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拓展专题 02 勾股定理实际应用
（13 种类型 78 道）
考点01 梯子问题
考点02 杯中筷子
考点03 小鸟飞行
考点04 折竹抵地
考点05 楼道铺地毯
考点06 水上航行中方位角的应用
考点07 求河的宽度
考点08 判断是否超速
考点09 判断是否受影响
考点10 测量旗杆高度
考点11 选择最佳地址
考点12 立体图形中的最短路径
考点13 平面图形中的最短路径
考点01 梯子问题
1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时
梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子 的长度为（ ）
A．20米 B．16米 C．12米 D．24米
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设 米，得到 米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到 ，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意， 米， ， ，
设 米，则： 米，
在 和 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，即： ，
解得 ，
∴ 米，
∴ 米；
故选：A．
2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到 ），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，
在完成从 高的 处救援后，还要完成比 处高 的点 处的救援，则消防车需要从点 处
向点 处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键．
由题意得， ， ， ， 即为消防车的高， ，则 ，
，先在 中求出 ，再在 中求出 ，即可由 求解．
【详解】解：由题意，得 ， ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得
，
在 中，由勾股定理，得
，
∴ ，
即消防车需要从点 处向点 处移动的距离为 ．
故选：C．
3．如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，梯子底端B到墙底部O的距离 为 ，如果将梯子顶端A沿墙下滑 到C处，梯子底端B将外移的距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知： ， ， ，
，先利用勾股定理求出 ，进而得出 ，再利用勾股定理得出 ，最后根据
求解即可．
【详解】解：根据题意可知： ， ， ， ，
在 中， ，
，
∴在 中， ，
，
∴
故选：A
4．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑
动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE
中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴ ，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC= = =2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴ ，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC= = =1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是
解题的关键．
5．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，
顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地
面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（ ）
A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理；在 中，利用勾股定理 ，求出 ，在
中，利用勾股定理 求出 ，再求和即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴在 中， ，
即 ，
∵ ，
∴在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴两个书柜之间的距离为2.2米；
故选：B．
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 ，若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底
端也下滑 ，则梯子 的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得 ，
， ， ，再设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，
然后根据 建立方程，解方程可得 的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得： ， ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
考点02 杯中筷子
7．如图将一根长为 的筷子，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最
大值为 ，
将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为 ，
∴h的取值范围是 ，
故选：B．
8．如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解
答即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时 最大， 最大 ．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 最小，
如图所示：此时， ，
故 ，
故 的取值范围是 ．
故选：C．
9．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是 ，一支铅笔长为 ，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，
这支铅笔在笔筒外面部分长度为 ．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度
不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出 ，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论．
【详解】解：根据题意可得图形：
，
在 中， ，
∴ ，
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在 之间，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
10．将一根 长的筷子置于底面圆直径为 、高为 的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外
面的长度为 ，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长
度最长；分别求出h的最大值和最小值即可．
【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴ ；
如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在 中， ， ，
∴ ，
此时 ，
∴h的取值范围是 ，
故选：B．
11．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是 和 ，．将一支铅笔按如图方式先后
放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为 和 ，，则铅笔的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方 ；
第二个笔筒中：直径平方 ；因直径相等，列方程即可求解．
【详解】解：设铅笔长度为 ，由题意得，
，
解得， ，
故铅笔的长为 ；
故选：A．
12．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为
18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】A
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．此题主要考查了勾股定
理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可得图形：
在 中： ，
所以 ．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在 之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
考点03 小鸟飞行
13．如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理
可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图过点B作 于点C，则 米， 米，
∴ 米，∴ 米，
∴小鸟至少飞行 米，
故选：C．
14．如图，有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．
先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：设高的那棵树用 表示，低的那棵树用 表示，过点C作 于点E，连接 ，如
图所示：
由题意得： 米， 米， 米， ，
∴ 米，
在 中，由勾股定理得： （米）；
故选：C．
15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．17 B．15 C．10 D．8
【答案】A
【详解】解：两棵树的高度差为 （米 ，间距为15米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 （米 ．故选：A．
16．如图，学校操场上有两棵树 和 （都与水平地面 垂直），大树 高8米，树梢D到树 的
水平距离 的长度为8米，小树 高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行
的长度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接 ，求出
米，然后由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， （米），
∴ （米），
即小鸟至少要飞行的长度为10米．
故选：B．
17．在水平地面上有一棵高 米的大树， 和一棵高 米的小树，两树之间的水平距离是 米，一只小鸟从
小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米【答案】B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m，
在Rt△AEC中， ．
故小鸟至少飞行13m．
故选：B.
