专题5.1平面向量的概念及线性运算五大题型（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

专题 5.1 平面向量的概念及线性运算【五大题型】 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)............................................................................................................................2 (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:28)....................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:28)....................................................................................................................................3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:54)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................4 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................4 1(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50) (cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:53) (cid:62)(cid:21)(cid:63)(cid:64) (cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (1)(cid:15)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:40) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:89)(cid:60)(cid:90)(cid:91).(cid:92)(cid:93) (cid:43)(cid:44)(cid:69)(cid:70)(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:73) (cid:43)(cid:80)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38) (cid:46) 2022(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:82)I(cid:83)(cid:10)(cid:84)3 (cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:98)(cid:61)(cid:99)(cid:20)(cid:100)(cid:21)(cid:40) (2)(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:42)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:21)(cid:76)5(cid:66) (cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:34)(cid:103)(cid:104)(cid:25)(cid:105)(cid:76)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:76)(cid:25)(cid:105)(cid:103) (cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:15)(cid:68)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46) 2023 (cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:83)(cid:86)(cid:15)(cid:13)(cid:87)(cid:10) (cid:104)(cid:110)(cid:108)(cid:111)(cid:56).(cid:11)(cid:112)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:59)(cid:4)(cid:45) (cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:73)(cid:46) (cid:84)4(cid:21)(cid:76)5(cid:66) (cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47) (3)(cid:78)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:34) (cid:56)(cid:15)(cid:34)(cid:15)(cid:68). (cid:48)(cid:79)(cid:57)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46) (cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:60)1 (cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:123)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:28) 1(cid:126)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:123)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:127)(cid:128)(cid:3)(cid:4)(cid:60) (1)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:129)(cid:123)(cid:130)(cid:131)(cid:48)(cid:76)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:122)(cid:134)(cid:129)(cid:123)(cid:130)(cid:131)(cid:48). (2)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:60)(cid:142)(cid:3). (3)(cid:32)(cid:33)(cid:143)(cid:99)(cid:30)(cid:144)(cid:76)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:140)(cid:146)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:68)(cid:21)(cid:147)(cid:76)(cid:148)(cid:61)(cid:149)(cid:137)(cid:140)(cid:150)(cid:13)(cid:151)(cid:152)(cid:34)(cid:30)(cid:144)(cid:153)(cid:154). (4)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) (cid:140) (cid:34)(cid:3)(cid:155)(cid:10) (cid:88)(cid:140) (cid:156)(cid:157)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33). (cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:60)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:68)(cid:21)(cid:161)(cid:162)(cid:28) 