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专题 5.2 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
【新高考专用】
题型一 正、余弦齐次式的计算
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知tanα=2，则sinαcosα的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【解题思路】由平方关系、商数关系化成关于tanα的齐次式即可求解.
sinαcosα tanα
【解答过程】由题意sinαcosα= = ，因为tanα=2，
sin2α+cos2α tan2α+1
tanα 2 2
所以sinαcosα= = =
.
tan2α+1 22+1 5
故选：B.
1−2sinαcosα 1
2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知 = ，则tanα=（ ）
cos2α−sin2α 3
1 1 1 1
A． B． C． 或1 D． 或1
3 2 3 2
【解题思路】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tanα的值.
1−2sinαcosα cos2α+sin2α−2sinαcosα (cosα−sinα) 2
【解答过程】因为 = =
cos2α−sin2α cos2α−sin2α (cosα+sinα)(cosα−sinα)
cosα−sinα 1−tanα 1 1
= = = ，解得tanα=
.
cosα+sinα 1+tanα 3 2
故选：B.
sinθ−3cosθ 1
3．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知tanθ=2，则 = − .
2sinθ+3cosθ 7
【解题思路】将原式中的分子、分母同除以cosθ，再将tanθ=2代入即可.
sinθ−3cosθ
sinθ−3cosθ cosθ tanθ−3 1
【解答过程】 = = =− .
2sinθ+3cosθ 2sinθ+3cosθ 2tanθ+3 7
cosθ1
故答案为：− .
7
1+tanα 7
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 =√3，则sin4α+cos4α= .
1−tanα 8
cosα+sinα 1
【解题思路】根据弦切互化可得 =√3，平方得cosαsinα= ，即可根据完全平方求解.
cosα−sinα 4
1+tanα cosα+sinα 1+2cosαsinα
【解答过程】由 =√3得 =√3，平方可得 =3，
1−tanα cosα−sinα 1−2cosαsinα
1
故cosαsinα= ，
4
sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α) 2 −2sin2αcos2α=1−2× (1) 2 = 7 ，
4 8
7
故答案为： .
8
题型二 “和”“积”转换
√5
5．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知sinθ+cosθ= ，则sinθcosθ=（ ）
2
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
8 4 8 4
【解题思路】将已知两边平方，再结合平方关系即可得解.
√5 5
【解答过程】因为sinθ+cosθ= ，可得(sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcosθ= ，
2 4
1
所以sinθcosθ= ．
8
故选：C．
1
6．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知sinαcosα=− ，α∈(0,π)，则sinα−cosα=（ ）
8
√5 √5 √3 √3
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
5
【解题思路】由已知可得sinα−cosα>0，可求得(sinα−cosα) 2= ，进而可求sinα−cosα的值.
4
1
【解答过程】因为α∈(0,π)，所以sinα>0，又sinαcosα=− ，所以cosα<0，
8
所以sinα−cosα>0，1 5
又(sinα−cosα) 2=sin2α−2sinαcosα+cos2α=1−2×(− )= ，
8 4
√5
所以sinα−cosα= .
2
故选：A.
1 2
7．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知sinα+cosa= ,α∈(0,π)，则(sina−1)(cosa+1)= − ．
5 25
1
【解题思路】将sinα+cosα= 平方可求出sinαcosα，借助完全平方公式求出sinα−cosα，即可求
5
值.
1 1
【解答过程】由sinα+cosα= 得(sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα= ，
5 25
12
解得sinαcosα=− ，
25
49
所以(sinα−cosα) 2=1−2sinαcosα= ．
25
又因为α∈(0,π)，且sinαcosα<0，
所以sinα>0,cosα<0，
7
所以sinα−cosα= ，
5
12 7 2
则(sinα−1)(cosα+1)=sinαcosα+(sinα−cosα)−1=− + −1=− ．
25 5 25
2
故答案为：− .
25
7 5
8．（2024·辽宁鞍山·二模）已知α是第四象限角，且满足sinα+cosα= ，则tanα= − ．
13 12
120
【解题思路】根据得到sinα<0,cosα>0，利用三角函数的基本关系式，求得2sinαcosα=− ，进而
169
17
求得sinα−cosα=− ，联立方程组，求得sinα,cosα的值，即可求解.