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
18．如图，有一只喜鹊在一棵 高的小树 上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（ ）为 的一棵
高的大树 上，喜鹊的巢位于树顶下方 的 处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它
飞行的速度为 ，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于 ，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过 作 于 ，如图所示：
由题意可知， ，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为 ，由勾股定理可得，
它要飞回巢中所需的时间至少是 （ ），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的
关键．
考点04 折竹抵地
19．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思
是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，
尺， 尺， 设 为x尺， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设 为x尺，则 尺，运用勾股定理即可列出方程，
利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：设 为x尺，则 尺，依题意得：
，
故选：B．
20．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，
其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈 尺）？设原处的竹子还
有x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则 尺， 尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
设原处的竹子还有x尺，则 尺， 尺，
在 中，由 得 ．
故选：B．
21．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面
处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（ ）
A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度 为x
米，则 米，在 中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度 为x米，则 米，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
即折断处离地面的高度为3米．
故选：A．
22．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一
丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高
度是多少尺？（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
【详解】解：设折断处离地面 尺，
根据题意可得： ，
解得： ．
答：折断处离地面 尺．
故选：C．
23．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三
尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断
处距离地面多少尺？（ ）
A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出关于 的方程，
求出 的值即可．
【详解】解：如图：
由题意知， 尺， 尺，
，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，折断处距离地5.625尺．
故选：B．
24．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6
尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺 B． 尺 C． 尺 D．4尺
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为 尺，利用勾股定
理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
∴折断处离地面的高度为 尺，
故选：B．
考点05 楼道铺地毯
25．如图，某会展中心准备将高 ，长 ，宽 的楼道铺上地毯，若地毯每平方米 元，则铺完这个
楼道至少需要 元．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得 ，即得地毯的长为
，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得， ，
∴地毯的长为 ，
∴地毯的面积为 ，
∴铺完这个楼道至少需要 元，
故答案为： ．
26．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米．【答案】7
【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角边的长是解
题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾
股定理可求另一直角边．
【详解】解：如图：
（米）， （米），
（米），
∴地毯长 （米）．
故答案为：7．
27．如图，某会展中心在会展期间准备将高 ，长 ，宽 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米
元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，利用
勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用即可．
【详解】解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为 ，
因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即 ，
地毯的面积为 ，
总费用为 元，
故答案为： ．
28．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米．【答案】14
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定
理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【详解】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，
由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC= =8（米），
则AC+BC=14（米），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
29．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平
方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需 元．
【答案】420元
【详解】试题分析：先利用勾股定理求得三角形的底边长，然后根据地毯长度=BC+AC可知地毯长=7米，
然后再根据题意计算即可．
解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC= =4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=40×10.5=420元．
故答案为420元．
考点：勾股定理的应用．30．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则
购买这种地毯至少需要 元．
【答案】420
【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，
则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为420．
考点06 水上航行中方位角的应用
31．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以
18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我
军巡逻艇的航行路程 海里．
【答案】
【详解】解：如图所示，由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点 处追上走私船，∴ 海里，