1(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:68)(cid:163)(cid:164)(cid:10) (1)(cid:68)(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:3)(cid:166)(cid:113)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:151)(cid:103)(cid:116)(cid:34)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:77)(cid:173)(cid:168)(cid:169)(cid:49)(cid:27)(cid:71)(cid:174)(cid:32)(cid:33)(cid:175)(cid:39) (cid:41)(cid:42)(cid:71)(cid:176)(cid:177)(cid:16)(cid:178)(2)(cid:113)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:147)(cid:61)(cid:179)(cid:143)(cid:173)(cid:177)(cid:16)(cid:180)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:116)(cid:76)(cid:49)(cid:27)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:40)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:57)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:116) (cid:159)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:40)(cid:71)(cid:185)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:118)(cid:59)(cid:181)(cid:186)(cid:110)(cid:187)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:76)(cid:149)(cid:188)(cid:120)(cid:32)(cid:33)(cid:177)(cid:16)(cid:136)(cid:27)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:70). 2(cid:126)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:73)(cid:54)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:68)(cid:21)(cid:161)(cid:162)(cid:10) (cid:140)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:123)(cid:3)(cid:34)(cid:54)(cid:13)(cid:160)(cid:21)(cid:76)(cid:190)(cid:191)(cid:88)(cid:192)(cid:193)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:76)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:195)(cid:122)(cid:39)(cid:42)(cid:182)(cid:41)(cid:42) (cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:196)(cid:145)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:157)(cid:201)(cid:202)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:203)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:13)(cid:34)(cid:204). 3(cid:126)(cid:194)(cid:27)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:15)(cid:68)(cid:21)(cid:34)(cid:161)(cid:162)(cid:10) (1) (cid:88)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:128)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:98)(cid:61)(cid:208)(cid:52).(cid:4)(cid:45)(cid:209)(cid:56)(cid:155)(cid:13)(cid:42)(cid:97)(cid:157)(cid:201)(cid:163)(cid:210)(cid:34)(cid:49)(cid:27). (2)(cid:211)(cid:207)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:212)(cid:123)(cid:7)(cid:55)(cid:60)(cid:147)(cid:76)(cid:213)(cid:173)(cid:203)(cid:172)(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:135)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) (cid:55)(cid:47). (3)(cid:214) (cid:140) (cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:212) (cid:76)(cid:119) . (4) (λ,μ(cid:136)(cid:215)(cid:13))(cid:76)(cid:214)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:119)λ+μ=1. (cid:22)(cid:157)(cid:42)(cid:216)(cid:217)(cid:140)(cid:218)(cid:219)(cid:28) 1(cid:126)(cid:116)(cid:60)(cid:7)(cid:104)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:214)P(cid:136)(cid:47)(cid:220)AB(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)O(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:221)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:119) . 2(cid:126) (λ,μ(cid:136)(cid:215)(cid:13))(cid:76)(cid:214)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:119)λ+μ=1. 