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5.1 平面向量的概念及其线性运算
思维导图
知识点总结
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量
的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作 |.
(2)零向量： 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任
一向量 .
(5)相等向量：长度 且方向 的向量.
(6)相反向量：长度 且方向 的向量.2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a
求两个向量和的 三角形法则
加法
运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
平行四边形法则
求两个向量差的
减法 a－b＝a＋(－b)
运算
(1)|λa|＝ ；
(2)若a≠0，则当λ＞0
规定实数 λ 与向 时，λa的方向与a的方 λ(μa)＝ λμ a ；
数乘
量 a 相 乘 的 运 向相同；当λ＜0时，λa
(λ＋μ)a＝ ；
算，叫作向量的
的方向与a的方向相
数乘，记作λa
反；特别地，当λ＝0
λ(a＋b)＝
时，0a＝0；当a＝0
时，λ0＝0
3.共线向量定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是
共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
[常用结论]
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB).
2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方
向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
典型例题分析考向一 平面向量的有关概念
例1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移
混淆.
考向二 向量的线性运算
角度1 平面向量加、减运算的几何意义
例2 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠
近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE＝( )
A.－AB＋AC B.－AB＋AC
C.－AB＋AC D.－AB＋AC
角度2 向量的线性运算例3 在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
角度3 利用向量的线性运算求参数
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若AD＝λAB＋μAC，则
λ－μ＝________.
感悟提升 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
考向三 共线向量定理的应用
例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋
3b，则( )
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线分别与
AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则＋的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两
⇔
向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
考向四 等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，
μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数 k，k∈R，使得OP′＝kOP，
则OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上
或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平
行的直线称为等和(高)线.
例 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的
圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.
基础题型训练
一、单选题
1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得 是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量 不能表示这个人从A点到B点的位移
3．若 ＝(1，1)， ＝2，且 ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．4．若 是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 与 的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间任一点 和不共线的三点 、 、 ，下列能得到 、 、 、 四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
二、多选题
7．若 是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 与 的夹角为 D．
8．对于两个向量 和 ，下列命题中错误的是（ ）
A．若 ， 满足 ，且 与 同向，则 B．
C． D．三、填空题
9．若向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为_________.
10．在 中， 、 、 分别是角A、 、 的对边， ， ， ， ，则
___________.
11．在 中， ，且 ，则 的最小值是___________.
12．已知向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，若 ，则 的最小
值为______.
四、解答题
13．运用数量积知识证明下列几何命题：
(1)在 中， ，则 ；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
14．如图所示， 中， ， 边上的中线 交 于点 ，设 ，
用向量 表示 .
15．已知 ， 且 与 的夹角为 ，又 ， ，
(1)求 在 方向上的投影；
(2)求 ．16．平面内给定三个向量 ，且 ．
(1)求实数k关于n的表达式；
(2)如图，在 中，G为中线OM上一点，且 ，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，
Q（ 不与 重合）.设向量 ，求 的最小值．
提升题型训练
一、单选题
1．已知 是互相垂直的单位向量，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
2．如图，四边形 中， ，则相等的向量是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．下列命题正确的是
A．
B．C．
D．
4．对于非零向量 ， ，定义 ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．设向量 ， 满足 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． [ ，＋∞) B． [ ，＋∞)
C．[ ，6] D．[ ，6]
6．已知 ， ，则 的最大值等于（ ）
A．4 B． C． D．5
二、多选题
7．有如下命题，其中真命题为（ ）
A．若幂函数 的图象过点 ，则
B．函数 （ 且 ）的图象恒过定点
C．函数 在 上单调递减
D．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 在 方向上的投影向量是 ．
8．下列命题中假命题的是（ ）
A．向量 与向量 共线，则存在实数 使B． ， 为单位向量，其夹角为θ，若 ，则
C．若 ，则
D．已知 与 是互相垂直的单位向量，若向量 与 的夹角为锐角，则实数k的取值范围是
.
三、填空题
9．下列向量中， 与 一定共线的有_______．（填序号）
① ， ；
② ； ；
③ ， ；
④ ， ．
10．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 与 的夹角 为______.
11．已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量 与 的夹角是_____.
12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知 ，则 __．
四、解答题
13．如图，网格小正方形的边长均为1，求 .
14．如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出 ；
(2)以B为始点，作出 ；
(3)若 为单位向量，求 、 和 ．
15．已知 ， ， ．
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）求
16．如图，设Ox，Oy是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，
若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系xOy中的坐标，假设 .
(1)计算 的大小；
(2)是否存在实数n，使得 与向量 垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．