在 中， 海里， 海里，
∴ 海里，
答：我军巡逻艇的航行路程为 海里．
故答案为15．
32．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远
航”号以每小时24海里的速度沿北偏东 方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西 方
向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离
为 海里．
【答案】25
【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断 为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度．
【详解】解：由题意知， ，
为直角三角形，
（海里）， （海里），
（海里），
即“远航”号与“海天”号的距离为25海里，
故答案为：25．
33．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以 海里 时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿
东北方向匀速航行， 小时后两艘轮船相距 海里，则乙轮船每小时航行 海里．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根
据路程 速度 时间，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴ ，
∴∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，
∴ （海里），
∵ 海里，
在 中， （海里），
∴乙轮船平均每小时航行 （海里）．
故答案为： ．
34．如图，两艘轮船 和 分别从港口 出发，轮船 以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船 以3
海里/时的速度从港口 出发向东南方向航行，行驶5个小时后， 两船的距离为 海里．
【答案】25
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了
20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：连接 如图，
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴ ，
在 中， （海里）， （海里），
根据勾股定理得 （海里）．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．
35．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 处测得小岛 位于北偏东 方向上，继续向东航行 海里
到达点 处，测得小岛 在轮船的北偏东 方向上，此时轮船与小岛 的距离为 海里．【答案】
【分析】过点 作 于点 ，根据题意，得 ， ，根据小岛 在轮船的北偏
东 方向上，则 ， ，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．
【详解】过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ （海里），
∴ （海里），
∵小岛 在轮船的北偏东 方向上，
∴ ，
∴ ，
∴ （海里），
∴ （海里），
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．
36．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方
向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是
海里．【答案】
【分析】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定 ，且B处在C处的北偏西 方向上，
再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定 ，进而求出 ，然后根据等腰三角形的判
定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离．
【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东 方向上，C处在B处南偏东 方向上，
∴ ，B处在C处的北偏西 方向上．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴ 海里．
∴AC=25海里．
∴ 海里．
故答案为： ．
考点07 求河的宽度
37．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点 偏离了想到达的点 米．他在水
中游了 米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ．
【答案】 米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知 ，在
中，利用勾股定理可以求出 米．
【详解】解： 游泳爱好者想横渡一条河，，
，
在 中， 米， 米，
米．
故答案为： 米．
38．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地
点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程 比河的宽度 多2米，则河的宽度
是 米．
【答案】15
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知 为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出
直角边 的长度．
【详解】解：根据题意可知 米，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
该河的宽度 为15米．
故答案为：15．
39．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点
（即 ），其结果是他在水中实际游了 （即 ），则该河 处的宽度是
．
【答案】480
【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出 即可．
【详解】解： ，
即该河 处的宽度是 ；故答案为：480．
40．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在
水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米．
【答案】75
【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
41．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中
实际游了500 m，则该河流的宽度为 ．
【答案】400m
【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB的距离
【详解】解：根据题意可知AC=500m，BC=300m，
由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即5002=3002+AB2，解得AB=400．
答：该河的宽度AB为400米．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
42．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实
际游了520m，则该河流的宽度为 m.
【答案】480
【详解】分析：本题考查的是利用勾股定理求出直角边的长.解析： 根据题意，
故答案为480.
考点08 判断是否超速
43．滨海西大道的限速为 （已知 ）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，
某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处（即 ），过了 后，行驶到B
处，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，问：这辆小汽车超速了吗？
【答案】没有超速，理由见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
利用勾股定理求出 然后求出速度进行比较即可．
【详解】解：根据题意得，由勾股定理得 ，
∴小车的速度为 ，
∵ ，
∴这辆小汽车没有超速．
44．某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对
面车速检测仪C处的正前方 的B处，过了 ，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距
离为 ．
(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗?