3(cid:126)(cid:68)(cid:165)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:160)(cid:21)(cid:61)(cid:4)(cid:45)(cid:207)(cid:60)(cid:10)(cid:190)(cid:88)(cid:148)(cid:222)(cid:61)(cid:25)(cid:223)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:226)(cid:227)(cid:61)(cid:34)(cid:88)(cid:25)(cid:223)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:157)(cid:32)(cid:178)(cid:228)(cid:88) (cid:61)(cid:229)(cid:230)(cid:4)(cid:45)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:229)(cid:231)(cid:48)(cid:76)(cid:25)(cid:223)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:232)(cid:134)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236). (cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28) (cid:22)(cid:187)1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)“(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)180°”(cid:88)“ // ”(cid:34)(cid:86) (cid:87) A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎 B𝑏(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 C(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) (cid:22)(cid:245)(cid:104)1-1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:246)(cid:247)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:214) , (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)“ = ”(cid:88)“ , (cid:55)(cid:47)”(cid:34)(cid:86) (cid:87) | | | | 𝑎 𝑏 A(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎𝑏 B(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148) 𝑎 (cid:243)(cid:61)𝑏(cid:235)(cid:236) 𝑎𝑏 C(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) (cid:22)(cid:245)(cid:104)1-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120) (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:76)(cid:252) (cid:10) =2 (cid:76) (cid:10) (cid:88)(cid:253)(cid:103)(cid:76)(cid:119) (cid:88) (cid:34)(cid:235)(cid:236)(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝑞 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝 𝑞 A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61) B(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66) C(cid:126)(cid:242)(cid:61) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61) (cid:22)(cid:245)(cid:104)1-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:258)(cid:259)(cid:123)(cid:3)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:34)(cid:103)(cid:260)(cid:205)(cid:206)(cid:261)(cid:262)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87) A(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 1𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 B(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:253)(cid:103) 3 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 C(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:212)| |=| |(cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:263)(cid:103) 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷D(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:212) (cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:264)(cid:157)(cid:103) (cid:22)(cid:21)(cid:29)2 𝐴(cid:32)𝐵(cid:33)(cid:39)𝐷𝐶(cid:40)(cid:41)(cid:42)𝐴(cid:34)𝐶⊥(cid:43)𝐵(cid:44)𝐷(cid:45)(cid:46)(cid:28) 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:22)(cid:187)2(cid:28)(cid:86)2024·(cid:265)(cid:255)(cid:266)(cid:267)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:181)(cid:103)ABCD(cid:116)(cid:76)E(cid:76)F(cid:66)(cid:230)(cid:136)AD(cid:76)BC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119)(cid:258)(cid:259)(cid:32)(cid:33)(cid:140) + (cid:148)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵 𝐷𝐶 A(cid:126)2 B(cid:126) + C(cid:126) + D(cid:126) + (cid:22)(cid:245)(cid:104)2-1𝐸(cid:28)𝐹(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)𝐴𝐶(cid:238)(cid:239)𝐷(cid:240)𝐵(cid:87)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184)(cid:103)𝐸𝐵 (cid:34)𝐸(cid:268)𝐶(cid:269)(cid:136) (cid:76)(cid:60) (cid:88)𝐹(cid:47)𝐴(cid:220) 𝐹𝐷(cid:270)(cid:271)(cid:93) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐷 𝐵𝐶 𝐵 𝐴𝐷 2 1 2 A(cid:126) + B(cid:126) + 3 2 3 𝑂𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐴𝐶 3 1 3 C(cid:126) + D(cid:126) + 4 2 2 𝑂𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐴𝐶 (cid:22)(cid:245)(cid:104)2-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:255)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) = =6(cid:76)(cid:60)D(cid:76)E(cid:66)(cid:230)(cid:113)(cid:47)(cid:220) (cid:76) (cid:270)(cid:76)(cid:212)D 