13
【解答过程】由α是第四象限角，可得sinα<0,cosα>0，则sinα−cosα<0，
7 49
因为sinα+cosα= ，可得(sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα= ，
13 169
120
可得2sinαcosα=− ，
169289
又由(sinα−cosα) 2=1−2sinαcosα= ，
169
17
因为sinα−cosα<0，可得sinα−cosα=− ，
13
5 12 sinα 5
联立方程组，可得sinα=− ,cosα= ，所以tanα= =−
.
13 13 cosα 12
5
故答案为：− .
12
题型三 诱导公式的应用——化简、求值
9．（2024·全国·模拟预测）已知sin (5π +α ) = 1 ,则cos ( π +α )=（ ）
8 3 8
1 1
A．− B．
3 3
√3 √3
C．− D．
3 3
【解题思路】本题考查诱导公式等知识．
【解答过程】cos ( π +α )=cos ( − π −α )=sin [π − ( − π −α )] =sin (5π +α ) = 1 ．
8 8 2 8 8 3
故选:B．
10．（2024·黑龙江·二模）已知角α的终边与单位圆的交点P
(3
,−
4)
，则sin
(
α−
π
)=（
）
5 5 2
4 3 3 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
3
【解题思路】根据题意可知cosα= ，利用诱导公式运算求解.
5
(3 4) 3
【解答过程】因为角α的终边与单位圆的交点P ,− ，可知cosα= ，
5 5 5
π 3
所以sin
(
α−
)=−cosα=−
.
2 5
故选：B.
π 3 π 3
11．（2024·福建厦门·一模）若sin ( α+ )=− ，则cos ( α− )= − ．
4 5 4 5
π π π π
【解题思路】应用诱导公式有cos ( α− )=cos[(α+ )− ]=sin(α+ )，即可求值.
4 4 2 4π π π π 3
【解答过程】cos ( α− )=cos[(α+ )− ]=sin(α+ )=− .
4 4 2 4 5
3
故答案为：− .
5
√5
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−1,2)，则cos(π+α)的值为 .
5
【解题思路】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．
【解答过程】因为角α的终边过点P(1,−2)，
所以r=|OP|=√(−1) 2+22=√5，
x 1 √5 √5
所以cosα= =− =− ，则cos(π+α)=−cosα= ，
r √5 5 5
√5
故答案为： .
5
题型四 同角关系式与诱导公式的综合应用
4 π
13．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知cosθ=− ，θ∈(0,π)，则cos( −θ)=（ ）
5 2
3 4 3 3
A． B． C．− D．−
5 5 5 4
【解题思路】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；
π 3
【解答过程】由诱导公式得
cos( −θ)=sinθ，又由θ∈(0,π)，可得sinθ=√1−cos2θ=
．
2 5
故选：A.
(π ) 1 sin3θ+2cos3θ
14．（2024·全国·模拟预测）已知tan +θ = ，则 =（ ）
2 2 sin(π+θ)
3 5 5 3
A． B． C．− D．−
5 6 6 5
【解题思路】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.
(π )
sin +θ
2 cosθ 1
【解答过程】由题意得 = = ，则tanθ=−2，
(π ) −sinθ 2
cos +θ
2sin3θ+2cos3θ sin3θ+2cos3θ sin3θ+2cos3θ
故
= =−
sin(π+θ) −sinθ sinθ(sin2θ+cos2θ)
sin3θ+2cos3θ tan3θ+2 −8+2 3
=− =− =− =− .
sin3θ+sinθcos2θ tan3θ+tanθ −8−2 5
故选：D.
15．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知角α的终边经过点P(2,−3)，则
sin(π−α)+cos(α−π)
=
π π 5 ．
sin( +α)+cos( −α)
2 2
3
【解题思路】利用任意角三角函数的定义可得tanα=− ，再结合诱导公式及商数关系即可求解.
2
3
【解答过程】由角α的终边经过点P(2,−3)可知：tanα=− ，
2
sin(π−α)+cos(α−π) sinα−cosα tanα−1
= = =5
则 π π cosα+sinα 1+tanα .
sin( +α)+cos( −α)
2 2
故答案为：5.
1 2√6
16．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cos(x−70°)= ，则sin(x+110°)= − ．
5 5
【解题思路】利用角的变换，以及诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
【解答过程】sin(x+110∘)=sin[(x−70∘)+180∘]=−sin(x−70∘)，
1
因为x是第二象限角，若cos(x−70∘)= ，所以x−70∘是第一象限角，
5
2√6
所以sin(x−70∘)=√1−cos2(x−70∘)=
，
5
2√6
所以sin(x+110∘)=−
.