【答案】(1)
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键．
（1）在 中，根据勾股定理即可求出 的长；
（2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ，，
（2）由（1）得：大巴车的速度为 ，
，
大巴车超速了．
45．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上
直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距
离为 ，这辆小汽车超速了吗？
【答案】超速
【分析】解直角三角形 ，求出 ，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股
定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．
【详解】∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴这辆小汽车超速了．
46．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧
道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由 调
整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)这辆小汽车没有超速，理由见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用 行驶的路程为 ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，
∴ ；
（2）解：结合（1）可得小汽车的速度为 ；
∵ ；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速．
47．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行
驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的
正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离 为 ．这辆观光电瓶车超速了
吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得 ，进而可得观光电瓶车的速
度为 ，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴观光电瓶车的速度为 ，
，
这辆观光电瓶车超速了．
48．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过 高速路
边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示， 点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达 点时开始计时，离开 点时停止计时，依此计算车速，
已知 米．(1)若一辆汽车以 时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时 秒，该车是否超速 请说明理由．
【答案】(1)
(2)超速，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）勾股定理求出 的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可．
【详解】（1）解：依题意可得， ，
， 为直角三角形，
米， 米，
米，
，
；
答：共用时4秒；
（2）超速，理由如下：
，
，
超速．
考点09 判断是否受影响
49．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与 ， 两点
之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内（包括
）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海
港 不受台风影响，则忽略此问）【答案】(1)受台风影响，理由见解析；
(2)台风影响海港 持续的时间为 ．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应
用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影
响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断 为直角三角形，利用面积法求出C到 的距离 ，比较 与
的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、 为半径作圆，交 于E、F，利用勾股定理求出 的长度，得到 的距离，
再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【详解】（1）解：海港 受台风影响．
理由：如图，过点 作 于点 ，
因为 ， ， ， ,
所以 是直角三角形． ,
由三角形面积相等可得： ，
即 ，
所以 ．
因为以台风中心为圆心周围 以内(包括 )为受影响区域，所以海港 受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点 ， 处时刚好影响海港 ，连接 ， ，则 ，
所以 ，因 ，
所以 ．
因为台风中心移动的速度为 ，
，
所以台风影响海港 持续的时间为 ．
50．某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场
C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度
沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒
(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【分析】（1）过 作 于 ，过点B作 于H，根据题意得 ， ，
根据含30度和45度直角三角形的性质求出 米，得到 ，于是得到
小区会受到噪音干扰，设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，连接
， ，根据勾股定理即可得到结论．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ， ，则 ，
，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t 的方程，即可得
解．
【详解】（1）解：过 作 于 ，过点B作 于H，
由题意得， ， ，
，
， 米，
(米 ，
∴ 米，
，
，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，连接 ， ，
则 米，
米，
(米 ，
(米 ，
干扰的时间 (秒 ，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ，
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
51．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日 市气象局测得沙尘中
心在 市正西方向 千米的 处，以 千米/时的速度向东偏南 的 方向移动，距离沙尘中心
千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．(1)问 市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由；
(2)若受影响请计算 市受影响的时间．
【答案】(1) 市会受到沙尘暴的严重影响，见解析；
(2) 小时．
【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键．
（1）过点 作 于 ，根据含 角的直角三角形的性质得到 ，由此即可求解；
（2）设沙尘中心距 点 千米处，刚好处在 上的 两点，由勾股定理得到
千米，则 千米，由行程问题的数量关系即可求
解．
【详解】（1）解：过点 作 于 ，由题意得 千米， ，
∴ （千米）,
∵ ，
∴ 市会受到沙尘暴的严重影响；
（2）解：设沙尘中心距 点 千米处，刚好处在 上的 两点，
在 中， 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ 千米，
∴ 市受影响的时间为 （小时），
故 市受影响的时间为 小时．
52．如图，有一台环卫车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线 上两点A，B的距离分别为 和 ，又 ，环卫车周围 以内为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析
(2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的
关键．
