文档内容
课时规范练 31 平面向量的概念及线性运算
基础巩固练
1.(2024·安徽铜陵模拟)在平行四边形ABCD中,M是CD边上的中点,则2⃗AM=( )
A.⃗AC-2⃗AB B.⃗AC+2⃗AB
C.2⃗AC−⃗AB D.2⃗AC+⃗AB
2.(2024·广东佛山期中)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,则|⃗AB+⃗AC+⃗AD|=( )
A.6 B.8
C.10 D.12
3.(2024·河南郑州期末)在 ▱ABCD中,⃗AB=2a,⃗AD=3b,则⃗AC=( )
A.a+b B.a-b
C.2a+3b D.2a-3b
4.如图,在正六边形ABCDEF中,⃗BA+⃗CD+⃗EF=( )
A.0
B.⃗BE
C.⃗AD
D.⃗CF
3
5.(2024·云南期末)如图,在△ABC中,若 ⃗AD =3⃗DB ,P为CD上一点,且满足 ⃗AP =x⃗AC+ ⃗AB
5
(x∈R),则x=( )
1 1
A. B.
5 4
1 1
C. D.
3 2
6.(2024·河北唐山一中模拟)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d共线,
则实数x的值为( )
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1
A.1 B.-
2
1 1
C.1或- D.-1或-
2 2
7.(2024·四川精准教学联盟联考)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,若D是斜
边AB的中点,P是线段CD上一点,且⃗AP=
1△
⃗AC+λ⃗AB ,则λ=( )
3
2
A.1 B.
3
1 1
C. D.
2 3
8.(多选题)(2024·福建宁德模拟)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,
则下列结论正确的是( )
3 1
A.⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
4 4
1
B.⃗AF+⃗CF= ⃗AB
2
1
C. ⃗AB+⃗AD=⃗CE
2
3 1
D.⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
4 2
9.(2025·山东潍坊开学考试)化简:2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC= .
10.(2025·安徽开学考试)在△ABC中,D为BC边上的中点,E是AD上靠近点A的四等分
点,若⃗BE=x⃗AB+y⃗AC,则x+y= .
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx11.(13分)(2025·江苏徐州模拟)如图,在矩形ABCD中,⃗DE=2⃗EC,⃗BF=2⃗FC,AC与EF交于
点N.
(1)若⃗CN=λ⃗AB+μ⃗AD,求λ+μ的值;
(2)设⃗AE=a,⃗AF=b,试用a,b表示⃗AC.
综合提升练
12.(2024·山东济宁期中)已知a,b是不共线的向量,且⃗AB=2a-5b,⃗BC=a-3b,⃗CD=a-2b,则下
列选项正确的是( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线
13.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,
某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中
E,F,G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点,若⃗AG=x⃗AB+y⃗AD,则xy=( )
6 6
A. B.-
25 25
8 8
C. D.-
25 25
14.(多选题)(2024·河北期中)如图,在△ABC中,BD与EC交于点G,E是AB的靠近B的三
等分点,D是AC的中点,且有⃗AG=λ⃗AB+μ⃗AC,λ,μ∈(0,+∞),则下列选项正确的是( )
A.λ+3μ=1
B.3λ+2μ=2
1 1
C.⃗AG= ⃗AB+ ⃗AC
2 4
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxD.过G作直线MN分别交线段AB,AC(包括线段AB,AC的端点)于点M,N,设⃗AM=m
⃗AB,⃗AN=n⃗AC(m>0,n>0),则m+2n的最小值为2
15.已知A,B,P是直线l上三个相异的点,点O l,若正实数x,y满足4⃗OP=2x⃗OA+y⃗OB,则
1 1 ∉
+ 的最小值为 .
x y
16.(13分)(2024·北京昌平模拟)如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,
2
⃗AE= ⃗AD,⃗AB=a, ⃗AC =b.
3
(1)用a,b表示⃗AE,⃗BE;
(2)求证:B,E,F三点共线.
创新应用练
17.如图,在△ABC中,点O在边BC上,且OC=2OB.过点O的直线分别交射线AB,射线
t t
AC于不同的两点M,N,若 ⃗AB =m⃗AM,⃗AC =n⃗AN ,则2m+n的值等于 ;若 +
m n
≥2+√2恒成立,则实数t的最小整数值为 .
答案：
1
1.C 解析 因为M是平行四边形ABCD的CD边上的中点,所以 ⃗CM =- ⃗AB,所以
2
1
⃗AM=⃗AC+⃗CM=⃗AC− ⃗AB,所以2⃗AM=2⃗AC−⃗AB.