5
2√6
故答案为：− .
5
题型五 三角恒等变换的化简问题
1
17．（2024·重庆·模拟预测）已知sin(α+β)= ,tanα=3tanβ，则cos(2α−2β)=（ ）
21 1 7 1
A．− B． C． D．−
8 2 8 2
1 3
【解题思路】切化弦，结合正弦和角公式得到方程组，求出cosαsinβ= ，sinαcosβ= ，故
8 8
1
sin(α−β)= ，由余弦二倍角公式计算出答案.
4
sinα 3sinβ
【解答过程】tanα=3tanβ⇒ = ⇒sinαcosβ=3cosαsinβ，
cosα cosβ
1
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ，
2
1 1 3
故4cosαsinβ= ，cosαsinβ= ，所以sinαcosβ= ，
2 8 8
3 1 1
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ= − = ，
8 8 4
1 7
则cos(2α−2β)=cos2(α−β)=1−2sin2(α−β)=1−2× =
.
16 8
故选：C.
18．（2024·全国·模拟预测）已知sin(α+β)=2sinαsinβ，tanαtanβ=−2，则tan(α+β)=（ ）
4 4
A．− B． C．−2 D．2
3 3
tanα+tanβ
【解题思路】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得 =2，进而tanα+tanβ=−4，结
tanαtanβ
合两角和的正切关系计算即可求解.
【解答过程】由sin(α+β)=2sinαsinβ，得sinαcosβ+sinβcosα=2sinαsinβ，
1 1
等式两边同时除以sinαsinβ，得 + =2，
tanβ tanα
tanα+tanβ
即 =2，又tanαtanβ=−2，所以tanα+tanβ=−4，
tanαtanβ
tanα+tanβ 4
所以tan(α+β)= =−
.
1−tanαtanβ 3
故选：A.
1
19．（2024·四川眉山·一模）求值sin430°cos320°+cos110°sin40°= .
2
【解题思路】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.
【解答过程】sin430°cos320°+cos110°sin40°=sin70°cos(−40°)−cos70°sin40°1
=sin70°cos40°−cos70°sin40°=sin(70°−40°)=sin30°= .
2
1
故答案为： .
2
1 1 1
20．（2024·甘肃张掖·一模）已知cos(α+β)= ,sinαsinβ=− ，则cos2α−sin2β= ．
3 12 18
1 1
【解题思路】根据已知得cosαcosβ= 即可求得cos(α−β)= ，利用倍角公式有
4 6
cos2α−sin2β=cos(α+β)cos(α−β)即可得解.
1 1 1 1
【解答过程】由cos(α+β)= 得cosαcosβ−sinαsinβ= ，又sinαsinβ=− ，所以cosαcosβ= ，
3 3 12 4
1 1 1
所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ = − = ⋅
4 12 6
1+cos2α 1−cos2β cos2α+cos2β
cos2α−sin2β = − = =
2 2 2
cos[(α+β)+(α−β)]+cos[(α+β)−(α−β)] 1 1 1
=cos(α+β)cos(α−β)= × = ．
2 3 6 18
1
故答案为： ．
18
题型六 三角恒等变换——给值求值型问题
3
21．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知sinα+cosβ= ，cosα=sinβ，则sin(α−β)=（ ）
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 16
3
【解题思路】sinα+cosβ= 与cosα−sinβ=0分别平方相加，得到答案.
2
3 9
【解答过程】sinα+cosβ= 两边平方得sin2α+2sinαcosβ+cos2β= ①，
2 4
又cosα=sinβ，故cosα−sinβ=0，两边平方得
cos2α−2cosαsinβ+sin2β=0②，
9
式子①+②得，2+2(sinαcosβ−cosαsinβ)= ，
4
9 1 1
故2sin(α−β)= −2= ，故sin(α−β)=
.
4 4 8故选：C.
√5 2
22．（2024·贵州贵阳·二模）已知cosα−cosβ= ,sinα−sinβ=− ，则tan(α+β)的值为（ ）
3 3
A．−4√5 B．4√5 C．−2√5 D．2√5
α+β α−β α+β α−β α+β
【解题思路】拆分角度α= + ,β= − ，再根据和差化积公式求得tan ，由正切
2 2 2 2 2
二倍角公式即可得所求.