（1）如图，过点C作 于D，再利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角
形面积得出 的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出 ，进而得到 的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下：
如图，过点C作 于D，
∵ ，
∴ ．
∴ 是直角三角形．
∴ ，
∴ ，解得： 米．
∵环卫车周围 以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．
（2）解：如图：当 时，在 上行驶时，正好影响学校C，
∵ ，同理 ，
∴ ，
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴ （分钟），
∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
53．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，
B两点的距离分别为 、 ，且 ，过点 作 于点 ，以台风中心为圆心，
半径为 的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为 ．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明
理由．
【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为
(2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）利用勾股定理求出 即可；
（2）利用三角形面积得出 的长，进而得出海港 是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出
以及 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
，
答：监测点 与监测点 之间的距离为 ；
（2）解：海港 受台风影响，
理由： ， ，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，海港 会受到此次台风的影响，
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ， ，
则 时，正好影响 港口，
在 中， ，
，
台风的速度为 ，
．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
54．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我
国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风
影响）．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的大致路线， 是某个大型农场，且 ．若
之间相距 之间相距 ．
(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场 会受到台风的影响，理由见解析；
(2) 小时．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过 作 于 ，由勾股定理得到 ，由此即可求解；
（2）如图，台风从点 开始影响该农场，到点 以后结束影响，连接 ， ，由勾股定理得
， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：农场 会受到台风的影响，理由如下：
如图，过 作 于 ，，
，
，
的面积 ，
，
，
，
农场 会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点 开始影响该农场，到点 以后结束影响，连接 ， ，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
台风中心的移动速度为 ，
台风影响该农场持续时间是 （小时）．
考点10 测量旗杆高度
55．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆 的高度，他发现绳子刚好比旗杆长1米，若把绳子往
外拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆底端的距离 恰好为 ，求旗杆 的高度．
【答案】12米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度 为x米，则绳子 的长度为 米，再利用
勾股定理建立方程即可．【详解】解：设旗杆的高度 为x米，则绳子 的长度为 米，
在 中， ，即 ，
解得 ．
答：旗杆 的高度为12米．
56．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆
处，发现此时绳子末端距离地面 ，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】旗杆的高度为17米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图，过点 作 于点 ，设旗杆 的高度为 ，则 ， ， ．
然后在 中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
设旗杆 的高度为 ，则 ， ， ．
在 中， ，即 ，解得 ．
答：旗杆的高度为17米．
57．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰
好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度 ；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
【答案】(1)12米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）设旗杆 的高度为x米，则绳子 的长为 米，根据勾股定理 列方程求解即
可；
（2）先根据勾股定理求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆 的高度为x米，则绳子 的长为 米，
由题意知： 米， ，
在 中，
，
，
解得： ，
答：旗杆的高度12米；
（2）解：由（1）知， 米，则 米，
米，
米，
答：珍珍应从A处向东走7米．
58．实践与探究
八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计
了如下方案：
课题：测量风筝的高度 ．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1， 表示地面水平线， 表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且 垂直
于地面于点A，线段 表示风筝牵引线（近似为线段）， 表示风筝到地面的垂直高度， 于点
E， 于点D．测量数值：点B到 的距离 米；风筝牵引线 的长度： 米； 的长度： 米；
(1)求风筝的垂直高度 ；
(2)如图2，如果风筝沿 方向上升28米至点F（ ）， 求风筝牵引线 的长．
【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米
(2)风筝的牵引线 的长是41米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）由勾股定理得 米，再根据 即可求解；
（2）由勾股定理得 米．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
答：风筝的垂直高度为13.6米；
（2）解：在 中，由勾股定理得：
，
答：风筝的牵引线 的长是41米．
59．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端 的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳
子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点 ，再测量绳子底端 与旗杆根部点 之间的距
离，测得距离为 ．
【解决问题】设旗杆的高度 为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)用含 的式子表示 为_____ ；
(2)请你求出旗杆的高度．
【答案】(1)
(2)12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题
型．
（1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为 米，根据
勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】（1）解：∵设旗杆的高度 为 ，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子
的长度是
∴ 米．
故答案为： ；
