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专题 5.2 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
【新高考专用】
题型一 正、余弦齐次式的计算
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知tanα=2，则sinαcosα的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
1−2sinαcosα 1
2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知 = ，则tanα=（ ）
cos2α−sin2α 3
1 1 1 1
A． B． C． 或1 D． 或1
3 2 3 2
sinθ−3cosθ
3．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知tanθ=2，则 = .
2sinθ+3cosθ
1+tanα
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 =√3，则sin4α+cos4α= .
1−tanα
题型二 “和”“积”转换
√5
5．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知sinθ+cosθ= ，则sinθcosθ=（ ）
2
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
8 4 8 4
1
6．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知sinαcosα=− ，α∈(0,π)，则sinα−cosα=（ ）
8
√5 √5 √3 √3
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
1
7．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知sinα+cosa= ,α∈(0,π)，则(sina−1)(cosa+1)= ．
5
7
8．（2024·辽宁鞍山·二模）已知α是第四象限角，且满足sinα+cosα= ，则tanα= ．
13
题型三 诱导公式的应用——化简、求值9．（2024·全国·模拟预测）已知sin (5π +α ) = 1 ,则cos ( π +α )=（ ）
8 3 8
1 1
A．− B．
3 3
√3 √3
C．− D．
3 3
10．（2024·黑龙江·二模）已知角α的终边与单位圆的交点P
(3
,−
4)
，则sin
(
α−
π
)=（
）
5 5 2
4 3 3 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
π 3 π
11．（2024·福建厦门·一模）若sin ( α+ )=− ，则cos ( α− )= ．
4 5 4
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−1,2)，则cos(π+α)的值为 .
题型四 同角关系式与诱导公式的综合应用
4 π
13．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知cosθ=− ，θ∈(0,π)，则cos( −θ)=（ ）
5 2
3 4 3 3
A． B． C．− D．−
5 5 5 4
(π ) 1 sin3θ+2cos3θ
14．（2024·全国·模拟预测）已知tan +θ = ，则 =（ ）
2 2 sin(π+θ)
3 5 5 3
A． B． C．− D．−
5 6 6 5
15．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知角α的终边经过点P(2,−3)，则
sin(π−α)+cos(α−π)
=
π π ．
sin( +α)+cos( −α)
2 2
1
16．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cos(x−70°)= ，则sin(x+110°)= ．
5
题型五 三角恒等变换的化简问题
1
17．（2024·重庆·模拟预测）已知sin(α+β)= ,tanα=3tanβ，则cos(2α−2β)=（ ）
2
1 1 7 1
A．− B． C． D．−
8 2 8 218．（2024·全国·模拟预测）已知sin(α+β)=2sinαsinβ，tanαtanβ=−2，则tan(α+β)=（ ）
4 4
A．− B． C．−2 D．2
3 3
19．（2024·四川眉山·一模）求值sin430°cos320°+cos110°sin40°= .
1 1
20．（2024·甘肃张掖·一模）已知cos(α+β)= ,sinαsinβ=− ，则cos2α−sin2β= ．
3 12
题型六 三角恒等变换——给值求值型问题
3
21．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知sinα+cosβ= ，cosα=sinβ，则sin(α−β)=（ ）
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 16
√5 2
22．（2024·贵州贵阳·二模）已知cosα−cosβ= ,sinα−sinβ=− ，则tan(α+β)的值为（ ）
3 3
A．−4√5 B．4√5 C．−2√5 D．2√5
3 2
23．（2024·江西·模拟预测）已知cos(α+β)= ，cosαcosβ= ，则cos(2α−2β)= .
5 5
π 1 7
24．（2024·广西南宁·一模）已知0<α< <β<π,cosβ=− ,sin(α+β)= ，则tanα= ．
2 3 9
题型七 三角恒等变换——给值求角型问题
1
25．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知tanα=− ，tanβ=2，且α,β∈(0,π)，则α+β的值为
3
（ ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
π π
26．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知0<α< ,0<β< ，且sin(2α+β)=4sinβ，
2 2
α α
10tan =√3(1−tan2 )，则α+β的值为（ ）
2 2
π 5π 2π π
A． B． C． D．
6 6 3 3
5
27．（2024·海南海口·模拟预测）已知cos(α+2β)= ,tan(α+β)tanβ=−4，写出符合条件的一个角α
6
的值为 .√5 √10
28．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若sin2α= ,sin(β−α)= ，且
5 10
[π π] [ 3 ]
α∈ , ,β∈ π, π ，则α+β=
4 2 2
.