α+β α−β α+β α−β
【解答过程】由α= + ,β= − 得
2 2 2 2
α+β α−β √5 α+β α−β 2
cosα−cosβ=−2sin sin = ，sinα−sinβ=2cos sin =− ，
2 2 3 2 2 3
α+β √5
两式相除可得tan = ，
2 2
α+β
2tan
( α+β) 2
所以tan(α+β)= tan 2⋅ = =−4√5.
2 α+β
1−tan2
2
故选：A．
3 2 23
23．（2024·江西·模拟预测）已知cos(α+β)= ，cosαcosβ= ，则cos(2α−2β)= − .
5 5 25
【解题思路】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
3 2
【解答过程】因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ= ，cosαcosβ= ，
5 5
1
所以sinαsinβ=− ，
5
1
所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ，
5
23
所以cos(2α−2β)=cos2(α−β)=2cos2(α−β)−1=−
.
25
23
故答案为：− .
25
π 1 7 √2
24．（2024·广西南宁·一模）已知0<α< <β<π,cosβ=− ,sin(α+β)= ，则tanα= ．
2 3 9 4
【解题思路】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sinα，进而可得tanα.
2√2 π 3π
【解答过程】由题意，sinβ=√1−cos2β= ，且 <α+β< ，故
3 2 24√2
cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=− .
9
故sinα=sin(α+β−β)=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ
7 ( 1) ( 4√2) 2√2 1
= × − − − × = .
9 3 9 3 3
1
故cosα= √ 1− 1 = 2√2 ，tanα= 3 = √2 .
32 3 2√2 4
3
√2
故答案为： .
4
题型七 三角恒等变换——给值求角型问题
1
25．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知tanα=− ，tanβ=2，且α,β∈(0,π)，则α+β的值为
3
（ ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
π π
【解题思路】利用正切和角公式得到tan(α+β)=1，并得到α∈
( ,π)
,β∈
(
0,
)
，得到答案.
2 2
1
− +2
tanα+tanβ 3
【解答过程】tan(α+β)= = =1，
1−tanα⋅tanβ 2
1+
3
又α,β∈(0,π)，tanα<0，tanβ>0，
π π π 3π
故α∈ ( ,π) ,β∈ ( 0, ) ，故α+β∈ ( , ) ，
2 2 2 2
5π
故α+β=
.
4
故选：C.
π π
26．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知0<α< ,0<β< ，且sin(2α+β)=4sinβ，
2 2
α α
10tan =√3(1−tan2 )，则α+β的值为（ ）
2 2π 5π 2π π
A． B． C． D．
6 6 3 3
【解题思路】将sin(2α+β)=4sinβ转化为sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)−α]，然后由两角和与差的正弦
α α
公式展开化简，由10tan =√3(1−tan2 )，利用二倍角公式化简最后求解即可.
2 2
【解答过程】因为sin(2α+β)=4sinβ，所以sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)−α]，
所以sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=4sin(α+β)cosα−4cos(α+β)sinα，
化简得：5cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα，
5
所以tan(α+β)= tanα，
3
α α α α
sin sin2 cos2 −sin2
α α 2 2 2 2
又由10tan =√3(1−tan2 )，可得10 =√3(1− )=√3( )，
2 2 α α α
cos cos2 cos2
2 2 2
α α √3
所以10sin cos =√3cosα，即5sinα=√3cosα，所以tanα= ，
2 2 5
5 √3 π π
所以tan(α+β)= tanα= ，又0<α< ,0<β< ，所以0<α+β<π，
3 3 2 2
π
所以α+β=
.
6
故选：A.
5
27．（2024·海南海口·模拟预测）已知cos(α+2β)= ,tan(α+β)tanβ=−4，写出符合条件的一个角α
6
2π
的值为 （答案不唯一） .
3
1 2
【解题思路】根据题目条件得到cos(α+β)cosβ= 和sin(α+β)sinβ=− ，从而求出
6 3
1 2 1
cosα=cos[(α+β)−β]= − =− ，进而求出角α的值.
6 3 2
【解答过程】cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)cosβ−sin(α+β)sinβ，
5
故cos(α+β)cosβ−sin(α+β)sinβ= ，
6sin(α+β)sinβ
tan(α+β)tanβ=−4，即 =−4，
cos(α+β)cosβ
故sin(α+β)sinβ=−4cos(α+β)cosβ，
5 1
故5cos(α+β)cosβ= ，即cos(α+β)cosβ= ，
6 6
2
则sin(α+β)sinβ=−4cos(α+β)cosβ=− ，
3
1 2 1
则cosα=cos[(α+β)−β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ = − =− ，
6 3 2
2π
可取α=
.