（2）解：在直角 中，由勾股定理得：
，
即 ．
解得 ．
答：旗杆的高度为12米．
60．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好
接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆 的高度
为x米．
(1)用含x的式子表示绳子 的长为________米；
(2)求旗杆的高度 ；
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
【答案】(1)(2)12米
(3)7
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解；
（2）根据勾股定理 列方程求解即可；
（3）先根据勾股定理求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：用含x的式子表示绳子 的长为 米，
故答案为： ；
（2）解：由题意知： 米， ，
，
，
解得： ，
旗杆的高度 米；
（3）解：由（2）知， 米，则 米，
米，
米，
珍珍应从A处向东走7米．
考点11 选择最佳地址
61．如图，在笔直的铁路上 、 两点相距 ， ， 为两村庄， 于点 ， 于点 ，
， ，现要在 上建一个中转站 ，使得 、 两村到 站的距离相等．求 应建在
距 多远处？
【答案】点 应建在距 处
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设 ，那么
，由勾股定理，可知 ， ，结合
，列出方程，解出答案即可．
【详解】解：设 ，
在笔直的铁路上 、 两点相距 ，
，
在 中， ，，
在 中， ，
，
由题意得： ，
，
解得： ．
答：点 应建在距 处．
62．某市准备在铁路 上修建火车站 ，以方便铁路 两旁的 ， 两城的居民出行．如图， 城到
铁路 的距离 ， 城到铁路 的距离 ， ，经市政府与铁路部门协商
最后确定在到 ， 两城距离相等的 处修建火车站，求 ， 的长．
【答案】 ，
【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出 和 ，再根据 建立方程求解．本题主要
考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键．
【详解】解：设 ，则 ．
根据题意，得 ．
∴ ，
解得 ．
∴ ．
∴ ， ．
63．如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D两点为两村庄， 于点A， 于点B，已知
， ，现在要在铁路 上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
(1)E站应建在距A点多少千米处？
(2)求 两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．
【答案】(1)E站应建在距A点5千米处(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设 ，则 ，根据勾股定理和 可得方程 ，解方
程即可得到答案；
（2）根据（1）可得 ，证明 ，得到 ，则可证明
，由勾股定理得 ，则由勾股定理得 ．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵C，D两村到E站的距离相等，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
答：E站应建在距A点5千米处；
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
答： 两个村庄之间的直线距离为 ．
64．如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为300米，到公交站（ 点）的距离为500米，现要
在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及到车站 的距离相等，求商店 与车站 之间的距离．【答案】 米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，过点 作 于点 ，如图所示，在 中，由勾股定理
求出 米，设 米，则 米，在 中，由勾股定理列
方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示：
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 米，
设 米，则 米，
在 中， ， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
即 ，
，解得 ，
则商店 与车站 之间的距离为 米．
65．如图，某地方政府决定在相距 的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使
C、D两村到点E的距离相等，已知 于A， 于B， ， ，那么基地E
应建在离A站多少 的地方？
【答案】基地E应建在离A站 的地方
【分析】本题考查勾股定理的应用，设 ，得到 ，根据勾股定理结合C、D两村到
点E的距离相等，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ， ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ， ，∴ ，即： ，
解得： ，
∴ ，
∴基地E应建在离A站 的地方．
66．如图 ，铁路上有 、 两点（看作直线上两点）相距 千米， 、 为两村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，
使得 、 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距 点 千米处的点 处，如图 ，则 千米．
(1) （______）千米；
(2)煤栈应建在距 点多少千米处？
【答案】(1)
(2) 千米处
【分析】（ ）连接 ，则 ，由勾股定理可得 ，解之即可求解；
（ ）根据（ ）的结果即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图 ，连接 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 千米，
∴ 千米，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 千米，
故答案为： ；（2）解：由（ ）得， 千米，
∴煤栈应建在距 点 千米处．
考点12 立体图形中的最短路径
67．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】25
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25．
68．如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为 的正方形，高为 ．
(1)一只蚂蚁在 点（容器外部）发现容器的外部距离顶部 处的 点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以
最短的路程到达 处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？
(2)小明想用一根彩带从容器底面 点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达 点（假设彩带完美贴合长方体
的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键；
（1）将长方体的正面和右侧面展开，连接 ，则 即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解．
（2）将长方体的侧面沿 展开，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接 ，则 即为蚂蚁走的最短路程．在Rt 中， ，
．
答：蚂蚁走的最短路程是 ．
（2）解：如图，将长方体的侧面沿 展开，
则 ，
．
答：彩带的长度最短是 ．
69．如图， 是正方体，棱长为10 厘米，一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点 爬行的最短
的距离是多少？
【答案】 厘米
【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将正方体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，将正方体展开，如图：
则： 即为最短路径， ，
由勾股定理，得： ，
即：一只蚂蚁沿表面爬行，从点A至点 爬行的最短的距离是 厘米．
70．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高
分别为20、3、2，A和 是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁
要到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到 点的最短路程是多少？【探究】
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连结 ，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点 的最短路程 的长为________．
【应用】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点A出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离．
【拓展】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点A处有一滴蜂蜜，此时，
一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁外壁 处到内壁A处所爬行的最
短路程是________ ．（杯壁厚度不计）
【答案】（1） ；（2）蚂蚁爬行的最短距离为 ；（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
蚂蚁爬行的最短距离为 ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ,，
，
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
故答案为： ．
71．如图，长方体的长和宽分别为 和 ，高为 ．若一只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈
到达点 ，求蚂蚁爬行的最短路径的长度．
【答案】蚂蚁爬行的最短路径的长度为
【分析】本题考查勾股定理的应用．长方体的侧面展开图如图所示．连接 ，则 为蚂蚁爬行的最短路
径的长度．在 中根据勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：长方体的侧面展开图如图所示．连接 ，则 为蚂蚁爬行的最短路径的长度．
长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
， ．
由题意可知 ，
∴在 中， ．
∴蚂蚁爬行的最短路径的长度为 ．
72．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，点M在 上．且 ．
(1)求线段 的长；
(2)一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)
(2)蚂蚁爬行的最短距离是
【分析】（1）根据长方体的性质求出 ，利用勾股定理即可求解；
（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展
开成平面图形情况分类讨论进行进行比较．
【详解】（1）解： ， ，
，
线段 的长为 ．
（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为 ，高为 ，点B离点C的距离是
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∴蚂蚁爬行的最短距离是 ．
考点13 平面图形中的最短路径
73．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他
的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【答案】【分析】如图（见详解），将小河看成直线 ，由题意先作A关于 的对称点 ，连接 ，构建直
角三角形，则 就是最短路线；在 中， ， ， ，利用勾股定
理即可求出 ．
【详解】如图，做出点A关于小河 的对称点 ，连接 交MN于点P，则 就是牧童要完成这件事
情所走的最短路程长度．
由题意知： ， ， ，
在 中，由勾股定理求得 ，
则他要完成这件事情所走的最短路程是 ．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
74．如图，某工厂 前面有一条笔直的公路 ，原来有两条路 ， 可以从工厂 到达公路，经测量
， ， ，现需要修建一条路，使工厂 到公路的路程最短．请你用尺规作图
画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．
【答案】图见解析，
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，则线段 为新建公路．
， ，
， ，
，
是直角三角形．
，，
新建路的长为 ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
75．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为 ， ，
，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之
和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可；
（2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以 为斜边的直角 ，由（1）可知： ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是
确定建水厂位置的关键．
76．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上
岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在直线l上，
．
(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) 的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，推导出 ，即 ，由垂线段最短，得到 的长是攀梯A到
泳道l的最近距离，即可解答；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： 的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下：
在 中，
，
，即 ，
由垂线段最短，的长为攀梯A到泳道l的最近距离．
（2） ，
．
在 中，
．
答： 的长度为 ．
77．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为 ，现要为喷泉铺设供水管道 和 ，供
水点M在小路 上，供水点 M 到 的距离 的长为 ， 的长为 ．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路 的最短距离．
【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为
(2)喷泉B到小路 的最短距离为
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）首先根据勾股定理求出 ，进而求解即可；
（2）过点B作 ，利用等面积法求解即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ，
∴
在 中，
∴ ，
答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 ；
（2）如图所示，过点B作 ，．
答：喷泉B到小路 的最短距离为 ．
78．【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工
厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）15
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题
的关键．
（1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示 的长；
（2）作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于
点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
， ，可得 的最小值为 的长，再求解即可；（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
在 中，
由勾股定理，得
；
（2）如图1，作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
，
，
的最小值为 的长．
，
，
， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
的最小值为 ．
（3）构造图形如图2所示，其中点 为线段 上一点，分别过点 作 ，连接
，
其中
．连接 ．
，
代数式 的最小值为 的长，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
易知 ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
代数式 的最小值为15．