1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 4,𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 (cid:136) (cid:116)(cid:60)(cid:76) = (cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119)(cid:275)(cid:47) (cid:276)(cid:198) (cid:34)(cid:86) (cid:87) 2 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝑃 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝑃 △𝐴𝐵𝐶 A(cid:126)(cid:90)(cid:269) B(cid:126)(cid:277)(cid:269) C(cid:126)(cid:227)(cid:269) D(cid:126)(cid:268)(cid:269) (cid:22)(cid:245)(cid:104)2-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:278)(cid:279)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:72)(cid:280) (cid:116)(cid:76) = = =1(cid:76)D(cid:136)(cid:47)(cid:220) (cid:270)(cid:34)(cid:281)(cid:60)(cid:76)(cid:198)D (cid:282) (cid:283) (cid:167)E(cid:126)(cid:198)D(cid:282) (cid:283) △(cid:167)𝐴F𝐵(cid:76)𝐶(cid:119)|2∠𝐵+∠𝐶|=3(cid:86)0° , 𝐴 𝐵(cid:87) 𝐴𝐵 𝐷𝐸A(cid:126)∥𝐵𝐶3 𝐴𝐶 B(cid:126)2 3𝐷𝐹⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 C(cid:126)3 3𝐵𝐹 𝐷𝐸 D(cid:126)5 3 (cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:28) (cid:22)(cid:187)3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:284)(cid:255)(cid:285)(cid:286)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:258)(cid:259)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:155)(cid:104)(cid:116)(cid:76)(cid:264)(cid:287)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87) A(cid:126) = B(cid:126) + = C(cid:126)𝑀𝑁+ 𝑁𝑀= D(cid:126)𝐴𝐵 +𝐴𝐶 +𝐵𝐶 = (cid:22)(cid:245)(cid:104)3𝐴-1𝐵(cid:28)(cid:86)𝐶𝐴2023𝐵·(cid:284)𝐶 (cid:255)(cid:285)(cid:286)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33)𝑀𝑁, (cid:76)𝑁(cid:119)𝑃2 𝑃+𝑄 𝑀𝑄 =(cid:86) (cid:87) A(cid:126) + B(cid:126) 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 − 𝑎−𝑏 C(cid:126)3𝑎 +𝑏 D(cid:126)𝑎−+𝑏3 (cid:22)(cid:245)(cid:104)3-𝑎2(cid:28)(cid:86)𝑏2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76)𝑎 𝑏+ =0, =2 (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) 1 1 △𝐴𝐵𝐶 𝑁𝐴 1 𝑁𝐶 1 𝐵𝑀 𝑀𝐶 A(cid:126) = B(cid:126) = 3 6 3 6 𝑁𝑀 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 𝑁𝑀 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 1 1 1 1 C(cid:126) = + D(cid:126) = + 3 6 3 6 𝑁𝑀 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐶 (cid:22)(cid:245)(cid:104)3-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:127)(cid:288)(cid:289)(cid:290)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:292)(cid:70)(cid:34) (cid:116)(cid:76)(cid:60) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:270)(cid:271)(cid:93) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76)(cid:60) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸1 1 1 1 A(cid:126) B(cid:126) 3 6 6 3 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 5 1 5 1 C(cid:126) D(cid:126) + 6 3 6 3 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶 (cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:54)(cid:13)(cid:28) 1 (cid:22)(cid:187)4(cid:28)(cid:86)2023·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:297)·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:76)(cid:189)(cid:120) (cid:116)(cid:76) (cid:88) (cid:181)(cid:270)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:214) = (cid:76)3 = + 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐴 𝑚 (cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) 𝐶𝐵 𝑚 A(cid:126) B(cid:126)2 C(cid:126) D(cid:126)3 (cid:22)(cid:245)(cid:104)4−-12(cid:28)(cid:86)2023·(cid:298)(cid:299)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:113) −1(cid:116)(cid:76)(cid:60)D(cid:136)(cid:181)BC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:214) + = + (cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐶 𝜆−𝜇A(cid:126)1 B(cid:126)(cid:300)1 C(cid:126)2 D(cid:126)(cid:300)2 (cid:22)(cid:245)(cid:104)4-2(cid:28)(cid:86)2024·(cid:297)(cid:301)(cid:302)(cid:116)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:76)(cid:113)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76) (cid:136) (cid:34)(cid:271)(cid:93)(cid:60) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76) (cid:140) (cid:71)(cid:283)(cid:167)(cid:60) (cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐶 𝐴𝐶 𝑀𝐷 𝑃 𝐴𝑃 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐷 𝑥𝑦 2 9 3 4 A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126) 3 16 4 9 (cid:22)(cid:245)(cid:104)4-3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:303)(cid:248)(cid:304)(cid:305)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:270)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:34) (cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:252) = + (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 2𝐷𝐶,𝑀 𝐴𝐷 𝐵𝑀 𝑥𝐴1𝐵 𝑦𝐴𝐶 1 A(cid:126) = B(cid:126) + = 2 2 𝑥−𝑦 − 𝑥 𝑦 − 1 1 C(cid:126) = D(cid:126) + = 2 2 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦 (cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28) (cid:22)(cid:187)5(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:76)(cid:119)“ // ”(cid:88)“(cid:306)(cid:113) (cid:76)(cid:307)(cid:203) = ”(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝜆∈𝑅 𝑎 𝜆𝑏A(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) B(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) C(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) (cid:22)(cid:245)(cid:104)5-1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:270)(cid:308)(cid:309)(cid:257)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:252) (cid:136) (cid:292)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:270)(cid:190)(cid:60).(cid:214)(cid:215)(cid:13)x(cid:40)y(cid:40)z(cid:233)(cid:234) + + = 0 2+ 2+ 2 0 (cid:76)(cid:119)“ =0”(cid:88)“(cid:60)𝑂(cid:113) △𝐴𝐵𝐶(cid:34)(cid:181)(cid:292)(cid:113)(cid:275)(cid:47)(cid:270)”(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑥𝑂𝐴 𝑦𝑂𝐵 𝑧𝑂𝐶 𝑥A(cid:126)𝑦(cid:242)(cid:66)𝑧(cid:148)≠(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑥𝑦𝑧 𝑂 △B𝐴(cid:126)𝐵𝐶(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:310)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236). (cid:22)(cid:245)(cid:104)5-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:246)(cid:247)(cid:308)(cid:311)·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120) , (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:207)(cid:128)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:312)(cid:313)“ ”(cid:88)“(cid:306)(cid:113) 0(cid:76)(cid:307)(cid:203)| + |=| |+ |”(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑎𝑏 𝑎∥𝑏 𝜆≠ 𝑎 𝜆𝑏 A𝑎(cid:126)(cid:242)|𝜆(cid:66)𝑏(cid:314)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) B(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:314)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) (cid:22)(cid:245)(cid:104)5-3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:264)(cid:183)(cid:184)(cid:103) (cid:34)(cid:181)(cid:319)(cid:136)6(cid:76) = + (cid:76) [0,1](cid:76) [0,1] (cid:212) + =2(cid:76)(cid:119)(cid:60) (cid:180)(cid:275)(cid:47) (cid:320)(cid:321)(cid:34)(cid:322)(cid:224)(cid:204)(cid:136)(cid:86) 𝐴 𝐵(cid:87)𝐶 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐶 𝜆∈ 𝜇∈ 3𝜆 A(cid:126) 4 2 𝜇 3 𝑃 B(cid:126)3 𝐵𝐶 C(cid:126)3 3 D(cid:126)3 3 2 (cid:190)(cid:40)(cid:158)(cid:20)(cid:21) 1(cid:126)(cid:86)2023·(cid:246)(cid:247)(cid:224)(cid:305)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:252) (cid:76) (cid:88)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)“ = ”(cid:88)“ = ”(cid:34)(cid:86) (cid:87) | | | | 𝑎 𝑏 A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:314)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎 𝑏 B(cid:126)(cid:243) 𝑎 (cid:61)(cid:314)𝑏(cid:148)(cid:242)(cid:66) 𝑎 (cid:235) 𝑏 (cid:236) C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 2(cid:126)(cid:86)2023·(cid:323)(cid:199)(cid:255)(cid:30)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:264)(cid:157)(cid:103)ABCD(cid:34)(cid:181)(cid:319)(cid:136)1(cid:76)(cid:60)M(cid:233)(cid:234) + =2 (cid:76)(cid:119)| |= (cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐷 A(cid:126) 1 B(cid:126)1 C(cid:126) 2 D(cid:126) 2 2 2 3(cid:126)(cid:86)2023·(cid:127)(cid:288)(cid:255)(cid:242)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:264)(cid:157)(cid:103) (cid:34)(cid:181)(cid:319)(cid:136)1(cid:76)(cid:119)| + |=(cid:86) (cid:87) A(cid:126)0 B(cid:126) 2 𝐴𝐵𝐶𝐷C(cid:126)2 2 𝐴𝐵 𝐵D𝐶(cid:126)−𝐶4𝐴 4(cid:126)(cid:86)2024·(cid:248)(cid:249)(cid:255)(cid:197)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113)(cid:253)(cid:103) (cid:116)(cid:76) // (cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119) = (cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝑀 2 1 1 2 A(cid:126) B(cid:126) + 3 2 2 3 𝐴𝐵− 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 1 3 1 C(cid:126) + D(cid:126) + 2 4 2 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷5(cid:126)(cid:86)2024·(cid:278)(cid:301)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) =4 (cid:76) =2 .(cid:214) = + (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐸𝐷 𝐵𝐶 𝜆𝐴𝐸 𝜇𝐶𝐷 A(cid:126) + =5 B(cid:126) =1 C(cid:126) =6 D(cid:126) =3 𝜆 𝜆 𝜇 𝜆−𝜇 𝜆𝜇 𝜇 6(cid:126)(cid:86)2024·(cid:323)(cid:199)(cid:323)(cid:299)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120) , (cid:88)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:214)2 + (cid:140) + (cid:88)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119) 1 2 1 2 1 2 ⃗ ⃗ → → → → (cid:86) (cid:87) 𝑒 𝑒 𝑒 𝜆𝑒 𝜇𝑒 𝑒 A(cid:126) = B(cid:126) = C(cid:126) =2 D(cid:126) =2 𝜆 𝜆 𝜇 −2 𝜆𝜇 −2 𝜇 𝜆𝜇 7(cid:126)(cid:86)2024·(cid:303)(cid:248)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:270)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:212) = +2 (cid:76) = 1 2 1 2 1 +2 (cid:76) =3 (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) 𝑒 𝑒 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝐵𝐶 −3𝑒 2 1 2 A𝑒(cid:126) 𝐷(cid:40)𝐴 (cid:40)𝑒(cid:183)−(cid:60)6𝑒(cid:55)(cid:47) B(cid:126) (cid:40) (cid:40) (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) C(cid:126)𝐴(cid:40)𝐵(cid:40)𝐶(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) D(cid:126)𝐴(cid:40)𝐵(cid:40)𝐷(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) 8(cid:126)(cid:86)20𝐴24·𝐶(cid:81)(cid:82)𝐷·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:60) (cid:88) (cid:292)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:90)𝐵(cid:207)(cid:128)𝐶(cid:148)𝐷(cid:156)(cid:34)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = + + (cid:76)(cid:119)(cid:275)(cid:47) (cid:276)(cid:198) (cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑂,𝑃 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝑃 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝑃 △𝐴A𝐵(cid:126)𝐶(cid:227)(cid:269) B(cid:126)(cid:277)(cid:269) C(cid:126)(cid:90)(cid:269) D(cid:126)(cid:268)(cid:269) (cid:228)(cid:40)(cid:324)(cid:20)(cid:21) 9(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:258)·(cid:23)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:249)·(cid:329)(cid:116)(cid:87)(cid:258)(cid:259)(cid:330)(cid:42)(cid:116)(cid:264)(cid:287)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87) A(cid:126)(cid:214) (cid:140) (cid:331)(cid:88)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119) = B(cid:126)(cid:133)(cid:32)𝑎 (cid:33)𝑏(cid:34)(cid:319)(cid:107)(cid:136)(cid:133)(cid:76)(cid:157)(cid:32)(cid:88)𝑎 (cid:221)𝑏(cid:45)(cid:34) C(cid:126)(cid:214) (cid:140) (cid:88)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119) = D(cid:126)(cid:214)𝑎+𝑏 =0(cid:182) =0(cid:76)𝑎(cid:119)𝑏// 10(cid:126)(cid:86)202𝑎4·(cid:332)𝑏(cid:293)·(cid:228)(cid:237)𝑎(cid:87)−𝑏 (cid:34)𝑎(cid:227)(cid:269)𝑏(cid:136)(cid:60) (cid:76)(cid:60)O(cid:76)P(cid:88) (cid:292)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:156)(cid:34)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = + + (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝑃 𝑂𝐴 𝑂𝐵 A𝑂(cid:126)𝐶 (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) B(cid:126) =2 C(cid:126)2𝑂,𝑃,𝐺= + + D(cid:126)𝑂(cid:60)𝑃 (cid:113) 𝑂𝐺 (cid:34)(cid:90)(cid:333) 11(cid:126)(cid:86)202𝑂3𝑃·(cid:308)(cid:255)𝐴𝑃(cid:334)(cid:275)𝐵(cid:335)𝑃(cid:336)(cid:337)𝐶𝑃(cid:158)(cid:159)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:140)𝑃(cid:112)(cid:338)△(cid:306)𝐴(cid:113)𝐵(cid:339)𝐶 (cid:340)(cid:341)(cid:155)(cid:76)(cid:342)(cid:324)(cid:112)(cid:338)(cid:116)(cid:34)(cid:237)(cid:29)(cid:324)(cid:343)(cid:167)(cid:13)(cid:11)(cid:34)(cid:344) (cid:345)(cid:126)(cid:189)(cid:120)(cid:346)(cid:199)(cid:347)(cid:14)(cid:34)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:27)(cid:264)(cid:353)(cid:181)(cid:103)(cid:136)(cid:98)(cid:354)(cid:76)(cid:355)(cid:99)(cid:264)(cid:353)(cid:181)(cid:103)(cid:34)(cid:356)(cid:235)(cid:181)(cid:282)(cid:136)(cid:264)(cid:157)(cid:103)(cid:34)(cid:190)(cid:235)(cid:181)(cid:192)(cid:193)(cid:172)(cid:353) (cid:128)(cid:264)(cid:157)(cid:103)(cid:76)(cid:291)(cid:151)(cid:292)(cid:70)(cid:76)(cid:119)(cid:113)(cid:357)(cid:151)(cid:103)(cid:116)(cid:76)(cid:258)(cid:259)(cid:330)(cid:42)(cid:264)(cid:287)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87)A(cid:126) = 2 3+1 B(cid:126) = + 3 3 2 𝐺𝐻 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐹 C(cid:126) = 3 1 D(cid:126) =3 3 + 3 3 2 6 4 + −1 𝐺𝐵 𝐵𝐷− 𝐶𝐹 𝐼𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐹 (cid:183)(cid:40)(cid:101)(cid:102)(cid:21) 12(cid:126)(cid:86)2023·(cid:358)(cid:359)(cid:248)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76)3 = (cid:76) = + ( R)(cid:76) + = . → → → → → 13(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:258)·(cid:270)(cid:308)(cid:360)(cid:279)(cid:23)·(cid:329)(cid:116)(cid:87)(cid:258)(cid:259)(cid:3)𝐴𝐵(cid:167)𝐶(cid:32)𝐷(cid:33)(cid:34)(cid:361)𝐵(cid:21)𝐸 (cid:76)𝐸(cid:362)𝐷(cid:9)(cid:264)𝐶𝐸(cid:287)(cid:34)𝜆(cid:88)𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐷. 𝜆,𝜇∈ 2𝜆 𝜇 (cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:122)(cid:167)(cid:221)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:178) ①(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) , (cid:76)(cid:214) // (cid:76)(cid:119) =± (cid:178) ②(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)𝑎,𝑏(cid:76)(cid:214)𝑎=±𝑏 (cid:76)𝑎(cid:119) // 𝑏(cid:178) ③(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)𝑎,𝑏(cid:76)(cid:214)𝑎// (cid:76) 𝑏(cid:119) (cid:140)𝑎 (cid:292)𝑏(cid:113)(cid:275)(cid:47)(cid:190)(cid:56)(cid:227)(cid:363). ④14(cid:126)(cid:86)2024·(cid:297)(cid:301)𝑎(cid:364)𝑏(cid:146)·(cid:183)𝑎(cid:237)(cid:87)𝑏(cid:365)(cid:366)𝑎(cid:88)(cid:367)𝑏(cid:82)(cid:368)(cid:369)(cid:13)(cid:11)(cid:370)(cid:40)(cid:371)(cid:17)(cid:11)(cid:370)(cid:76)(cid:224)(cid:372)(cid:113)(cid:7)(cid:373)222(cid:80)(cid:76)(cid:365)(cid:366)(cid:136)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:50)(cid:276)(cid:377) (cid:190)(cid:378)(cid:282)(cid:362)(cid:147)(cid:76)(cid:379)(cid:304)(cid:78) “(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:157)(cid:151)”(cid:76)(cid:383)(cid:384)“(cid:365)(cid:366)(cid:385)(cid:151)” ((cid:99)(cid:275)(cid:184)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:34)(cid:386)(cid:181)(cid:136)(cid:181)(cid:203)(cid:180)(cid:34)(cid:264)(cid:157)(cid:103)). (cid:387)(cid:110) “(cid:365)(cid:366) (cid:385)(cid:151)”(cid:76)(cid:192)(cid:193)(cid:291)(cid:151)(cid:292)(cid:70)(cid:34)(cid:151)(cid:103)(cid:76)(cid:137)(cid:88)(cid:388)(cid:183)(cid:128)(cid:81)(cid:72)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:140)(cid:116)(cid:389)(cid:34)(cid:190)(cid:128)(cid:225)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:390)(cid:186)(cid:34)(cid:190)(cid:128)(cid:224)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184) (cid:103)(cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:60) (cid:113) (cid:270)(cid:76) = (cid:76)(cid:60) (cid:113) (cid:90) ((cid:73)(cid:181)(cid:391))(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119) (cid:34)(cid:322)(cid:224) (cid:204)(cid:136) 𝐷 𝐹 . 