3
2π
故答案为： .
3
√5 √10
28．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）若sin2α= ,sin(β−α)= ，且
5 10
[π π] [ 3 ]
α∈ , ,β∈ π, π ，则α+β=
4 2 2
7π
.
4
【解题思路】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出cos(α+β)的值，
最后根据α+β的范围确定其具体值.
[π ] [π ] √5 (π )
【解答过程】因α∈ ,π ，所以2α∈ ,2π ，又sin2α= >0，所以2α∈ ,π .
4 2 5 2
根据sin2A+cos2A=1，得cos2α=−√1−sin22α=−
√
1−
(√5) 2
=−
2√5
，同时也能确定α∈
(π
,
π)
.
5 5 4 2
√10 [ 3π] (π π) (π 5 )
因为sin(β−α)= ,β∈ π, ,α∈ , ，所以β−α∈ , π .
10 2 4 2 2 4
cos(β−α)=−√1−sin2 (β−α)=−
√
1−
(√10) 2
=−
3√10
.
10 10
所以cos(α+β)=cos[(β−α)+2α]=cos(β−α)cos2α−sin(β−α)sin2α
( 3√10) ( 2√5) √10 √5 3√10×2√5 √10×√5 6√50−√50 5√50 √2
= − × − − × = − = = =
10 5 10 5 10×5 10×5 50 50 2(π π) [ 3π] (5π )
因为α∈ , ,β∈ π, ，所以α+β∈ ,2π .
4 2 2 4
√2 7π
在这个区间内，cos(α+β)= 时，α+β= .
2 4
7π
故答案为： .
4
题型八 利用三角恒等变换判断三角形的形状
29．（2024·福建宁德·二模）在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin(A+B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，
代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A−B=0，即A=B，即可确定出三角形
形状．
【解答过程】解：∵在△ABC中，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB，
∴2cosAsinB=sinC=sinAcosB+cosAsinB，即sin AcosB−cosAsinB=sin(A−B)=0，
∵ A,B∈(0,π)，∴A−B∈(−π,π)，
∴A−B=0，即A=B，则△ABC为等腰三角形．
故选：A．
A
30．（23-24高一下·吉林·期末）在△ABC中，已知sinBsinC=cos2 ，则△ABC的形状是（ ）
2
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
A 1
【解题思路】由二倍角公式可得，cos2 = (1+cosA)，再根据诱导公式可得cosA=−cos(B+C)，然
2 2
A
后利用两角和与差的余弦公式，即可将sinBsinC=cos2 化简成cos(B−C)=1，所以B=C，即可求得
2
答案．
A 1 1
【解答过程】因为sinBsinC=cos2 = (1+cosA)= [1−cos(B+C)]，
2 2 2
cos(B+C)=cosBcosC−sinBsinC，
所以，cosBcosC+sinBsinC=1，即cos(B−C)=1，
因为B,C∈(0,π)，所以B−C∈(−π,π)所以B=C，即△ABC为等腰三角形.
故选：A．
31．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）在△ABC中，若sinA=2sinCcosB，则这个三角形的形状是 等腰
三角形 ．
【解题思路】利用公式sin A=sin(B+C)，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状.
【解答过程】∵A+B+C=180∘，
∴sin A=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
代入条件可得sinCcosB−cosCsinB=0，即sin(C−B)=0，
即C−B=0⇔C=B，
所以三角形是等腰三角形.
故答案为：等腰三角形.
32．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在ΔABC中，若2sin AsinB=1+cosC，则该三角形的形状是
等腰三角形 .
【解题思路】利用cosC=−cos(A+B)，结合两角和的余弦公式化简得出cos(A−B)=1，可得出角A与
角B的关系，从而判断出该三角形的形状.
【解答过程】∵1+cosC=1−cos(A+B)=1−cosAcosB+sin AsinB=2sin AsinB，
∴sinAsinB+cosAcosB=1，即cos(A−B)=1，
∵00，函数f(x)=sinωx−cosωx+1的图象与g(x)=1的图象在( 17) (9 21)
[π,2π]上最多有两个公共点.则ω的取值范围为 0, ∪ , .