题型八 利用三角恒等变换判断三角形的形状
29．（2024·福建宁德·二模）在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A
30．（23-24高一下·吉林·期末）在△ABC中，已知sinBsinC=cos2 ，则△ABC的形状是（ ）
2
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
31．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）在△ABC中，若sinA=2sinCcosB，则这个三角形的形状是 ．
32．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在ΔABC中，若2sinAsinB=1+cosC，则该三角形的形状是
.
题型九 三角恒等变换的综合应用
33．（2024·四川广安·二模）已知函数f (x)=cos2x+sin2x，则下列说法中，正确的是（ ）
A．f (x)的最小值为−1
[ π π]
B．f (x)在区间 − , 上单调递增
4 4
C．f (x)的最小正周期为2π
π
D．f (x)的图象可由g(x)=√2cos2x的图象向右平移 个单位得到
8
π
34．（2024·四川南充·一模）已知函数f(x)=acos2x+√1−a2sin2x(00，函数f(x)=sinωx−cosωx+1的图象与g(x)=1的图象在
[π,2π]上最多有两个公共点.则ω的取值范围为 .
一、单选题
( 3π ) cosα
1．（2024·四川宜宾·一模）若α∈ π， ，tanα= ，则sinα=（ ）
2 sinα−1
√3 √2 1 1
A．− B．− C．− D．−
2 2 2 3
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）20240128°所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·山东·一模）已知tan(3π−α)=3，且α是第二象限角，则sinα等于（ ）
√10 √10 3√10 3√10
A． B．− C． D．−
10 10 10 10
4．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重
sinα+2cosα
合，终边经过点P(3,4)，则 =（ ）
cosα−sinα
A．11 B．−10 C．10 D．−11
π 5
5．（2024·湖南衡阳·一模）已知α,β∈(0, )，sin(α+β)= ，tanα=4tanβ，则α−β=（ ）
2 6
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
π π 1
6．（2024·湖南·模拟预测）设α∈ ( 0, ) ，β∈ ( 0, ) ，且tanα+tanβ= ，则（ ）
2 2 cosβ
π π π π
A．2α+β= B．2α−β= C．2β−α= D．2β+α=
2 2 2 2
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx+2cos2 ωx （ω>0）在区间 (π , 3π ) 上单调递增，
2 2 4
则ω的取值范围是（ ）
( 2] [8 ] ( 1] [5 ] [5 ]
A．(0,4] B． 0, ∪ ,4 C． 0, ∪ ,3 D． ,3
3 3 3 2 2√2 1
8．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角α,β,γ满足sinαcosβ= ,sinβcosγ= ，则sinγcosα的
2 2
最大值是（ ）
1 3 √3−1 √6−√2
A． B． C． D．
4 4 4 4
二、多选题
9．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角 的终边过点 (1 √3)，则角 的集合是
α P , α ¿
2 2
B．若cos( α+ π )= 3 ，则sin ( α+ 2π ) = 3
6 5 3 5
6
C．若tanα=2，则sin2α+sinαcosα=
5
D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm
( π) 2
10．（2024·海南·模拟预测）已知α，β∈ 0, ，若cos(α−β)= ，tan(α+β)+tanα+tanβ=0，则
2 3
（ ）
1 2
A．tanαtanβ= B．cosαcosβ=
2 9
4 2
C．sinαsinβ= D．cos(α+β)=
9 9
π π
11．（2024·河南周口·模拟预测）设α∈(0, )，β∈(0, )，则下列计算正确的是（ ）
2 2
A．cos(α+β)0)．
2
(1)当ω=1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在[0,π]上有且仅有两个零点，求ω的取值范围．