𝐴𝐹 𝑃 𝐴𝐵 𝐵𝑃 2𝐴𝑃 𝑄 △𝐷𝐸𝐹 𝑃𝑄 𝜆𝑃𝐷 𝑃𝐴 𝜆 (cid:127)(cid:40)(cid:68)(cid:392)(cid:21) 15(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:258)·(cid:23)(cid:325)(cid:393)(cid:394)·(cid:329)(cid:116)(cid:87)(cid:16)(cid:395)(cid:258)(cid:259)(cid:396)(cid:104)(cid:10) (1)( + )+ )(cid:178) 𝐴𝐵 𝑀𝐵 (−𝑂𝐵−𝑀𝑂(2) (cid:178) (3)𝐴𝐵−𝐴𝐷−+𝐷𝐶 (cid:178) 𝑂𝐴−𝑂𝐷 𝐴𝐷 16(cid:126)(cid:86)24-25(cid:24)(cid:228)·(cid:270)(cid:308)·(cid:397)(cid:329)(cid:282)(cid:398)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:76)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:208)(cid:399)(cid:88)(cid:264)(cid:183)(cid:184)(cid:103)ABC(cid:34)(cid:181)AB(cid:40)BC(cid:40)AC(cid:34)(cid:116)(cid:60). (1)(cid:113)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:40)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:182)(cid:400)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178) (2)(cid:113)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:76)(cid:99)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:400)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)𝐸(cid:33)𝐹 (cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178) (3)(cid:113)(cid:99)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:76)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:136)(cid:400)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)(cid:33)𝐺𝐹(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33). 𝐸𝐺 17(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:258)·(cid:265)(cid:255)(cid:375)(cid:401)·(cid:402)(cid:220)(cid:169)(cid:115)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:76)(cid:60) (cid:88) (cid:116)BC(cid:181)(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76) = , = . 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑎𝐴𝐶 𝑏 (1)(cid:214)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:227)(cid:269)(cid:76)(cid:403)(cid:27) , (cid:69)(cid:70) ; (2)(cid:214)(cid:60)𝑂(cid:88)△𝐴𝐵𝐶(cid:34)(cid:227)(cid:269)(cid:76)(cid:53) 𝑎+𝑏 +𝐴𝑂 . 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶18(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:270)·(cid:303)(cid:248)(cid:404)(cid:299)·(cid:329)(cid:405)(cid:87)(cid:252) , (cid:88)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:207)(cid:128)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:126) (1)(cid:214) =4 , =6 +2 , =2 𝑎𝑏 (cid:76)(cid:53)(cid:406)(cid:10) (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:178) 𝑂𝐴 1 𝑎−21𝑏𝑂𝐵 𝑎 𝑏𝑂𝐶 𝑎−6𝑏 𝐴,𝐵,𝐶 (2)(cid:214)4 + (cid:140) + (cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:53)(cid:215)(cid:13)k(cid:34)(cid:204)(cid:126) 2 2 𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑎 𝑏 19(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:270)·(cid:332)(cid:293)(cid:224)(cid:407)·(cid:329)(cid:405)(cid:87)(cid:291)(cid:151)(cid:292)(cid:70)(cid:76)(cid:189)(cid:120)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:227)(cid:269)(cid:76)(cid:198)(cid:60) (cid:282)(cid:275)(cid:47)(cid:66)(cid:230)(cid:140)(cid:181) (cid:40) (cid:283)(cid:167) (cid:40) (cid:207)(cid:60)(cid:86)(cid:60) (cid:40) (cid:140)(cid:60) (cid:40) (cid:148)(cid:227)(cid:363)(cid:87)(cid:76)(cid:252) = 𝐺 (cid:76)△𝐴𝐵=𝐶 (cid:126) 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝑥𝐴𝑀 𝐴𝐶 𝑦𝐴𝑁 (1)(cid:53) + (cid:34)(cid:204)(cid:178) 𝑥1 𝑦 2 (2)(cid:53) + (cid:34)(cid:322)(cid:225)(cid:204)(cid:76)(cid:77)(cid:53)(cid:408)(cid:147) (cid:76) (cid:34)(cid:204)(cid:126) 𝑥−1 𝑦−1 𝑥 𝑦