文档内容
5.1 平面向量的概念及其线性运算
思维导图
知识点总结
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量
的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作 | AB |.
(2)零向量： 长度为 0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任
一向量平行.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a
求两个向量和的 三角形法则
加法
运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ a ＋ ( b ＋ c )
平行四边形法则
求两个向量差的
减法 a－b＝a＋(－b)
运算
(1)|λa|＝ | λ | | a |；
(2)若a≠0，则当λ＞0
规定实数 λ 与向 时，λa的方向与a的方 λ(μa)＝ λμ a ；
数乘
量 a 相 乘 的 运 向相同；当λ＜0时，λa
(λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
算，叫作向量的
的方向与a的方向相
数乘，记作λa 反；特别地，当λ＝0 λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
时，0a＝0；当a＝0
时，λ0＝0
3.共线向量定理
设a为非零向量，如果有一个实数 λ，使 b ＝ λ a ，那么b与a是共线向量；反之，如果 b与a
是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
[常用结论]
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB).
2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方
向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 平面向量的有关概念
例1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，
故a＝2b是＝成立的充分条件.
感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移
混淆.
考向二 向量的线性运算
角度1 平面向量加、减运算的几何意义
例2 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠
近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE＝( )
A.－AB＋AC B.－AB＋AC
C.－AB＋AC D.－AB＋AC
答案 A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 由题图，得FE＝FC＋CE＝BC＋CD＝(AC－AB)＋
＝AC－AB＋AB－AC－AB＝－AB＋AC.故选A.
角度2 向量的线性运算
例3 在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
答案 A
解析 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行
四边形，
所以AD＝AE＋AF.
因为BD＝BC，
所以AE＝AB，AF＝AC，
所以AD＝AB＋AC＝a＋b.
角度3 利用向量的线性运算求参数
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD＝λAB＋μAC，则
λ－μ＝________.
答案
解析 如图.
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴BD＝＝BC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.
又∵AD＝λAB＋μAC，
∴λ＝，μ＝，故λ－μ＝.
感悟提升 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
考向三 共线向量定理的应用
例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋
3b，则( )
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
答案 D
解析 对于A，BD＝BC＋CD＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与AB不共线，A不正确；
对于B，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，则AB与BC不共线，B不正确；
对于C，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则BC与CD不共线，C不正确；
对于D，AC＝AB＋BC＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3CD，即AC∥CD，又线段AC与CD
有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.
(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线分别与
AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则＋的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析 延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵G为△ABC的重心，
∴AG＝AH＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)＝＝AM＋AN.
∵M，G，N三点共线，
∴＋＝1，
即＋＝3.故选A.
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两
⇔
向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
考向四 等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，
μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数 k，k∈R，使得OP′＝kOP，
则OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上
或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平
行的直线称为等和(高)线.
例 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的
圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.
答案 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 法一 由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).
其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
则有OC＝(cos θ，sin θ)＝x(1，0)＋y，
即
得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y) ＝2，
max
当且仅当θ＝时取得.
法二 如图，
连接AB交OC于点D，
设OD＝tOC，
由于OC＝xOA＋yOB，
所以OD＝t(xOA＋yOB).
因为D，A，B三点在同一直线上，
所以tx＋ty＝1，x＋y＝，
由于|OD|＝t|OC|＝t，
当OD⊥AB时t取到最小值，
当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
法三 (等和线法)连接AB，
过C作直线l∥AB，则直线l为以OA，OB为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l
与圆弧相切于C 时，定值最大，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为∠AOB＝120°，
所以OC1＝OA＋OB，
所以x＋y的最大值为2.
基础题型训练
一、单选题
1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】向量数乘仍是向量，故①错误；由向量数量积的运算律，有②③正确；应用数量积的运算可证明
、 不成立，故④⑤错误
【详解】①错误，正确的是 ，向量数乘结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误， ，故
⑤错误，
综上，正确的个数为2
故选：B
【点睛】本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得 是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量 不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的定义，在直线 上有且仅有两个点使得 为单位长度，所以B正确；
方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义，向量 表示点 到 点的位移，所以D不正确.
故选：B.
3．若 ＝(1，1)， ＝2，且 ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，求得 ，再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
4．若 是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则 的取值范
围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何关系结合平面向量的线性运算可得 ， ，设
，利用平面向量数量积的运算律即可求解.
【详解】解：因为 为等边三角形， 是边 的中点，故 , ,
又 是线段 上任意一点，故设 ，
因为 ，所以 .
故 ,
又 ,故 .
故选：C.
5．已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 与 的夹角为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法法则画出 ，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.