8 4 8
π
【解题思路】将f (x)化成单角单函数，由f (x)=g(x)，转化为 ℎ(x)=sin ( ωx− ) 在[π,2π]上最多有
4
两个零点，得0<ω<3，结合正弦函数图象，分四种情况讨论，最后得到ω的取值范围.
π
【解答过程】f(x)=sinωx−cosωx+1=√2sin ( ωx− )+1，由f (x)=g(x)得
4
π π
√2sin
(
ωx−
)+1=1,sin (
ωx−
)=0，
4 4
π 3 2π
设 ℎ(x)=sin ( ωx− ) ，则ℎ(x)在[π,2π]上最多有两个零点，所以2π−π< ⋅ ，ω>0，所以
4 2 ω
0<ω<3，
π π π
x∈[π,2π],ωx− ∈[ωπ- ,2ωπ- ]，又因为0<ω<3，所以
4 4 4
π π 11π π π 23π
- <ωπ- < ,- <2ωπ- <
，
4 4 4 4 4 4
1
（1）由¿得0<ω≤
4
1 5
（2）由¿得 <ω≤
4 4
5 17
（3）由¿得 <ω<
4 8
9 21
（4）由¿得 <ω<
4 8
( 17) (9 21)
综上，ω的取值范围为 0, ∪ , .
8 4 8
( 17) (9 21)
故答案为： 0, ∪ , .
8 4 8一、单选题
( 3π ) cosα
1．（2024·四川宜宾·一模）若α∈ π， ，tanα= ，则sinα=（ ）
2 sinα−1
√3 √2 1 1
A．− B．− C．− D．−
2 2 2 3
【解题思路】利用同角三角函数的关系求解即可.
cosα sinα
【解答过程】由tanα= = 得cos2α=sin2α−sinα，
sinα−1 cosα
∵ sin2α+cos2α=1，
∴ 2sin2α−sinα−1=0，即(2sinα+1)(sinα−1)=0，
1
解得sinα=− 或sinα=1，
2
( 3π ) 1
∵ α∈ π， ，∴ −10）在区间 (π , 3π ) 上单调递增，
2 2 4
则ω的取值范围是（ ）
( 2] [8 ] ( 1] [5 ] [5 ]
A．(0,4] B． 0, ∪ ,4 C． 0, ∪ ,3 D． ,3
3 3 3 2 2
【解题思路】由题知f (x)=√2sin ( ωx+
π
)+1，进而根据题意得y=sinx在
(π
ω+
π
,
3π
ω+
π)
上
4 2 4 4 4
单调递增，且0<ω≤4，进而得¿，再解不等式即可得答案.
ωx π
【解答过程】f (x)=sinωx+2cos2 =sinωx+cosωx+1=√2sin ( ωx+ )+1，
2 4
(π 3π ) π (π π 3π π)
因为x∈ , ，所以ωx+ ∈ ω+ , ω+
2 4 4 2 4 4 4
(π 3π )
因为函数f (x)在区间 , 上单调递增，
2 4
(π π 3π π) 3π π 1 π
所以函数y=sinx在 ω+ , ω+ 上单调递增，且 − ≤ T= ，即0<ω≤4.
2 4 4 4 4 2 2 ω
(π π 3π π) (π 13π )
因为 ω+ , ω+ ⊆ , ，
2 4 4 4 4 4
(π π 3π π)
所以，函数y=sinx在 ω+ , ω+ 上单调增，
2 4 4 4
3π π π
等价于 ω+ ≤ 或¿，
4 4 2
1 5 ( 1] [5 ]
所以，解不等式得0<ω≤ 或 ≤ω≤3，所以，ω的取值范围是 0, ∪ ,3 .
3 2 3 2
故选：C.
√2 1
8．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角α,β,γ满足sinαcosβ= ,sinβcosγ= ，则sinγcosα的
2 2
最大值是（ ）1 3 √3−1 √6−√2
A． B． C． D．
4 4 4 4
1 1
【解题思路】先根据题意分别求出cosβ= ,sinβ= ，再根据同角三角函数的平方关系求
√2sinα 2cosγ
出cosα、sinγ的关系，再利用基本不等式即可得解.