2
2.C 解析 由平面向量加法的平行四边形法则可知⃗AB+⃗AD=⃗AC,所以|⃗AB+⃗AC+⃗AD|=2|⃗AC|
=2√32+42=10.故选C.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx3.C 解析 在 ▱ABCD中,⃗AB=2a,⃗AD=3b,则⃗AC=⃗AB+⃗AD=2a+3b.故选C.
4.D 解析 ∵⃗CD=⃗AF,⃗EF=⃗CB,
∴⃗BA+⃗CD+⃗EF=⃗BA+⃗AF+⃗CB=⃗CF.
4 3 3 4
5.A 解析 因为 ⃗AD =3⃗DB ,所以⃗AB= ⃗AD,由 ⃗AP =x⃗AC+ ⃗AB=x⃗AC+ × ⃗AD=x
3 5 5 3
4 4 1
⃗AC+ ⃗AD,因为C,P,D三点共线,所以x+ =1,解得x= .故选A.
5 5 5
6.C 解析 由a,b不共线,易知c=xa+b为非零向量.因为c与d共线,则存在k∈R,使得d=kc,即
{ kx=1,
a+(2x-1)b=kxa+kb,因为向量a,b不共线,则
k=2x-1,
1
整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=- 或x=1.
2
7.D 解析 依题意,点P在线段CD上,如图所示,则⃗CP=μ⃗CD(0≤μ≤1),即⃗AP−⃗AC=μ(
⃗AD−⃗AC),于是有⃗AP=μ⃗AD+(1-μ)⃗AC.因为点D是斜边AB的中点,所以⃗AB=2⃗AD.所以
{
μ=2λ,
1 1 2 1
⃗AP= ⃗AC+λ⃗AB= ⃗AC+2λ⃗AD,所以 1 解得μ= ,λ= .
3 3 1-μ= , 3 3
3
8.BD 解析 对于A,D,因为在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,
1 1 1 1
所以⃗AF= (⃗AC+⃗AE),⃗AC=⃗AB+⃗AD,⃗AE= ⃗AB,所以⃗AF= (⃗AB+⃗AD+ ⃗AB)=
2 2 2 2
3 1 1
⃗AB+ ⃗AD,故A错误,D正确.对于B,⃗AF+⃗CF=⃗AF+⃗FE=⃗AE= ⃗AB,故B正确.
4 2 2
1
对于C, ⃗AB+⃗AD=⃗AE+⃗AD=⃗EB+⃗BC=⃗EC,故C错误.故选BD.
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx9.0 解析 2⃗AB+2⃗BC+3⃗CD+3⃗DA+⃗AC=3⃗AC+3⃗CD+3⃗DA=0.
3 1 1 1 7 1
10.- 解析 由 ⃗BE=⃗BA+⃗AE =-⃗AB+ ⃗AD=-⃗AB+ × (⃗AB+⃗AC)=- ⃗AB+ ⃗AC=x⃗AB +y
4 4 4 2 8 8
7 1 3
⃗AC ,则x=- ,y= ,所以x+y=- .
8 8 4
11.解 (1)依题意,设⃗EN=t⃗EF,⃗CN=⃗CE+⃗EN=⃗CE+t⃗EF=⃗CE+t(⃗CF−⃗CE)=(1-t)⃗CE+t⃗CF=-
1-t t
⃗AB− ⃗AD,又 ⃗CN = λ⃗AB + μ⃗AD ,
3 3
1-t
{λ=- ,
3 1
所以 解得λ+μ=- .
t 3
μ=- ,
3
2 2 5 5
(2)因为⃗AC=⃗AB+⃗AD,⃗AE= ⃗AB+⃗AD,⃗AF=⃗AB+ ⃗AD,所以⃗AE+⃗AF= (⃗AB+⃗AD)= ⃗AC,
3 3 3 3
3 3
所以⃗AC= a+ b.
5 5
12.B 解析 因为⃗AB=2a-5b,⃗BC=a-3b,⃗CD=a-2b,所以⃗AC=⃗AB+⃗BC=2a-5b+a-3b=3a-8b,
⃗BD=⃗BC+⃗CD=a-3b+a-2b=2a-5b,因为⃗AB=⃗BD,所以A,B,D三点共线,故B正确;因为a,b是不共
2 -5
线的向量, ≠ ,所以 ⃗AB =2a-5b,⃗BC =a-3b不共线,即A,B,C三点不共线,故A错误;因为a,b是不
1 -3
1 -3
共线的向量, ≠ ,所以 ⃗BC =a-3b,⃗CD =a-2b不共线,即B,C,D三点不共线,故C错误;因为a,b是
1 -2
3 -8
不共线的向量, ≠ ,所以 ⃗AC =3a-8b,⃗CD =a-2b不共线,即A,C,D三点不共线,故D错误.故选B.