【详解】如图， ， ，则 ，
设最小的小正方形网格长度为1，则 ， ，
所以 ，
所以三角形 是等腰直角三角形， ，
向量 与 的夹角为 的补角 .
故选：D.
6．已知空间任一点 和不共线的三点 、 、 ，下列能得到 、 、 、 四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】先证明出若 且 ，则 、 、 、 四点共面，进而可得出合适
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的选项.
【详解】设 且 ，
则 ， ，
则 ，所以， 、 、 为共面向量，则 、 、 、 四点共面.
对于A选项， ， ， 、 、 、 四点不共面；
对于B选项， ， ， 、 、 、 四点共面；
对于C选项， ， ， 、 、 、 四点不共面.
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题.
二、多选题
7．若 是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 与 的夹角为 D．
【答案】BC
【分析】根据条件可得 ，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D.
【详解】因为 ， ，
所以 ，故A错误，B正确，C正确；
所以 ，故D错误.
故选：BC.
8．对于两个向量 和 ，下列命题中错误的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ， 满足 ，且 与 同向，则 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.
【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；
对于B中，由 ，
又由 ，因为 ，
所以 成立，所以B正确；
对于C中， ，所以C不正确；
对于D中， ，
所以 ，所以D不正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．若向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为_________.
【答案】
【分析】由向量夹角公式直接求解即可.
【详解】 ，
夹角为 ，
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．在 中， 、 、 分别是角A、 、 的对边， ， ， ， ，则
___________.
【答案】
【分析】将已知向量等式两边平方，利用向量的数量积的运算法则运算化简，进而再开方求得答案.
【详解】
，
，
故答案为： .
11．在 中， ，且 ，则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】计算出 ，利用二次函数的最值问题即可解出答案.
【详解】 ，
当 时， ，
所以 .
故答案为： .
12．已知向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，若 ，则 的最小
值为______.
【答案】 /
【分析】令 ，进而根据向量模的不等式关系得 ，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
，
由二次函数性质可得， ，即：
所以 ，
所以 的最小值为
故答案为： .
四、解答题
13．运用数量积知识证明下列几何命题：
(1)在 中， ，则 ；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)
证明：由题得 ,
因为 ，所以 ,
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
(2)
证明；因为矩形ABCD，
所以 ，
同理 ,
因为 ,
所以 ,所以AC＝BD.
14．如图所示， 中， ， 边上的中线 交 于点 ，设 ，
用向量 表示 .
【答案】 ， ； ， .
【解析】利用平行线以及三角形相似，先找出线段间的关系，再结合图象得到向量间的关系．
【详解】解析因为 ，所以 .
由 ，得 .
又 是 的底边 的中点， ，所以 ，
.
【点睛】本题考查向量的几何表示，三角形相似的性质，向量的加减法，体现了数形结合的数学思想．属
于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知 ， 且 与 的夹角为 ，又 ， ，
(1)求 在 方向上的投影；
(2)求 ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据 在 方向上的投影为 计算即可得解；
（2）根据向量的线性运算求出 ，再根据向量的模的计算公式结合数量积的运算律即可得出答案.
(1)
解：因为 ， 且 与 的夹角为 ，
所以 在 方向上的投影为 ；
(2)
解：因为 ， ，
所以 ，
则 ，
即 .
16．平面内给定三个向量 ，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求实数k关于n的表达式；
(2)如图，在 中，G为中线OM上一点，且 ，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，
Q（ 不与 重合）.设向量 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；
（2）由向量的运算得出 ，再由 三点共线，得出 ，再由基本不等式
求最值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 .
（2）由（1）可知， ， ，由题意可知
因为 ，所以
又 ， ，所以 .
因为 三点共线，所以 .
当且仅当 时，取等号，即 时， 取最小值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．已知 是互相垂直的单位向量，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
故选：A
2．如图，四边形 中， ，则相等的向量是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】判断出四边形 为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选
项．
【详解】因为在四边形 中， ，
则四边形 为平行四边形，
故 ， ， ，
故选：D．
3．下列命题正确的是
A．
B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题；A. ，错误；向量的模长相等，但方向不同；B．
，错误；向量是有方向的，不能比大小；D． ，错误；向量相等，则模长相等，方向相同．
而共线则方可相反．C． ，正确；符合零向量的定义．
考点：向量的概念．
4．对于非零向量 ， ，定义 ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定理可得 ，然后利用向量模的计算求出 ，代入即可求解.
【详解】∵ ，∴ ．
由 可得 ，
两式相减得 ，∴ ．
故选：B.
5．设向量 ， 满足 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． [ ，＋∞) B． [ ，＋∞)
C．[ ，6] D．[ ，6]
【答案】B
【分析】由复数的数量积与模的关系将 转化为数量积，再利用数量积的定义化简求最值.
【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ≥ ，当t＝－1时取等号．
故选：B.
6．已知 ， ，则 的最大值等于（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到 ，然后利用平面向量数量积运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.
二、多选题
7．有如下命题，其中真命题为（ ）
A．若幂函数 的图象过点 ，则
B．函数 （ 且 ）的图象恒过定点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．函数 在 上单调递减
D．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 在 方向上的投影向量是 ．
【答案】BD
【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点 即
可得到；C选项，根据二次函数的单调性可以判断；D选项，由投影向量知识可算得.
【详解】对A选项，设幂函数的解析式为 ，因为幂函数的图像经过点 ，即 ，解得
，则 ， ，故A选项错误；
对B选项，函数 的图象恒过定点 ，故B选项正确；
对C选项，函数 在 上单调递增，故C选项错误；
对D选项， 在 方向上的投影向量 ,故D选项正确.
故选：BD.
8．下列命题中假命题的是（ ）
A．向量 与向量 共线，则存在实数 使
B． ， 为单位向量，其夹角为θ，若 ，则
C．若 ，则
D．已知 与 是互相垂直的单位向量，若向量 与 的夹角为锐角，则实数k的取值范围是
.
【答案】ACD
【分析】A.根据共线向量定理进行分析判断即可；B.将 左右同时平方，由此求解出 的取值范
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】围，则 范围可求；C.考虑零向量存在的情况；D.根据 ，同时注意排除两向量同向时
的情况.
【详解】A.根据共线向量定理可知，此时 ，故错误；
B.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故正确；
C.当 中有零向量时，此时 ，因为零向量方向是任意的，所以 不一定满足，故错误；
D.因为向量 与 的夹角为锐角，所以 ，
所以 ，即 ，且 与 不同向，
当向量 与 共线时，设 ，所以 ，所以 ，
显然 时， 与 同向，
综上可知， 的取值范围是 ，故错误；
故选：ACD.
三、填空题
9．下列向量中， 与 一定共线的有_______．（填序号）
① ， ；
② ； ；
③ ， ；
④ ， ．
【答案】①②③
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】①中， ；
②中， ；
③中， ；
④中，当 不共线时， .
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题.
10．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 与 的夹角 为______.
【答案】
【分析】根据向量垂直，数量积为零，再由数量积的定义可求.
【详解】 , ，
即 ， ，
， ， ，
又 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题.
11．已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量 与 的夹角是_____.
【答案】
【解析】首先根据 ，求得 ，由此利用夹角公式计算出向量 与 的夹角的余弦值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由此求得向量 与 的夹角.
【详解】由 两边平方并化简得 ，即 ，即
.所以 ，由于 ，所
以 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.
12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知 ，则 __．
【答案】
【分析】利用向量的三角形法则和共线向量定理即可得出．
【详解】由向量的三角形法则可得：
∴
故答案为
【点睛】熟练掌握向量的三角形法则和共线向量定理是解题的关键．
四、解答题
13．如图，网格小正方形的边长均为1，求 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 .
【分析】根据向量加法的三角形法则即可得出结果.
【详解】解：如图，作 ， ， ，则根据向量加法的三角形法则可得 ，
即 .
14．如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出 ；
(2)以B为始点，作出 ；
(3)若 为单位向量，求 、 和 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3) ， ，
【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出 ；（2）先将共线向量 计算出结果再作
出 ；（3）根据 利用勾股定理即可计算出各向量的模长.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）将 的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出 ，如下图所示：
（2）先将共线向量 的起点同时平移到B点,计算出 ,再将向量 与之首尾相接，利用三角形法则即
可作出 ，如下图所示：
（3）由 是单位向量可知 ，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知 ；
利用图示的向量和勾股定理可知， .
15．已知 ， ， ．
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）求
【答案】（1） ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据向量的运算性质化简求出 ，利用向量夹角公式求解即可；
（2）根据向量的运算法则先计算 ，即可求解.
【详解】 ，
，
即 ．
，
， ；
，
又 ，
；
，
．
16．如图，设Ox，Oy是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，
若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系xOy中的坐标，假设 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)计算 的大小；
(2)是否存在实数n，使得 与向量 垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意结合平面向量的数量积及模长运算求解；
（2）根据题意可得 ，结合垂直关系运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，
故 .
（2）存在，
由（1）可得：
若向量 ，即 ，
∵ 与向量 垂直，
则 ，
解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