√2 1
【解答过程】因为三个锐角α,β,γ满足sinαcosβ= ,sinβcosγ=
2 2
1 1
所以cosβ= ,sinβ= ，
√2sinα 2cosγ
1 1
则
cos2β+sin2β= + =1，
2sin2α 4cos2γ
1 1
+ =1
∴
2(1−cos2α) 4(1−sin2γ)
所以2(1−sin2γ)+(1−cos2α)=4(1−cos2α)(1−sin2γ)，
整理得1+4cos2αsin2γ=2sin2γ+3cos2α≥2√6cosαsinγ，
即4cos2αsin2γ−2√6cosαsinγ+1≥0
√6+√2 √6−√2
解得cosαsinγ≥ 或cosαsinγ≤
4 4
√6−√2
又cosαsinγ<1，于是cosαsinγ≤ ，
4
√6−√2
当且仅当2sin2γ=3cos2α时取等号，所以cosαsinγ的最大值为
.
4
故选：D.
二、多选题
9．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
(1 √3)
A．若角α的终边过点P , ，则角α的集合是¿
2 2
B．若cos( α+ π )= 3 ，则sin ( α+ 2π ) = 3
6 5 3 5
6
C．若tanα=2，则sin2α+sinαcosα=
5
D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm
【解题思路】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
(1 √3)
【解答过程】因为角α的终边过点P , ，为第一象限角，
2 2
π
所以由三角函数的定义知tanα=√3，所以角α的终边与 终边相同，
3
所以角α的集合是¿，故A选项正确；
因为sin ( α+ 2π ) =sin( α+ π + π )=cos( α+ π )= 3 ，所以B选项正确；
3 6 2 6 5
sin2α+sinαcosα tan2α+tanα 4+2 6
因为sin2α+sinαcosα= = = = ，所以C选项正确；
sin2α+cos2α tan2α+1 4+1 5
设扇形的半径为r，圆心角为α，因为扇形所对的弧长为l=αr=2r，
所以扇形周长为l+2r=2r+2r=4r=8，故r=2cm，所以D选项不正确．
故选：ABC.
( π) 2
10．（2024·海南·模拟预测）已知α，β∈ 0, ，若cos(α−β)= ，tan(α+β)+tanα+tanβ=0，则
2 3
（ ）
1 2
A．tanαtanβ= B．cosαcosβ=
2 9
4 2
C．sinαsinβ= D．cos(α+β)=
9 9
【解题思路】由三角恒等变换化简逐项计算即可.
tanα+tanβ
【解答过程】因为tan(α+β)+tanα+tanβ=0，所以 +tanα+tanβ=0，
1−tanαtanβ
2−tanαtanβ
所以(tanα+tanβ)⋅ =0，
1−tanαtanβ
( π) sinαsinβ
又因为α，β∈ 0, ，所以tanαtanβ=2，即 =2，所以sinαsinβ=2cosαcosβ，
2 cosαcosβ
2 2 4
所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ= ，所以cosαcosβ= ，sinαsinβ= ，
3 9 9
2
且cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=− .故B，C正确，A，D错误.
9
故选：BC.
π π
11．（2024·河南周口·模拟预测）设α∈(0, )，β∈(0, )，则下列计算正确的是（ ）
2 2A．cos(α+β)0，
所以cos(α+β)0)．
2
(1)当ω=1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在[0,π]上有且仅有两个零点，求ω的取值范围．
π
【解题思路】（1）根据降幂公式和辅助角公式化简得f(x)=sin ( 2x− ) ，再根据正弦型函数的单调区
6
间得到不等式组，解出即可.
π [ π π]
（2）首先求出2ωx− ∈ − ,2ωπ− ，根据零点个数得到不等式组，解出即可.
6 6 6【解答过程】（1）当ω=1时，
1 1−cos2x √3 1 π
f(x)=sin2x+√3sinxcosx− = + sin2x− =sin ( 2x− ) ．
2 2 2 2 6
π π π π π
令2kπ− ≤2x− ≤2kπ+ (k∈Z)，得kπ− ≤x≤kπ+ ，(k∈Z)，
2 6 2 6 3
[ π π]
所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ− ,kπ+ (k∈Z)．
6 3
（2）f(x)=sin ( 2ωx− π ) (ω>0)．当x∈[0,π]，2ωx− π ∈ [ − π ,2ωπ− π] ．
6 6 6 6
π 7 13
若函数有且仅有两个零点，则 π≤2ωπ− <2π ，且ω>0，所以 ≤ω< ．
6 12 12
