) 𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝛽,𝛼 ∥ 𝛾 𝛽 ∥ 𝛾(cid:95)(cid:43)(cid:349)(cid:20)(cid:21) 1(cid:135)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:341)(cid:350)(cid:351)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:104)(cid:67)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:301)(cid:302)(cid:241)(cid:165)(cid:49)1(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:301)(cid:302)(cid:241)(cid:165)(cid:49)2(cid:91)(cid:30)(cid:31) C(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:301)(cid:302)(cid:241)(cid:165)(cid:49)3(cid:91)(cid:30)(cid:31) D(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:301)(cid:302)(cid:241)(cid:165)(cid:49)4(cid:91)(cid:30)(cid:31) 2(cid:135)(cid:44)2024·(cid:83)(cid:103)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:59)(cid:77)“a(cid:43)b(cid:217)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)”(cid:104)“a(cid:43)b(cid:143)(cid:163)(cid:171)”(cid:32)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:276)(cid:50)(cid:352)(cid:353)(cid:65)(cid:144)(cid:354) B(cid:135)(cid:353)(cid:65)(cid:352)(cid:276)(cid:50)(cid:144)(cid:354) C(cid:135)(cid:276)(cid:65)(cid:144)(cid:354) D(cid:135)(cid:355)(cid:352)(cid:276)(cid:50)(cid:356)(cid:352)(cid:353)(cid:65)(cid:144)(cid:354) 3(cid:135)(cid:44)2024(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:26)(cid:21)(cid:260)(cid:261)(cid:45)(cid:30)(cid:31)α(cid:77)β(cid:77)γ(cid:143)(cid:97)(cid:198)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:58)(cid:44)(cid:311)(cid:311)(cid:45) A(cid:135)5(cid:199)(cid:50) B(cid:135)6(cid:199)(cid:50) C(cid:135)7(cid:199)(cid:50) D(cid:135)8(cid:199)(cid:50) 4(cid:135)(cid:44)2024·(cid:340)(cid:341)(cid:357)(cid:275)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:254)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:264)(cid:55)(cid:42) (cid:115)(cid:115)(cid:163)(cid:171)(cid:77)(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:41)(cid:31) B(cid:135)(cid:264)(cid:55)(cid:42)𝑙,𝑚(cid:60),𝑛(cid:30)(cid:31) (cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:48)(cid:163)(cid:47)𝑙,𝑚(cid:77),𝑛(cid:188)(cid:55)(cid:42) (cid:162)(cid:163)(cid:30)(cid:117) C(cid:135)(cid:264)(cid:30)(cid:31)𝑙,𝑚(cid:83)(cid:145)(cid:137)(cid:91)𝛼(cid:143)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:237)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:358)𝑙(cid:359),𝑚(cid:163)(cid:47)(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:30)(cid:117) D(cid:135)(cid:264)(cid:143)(cid:41)𝛼(cid:31)(cid:32)4(cid:91)(cid:40)(cid:237)(cid:30)(cid:31) (cid:32)(cid:358)(cid:359)(cid:163)𝛽(cid:47)(cid:77)(cid:188)(cid:153)(cid:360)(cid:32)(cid:30)(cid:31) (cid:145)𝛼(cid:146)(cid:147)(cid:145)7𝛽(cid:91) 5(cid:135)(cid:44)2024·(cid:106)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:94)(cid:364)(cid:218)·(cid:123)(cid:246)𝛼(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:230)(cid:134)(cid:252)(cid:90)(cid:273)(cid:288) 𝛼 (cid:32)(cid:57)(cid:145)(cid:273)(cid:74)(cid:365)(cid:163)(cid:47)(cid:77) (cid:217)(cid:273) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188) (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)(cid:339)(cid:306)(cid:217)(cid:44) (cid:45) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝑃𝐴 𝐵𝐸 𝑃𝐶 A(cid:135) 6 B(cid:135) 6 C(cid:135) 3 