1 -2
1 1 1 1
13.C 解析 由题意,可得⃗AG=⃗AB+⃗BG=⃗AB+ ⃗BH=⃗AB+ (⃗BC+⃗CH)=⃗AB+ ⃗BC+ ⃗CE.
2 2 2 4
1 1
因为四边形EFGH是平行四边形,所以 ⃗AG =-⃗CE ,所以⃗AG=⃗AB+ ⃗BC− ⃗AG,所以
2 4
4 2 4 2 4 2 8
⃗AG= ⃗AB+ ⃗BC.因为⃗AG=x⃗AB+y⃗AD,所以x= ,y= ,则xy= × = .故选C.
5 5 5 5 5 5 25
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx2 1
14.BCD 解析 对于A,B,C,由 ⃗AG = λ⃗AB +μ⃗AC,⃗AE= ⃗AB,⃗AD= ⃗AC,得
3 2
{⃗AG= 3 λ⃗AE+μ⃗AC,
2 因为E,G,C三点共线,且B,G,D三点共线,
⃗AG=λ⃗AB+2μ⃗AD,
1
{3 {λ= ,
λ+μ=1, 2
所以 解得
2
1
λ+2μ=1, μ= ,
4
1 1 1 1
即⃗AG= ⃗AB+ ⃗AC.所以A错误,B,C正确.对于D,⃗AG= ⃗AB+ ⃗AC,⃗AM=m⃗AB,⃗AN =n⃗AC ,
2 4 2 4
1 1 1 1 1 1 2 1
则⃗AG= · ⃗AM+ · ⃗AN,因为M,G,N三点共线,则 + =1,即 + =4,m+2n=(m+2n)(
2 m 4 n 2m 4n m n
{2 1 {m=1,
2 1 1 m 4n 1 + =4,
+ )· =(2+ + +2)· ≥2,当且仅当 m n 即 1 时,等号成立.所以D正确.故
m n 4 n m 4 n=
m=2n, 2
选BCD.
3 √2
15. + 解析 因为A,B,P是直线l上三个相异的点,且4⃗OP =2x⃗OA +y⃗OB ,即
4 2
x y x y 1 1 1 1 x y 3 y x 3
⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB,又x,y为正实数,所以 + =1,所以 + =( + )·( + )= + + ≥
2 4 2 4 x y x y 2 4 4 4x 2y 4
+2 √ y · x = 3 + √2 ,当且仅当 y = x ,即x=4-2√2,y=4√2-4时,等号成立,
4x 2y 4 2 4x 2y
1 1 3 √2
所以 + 的最小值为 + .
x y 4 2
16.(1)解 在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,则
1 1 1 1 1 1 2 1 1
⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC= a+ b,故⃗AE= ⃗AD= a+
2 2 2 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2
b,⃗BE=⃗AE−⃗AB= a+ b-a= b- a.
3 3 3 3
1 2 1 1 1
(2)证明 因为⃗BE= b- a= (b-2a),⃗BF=⃗AF−⃗AB= b-a= (b-2a),
3 3 3 2 2
2
所以⃗BE= ⃗BF,所以⃗BE∥⃗BF ,又BE,BF有公共点B,
3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx所以B,E,F三点共线.
2 1 2 1
17.3 2 解析 连接AO,因为OC=2OB,所以⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC= m⃗AM+ n⃗AN(m,n∈R).
3 3 3 3
2 1 t t 1 1 2+√2
又M,O,N共线,所以 m+ n=1,则2m+n=3.显然t>0,所以 + ≥2+√2 等价于 + ≥ .
3 3 m n m n t
1 1 1 1 1 1 2m n 2
因为 + = ( + )(2m+n)= (3+ + )≥1+ √2,当且仅当n= √2 m且2m+n=3,即m=3-
m n 3 m n 3 n m 3
3√2 1 1 2 (√2+1)2 (√2+1)2 (√2+1)√2
,n=3√2-3时, + 取最小值1+ √2= .于是 ≥ ,所以t≥6-
2 m n 3 3 3 t
3√2,故实数t的最小整数值是2
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468
也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