D(cid:135) 3 3 3 3 3 − − 6(cid:135)(cid:44)2024·(cid:344)(cid:366)(cid:367)(cid:275)·(cid:137)(cid:246)(cid:45) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:40)(cid:77) (cid:217)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:38)(cid:15)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135) 𝐴,𝐵 𝛼,𝛽 B(cid:135)𝐴∈𝑙,𝐴∈𝛼,𝐵∈𝑙,𝐵∈𝛼⇒𝑙⊂𝛼 = C(cid:135)𝐴∈𝛼,𝐴∈𝛽,𝐵∈𝛼,𝐵∈𝛽⇒𝛼∩𝛽 𝐴𝐵 D(cid:135)𝑙⊄𝛼,𝐴∈𝑙⇒𝐴∉𝛼 𝐴∈𝑙,𝑙⊂𝛼⇒𝐴∈𝛼7(cid:135)(cid:44)2024·(cid:347)(cid:256)·(cid:123)(cid:246)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:137)(cid:273)(cid:277) (cid:59)(cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) , , (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:254)(cid:189)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 𝐵𝐵 ,𝐶𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 A(cid:135) (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31) B(cid:135) // C(cid:135)𝐸,𝐹,𝐺,𝐻 (cid:137)(cid:42)(cid:41)(cid:40) D(cid:135)𝐸𝐹 𝐺𝐻= 1 1 1 8(cid:135)(cid:44)20𝐸2𝐺4,·𝐹(cid:340)𝐻(cid:341),𝐴𝐴(cid:357)(cid:275)·(cid:137)(cid:246)(cid:45)(cid:78)(cid:252)(cid:75)(cid:76) ∠𝐸𝐺𝐵(cid:59)(cid:77)∠𝐹𝐻𝐶(cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:264) =4(cid:77)(cid:188)(cid:30) 1 1 1 1 1 (cid:31) (cid:53)(cid:252)(cid:75)(cid:76)(cid:57)(cid:279)(cid:53)(cid:31)(cid:32)(cid:31)(cid:308)(cid:217)(cid:44) 𝐴 𝐵(cid:45)𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸,𝐹,𝐺 𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐷𝐷 𝐴𝐵 𝐸A𝐹(cid:135)𝐺 6 2 B(cid:135)6 3 C(cid:135)12 2 D(cid:135)12 3 (cid:123)(cid:43)(cid:302)(cid:20)(cid:21) 9(cid:135)(cid:44)2024·(cid:268)(cid:269)(cid:74)(cid:368)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:223)(cid:251)(cid:33)(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:369)(cid:370)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:163)(cid:171)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) B(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:115)(cid:144)(cid:30)(cid:117)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) C(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:137)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) D(cid:135)(cid:178)(cid:142)(cid:95)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:40)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:145)(cid:95)(cid:91)(cid:30)(cid:31) 10(cid:135)(cid:44)2024·(cid:270)(cid:271)(cid:256)(cid:219)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:144)(cid:55)(cid:42)(cid:77) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:77)(cid:223)(cid:251)(cid:235)(cid:39)(cid:143)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)(cid:44) (cid:45) A(cid:135)(cid:264) (cid:77)(cid:188) 𝑎 𝑏 𝛼,𝛽 B(cid:135)(cid:264)𝛼∥𝛽,𝑎∥𝛼,𝑏∥𝛽 (cid:77)(cid:188)𝑎∥𝑏 C(cid:135)(cid:264)𝛼⊥𝛽,𝑎⊥𝛼,𝑏⊥𝛽 𝑎(cid:77)⊥(cid:188)𝑏 D(cid:135)(cid:264)𝑎⊂𝛼,𝑏⊂𝛽,𝑎∥𝛽,𝑏∥𝛼(cid:77)(cid:188)𝛼∥𝛽 11(cid:135)(cid:44)2024𝑎·⊂(cid:293)𝛼(cid:294),𝑏(cid:371)⊂(cid:295)𝛽·,𝑎(cid:246)∥(cid:247)𝛽(cid:248),𝑎(cid:249)⊥𝑏(cid:45)(cid:149)(cid:176)𝛼(cid:77)⊥(cid:78)𝛽(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:59)(cid:77) (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:77) (cid:50)(cid:182)(cid:217) (cid:77) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:223)(cid:251)(cid:254)(cid:189)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104)𝐴(cid:44)𝐵𝐶 𝐷 −(cid:45)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶 𝑂 𝑀 𝐵𝐷 𝐸𝐹A(cid:135)(cid:90)(cid:40) (cid:77) (cid:77) (cid:77) (cid:78)(cid:161)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:106) B(cid:135)(cid:137)(cid:144)(cid:55)𝐵 (cid:42)𝐷 (cid:77)𝐸 𝐹(cid:77) (cid:145)(cid:7)(cid:41)(cid:40) 1 C(cid:135)(cid:55)(cid:42) (cid:60)𝐵𝐹(cid:55)(cid:42)𝐷𝐸 (cid:143)𝐶(cid:104)𝐶(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) 1 D(cid:135)(cid:55)(cid:42)𝐴 𝐶(cid:83)(cid:372)(cid:78)𝑂(cid:40)𝐹 (cid:229) (cid:77) (cid:77) (cid:137)(cid:40)(cid:41)(cid:42) 1 (cid:137)(cid:43)(cid:127)(cid:51)(cid:21) 𝐴 𝐶 𝑁 𝑀 𝑁 𝑂 12(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:137)(cid:273)(cid:288) (cid:59)(cid:77) = 3(cid:77) =1(cid:77) = = = =2(cid:77) (cid:217) (cid:32) (cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42) (cid:60) (cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:193)𝑃(cid:339)−(cid:306)𝐴𝐵(cid:104)𝐶 𝐴𝐶(cid:135) 𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐵 𝑀 𝐴𝐶 13(cid:135)(cid:44)2024·(cid:297)(cid:294)(cid:373)𝐵(cid:256)𝑀·(cid:137)𝑃(cid:246)𝐴(cid:45)(cid:78)(cid:252)(cid:90)(cid:273)(cid:277) (cid:59)(cid:77) =4(cid:77) =6(cid:77)M(cid:77)N(cid:50)(cid:182)(cid:104) (cid:77) (cid:32) 1 1 1 1 1 (cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:30)(cid:31) (cid:53)(cid:159)(cid:90)(cid:273)(cid:277)(cid:57)(cid:279)(cid:53)(cid:31)(cid:32)𝐴𝐵(cid:280)𝐶𝐷(cid:74)−(cid:217)𝐴 𝐵 𝐶 𝐷(cid:135) 𝐴𝐵 𝐴𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷 1 14(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)𝑀(cid:245)𝑁·𝐶(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:104)(cid:115)(cid:91)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:77) (cid:104)(cid:30)(cid:31) (cid:179)(cid:115)(cid:144)(cid:143)(cid:161)(cid:32)(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:250)(cid:86)(cid:90)(cid:91)(cid:144) ､ ､ ､ (cid:354)(cid:10) (cid:122) // (cid:122) // (cid:122)𝛼 𝛽 (cid:77)(cid:125)(cid:223)(cid:90)(cid:91)(cid:38)(cid:15)𝑚(cid:60)𝑛(cid:166)(cid:167)(cid:59)(cid:77)𝛼 (cid:138)𝛽(cid:59)(cid:252)(cid:165)(cid:32)(cid:104) .(cid:44)(cid:127)(cid:374)(cid:252)(cid:165)(cid:38) (cid:15)(cid:60)①(cid:166)(cid:167)𝑚(cid:32)⊥(cid:375)𝑛 (cid:9)②(cid:45)𝛼 𝛽 ③𝑛 𝛽 ④𝑚⊥𝛼 (cid:44)1(cid:45)(cid:230)(cid:134) (cid:77)(cid:188) (cid:58)(cid:376) (cid:44)2(cid:45)(cid:230)(cid:134)②③④(cid:77)(cid:188)①(cid:58)(cid:376) (cid:44)3(cid:45)(cid:230)(cid:134)①③④(cid:77)(cid:188)②(cid:58)(cid:376) (cid:44)4(cid:45)(cid:230)(cid:134)①②④(cid:77)(cid:188)③(cid:58)(cid:376) (cid:90)(cid:43)(cid:89)(cid:377)(cid:21)①②③ ④ 15(cid:135)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:95)·(cid:244)(cid:245)·(cid:281)(cid:287)(cid:248)(cid:261)(cid:45)(cid:27)(cid:177)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:140)(cid:223)(cid:251)(cid:174)(cid:378)(cid:77)(cid:96)(cid:216)(cid:86)(cid:176)(cid:128)(cid:10) (1)(cid:137)(cid:91)(cid:30)(cid:31) ， ， (cid:163)(cid:171)(cid:136)(cid:95)(cid:40)P(cid:77)(cid:146)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163)(cid:171)(cid:136) (cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163)(cid:171)(cid:136) (cid:77)(cid:30)(cid:31) (cid:60)(cid:30)(cid:31) (cid:163) (cid:171)(cid:136) (cid:122) 𝛼 𝛽 𝛾 𝛼 𝛽 𝑃𝐴 𝛼 𝛾 𝑃𝐵 𝛽 𝛾 (2)(cid:30)𝑃(cid:31)𝐶ABD(cid:60)(cid:30)(cid:31)BDC(cid:163)(cid:171)(cid:136)BD(cid:77)(cid:30)(cid:31)ABC(cid:60)(cid:30)(cid:31)ADC(cid:163)(cid:171)(cid:136)AC. 16(cid:135)(cid:44)23-24(cid:24)(cid:123)·(cid:83)(cid:103)·(cid:281)(cid:379)(cid:243)(cid:21)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:55)(cid:42) (cid:94)(cid:30)(cid:31) (cid:43) (cid:77)(cid:56)(cid:121)(cid:223)(cid:251)(cid:119)(cid:21)(cid:32)(cid:67)(cid:120)(cid:77)(cid:96)(cid:254)(cid:167)(cid:15)(cid:194)(cid:10) (1)(cid:264) (cid:77) (cid:77)(cid:188) (cid:122) 𝑎,𝑏 𝛼 𝛽 (2)(cid:264)𝑎∥𝛼(cid:77)𝑏⊥𝑎(cid:77)(cid:188)𝑏⊥𝛼(cid:122) (3)(cid:264)𝑎∥𝛼(cid:77)𝛼⊥𝛽(cid:77)(cid:188)𝑎⊥𝛽(cid:135) 𝑎∥𝑏 𝑏⊂𝛼 𝑎∥𝛼17(cid:135)(cid:44)2024·(cid:244)(cid:245)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:149)(cid:176)(cid:77)(cid:78)(cid:90)(cid:273)(cid:288) (cid:59)(cid:77) // (cid:77) =2(cid:77) =3(cid:77) (cid:104) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77) 1 1 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝑃𝐷 𝐹,𝑀 (cid:50)(cid:182)(cid:78) (cid:83)(cid:77)(cid:146) = = (cid:135) 3 3 𝑃𝐶,𝑃𝐵 𝑃𝐹 𝑃𝐶,𝐵𝑀 𝐵𝑃 (1)(cid:166)(cid:167)(cid:10) (cid:90)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:122) (2)(cid:264) 𝐸,𝐹,𝐴,𝑀 (cid:30)(cid:31) = = (cid:77)(cid:66)(cid:90)(cid:273)(cid:288) (cid:32)(cid:76)(cid:308)(cid:135) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷,𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑃𝐴 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑃−𝐴𝑀𝐹𝐸 18(cid:135)(cid:44)2023·(cid:83)(cid:103)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:78)(cid:149)(cid:176)(cid:57)(cid:140)(cid:32)(cid:380)(cid:288)(cid:59)(cid:77)(cid:316)(cid:31)(cid:55)(cid:381)(cid:60)(cid:382)(cid:42)(cid:74)(cid:365)(cid:217)4(cid:77)(cid:40)C(cid:104)(cid:316)(cid:31)(cid:55)(cid:381)AB(cid:57)(cid:183)(cid:383) (cid:32)(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:40)D(cid:104)(cid:382)(cid:42)PA(cid:32)(cid:59)(cid:40). (1)(cid:66)(cid:159)(cid:380)(cid:288)(cid:32)(cid:384)(cid:31)(cid:308)(cid:60)(cid:76)(cid:308)(cid:122) (2)(cid:66)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:42)AB(cid:60)CD(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:32)(cid:307)(cid:305).19(cid:135)(cid:44)2024·(cid:293)(cid:341)(cid:265)(cid:385)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:230)(cid:134)(cid:90)(cid:273)(cid:288) (cid:59)(cid:77)(cid:316)(cid:31) (cid:217)(cid:55)(cid:48)(cid:386)(cid:128)(cid:77) (cid:30)(cid:31) (cid:77) (cid:77) (cid:77) = =4(cid:77) = =2(cid:77)𝑃−(cid:217)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:59)(cid:40)(cid:77)(cid:142) 𝐴(cid:77)𝐵𝐶(cid:77)𝐷 (cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:90)𝑃(cid:273)𝐴(cid:288)⊥ 𝐴𝐵𝐶(cid:57)𝐷(cid:279)𝐴(cid:32)𝐷(cid:53)∥ 𝐵(cid:31)𝐶(cid:217)𝐴(cid:135)𝐵⊥𝐴𝐷 𝑃𝐴 𝐴𝐷 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝑀 𝑃𝐴 𝐶 𝐷 𝑀 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝛼 (1)(cid:264) (cid:60)(cid:273) (cid:171)(cid:136)(cid:40) (cid:77)(cid:216)(cid:86)(cid:53)(cid:31) (cid:77)(cid:387)(cid:388)(cid:164)(cid:176)(cid:389)(cid:390)(cid:44)(cid:143)(cid:27)(cid:254)(cid:167)(cid:15)(cid:194)(cid:45)(cid:77)(cid:96)(cid:166)(cid:167) =3(cid:135) 𝑃𝐵 (2)(cid:66) 𝛼 (cid:302)(cid:31)(cid:76) 𝑃𝐵 𝐹 (cid:32)(cid:76)(cid:308)(cid:135) 𝛼 𝐹𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀𝐹